The problem of plastic substance flow in the fixed isosceles trapezium-shaped area. (by means of elastic half-space) Текст научной статьи по специальности «Физика»

РАЗДЕЛ 3. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

Задача о течении пластического вещества в фиксированной области, имеющей форму равнобокой трапеции. Инструмент - упругое

полупространство

к.т.н., доц. Бодунов М.А., к.ф-м.н. Бодунов Д.М., Коваленко П.В.

МГТУ «МАМИ»

В работе рассматривается задача о течении идеально пластического материала в фиксированной области по упруго-деформируемым поверхностям. Область течения представляет равнобокую трапецию, тело инструмента моделируется как упругое полупространство. Исходная интегро-дифференциальная система сводится к одному интегральному уравнению гаммерштейновского типа. Предложен метод последовательных приближений для решения данного уравнения. С помощью указанного метода получено решение уравнения в первом приближении. Приводится анализ данного решения.

В настоящее время актуальны задачи пластических течений материалов с учетом различных сопряженных факторов, таких как анизотропия сил трения на контакте, объемная сжимаемость, течение материала в условиях интенсивного теплообмена, состояние сверхпластичности, деформируемость инструмента.

В технологии обработки давлением выделяется широкий класс процессов, характеризуемых общим свойством: течение материала в таких процессах происходит в сравнительно тонком слое. Для этого класса технологий учет конечной жесткости инструмента оказывается весьма существенным. Оценки показывают, что неточность изготовления тонкостенных деталей может по этой причине достигать недопустимо больших значений, поэтому теоретическое рассмотрение таких процессов является актуальным.

Общая теория течения тонких слоев металла по деформируемым поверхностям разработана, однако конкретные приложения ограничены осесимметричными и плоскими задачами. Потребности технологии обработки давлением такими приложениями, естественно, далеко не ограничены. В связи с этим представляют практический интерес новые задачи теории течения в тонком слое, а также разработка методов их решения.

Основная система, состоящая из нелинейного дифференциального уравнения и интегрального соотношения, связывающих давление в слое и упругие перемещения контактных поверхностей тел инструмента, имеет вид [3, 6]:

\gradP2 = ——- (1)

1 1 (К + ™)2 (1)

^ = Ц Н(х,у,о,з)Р(о, з)Аодз

я

(2)

На границе области течения выполняется условие:

Р(хо,Уа) = л ' у я,. (3)

где: Р - давление в слое;

н* - упругие перемещения контактных поверхностей тел инструмента; к0 - начальная толщина слоя; ф - предел текучести материала на сдвиг; уя=у/~3ф, - предел текучести материала; Н (х,у;о,з ) - функция жёсткости; л - множитель порядка единицы.

Уравнения (1), (2) и (3) составляют краевую задачу для определения двух неизвестных функций P и Для того чтобы в дальнейшем оперировать только безразмерными величина-

ми, координаты (х, у), а также (£, п) отнесём к l (в данном случае длина меньшего основания трапеции), перемещения - к к0 (которую считаем постоянной), и оставим за ними прежние

обозначения. Кроме того, введём функцию давления по формуле 2= -—Л0 . Тогда сис-

2ф1

тема уравнений (1), (2) и граничные условия (3) перепишутся в виде [2]:

гайХ\2 = (1 + н)-

Рис. 1. Эпюра давления в нулевом приближении. Рис. 2. Область течения в плане.

Согласно алгоритму метода последовательных приближений для нахождения н(1)(х,у) необходимо вычислить интеграл:

д0 Ц H(x,y,о,з)dоdз + д1 Ц Н(х,у,о,з)2(о(з) dоdз

н = I

2(Хо,Уо) = 0

(5)

(6)

где обозначено д = ^, д =2длф12, д - параметр, характеризующий размерность функ-

0 к 0 к2 п0 п0

ции жёсткости Н(х, у, п). Для решения данной задачи применим метод последовательных приближений [7], алгоритм которого можно представить следующим образом:

^гасИ^ = (1 + н(к))-2

г(к)(х0,у0) = 0

н(к+1) = д0 Л Н(х,у,о,з)йойз + д1 Ц Н(х,у,о,з)2<к) (оо) &оАз

(7)

где к - номер итерации.

Принимая в нулевом приближении н = 0 (в этом случае инструмент представляет собой абсолютно жёсткое тело), находим решение дифференциального уравнения (4) - функцию 2 в нулевом приближении. Подставляя уже известное 2 в интегральное уравнение (5), находим н в первом приближении. Далее процесс повторяется.

По условию данной задачи течение происходит в области, ограниченной равнобокой трапецией, границы которой можно обозначить пазами в теле инструмента. Если в нулевом приближении при н=0 тело инструмента является абсолютно жестким, тогда эпюру давле-

5

5

5

5

ния можно представить как пирамиду (рис. 1), ребра которой являются границами направления течения [4, 6]. Рис. 2 представляет область течения в плане, разделённую на четыре различные области, каждая из которых является проекцией грани пирамиды на плоскость п. гг аоаз г/- 2(о(з) аоаз я я

Н = д0 II / 2 2 + д1 II / 2 2 = д011 + д112 , (8)

^ 4(х - о)2 + (у - з)2 » 4(х - о)2 + (у - з)2 ^

>

где в качестве Н выбираем функцию, описывающую инструмент как упругое полупространство [1, 5]:

,, 1 12

Н = I , д = 1 - м (9)

,1(х - о)2 + (у -з)2 д = рЕ ^ V)

Первое слагаемое в (8) - Iя представляет собой перемещение от действия силы, в безразмерных переменных равной единице, а второе слагаемое, т.е. Iя - соответственно от силы, равной давлению со стороны слоя на инструмент. В силу особенности эпюры давлений интегрирование необходимо провести по четырём областям [2]:

4 4

яг т я т яг

т я т яг т я т яг

11 =Х 11 12 = Ь 12 (10)

г=1 1=1

Из эпюры давления также видно, что в областях я1 и я3 давление является функцией только одной переменной - переменной что значительно упрощает решение дифференциального уравнения основной системы (4). В областях же я2 и я4 функция давления зависит как от так и от п, и для упрощения решения при интегрировании (8) в этих областях перейдём к другой системе координат - о;з (рис. 3), где давление будет функцией одной переменной - переменной з . Соответственно каждая точка изменит свои координаты с (£,п) на

(о;з ). По окончании интегрирования осуществим обратный переход к координатам ^,п, применив к переменным полученной функции н обратное преобразование координат. Рассмотрим подробнее вычисление обоих слагаемых (8) в различных областях:

2-13 2-13 _

1&ч = 3 -43°+2 йойз = 3 ¡п-У-^3° - 2 + У х2 - 2хо + 4о2 + у2 - 2у43о + 4у - 443о + 4 о 1 о Л-2л](х - о) + (у - з)2 0 -у-43о + 2 + л[x^-2xо + 4^^y^+2У¡3о—4y—4¡3о + 4

а гг

2 ~Г1+3 А~А~ 3 4-73П ,

I я2 = | | аоаз + | | аоаз

о 43п у/(~ - о)2 + (~ - ~)2 43п\ - о)2 + (у - з)

2

43

— л у — л! л'-г + V + */ уг -I-пгч/ л'-г — 1 -а т —

I - 3~-43? + 9 + л19~2 + 6~4~3з -54~ - 18у~ + 12з2 - 18л[3~ + 81 + 9~2 ? I 1п-*-. -—dз +

3 • (-~ + 43з + л1~2 - 2~^3~ - 2~~ + 4з 2 + ~2 )

+

0

243 _

1 п - ~ -43? + 4 + ^~2 + 2~43з - 8~ - 2~~ + 4з 2 - 8л[3~ +16 + ~2 л - ~ + 43.~ + 4~2 - 2x43? - 2~~ + 4з 2 + ~2

~ 43 , ,Ч1 _ 43 , ,Ч1 _ 1 , „.43 _ 1 , „,43

где: 0=°—+(3 +2) , х=х—+(у+2)2 з=-о2+(з +2)—, у=-х^ + (у+2)—..

2 3 г аоаз

1,я3 =1 |

гэ ,4(х - °)2 + (у - з)

—о+1

3

341 _

л -3у-43о + 3 + ^[9x^^l8Xо + 17ю2^9y2^6^¡3о-18y—^f3о + 9

2

2

2

43 243

т ^ = 2 ^ 3 ^ dоd(Г

11 = J J . ~ ~ ,2 + 1 J

| 1п

0 - о)2 + (у - з)2 43 43п-^(у - о)2 + (у - з)2

3 2

3 ■ (- у -43з +у} у2 + 2хл[3з - 2уз + 4з 2 + у 2 ) 3х + 43з - 9 + д/9у2 - 6^43з + 54у - 18уз + 12з2 - 1843з + 81 + 9у2

+

+

243 _

3 , - у -43з +л1 у2 + 2хс43з - 2уз + 4з2 + у2

1 1п—-*-"--

43 - х

+ 43з - 4 + у2 - 2х43з + 8у - 2уз + 4з 2 - 8^3з +16 + у2

2

~ -¿3,^1 - 43 , .1 _ 1 , „,43 _ 1 , ^43 где о= -о—+(з-2))2' х= -х~у+(У-2))2 з=~о2"((-2)~' -х2"(у-2)~7•

Полное решение выше обозначенных интегралов, найденное при помощи ЭВМ, представляет собой весьма громоздкое аналитическое выражение. В связи с этим функцию

4

= IТ1 представим в графическом виде (рис. 4).

Рис. 4. Прогиб от силы, в безразмерных величинах равной единице.

4

Вычисление 1'=^ I1 проводится также по четырем областям.

1=2

В области 11 в нулевом приближении при н = 0 дифференциальное уравнение (1.4) примет вид:

дЪ 1 [о=0

-щ = 1, при граничных условиях: ■< .

Откуда находим функцию давления: 2 = (так как в этой области 2 является только функцией £).

Аналогично для остальных областей:

дЪ \з=0

12: — = 1, при граничных условиях: < . Функция давления: 2 = з

дз 12=0

~ 1 43 гг

где з = - о—+з-+л!3 .

2 2

13 дЪ .

13: —^ = -1, при граничных условиях:

~=343 _

2 . Функция давления: 2 =--о

2=0 2

дЪ \з=0

14: "д^г = 1, при граничных условиях: < ^. Функция давления: 2 = з

~ 1 ^ К где з = - о — з--ь>/3 .

2 2

Определив функцию 2 для каждой из областей, найдём :

243 243 _

Т, -4~Т2 d( Т , -у-43о - 2 + 4 х2 - 2хо + 4о2 + у2 - 2у43о + 4у - 4^3о + 4

12 = I оdо I . = = I о ■ 1п-\

0 Л-2л1(х - о) + (у-з)2 0 -у-43о + 2 + ^х2 - 2хо + 4о2 + у2 + 2у43о - 4у - 4л[3о + 4

V3 Гу 243

52

2 3 dУ 3 уу4-[3п dУ

Т252 = I ^ I /у у,2, ,у у \2 + I

43п ^(х - о)2 + (у - у)2 43 43п л](х - о)2 + (у - у)2

2

Л .-

} - 3у-43з + 9 + ^ 9у2 + 6у43у - 54у - 18уу + 12з 2 - 18у[3з + 81 + 9у2

= I з ■ 1п-, -из +

0 3 ■ (-у +43з +^у2 - 2у43у - 2уу + 4з 2 + у2)

243 _

Т, - у-43з + 4 + 4 у2 + 2у43з - 8у - 2уз + 4з 2 - 843у +16 + у2 у + I з ■ 1п-*-, =-аз,

43 - у +43з + л/у2 - 2у43у - 2уу + 4з2 + у2

2

~ 43 , „,1 _ 43 , .1 _ 1 , „,43 , 1 , „,43

где: о=о—+(з +2) , х=х—+(у+2) з = -о2 + (з +2)—, у= -х2+(у+2)—,

343 43о ,

I » = I (^ -оМо 31 , аз =

43 2 ^43 4(х - о)2 + (у -з)2

—о+1

3

э43 _

2 343 , , -3у-43о - 3 + + 9 1 I (--о)■ 1п—--Со

43 2 -3у-43о + 3 + ^9х2 - 18хо + 12о2 + 9у2 + 6у43о-18у - б43о + 9

43 243

2 А у 3

2

т 54 = г---г dо 3---г dо

13Уd3У I -,2. у \2 + II

0 - о)2 + (у - С/ 43 43ц-4л!(X - о)2 + (У - з)2

3 2

^ ,-

2 у, 3 ■ (-у-43у + л] у 2 + 2у43у - 2уу + 4з2 + у2) у

= I з ■ 1п-'—, * Сз +

0 - 3у + 43у - 9 + ^9у2 - 6у43у + 54у - 18уу + 12з 2 - 1843у + 81 + 9у2

243 _

3 у 7 - у-43у +4у2 + 2у43у - 2уу + 4з2 + у2 у

+ I з ■ 1п-, газ,

43 - у +43у - 4 + ^у2 - 2у43у + 8у - 2уу + 4з2 - 843у +16 + у2

2

е: ~ Л -Л 1 ~ , -V 1 _ 1 , -V л/3 _ 1 , -V л/3

где: о= - (з - 2), х= - (у - з=-о 2-((- 2)—, :и= - х2 _(у - 2)— ■

4

Аналогично н1 функцию н2 = 1^=^Iя представим в графическом виде (рис. 5).

1=1

Рис. 5. Прогиб от силы, в безразмерных величинах равной давлению со стороны слоя

на тело инструмента.

Рис. 6. Поверхность

Окончательно вычислив сумму н,=д0н,1+д1н,2=д0Г1 +д11'2, найдем, таким образом, функцию н(1) в первом приближении, поверхность которой показана на рис. 6. Вычисления про-

изводились при следующих значениях параметров:

з кг

у я = 2 • 103 —-; м = 0,3; е = 2 • 10 см

кг

6 н^=1

см2 ' i 20

Определив функцию прогиба в первом приближении, следует перейти к следующей, второй итерации метода последовательных приближений, подставив уже найденную н(1) в дифференциальное уравнение (4). Однако, этот процесс несколько затруднителен, ввиду громоздкости аналитического выражения функции н(1). Преодолеть эти затруднения представляется возможным путём замены функции н(1) на интерполяционный полином Лагранжа [8], с достаточной точностью описывающий исходную поверхность функции прогиба.

Построение полинома осуществим по значениям функции н в нескольких точках, от числа которых зависит степень полинома.

С одной стороны, при минимальном количестве выбранных точек степень полинома будет небольшой, что значительно упростит дальнейшие вычисления, с другой - максимальное количество точек обеспечит высокую степень соответствия поверхностей полинома и функции н(1). Исходя из этих соображений, выбрана сетка узловых значений функции н, показанная на рис. 7.

По этим значениям построен интерполяционный полином Лагранжа 18-й степени я, поверхность которого представлена на рис. 8.

я=0,24232Ч10'6у-0,73920у8х7 + 0,06673у8х8 + 0,48110у2х - 10,38243у2х6 + +0,82953Ч10'5у7х8 + 0,00013у7х2 + 0,46068Ч10-6 у9х + 0,00004у9х3 -

- 0,92539Ч10-5 у9х2 - 0,00006у9х4 + 0,00083у7х4+0,64438Ч10-5у9х7 - 0,00587у10х8

- 0,94363Ч10'5у7х + 0,00104ух5 + 13,34031у4х2 + 0,00005у5х + 17,36519 у2 х3 + + 23,23803у2 х5 - 5,21263у2 х2 -27,90590у2 х4 + 0,43436у4 х8 - 0,00117у х4 -

- 0,00074 у7 х5 + 31,23683у6 х5 - 7,30575у8 х3 + 3,33986у8 х6 + 2,51617у8 х2 + +0,00202 у3 х6 - 0,00007 у3 х - 0,00421 у3 х5 - 0,21907 у2 х8 - 0,00050 у3 х7 + 0,00077у3 х2 + + 0,00005у3 х8 - 7,88256у8 х5 + 2,37519у2 х7 + 0,02990у10 х - 0,00003у5 х8 - 0,00009у7 х7 --0,00003у9 х6 + 0,00035у5 х7 - 1,50449у4 х + 0,66171 у10 х3 - 13,32453у6 х6 +

+ 0,00473у3 х4 - 0,92113у10 х4 - 0,23349у10 х2 + 0,06508у10 х7 - 0,29471 у10 х6 + + 0,69846у10 х5 + 0,00035у7 х6 - 49,42220у4 х5 + 21,34778 у4 х6 + 62,56804у4 х4 + + 0,00006у9 х5 - 0,002 79 у3 х3 + 0,00200у5 х3 + 10,31523у8 х4 - 40,39016у6 х4 --41,93162у4 х3 - 0,61312410-6 у9 х8 - 0,31067у8 х - 0,00145у5 х6 + 0,00302у5 х5 --9,33514у6 х2 + 1,10456у6 х - 4,77864 у4 х7 - 0,00340у5 х4 - 0,00049у7 х3 + + 0,00002 у х + 2,96028 у6 х7 - 0,00054 у5 х2 - 0,26783 у6 х8 + 0,00069 у х3 --0,00019ух2 - 0,00050ух6 + 0,00012ух7 - 0,00001 ух8 + 28,01488у6 х3 + + 0,00043у8 - 0,05113у2 - 0,57168 10-6 у7 + 0,76100Ч10'7 у9 - 0,00004у10 + + 0,00478 у4 + 0,13716Ч10-5 у5 - 0,00154у6 + 0,43208 х - 0,1148540 у3 - 0,09130х7 --0,00673 х8 + 1,21954 х3 - 0,49859 х6 - 1,99342 х4 - 0,25471 х2 + 1,38825 х5 +0,34667

Для наглядного анализа степени соответствия поверхностей полинома и функции прогиба построены различные сечения (рис. 9, 10, 11), иллюстрирующие достаточное сходство поверхностей.

Следующий шаг в проводимых исследованиях - использование полученного полинома при отыскании второго приближения для функции прогибов. Вид уравнения и ранее полученные результаты позволяют утверждать о сходимости данного метода, однако, для каждой задачи скорость сходимости разная.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 06-08-00391 а.

Рис. 8. Поверхность интерполяционного полинома Лагранжа

18-ой степени.

¡г

/ ^ ^ \

/ У % \

/ 9' \ \

/ ^ "о \

/ С=.25-

/ щ- ■ II ■ 1 ....... 1 ■ I - ■'■■■■,

о с о о о о Сечгнги тшоско^тъ» ^ = 0 повфтнистн фунидас

- ^еч^ине птиш^стьтш ; = пннеркню: иг [лгглрполттгмнтшгл плтнтгуил

., .. . с □ □ с с с СеЧШЛе Лл№№гню 3 АЛетрнн.: -цг ^-.: * А4Нич1 ^

. гт'г

------------------- £ С'ССННГ ППАЖГ-СТЫО Д - — ПДОрхНЮТП ИНТСрЦ0ЛЯ1»-1(1 НН(Ж{ЦДАЯНИЙЁ

Рис. 9. Сравнительные сечения поверхностей исходной функции и интерполяционного

полинома плоскостями х = 0 и х = 3>/3/2.

Рис. 10. Сравнительные сечения поверхностей исходной функции и интерполяционного

полинома плоскостями х = И X =

о о о э т ^неш* штлсми-тич^- =. 0 т(г иск пдтшй футецин

п "П □ г "I Г СеЧШНе ЙМКи^цф^! =(!.? 0иЦР]>51(№«и ЦуНКЦЛ! ------------------ Сечете^ плв^в ^ ппце^гин;ш Т>нт ЛЯШШННОТП пллтпшт

Рис. 11. Сравнительные сечения поверхностей исходной функции и интерполяционного

полинома плоскостями у = 0 и у = 0,5.

Литература

1. Безухов Н.И. Теория упругости и пластичности. М., Гостехизд, 1953, 420 с.

2. Бодунов Д.М. Течение тонкого слоя идеально-пластического материала по деформируемым поверхностям // Дис. канд. физ.-мат.н. - М.: МГТУ МАМИ, 2004, 163 с.

3. Ильюшин А.А. Некоторые вопросы пластического течения. // Изв. АН СССР. ОТН. 1958. №2. с. 64-68.

4. Ильюшин А.А. Полная пластичность в процессах течения между жёсткими поверхностями, аналогия с песчаной насыпью и некоторые приложения // Прикл. матем. и мех. 1955, т. 19, № 6. с. 693-713.

5. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука. 1969, 420 с.

6. Кийко И. А. Теория пластического течения. М.: Изд-во МГУ, 1978, с. 50-57.

7. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. М.: Изд. ИЛ, 1960, 300 с.

8. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Изд. Наука, 1969, т. 2., 800 с.

Численное моделирование релаксационных автоколебаний в двухмассовой системе с трением при периодическом характере нагружения

Михайлова В. Л. МГТУ «МАМИ»

Рассматривается двухмассовая система с двумя источниками кулоновского трения под действием периодически изменяющейся нагрузки. Решение соответствующей задачи динамики осуществляется на основе пошаговой вычислительной процедуры с регуляризацией и итерациями на каждом временном шаге. Сравниваются результаты моделирования, обусловленных трением автоколебаний, для гармонического и линейного законов нагружения.

Для различного рода технических устройств, машин и их элементов характерна работа в условиях действия сил трения. Сочетание таких факторов, как упругость и трение, может при определенных условиях привести к возникновению фрикционных автоколебаний в процессе работы соответствующего устройства и нарушить его нормальное функционирование. В режимах медленно изменяющихся нагрузок такие фрикционные автоколебания носят релаксационный характер, когда этап относительного движения сменяется этапом относительного застоя.

При исследовании фрикционных автоколебаний релаксационного типа во многих случаях допустимо использование кулоновской модели трения со скачкообразным падением значения силы трения при переходе от покоя к скольжению [1]. На основе такой модели в [2] выполнено численное исследование релаксационных автоколебаний в двухмассовой системе с двумя источниками трения при постоянной скорости нагружения (случай линейной зависимости приложенной нагрузки от времени). В настоящей статье аналогичное исследование осуществляется для закона нагружения периодического типа, характерного для многих технических систем.

Расчетная схема рассматриваемой системы представлена на рис. 1. Здесь т -

массы, с1, с2 - жесткости упругих элементов, Ь1, - коэффициенты вязкости, Рт1, Рт2 -значения сил трения в состоянии скольжения. Предполагается, что непосредственно перед

началом скольжения силы трения покоя тп1, 'тп2 превышают соответствующие силы т1, т2 при скольжении так, что

Ртл1 = (1+ /т1)Рг1 , Ртп2 = (1 + /т2)Рг2 , (1)

где безразмерные параметры ?т1, ?12 характеризуют степень указанного превышения.

Уравнения движения рассматриваемой системы под действием изменяющейся во времени силы *) могут быть записаны в виде: