CC BY
9ТЕОР1Я I ПРАКТИКА АНАЛ1ЗУ ЕЛЕКТРОМАГН1ТНИХ ВЕЛИЧИН ТА IX ФАЗОВИХ СП1ВВ1ДНОШЕНЬ В ТРИФАЗНОМУ 1НДУКТОР1 МАГН1ТНОГО ПОЛЯ
Мтих В.1.
3aeidyea4 кафедри «Електричш машини», докт. техн. наук, професор
Шилкова Л.В.
Старший викладач кафедри «Електричт машини», аспiрантка Нацюнальний технiчний ^iверситет «Хартвський полiтехнiчний iнститут», Украша
THEORY AND PRACTICE OF ANALYSIS OF ELECTROMAGNETIC QUANTITIES AND THEIR PHASE RELATIONSHIPS IN A THREE-PHASE MAGNETIC FIELD INDUCTOR
Milykh V.
Head of the Department of Electric Machines, Doctor of Technical Sciences, Professor
Shilkova L.
Senior Lecturer of the Department of Electrical Machines, Postgraduate Student National technical university «Kharkovpolytechnic institute», Ukraine
АНОТАЦ1Я
Надан теорш, практика розрахунку i результата чисельно-польового аналiзу електромагштних величин та !х фазових сшввщношень в трифазному iндукторi магштного поля. 1ндуктор подiбний до статора трифазного асинхронного двигуна i забезпечуе перемшування або сепарацш рiзних речовин. Це робиться феромагштними елементами, яш розподшеш в оброблюванш речовинi усерединi робочо! камери i руха-ються з обертовим магнггним полем. Сформована математична модель iндуктора з урахуванням феромаг-нiтних елементiв в камерi, яка представлена ашзотропним однорiдним середовищем. Показано чисельно-польове визначення складових магнггао! проникностi по подовжнiй i поперечнш осям камери. Математична модель мютить в собi рiвняння електрично! рiвноваги величин фазно! обмотки статора, яке доповнене вщповщними електричною схемою замщення i векторною дiаграмою. Ефектившсть розроблено! матема-тично! моделi продемонстрована розрахунком взаемопов'язаних електромагнiтних величин i !х фазових спiввiдношень, що характеризують роботу iндуктора в режимi навантаження. Надана методика розрахун-к1в мае властивють унiверсальностi, оск1льки дозволяе ввдображувати цилiндричнi iндуктори магнiтного поля практично будь-яко! форми.
ABSTRACT
The theory, practice and results of numerical field analysis of electromagnetic quantities and their phase relationships in a three-phase magnetic field inductor are presented. The inductor is similar to a three-phase asynchronous motor stator and allows mixing or separation of different substances. This is done with the help of ferromagnetic elements moving with the rotating magnetic field and distributed in the processed substance inside the working chamber. The mathematical model of the inductor is formed taking into account ferromagnetic elements in the chamber, which is represented by an anisotropic homogeneous medium. A numerically-field determination of the magnetic permeability components along the longitudinal and transverse axes of the chamber is shown. The mathematical model contains the equation of electric equilibrium of the stator phase winding magnitudes, which is supplemented by a corresponding equivalent circuit and vector diagram. The efficiency of the developed mathematical model is demonstrated by means of calculation of the interconnected electromagnetic quantities and their phase relationships characterizing the inductor operation in the load mode. The presented method of calculations has the property of universality as it allows to display cylindrical magnetic field inductors of almost any form.
Ключовi слова: iндуктор магштного поля, статор асинхронного двигуна, магштна ашзотрошя, математична модель, чисельно-польовi розрахунки, електромагштш величини, фазовi сшввщношення, режим навантаження.
Keywords: magnetic field inductor, asynchronous motor stator, magnetic anisotropy, mathematical model, numerical-field calculations, electromagnetic quantities, phase relationships, load mode.
Вступ. У рядi промислових галузей для забез-печення технолопчних процеав обробки рiзних си-пучих або рвдких матерiалiв використовують магш-тш перемiшувачi, подрiбнювачi i сепаратори [1, 2]. Структура i характер магнггаих полiв, яш забезпе-чують вщповвдш процеси, дуже рiзноманiтнi, як ба-гатообразш i дослвдження, проведет в цьому на-прямку.
У роботах [3, 4] дослвджуються рiзнi конф^-рацп магштно! системи i обираються геометричш
параметри елеменпв робочо! камери магштного сепаратора; в робот [5] представлена чисельно-польова математична модель сепараторiв з постш-ними магнатами рiзно! форми; в робот [6] досль джуються характеристики магштного сепаратора з постшними магштами при очищенш руди; в робоп [7] представленш результати чисельного моделю-вання магштного сепаратора; в робоп [8] дан чисе-льнi методи для розрахунку магнггаого поля рухо-мих феромагнггаих елементiв в магнiтному сепаратора в роботi [9] представленi результати
експериментального дослвдження надпроввдного магттного сепаратора; в робот [10] представлена розробка надпровщного магтта магштного сепаратора; в робот [11] дат розробка, оптим1защя та експериментальт дослщження сепаратор1в з в1дк-ритим гращентом для очищения проточно! води.
Серед р1зних 1ндуктор1в магштного поля зна-ходять свое мюце таш, яш збуджують обертове магнате поле под1бно статору трифазного асинхронного двигуна [12, 13].
Таы шдуктори в1др1зняються ввд асинхронних двигушв тим, що ротор ввдсутнш, а порожнина всередит статора е робочою камерою, через яку пропускаеться оброблювальний матер1ал. Обробка проводиться за допомогою др1бних довгастих феромагнггаих елеменпв, що рухаються з обертовим полем в робочш камер1 1 створюють так званий "вихровий шар" [2] в речовиш, яке зазнае необхщну технолопчну обробку.
Ефектившсть зазначеного технолопчного про-цесу залежить ввд р1вня магштно! 1ндукцп, яка в створених трифазних цил1ндричних шдукторах до-сягае 0,15 Тл 1 вимагае подальшого шдвищення. Проблема в тому, що, на ввдмшу в1д асинхронних двигушв, де немагнггний промгжок мае л1чен1 мш-метри, в 1ндуктор1 немагнггаий пром1жок 1 малома-гнггаий прослр робочо! камери мають в сукупносп д1аметр приблизно на два порядки бшьше.
Анал1з лтгератури показуе, що 1ндуктори магнитного поля, незважаючи на широк! можливосп застосування в р1зних галузях промисловосп, до сих шр ще недостатньо вивчеш Справа в тому, що дослщження !х електромагнггаих параметр1в проводиться, як правило, на основ1 теори магштних юл. Але у великому маломагштному простор1 пред-ставлення структури 1ндуктора к1лькома однорщ-ними д1лянками магнггаого кола е проблематичним 1 неочевидним.
Нов1 можливосл в дослщженнях 1 вдоскона-ленш конструкцп шдуктор1в з'явилися з розвитком програмного забезпечення чисельних розрахунк1в магттних пол1в. 1х ефектившсть для цилшдрич-ного 1ндуктора вже показана в [12] для анал1зу поля в його поперечному 1 поздовжньому перер1зах на основ1 плоско-ортогональних розрахункових моделей. А достов1ршсть цього подходу пвдтверджена розрахунково-експериментальними дослвджен-нями [13].
Робочим шструментом для чисельного розрахунку магштного поля як в [12, 13], так 1 в данш робот1 прийнята загальнодоступна 1 поширена програма FEMM [14].
У згаданих роботах розрахунки поля обмежен розглядом режиму реального неробочого ходу,
тобто без наявност в робочш KaMepi iндуктора фepомaгнiтних елеменпв. Отже, там не могли бути розглянуп eлeктpомaгнiтнi параметри iндуктоpa в режи]ш навантаження, як1 тiльки i можуть проявити суть його роботи в склащ базового пристрою -перемшувача, подpiбнювaчa або сепаратора.
Метою даноТ роботи е розробка теоретичних основ aнaлiзу та 1х практична аироба^ за допомогою тестового розрахунку шльшсних i фазових спiввiдношeнь електромагнггаих величин, що характеризують роботу трифазного щдуктора мaгнiтного поля в peжимi навантаження, тобто при взаемодп обертового поля з феромагнггаими елементами, що знаходяться в його pобочiй камера У пepeлiк eлeктpомaгнiтних величин входять напруга, струм, мaгнiтнe потокозчеплення i ЕРС обмотки iндуктоpa, а також магнггаа iндукцiя в кaмepi i eлeктpомaгнiтний момент, що дiе на оброблюваний мaтepiaл. Актуaльнiсть виконано! роботи обумовлена необхщшстю подальшого вдосконалення системи проектування iндуктоpiв розглянутого типу.
Об'ект дослiдження. Елeктpомaгнiтнa система i^^^^pa е такою ж, як i в [12], i тут вона дана на рис. 1 лише !! поперечним пepepiзом. Тонка обо-лонка камери е нeфepомaгнiтною i неелектропро-ввдною, тому з магнггаим полем вона не взaемодiе. У теори i розрахунках в данш робот використову-ються зaзнaчeнi прямокутна (x, у) i полярна (r, а) системи координат (початок вщлшу кута а ввд осi у). 1ндуктор мае шльшсть фаз ms = 3 i пар полюсiв р = 1 i розрахований на номiнaльну фазну напругу UsN = 220 В i частоту f = 50 Гц. З технолопчних мь ркувань для нього зaдaнi: paдiус камери rre = 0,15 м i !! активна довжина по акаальнш осi z - la = 0,3 м; магнггаа iндукцiя в цен^ камери в peжимi реального неробочого ходу - 0,24 Тл. Струм в цьому ре-жимi вважаеться номiнaльним.
В результата розрахунку за методикою, набли-женою до класично! для асинхронних двигушв [15], але з урахуванням вщсутносп ротора, отримано ряд пapaмeтpiв i^^^^pa: номiнaльний фазний струм IsN = 950 А; кшьшсть пaзiв Qs = 42 i послвдовних витав фазно! обмотки Ns = 28; радус розточення осе-рдя статора rsi = 0,175 м (вш бiльший за paдiус камери для виключення з не! кольцевого пром1жку з недостатньо однорвдним полем). Обмотка iK^^ тора двошарова, pозподiлeнa, з вiдносним скоро-ченням 18/21, схема з'еднання - <^рка». Осердя ш-дуктора виконано з електротехшчно! стaлi марки 2013, товщина листiв 0,5 мм, коeфiцiент заповнення KFe = 0,97.
Рис. 1 Векторна картина магнтного поля тдуктора: 1 - шихтоване сталеве осердя; 2 - трифазна обмотка; 3 - поверхня робочо'1 камери
Принцип ди шдуктора в складi базового пристрою. Для проведених тут дослвджень шдуктора конкретний базовий пристрш, який вш обслу-говуе, з названих вище по тексту, не е принципо-вим. Це вщповвдае 1 класично! теорп електричних машин [16], 1 систем! !х проектування [15], де прий-нято оперувати з вхвдними (наприклад, напруга, струм), вихщними (частота обертання, електромаг-н!тний момент) ! зв'язуючими !х !ншими величинами. А споживач! електричних машин використо-вують певн! параметри ! характеристики машин для виявлення !х повед!нки в конкретних умовах екс-плуатац!!.
Основою принципу д!! !ндуктора е обертове магн!тне поле, збуджуване в робоч!й камер! трифа-зною обмоткою статора.
Для забезпечення технолопчного процесу в камер! перебувають р!вном!рно розпод!лен! феромаг-н!тн! елементи, наприклад, у вигляд! коротких ввд-р!зк!в зал!зного дроту. В однорщному магн!тному пол! всередиш камери, як, наприклад, на рис. 1, ва
К
У
g2/ ^
I
еь.
е2-
1-.
d
б
ц1 елементи розташовуються практично паралельно один одному. У поперечному перер!з! камери ль н!ю, паралельно якш вони будуть зор!ентован!, на-звемо поздовжньо! в!ссю d, а перпендикулярну !й л!н!ю - поперечною вюсю q. Це в!дпов!дае прийня-тим поняттям ! терм!нам для осей ротора синхрон-них машин [16].
У режим! неробочого ходу (невдеал!зованого), тобто при вщсутносп електромагн!тного моменту, феромагнгга! елементи ор!ентуються по силових т-н!ях магн!тного поля ! обертаються разом з ними. У режим! навантаження ц! елементи отримують фш-сований кутовий зсув ввд силових л!н!й в б!к ввдс-тавання. Це е умовою виникнення електромагшт-ного моменту Mеm, що перем!щуе елементи через оброблювальну речовину в камер!.
Обумовлена структура феромагштних елемен-т!в, яка представлена на рис. 2, характеризуеться магшгаою ашзотрошею - в!дм!нностями магн!тних властивостей середовища всередин! камери по !! поздовжнш d { поперечн!й q осях.
|< е >1 м-——м
Ьу , 1 / N > 1 ае 1 / \
* у dx 1 0 \ / 1 \ /
Рис. 2 Розрахункова модель заповнення робочо'1 камери феромагнiтними елементами: а - iдеалiзована модель структури робочо'1 камери; б - базова тртка елементiв; в - структура заповнення робочо'1 камери по z
a
d
п
е
У
d
x
X
0
d
У
Ь
Ь
е
2
т
X
в
а
1нтенсившсть i яшсть технолопчно! обробки рiзнорiдних сумiшей забезпечуеться електромагш-тним моментом, що дiють на ашзотропне феромаг-нiтне середовище в робочш камерi. За суттю, цей момент е реактивним, тому принцип дп iндуктора виявляеться подiбним принципу дп синхронного реактивного двигуна [16]. Отже, в робочому режимi мiж поздовжньою вiссю d, яка пов'язана з орiента-цiею феромагнiтних елемеилв, i напрямком поля iндуктора утворюеться деякий кут. Цей кут, за ана-логiею з синхронними машинами, можна вважати кутом навантаження 0 [16], який буде виявлений далi за текстом.
Основи розрахунку магштного поля в поперечному перерiзi шдуктора. Обертове магнiтне поле в iндукторi збуджуеться симетричною трифа-зною системою струмiв обмотки статора:
Fen = J J—BxdBx + J^-
S ^ 0 0 Ma
1
Ч = hcos (œt + P ) ;
h = ^cos (- 2 / 3n + p) ;
ic = L cos ( œt + 2 / 3n + p), L = y/2L
(1)
- амплиуда фазних CTpyMiB; Is
- ïx дiюче значения; ю = 2 л fs - кутова частота; t -час; р - початкова фаза crpyMiB, яка задае необхщ-ний для конкретного режиму розрахунку шдуктора початковий кутовий зсув напрямку МРС обмотки статора Fs вщ осi d.
Магнiтне поле iндyктора в його центральному поперечному перерiзi в прямокутнш системi координат розглядаеться як плоскопаралельне, i розра-ховуеться через мiнiмiзацiю нелiнiйного енергети-чного функцюнала:
By dBy
\
, dS - J Az J 2 dS.
(2)
B
B
S
де Az, Jz - складовi векторного магнiтного по-тенцiалу i густини струму по акаальнш осi z; ^ -абсолютна магштна проникшсть.
Координатнi складовi магнiтноi iндукцii вира-
• В-дА*
жаються через потенцiал В —-,
ду
и - дА;
Ву —--, шдставляються в (2) i на цiеi основi
дх
розв'язання отриманоi системи рiвнянь досягаеться методом скшчених елементiв за програмою FEMM i дае координатний розподiл потенщалу.
На рис. 1 наданi напрямки струмiв в стрижнях обмотки при нульових значениях t i р, i показано розподiл векторiв магштно!' iндукцii B в режимi вде-алiзованого неробочого ходу [12]. У робочш камерi магнiтне поле виявляеться практично однорщним iз заданим значенням iндукцii 0,24 Тл в и центрi.
Магнiтна проникиiсть сталевих лиспв ^ ви-значаеться за кривою намагшчування сталi осердя, i тодi значення в ньому розраховуються з ураху-ванням коефiцiента заповнення KFe. Для немагшт-но1 частини обласп розрахунку магнiтна проникшсть задаеться рiвною магнiтнiй постшнш ц0, яка дорiвнюе 4 п 10-7 Гн/м. Значення магштно!' про-никиостi в робочiй камерi по ii поздовжнiй d i по-перечнiй q осям е рiзними. I при цьому вони зале-жать вiд розмiрiв i концентрацп феромагнiтних еле-ментiв, що зумовлюються рiзномаиiтними технологiчними процесами обробки матерiалiв.
У загальнiй - глобальнш задачi розрахунку режиму навантаження iндуктора виявляеться необ-хiдною попередня розрахункова пiдготовка значень магштно!' проникносп середовища в робочiй камерi з урахуванням и магнiтноi аиiзотропii, що е окре-мою локальною задачею.
Визначення еквiвалентних магштних влас-тивостей середовища в робочш камерь Ця задача в описаних умовах е досить складною i не строго
детермшованою зважаючи на можливу «стихш» розподiлу феромагнiтних елемеппв в камерi. Тому достатнiм представляеться хоча б орiентовне и рь шення в будь-якiй доступнiй формг Тут запропоно-вана iдеалiзована модель заповнення камери i розроблено вщповвдний метод визначення екшвалент-них И магнiтних властивостей, якi попм можна використовувати в розрахунковiй моделi iндуктора в цiлому.
Вихiднi припущення для формування заповнення робочо1' камери:
- усi феромагнiтнi елементи розташовуються паралельно один одному, що е природним пiд впли-вом однорщного магнiтного поля;
- щ елементи по об'ему камери розподшеш рь вномiрно з заданим змщенням один щодо одного;
- магнит властивостi середовища в камерi е ашзотропними в и поперечному перерiзi, тобто по поздовжиiй d i поперечнiй q осях;
- дискретне магнине середовище камери замь нюеться суцiльним середовищем з еквiвалентними магнпними проникностями ^ i - по поздовжшй i поперечнiй осях.
Iдеалiзована модель робочо1' камери шдуктора представлена И поперечним перерiзом на рис. 2, а, де прийнята орiентацiя елементiв по осi ^ Модель взята прямокутною, що не е принциповим для шн-цевих результата вирiшения поставлено!' задачi, але спрощуе И рiшення.
У внутршньому просторi камери, де видiлена модель, лши границь g1, g2, gз i g4 повиннi бути ль нiями симетрii або перюдичноси. Тому по висотi моделi в одних рядах укладаеться цiла кшьшсть елементiв з промiжками, а в шших - промiжиих рядах у границь gl и g3 опиняються 1х половинки.
На рис. 2, б на винесенш в зб№шеному масш-табi трiйцi елемеилв в1, г2 i в3 позначеш 1'х розмiри, якi при розрахунках можуть варiюватися. Ключо-вими для формування заповнення камери е дiаметр de i висота Ьц елемеппв, а також промiжки dx i dy мiж ними.
На рис. 2, а подано досить наочний BapiaHT мо-делi з розташуванням по и висот елементiв у к!ль-KicTi ny = 3. Але правильн результати вийдуть i при шшому знaченнi ny - головне, щоб дотримувалися зaявленi умови симетри або перюдичносп. Решта розмiрiв камери знаходяться, якщо прийняти, що as ~ bs, завдяки чому визначаеться шльшсть елементiв mx по ширинi as.
При заданих розмiрaх i взаемному розташу-вaннi феромaгнiтних елементiв задача полягае в знaходженнi складових магштно! проникноcтi i |iq. Ця задача виршуеться на оcновi чисельних роз-рахунк1в мaгнiтного поля в iдеaлiзовaнiй моделi за-повнення камери. Для цього використовуеться про-грама FEMM, а для забезпечення li роботи складено скрипт Lua, який автоматично розраховуе параме-три робочо! камери, будуе li геометричну модель i оргaнiзовуе подaльшi розрахунки, як це представлено, наприклад, в [17].
У поперечному перерiзi розрахунково! моделi (рис. 2, а) магштне поле описуеться рiвнянням (2) i розраховуеться як плоскопаралельне. Це означае, що по aкciaльнiй координaтi z структура моделi не повинна змiнювaтиcя, що не виконуеться при круг-лих перерiзaх феромaгнiтних елементiв у плоскосл xz (рис. 2, в). Щоб обшти це, круглi перерiзи зaмi-
дЛ
ду
gi
— 0;
Л
g 2
= 0
нюються квадратними зi стороною ae, яка визначаеться з умови збереження площi перерiзу, а саме:
a.
— 0,5 d . В!дпов!дно
перераховуеться ек-
вiвалентнии промгжок мгж елементами по шириш камери ёХе = ёх + ёе - ае.
Для розрахунково! моделi обчислюються зага-льна площа поперечного перерiзу & = а Ьх, а також И частина, яка заИнята феромагшгними елементами: & = пу тх ае Ье. Тодi коефщент заповнення робочо! камери за площею поперечного перерiзу становить: ^е* = Se /
За акаальною вiссю г (рис. 2, в) феромагшгш елементи розподiленi з пею ж густиною, як i в поперечному перерiзi. Тодi при розрахунку поля в двомiрнiИ постановщ, по цiИ осi буде правомiрним тоИ же коефiцieнт Кре!!.
Складовi магштно! проникностi по осях камери ё i д визначаються за розрахунками магнiтних полiв, силовi лшп яких орieнтованi по цим осям. Так! поля формуються за допомогою ввдповвдних граничних умов для векторного магшгного потен-цiалу А2 на границях моделi камери (рис. 2, а), а ко-ординатш осi х i у спрямоваш по !! поперечнiИ i по-довжнiИ осях.
Граничнi умови для формування поздовж-нього поля:
дА
ду
g з
— 0 ;
Л„
— Л
g4 zamax '
(3)
Тут умови Неймана орiентують cиловi лши перпендикулярно границям gi i g3, а умови Дiрiхле орiентують таш лшп поля по границям g2 i g4.
— 0; дЛ2
Л„
gl
дх
g 2
— 0;
Поперечне поле формуеться шляхом змiни мicць граничних умов:
Л„
— Л •
g 3 zb max ;
дЛ
дх
g 4
— 0 . (4)
В (3) i (4) фактором збудження поля е значення потенщалу Az а max i Az ь max, як! визначаються через задане середне значення магштно! шдукцп Bav в ка-мерi, а саме: Az a max = Bav as i Az b max = Bav bs.
Усередиш обласп розрахунково! моделi магш-тне поле розраховуеться за програмою FEMM методом скшчених елементiв через перетворення, як зазначалося, р!вняння (2). При цьому враховуються нелiнiйнi мaгнiтнi влacтивоcтi феромагштних еле-ментiв i розрiдженa по акаальнш ос! структура мо-делi - через коефiцiент заповнення камери KFes цими елементами.
Для розрахунково! моделi, яка зображена на рис. 2, значення розм!р!в становили: de = 1,0 мм; be = 23,8 мм; dx = 1,43 мм; dy = 1 мм; ny = 3. Розрахунками по тривiaльним формулам отримано: mx = 15; as = 70,5 мм; bs = 74,4 мм; ae = 0,89 мм; dxe = 1,54 мм; KFes = 0,35; KFev = 0,122. При заданому значенш Bavz = 0,24 Тл отримано для граничних умов (3) значення потенщалу Az a max = 0,01691 Вб/м, для (4) - Az b max = 0,01786 Вб/м. Картини поля показан сило-вими лшями на фрагмент розрахунково! обласп при поздовжньому (рис. 3. а) i поперечному (рис. 3. б) збудженнях.
а б
Рис. 3 Картини магттного поля для фрагмента розрахунковог областг: а - при поздовжньому збуджент ; б -при поперечному збуджент
В обласп розрахунку (рис. 2, а) визначаються склащ напруженоси магнпного поля Hx i Hy i за ïx розподшом знаходяться ïx середнi значения:
i bs/2 .. as/2
H = — f Hdy ; H = — f HTdx, (5)
yav f y у ' xav ^ f x ' v '
за якими отримуються складовi магнiтноï проникностi за поздовжню i поперечною осями для екыва-лентного умовно однорiдного середовища:
Vd = Bav 1 Hyav ; Vq = Bav 1 Hxav • (6)
Далi при розрахунках магнiтного поля за про- камерою застосовуються ïx вiдноснi значення: грамою FEMM у усьому iндукторi разом з робочою
Vrd = Vd /Vû ; Vra = Va / Vo • (7)
Програма FEMM забезпечуе отримання величин Иуау i Нхау через спецiальну процедуру, яка включена в скрипт Lua. Для швелювання погршно-стi вщ дискретно! скiнчено-елементноi структури, в камерi бралося по декiлька поздовжнiх i попереч-них лiнiй, i в якоси пiдсумкових результатiв прий-малися середнi значения величин, що були отри-манi для рiзних лшш.
У пiдсумку, за формулами (5)-(7) отримано: Иуау = 19,1 кА / м; ИШу = 122,6 кА / м; = 10; = 1,5.
Магштне поле iндуктора разом з робочою камерою в режимi навантаження. У поперечному перерiзi iндуктора розрахунок поля з урахуванням виявлено! анiзотропii' магнггних властивостей все-рединi камери проведений на основi (2) за иею ж програмою FEMM. При цьому поздовжня вiсь камери була зорieнтована по координатнiй осi у, а митв значення струмiв (1) та шших величин роз-глянут при / = 0. Аспекти оргашзаци цих розраху-нкiв в цшому вiдповiдають тому, що вже згадува-лося вище за текстом. Поширення магнiтного поля
обмежувалося зовшшньою поверхнею осердя статора, де задана гранична умова Дiрixле: Az = 0.
Як приклад на рис. 4 показано векторне поле магнiтноï iндукцiï (аналог рис. 1), яке отримане в режимi наваитажения при пiдстановцi в (1) зна-чення в = 45°. При цьому значення струму Is стано-вило 455 А, вибiр якого ще буде пояснюватися далi по тексту.
У режимi навантаження на рис. 4, порiвняно з рис. 1, змшився розподiл струмiв в обмотщ статора, i вектор результуючоï МРС Fs повернувся саме на заданий кут р. В камерi вектори iндукцiï також повернулись, але на менший кут, що пояснюеться балансом дiï МРС обмотки i ашзотропп магнiтниx властивостей середовища всередиш камери. В щ-лому поле в нiй залишилося однорiдним, але його рiвень, порiвняно з режимом iдеального неробо-чого ходу, пвдвищився завдяки магнiтному середо-вищу в камерi i не дивлячись на зменшення струму в обмотщ: в цен^ камери магнггна iндукцiя склала 0,36 Тл.
Рис. 4 Векторна картина магнтного поля тдуктора в режимi навантаження
Вже на цьому етат розрахуншв можна програ-мними засобами FEMM [14] через тензор магтт-ного натягу Максвелла [18] отримати електромагш-тний момент iндуктора:
M.
Г 21
_ г5 la
2п
J BrBada.
(8)
^ 0 0
де штегрування робиться по лшп 4 (рис. 4), яка проходить в промiжку по колу з радiусом г5, де бе-руться радiальна Вг i кутова В а складових магнiтноl iндукцii в полярних координатах:
В =д±; В =-дк.
г /-ч ' а /-ч
гда дг
К1льк1смо-фазов1 спiввiдношення електро-магнiтних величин в iмдукторi е основою для по-дальших розрахуншв Иого електромагнггних i ене-ргетичних параметрiв i характеристик. Базовою величиною для цих сшввщношень служить магните потокозчеплення (МПЗ) фазно! обмотки шдуктора. Воно обчислюеться за розподшом потенцiалу Аг через чисельну апроксимацш ведомого з [18] виразу:
£ a
z,av, j
, AS,,
(9)
j=l
де S9, K - площа перерiзу bcíx скiнчених еле-ментiв 3i струмом в фазнiй зонi обмотки статора i шльшсть таких елементiв; Az,avj - середне значения векторного магттного потенцiалу в j-тому елеме-нп площi ASj.
У програмi FEMM реалiзована спецiальна процедура, яка забезпечуе визначення МПЗ (9) тд уп-равлiниям складеною програмою - скриптом Lua.
Пiсля розрахунку поля при його фшсованш структурi, яка на рис. 5 представлена лшями р!в-ного потенцiалу Az, "маска" фазно! обмотки статора умовно розташовуеться по черзi в його пазах в р!з-них кутових позищях ак з кроком, що дорiвнюе зу-бцевому кроку осердя. Перша позищя "маски" збь гаеться безпосередньо з фазними зонами обмотки А-А', видшеними на рис. 5, а.
Кутове положення фазно! обмотки статора ви-значаеться напрямом !! ос намагнiчувания, яка вва-жаеться перпендикулярною усередненш площинi обмотки. Фазна обмотка А-А' лежить в плоскостi, перпендикулярнш осi y, тобто кутова координата оа ще! обмотки а1 = 0. На рис. 5, б-г для прикладу показан ще 2-а, 3-я i 21-а позицп "маски".
У вах позищях "маски" по (9) визначаеться МПЗ фазно! обмотки по пазах !! фазних зон:
?к (а) = ? Ak К )-? A,, (ak), k = 1, 2
, k,
(10)
де знак "м!нус" враховуе р!зн! напрямки i, отже, р!зш знаки струму в фазних зонах A i A'. В даному !ндуктор! на рис. 5 достатньо мати "маску" в 21 -ш позицп на полюсному крощ тр. У загаль-ному випадку к!льк!сть позиц!й K = Qs / 2, i цього достатньо, тому що в шдуктор! кутова функ^ МПЗ мае нашвперюдичну асиметрiю, що виражаеться спiввiдношенням:
(ak ) = -?A,k (ак p ), k = 1, 2, K. (11)
Дискретну кутову функц!ю МПЗ можна розкласти в гармонiйний ряд Фур'е [18]. У данш робоп, як i в [16], для аналiзу електромагнiтних параметрiв iндуктора досить оперувати тшьки з першою гармошкою МПЗ:
xV = xVm cos (a + yv ), (12)
де амплiтуда i аргумент - початкова фаза мають вирази:
^m =y[s[+cí ; Tv = -arctg(si /Ci), (13)
яК визначаються на ochobí (10) через синусний i косинусний коефiцieнти:
2 к 2 к
i= v X^ * sina*; ci = v X^ * cosa*
K k=1
K k=1
(14)
в г
Рис. 5 Kymoei позици «маски» для визначення МПЗ обмотки статора: а - 1; б - 2; в - 3; г - 21
При обертант магнггного поля з кутовою шви-дкютю Q = ю / p в (12) робиться замiна а = Q t, i для нерухомо! фазно! обмотки А-А' МПЗ стае часовою функщею:
Wa =Wm cos (arf + yw ). (15)
При переходi вiд (12) до (15) для ю t i yv кутова мiра ращан або градус перетворюеться в електрич-ний радiан або градус, наприклад, yva = p yv. При цьому кутом у,,, з (12) задаегься кутове положения
вектора МПЗ в просторi на геометричнiй модел1 шдуктора, а кутом yw з (15) - ввдповщне кутове по-
ложення умовного обертового вектора МПЗ
на векторнiй дiаграмi.
За допомогою закону електромагнiтноi шдук-цй' з (15) отримано ЕРС фазно! обмотки:
^ = C0S + YVa - П/2) .
(16)
З цього визначаються дшче значення i початкова фаза ЕРС фазно! обмотки статора:
Еа т ; уЕа = - п/2 .(П)
Сукупнють електричних величин фазно! обмотки представлена и електричною схемою замь щення на рис. 6. Тут розташоване iдеальне джерело ЕРС Еа, а також iдеальнi iндуктивний i резистивний елементи, яш характеризуються вщповвдними опорами. Активнi опори Яз i Ятае вiдображають елект-ричнi i магнiтнi втрати, реактивний отр Ху - лобове розсшвання магнiтного поля обмотки. Iншi потоки розсшвання увiйшли в МПЗ Т (9), що визначаються по всьому полю в прямолiнiйнiй частиш цiei обмотки.
п
> о
Еа
е
Ху -» Д
Рис. 6 Електрична схема замщення фазно'1 обмотки статора
Опори Д 1 Ху визначаються в1дпов1дно до кла-сичних метод1в розрахунку електричних машин, наприклад, асинхронних двигушв [15].
У данш робот для визначення активного опору К„а% шсля розрахунку магштного поля розра-хована потужшсть магштних втрат в осерд1 статора Рта£ з застосуванням спещально! методики [19], яка заснована на знаходженш в перер1з1 осердя статора середньоквадратичного значения магштно! шдук-ци. ЦеИ отр для схеми на рис. 6 визначениИ за формулою:
Каг = К12) . (18)
За схемою замщення (рис. 6) складено р1в-няння р1вноваги напруг в символ1чнш формг
Ц» = -Еа - е + ик, (19)
де ЕРС ввд поля лобового розсшвання 1 па-дшня напруги на активних опорах:
де кут м1ж векторами струму { МПЗ Та:
Ж, = = + ятаё)Ь. (20)
Кшьшсш та фазов1 сшввщношення електрома-гштних величин показаш на векторнш д1аграм1 для фазно! обмотки (рис. 7, а). Принцип !! побудови вь дповщае загальноприИнятим правилам електротех-шки.
В1дл1к кутових координат проводиться ввд оа ё робочо! камери, яка, як 1 на рис. 4, проведена вертикально. Ввдносно не! шд заданим кутом в проведениИ вектор струму \ пвд кутом початково! фази - вектор МПЗ Та. Вектор МПЗ лобово! частини обмотки ввдповщниИ однорщному немагшт-ному середовищу, паралельниИ вектору ЕРС Еа ввдповщно (16) вщстае ввд Та на кут 90°, тому вектор -Ей, що входить в (19), випереджае Та на кут 90°. Ввдповщно (20), вектор -Еу е перпендикуляр-ним вектору струму £,, а вектор П -паралельним. Вектор фазно! напруги П побудованиИ пвдсумову-ванням вектор1в по (19). Вщносно вектора струму ¿, вектори -Еа 1 П отримали вщповвдщ випереджальш фазов1 зсуви ф^ 1 фЕа, як1 бшьш наглядно представлен! на рис. 7, б, що е фрагментом рис. 7, а, але без збереження масштабу.
Значення ЕРС Еа визначено по (17), а по векторнш д1аграм1 - кут:
фЕа = 90° - УаИ,
Уап Р - Ууа.
(21) (22)
Активна 1 реактивна складов! напруги П що розкладаються вщносно струму
и5,а = ЕаЫЬфжа - ; ^ = К^Еа - Еу •
(23)
Дшче значення фазно! напруги 1 Г! фазовиИ зсув ввд струму:
= ^+ и1; Ф = /иа).
(24)
Пд
а б
Рис. 7 Векторна дiаграма електромагнiтних величин фазноI обмотки: а - повна дiаграма; б - фрагмент дiаграми
Аналiз результате збудження магштного поля по поздовжнш i поперечнш осях робочо!' камери в складi iндуктора. Такий аиалiз проведено для виявлення дii аиiзотропii магштних властивостей робочо! камери. З щею метою розрахунки проведен при двох крайиiх значеннях кута р (1). При р
= 0 вщбуваеться иамагиiчуваиия камери по поздовжнш осi й - в найбшьш сприятливому для збудження поля напрямку. При р = 90° камера намаг-шчуеться в гiршому напрямку - по поперечнш осi д. Напрямки МРС обмотки статора Е5 i картини вь дповiдних полiв зображеиi на рис. 8.
Рис. 8 Картини магнтних помв при повздовжнъомуф = 0) i поперечному (ß = 90°) намагтчувант
Додатково визначений реактивний onip обмотки - аналог опору реакцп якоря, властивого синх-ронним електричним машинам [16]:
Xa = E /Is.
Розрахунки поля пpoведенi при змiнi струму статора Is вiд 0 до 500 А з кроком 50 А. Отримаш характеристики МПЗ ЕРС Ea i реактивного опору Xa при поздовжньому d i поперечному q на-магнiчуваннi камери наведет на рис. 9. Графки по-казують, що анiзoтpoпiя магштних властивостей
середовища ро6очо! камери досить сильно впливае на магиiтиi та електричш величини шдуктора, а значить i на його робочi властивостi в режимi нава-итажеиия. При цьому ще видно, що при поперечному намагшчуванш характеристики е практично лшшними, а при поздовжньому намагтчувант при пiдвищеиих значеннях струму обмотки статора ста-ють нелишними, i це вiдбуваeться через насичення феромагиiтиих складових магиiтного кола шдуктора.
Рис. 9 Характеристики МПЗ, ЕРС та реактивного опору при поздовжньому d i поперечному q намагтчувант
Результати тестового розрахунку в режим] навантаження шдуктора. В якост тестового розрахунку для апробацп представлених теоретичних положень розглянуто ваpiант роботи шдуктора при номшальнш напpузi Usn i кутi ß в (1), ршному 45°. Такий ваpiант е сеpеднiм мiж ваpiантами, показа-
ними на рис. 8 - це поздовжньо-поперечне збудження магштного поля. Значення струму I при цьому вже виявляеться пiдпорядкованим i склало 455 А, i воно знайдено ггерацшним шляхом методом послщовних наближень.
Саме для такого режиму збудження отримано магнiтне поле, представлене на рис. 4 в векторнш
формi магштно! iндукцii. Картина силових лшш поля для режиму навантаження iндуктора дана на рис. 10. Параметри Rs = 0,00968 Ом i Xv = 0,022 Ом були вiдомi, а Bei iншi параметри, в тому чи^ i на-пруга, що подтвердила задану умову Us = Usn, знай-деш за сукушпстю формул (8)-(24). 3 результата
розрахункiв видшимо: Pmag = 1906 Вт; Rmag = 0,00304 Ом; Та = 0,938 Вб; у^а = 21,1°; Ea = 208 B; фЕа = 66,1°; = 65,8°; Ev = 10,1 B; Ur = 6,8 B; Mem = 324 Нм.
Рис. 10 Картина силових лшш поля для режиму навантаження
При зазначених значеннях параметрiв i була побудована векторна дiаграма на рис. 7, а. Звер-немо увагу, що кут у^а вийшов помiтно меншим, нж кут р. У той же час виявлено, що при р = 0 зна-чення у^а вийшло також рiвним нулю. Це вщповь дае режиму неробочого ходу (неiдеалiзоваиого), так як електромагнiтний момент Мет, що визнача-еться за (8), також виявився рiвним нулю. Кут повороту вектора МПЗ Та при переходi вiд режиму неробочого ходу в режим нaвaитaжения, вщповщно до теорii синхронних машин [16], як згадувалося вище по тексту, це кут навантаження ©. Тому i кут ута на рис. 7 - не що шше, як кут навантаження ш-дуктора, тобто © = у^а. За координатними складо-вими магштио! шдукцп в центр1 робочо! камери ви-
значено кут повороту II вектора В:
ав = аГ^В / В ), який склав 15,1°. Взае-
мна ввдповщшсть згадуваних кутiв, що характеризуют напрямки рiзних величин, для розглянутого режиму нaвaитaжения iндукторa показано на рис. 10 разом з картиною магштного поля. На поверхш ро6очо! камери iндукторa видно злами силових ль нiй поля, що вщповщае автоматичному виконанню граничних умов на лши роздiлу рiзнорiдних магш-тних середовищ.
Висновки.
1. Чисельно-польовий розрахунок дозволяе до-сить точно враховувати геометричш форми шдук-тора мaгнiтного поля i нелiнiйнi мaгнiтнi властиво-сп його осердя. Це, в поеднанш з запропонованим методом визначення е^валентних мaгнiтних влас-тивостей ро6очо! камери iндукторa, дае досить аде-кватну розрахункову модель для визначення кшьш-сних i фазових спiввiдношень його електромагнп'-них величин: напруги, струму, магштного
потокозчеплення i ЕРС обмотки статора, а також магштно! iндукцii в камерi i обертового електрома-гнiтного моменту.
2. Базовою величиною для визначення кшьшс-них i фазових спiввiдношень електромагнiтних величин, що характеризують роботу iндуктора, е дискретна кутова функцiя магштного потокозчеплення фазно! обмотки статора. Заснована на цьому мате-матична модель шдуктора у виглядi формульного ряду сформована за допомогою електрично! схеми замщення обмотки i векторно! дiаграми, якi об'ед-нують його електромагнггш величини.
3. Представленi теорiя та практичш розраху-нки дозволяють ввднести розглянутий iндуктор, разом з ашзотропним магнiтним середовищем в робо-чiй камерi, до класу реактивних синхронних машин, а конкретно - двигушв.
4. Теоретично обгрунтоваш i пiдтвердженi ро-зрахунком шльшсш та фазовi спiввiдношення елек-тромагштних величин iндуктора дозволяють перейти до аналiзу рiзних режимiв його роботи i роз-рахунку його експлуатацшних (робочих) характеристик. Це створюе основу для вдоскона-лення системи проектування iндукторiв розглянутого типу i пiдвищення ефективностi роботи елект-ромагнiтних перемiшувачiв, сепараторiв i подрiб-нювачiв рiзних речовин та !х технологiчних сумiшей.
Лiтература
1. Загирняк М.В., Бранспиз Ю.А., Шведчикова И.А. Магнитные сепараторы. Проблемы проектирования / К.: Техшка, 2011. 224 с.
2. Компания GlobeCore / Аппарат Вихревого Слоя АВС-100. URL: https://avs.globecore.ru/products/avs-100.html (дата звертання: 30 вересня 2017).
3. Gerlici J., Shvedchikova I.A., Nikitchenko I.V., Romanchenko J.A. Investigation of influence of separator magnetic system configuration with permanent magnets on magnetic field distribution in working area. Electrical engineering & electromechanics. 2017. No. 2. Pp. 13-17. DOI: https://doi.org/10.20998/2074-272X.2017.2.02.
4. Gerlici J., Shvedchykova I.O., Romanchenko J.A., Nikitchenko I.V. Ddetermination of the rational geometrical parameters of plate type elements of magnetic matrix of the polygradient separator. Electrical engineering & electromechanics. 2018. No. 4. Pp. 5862. DOI: https://doi.org/10.20998/2074-272X.2018.4.10.
5. Dimova T., Streblau M., Aprahamian B. 3D modeling of the magnetostatic field in separation apparatus. 15 th International Conference on Electrical Machines, Drives and Power Systems (ELMA). Bulgaria.
2017. Pp. 1-4. DOI: https://doi.org/10.1109/HiTech.2018.8566294.
6. Chen L., Zheng Y., Zeng J., Zheng Y. and Liu J. Magnetic field characteristics of wet belt permanent high gradient magnetic separator and its full-scale purification for garnet ore. IEEE Transactions on Magnetics. Sept. 2017. Vol. 53. No. 9. Pp. 1-5. DOI: https://doi.org/10.1109/TMAG.2017.2710126.
7. Wang Y., Gao D., Zheng X., Lu D., and Li X. Study on the demarcation of applied magnetic induction for determining magnetization state of matrices in high gradient magnetic separation. Minerals Eng. Oct.
2018. Vol. 127. Pp. 191-197. DOI: https://doi.org/10.1016/j.mineng.2018.08.005
8. Krafcik A., Babincova M., Babinec P., Frollo I. Importance of basset history force for the description of magnetically driven motion of magnetic particles in air. 2019 Proceedings of the 12th International Conference on Measurement. 2019. Pp. 87-90. DOI: https://doi.org/10.23919/MEASUREMENT47340.201 9.8780002
9. Kim J., Ha D. and Kim Y. Separation of steel slag from landfill waste for the purpose of decontamination using a superconducting magnetic separation system. IEEE Transactions on Applied Superconductivity. June 2015. Vol. 25. No. 3. Pp. 1-4. DOI: https://doi.org/10.1109/TASC.2014.2365954
10. Yao W. et al. Development of an eddy-current separation equipment with high gradient superconducting magnet. IEEE Transactions on Applied Superconductivity. June 2015. Vol. 25, No. 3. Pp. 1-4. DOI: https://doi.org/10.1109/TASC.2014.2365735
11. Abdallah B., Mehasni R., Ouil M., Feliachi M., El-Hadi Latreche M. Design with optimization of a magnetic separator for turbulent flowing liquid purifying applications. IEEE transactions on magnetics. August 2015. Vol. 51. No. 8. Pp. 1-8. DOI: https://doi.org/10.1109/TMAG.2015.2424401.
12. Мших В.1., Шилкова Л.В., Ревуженко С.А. Чисельний аналiз магнггаого поля цилшдричного трифазного iндуктора магштного сепаратора. Вюник Нац. техн. ун-ту ХП1. Сер. Електричн ма-шини та електромехатчне перетворення енергп. 2017. № 1 (1223). С. 76-82. http://repository.kpi.kharkov.ua/handle/KhPI-Press/30482
13. Мших В.1., Шилкова Л.В. Чисельно-експе-риментальний аналiз магштного поля шдуктора магштного сепаратора на базi асинхронного двигуна. Вюник Нац. техн. ун-ту ХП1. Сер. Електричш машини та електромехашчне перетворення енергп. 2018. № 5 (1281). С. 104-109. http://reposi-tory.kpi.kharkov.ua/handle/KhPI-Press/36270
14. Finite Element Method Magnetics: OldVer-sions. FEMM 4.2 11 Oct 2010 Self-Installing Executable. URL: http://www.femm.info/wiki/OldVersions/ (дата обращения: 15. 06. 2017).
15. Копылов И.П., Горяинов Ф.А., Клоков Б.К. и др. Проектирование электрических машин. М.: Юрайт, 2011. 767 с.
16. Вольдек А.И., Попов В.В. Электрические машины. Машины переменного тока. СПб. Питер, 2010. 356 с.
17. Мших В.1. Система автоматизованого фор-мування розрахункових моделей електричних машин для програмного середовища FEMM. Техшчна електродинашка. 2018. № 4. С. 74-78. DOI: https://doi.org/10.15407/techned2018.04.074.
18. Милых В.И., Полякова Н.В. Определение электромагнитных параметров электрических машин на основе численных расчетов магнитных полей. Електротехшка i електромехашка. 2006. № 2. С. 40-46. http://repository.kpi.kharkov.ua/handle/KhPI-Press/4194
19. Мших В.1. Шилкова Л.В. Чисельно-польо-вий аналiз потужносп магшгних втрат в трифаз-ному iндукторi магнггаого поля. Вюник Нацюналь-ного тех^чного ушверситету «ХП1». Серiя: "Електричш машини та електромехашчне перетворення енергп". 2019. - № 4 (1329). - С. 99-106. http://doi:10.20998/2409-9295.2019.4.15/.
