The influence of the thermocapillarity to the resonance waves, induced by vibrations, tangential to the interface Текст научной статьи по специальности «Физика»

Конвективные течения..., 2003

ВЛИЯНИЕ ТЕРМОКАПИЛЛЯРНОСТИ НА РЕЗОНАНСНЫЕ ВОЛНЫ, ВОЗБУЖДАЕМЫЕ КАСАТЕЛЬНЫМИ К ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА ВИБРАЦИЯМИ

Р.В. Бирих \ В.А. Брискман 2, А.А. Черепанов

1 Пермский государственный педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24 2 Институт механики сплошных сред УрО РАН, 614013, Пермь, Акад. Королева, 1 3 Пермский государственный университет,

614990, Пермь, Букирева, 15

Рассмотрена задача об устойчивости двухслойной системы жидкостей при вертикальном градиенте температуры и горизонтальных вибрациях сосуда. Эта задача обладает рядом особенностей, поскольку при таких вибрациях невозможен покой даже в системе отсчета сосуда. В приближении малой вязкости сред аналитически определены условия возбуждения параметрических капиллярно-гравитационных волн на поверхности раздела жидкостей. Для сред с малым числом Прандтля получены амплитудные уравнения, описывающие эволюцию волн с учетом эффекта Марангони. Анализ этих уравнений показывает, что термокапиллярные явления ведут к понижению порога возбуждения параметрического резонанса.

ВВЕДЕНИЕ

Влияние вибраций на устойчивость поверхности раздела жидкостей, начатое пионерской работой Фарадея [1], исследуется до сих пор с заметной интенсивностью. Библиография работ, посвященных ряби Фарадея, насчитывает сотни наименований. Чаще всего изучаются вертикальные вибрации в изотермических условиях. Теория параметрических волн, генерируемых горизонтальными

© Бирих Р.В., Черепанов А. А., 2003

вибрациями, изучена сравнительно слабо. Для изотермического случая теория таких волн представлена в работах [2, 3]. Столь же интенсивно проводятся исследования конвекции, возбуждаемой термокапиллярным эффектом, начало которым положила классическая работа [4]. Совместное влияние эффекта Марангони и вертикальных вибраций на устойчивость поверхности раздела жидкостей изучалось в работе [5]. В настоящей работе рассматриваются касательные к поверхности раздела вибрации, эта задача обладает рядом особенностей, поскольку при таких вибрациях невозможен покой сред в системе отсчета сосуда.

Рассмотрим двухслойную систему жидкостей с плоской поверхностью раздела. Толщины слоев одинаковы и равны И. Выберем декартову систему координат так, чтобы плоскость 2 = 0 совпадала с этой поверхностью. На одной из твердых стенок (2 =—И) температура равна 6, на другой (2 = И ) температура равна нулю. В отсутствие вибраций существует состояние, при котором жидкость покоится, а температура равна:

Здесь индекс 1 относится к верхней "холодной" жидкости, индекс 2 - к "горячей", к - коэффициент теплопроводности I -ой жидкости.

Пусть сосуд, содержащий эту систему, колеблется вдоль оси X, то есть в направлении, касательном к поверхности раздела, с амплитудой а и частотой О. Тогда в системе отсчета, связанной с сосудом, поля скорости и температуры будут описываться уравнениями:

1. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

(1.1)

(1.2)

Уц + = ——V#. + Угьуг — С1°Ч соеО,

г

VV1 = 0, . =1, 2,

(14)

(1.5)

(1.6)

В уравнениях (1.5) - (1.6) температура отсчитывается от равновесных значений (1.1) - (1.2), Н - нормальная к поверхности раздела компонента скорости. Поскольку исследуется влияние эффекта Марангони на границы возбуждения параметрического резонанса, в уравнении (1.3) опущено слагаемое с силой Архимеда, то есть считается, что тепловым расширением сред можно пренебречь. На твердых стенках выполняется условие прилипания, и какое-либо условие для температуры (например изотермичность или отсутствие теплового потока). На поверхности раздела 2 = С(X, г) , которая может деформироваться и на которой действует поверхностное натяжение 7 = 70 — (71Т , выполняются условия:

(1.7)

—(Р — Рг) + 2^1г — 2% н2 2 = аСхх— ,

(1.10)

Т — Т = (к2 —к1)6 с

1 2 (к2 + ^)И

(1.11)

Ограниченность сосуда вдоль поверхности раздела учитывается лишь условием замкнутости потока:

Рассматривается плоская задача, кроме того, поскольку предполагается искать границу устойчивости, граничные условия (1.7) -(1.11) записаны в линеаризованном виде.

Перейдем к безразмерным переменным, выбрав в качестве еди-

ную ситуацию, считая коэффициенты кинематической вязкости и теплопроводности сред одинаковыми. Плотности и коэффициенты температуропроводности следует оставить разными, чтобы сохранить эффекты вибраций и термокапиллярности. При этих предположениях задача приобретает вид:

-(Р - Р2) + 2КРЩ Г 2 Щ2 2 ) = СаСхх - САР , (118)

И

(1.12)

-И

С

ниц измерения длины - И , времени - Ю 1, скорости - ИЮ , давления - (р1 + р2)И2О2 . Для упрощения задачи рассмотрим модель-

ния -

Уи + (У^)¥; = —— Ург. +уАР^ - qi соб t, р

(1.13)

У^ = 0, 7=1, 2,

(1.14)

(1.15)

(1.16)

На поверхности раздела, при 2 = С(X, t) выполняются условия:

Щ = Щ2, и1 = и2, Щ , (Ы7

(1.17)

РМг + ) -р2(и2 2 + ) = -Ма(Т1х - ^Сх ^ (119)

т„ = Т,, <'-2<»

Т = Т2. (1-21)

Условие замкнутости потока (1.12) сохраняет прежний вид. Введены параметры:

р = р ’ п=ИЮ’ с(1'22)

р1 + р2 Ию Ию

Кроме того,

Са =-------и С = -£т <123>

(р1 + р2)Ию1 Июо

есть капиллярный параметр и аналог числа Галилея, а число Ма-рангони определено как

Ма = —. (124)

пюИ

Знак тильды над плотностью, коэффициентами вязкости и температуропроводности в дальнейшем опущен. Заметим, что при выбранной калибровке

Р +Р2 = 1. (125)

2. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ

Сформулированная задача допускает плоскопараллельное решение, то есть такое решение, при котором поверхность раздела остается плоской (C = 0), температурное поле не искажается (T = 0),

отсутствует Z -компонента скорости (wl = 0), а X -компонента скорости зависит только от Z .

Удобно провести замену COS t ® exp(lt), и задачу для скорости плоскопараллельного течения записать в виде:

При г = ±И

1 г:

^ = — Ро х+пио гг - qe р

и0 = 0;

а при 2 = 0 :

и01 = и02, р01 = Р 02 , Р1и01г = р2и02 2'

(2.2)

(2.3)

Положим р0 = Ах ехр(г:) в обеих жидкостях (А - пока неопределенная константа). Скорость также предполагается пропорциональной ехр(г:). Тогда (2.1) принимает вид (в обеих средах):

ги0 = -(—+q)+пи0 гг. р

Решение этого уравнения есть:

*01

' А '

—+q

V р1 J

+ Схетг + С2е~

(2.4)

(2.5)

02

^ А ^

—+q

V р2 J

+ С3етг + С4е~т

(2.6)

Здесь т = V г /V . Граничные условия на стенках и поверхности раздела совместно с условием замкнутости потока дают для определения постоянных А, С1 - С4 систему уравнений:

А А

А + С1 + С2 = — + С3 + С4,

(2.7)

Р1

Р 2

Р1(С1 - С2) = Р2(Сз - С4)

(2.8)

е

е

\

—+q

V р1 J

+ С1ет + С2е“

\

V Р2 J

+q

+ С3ет + С4е-т = 0,

(2.10)

тА

Г1- +1-Л Р1 Р2

+ 2/дт +

+(С + С4)(ет -1) + (С2 + Сз)(1 - е-т) = 0

(2.11)

Система (2.7) - (2.11) хоть и сравнительно легко решается аналитически, но ее решения в общем виде крайне громоздки. Ограничимся сейчас случаем малой вязкости:

V << 1. (2.12)

Тогда решения (2.5) - (2.6) упрощаются и имеют вид:

и01 = -Щ(р2 -Р1)(1 - 2р2е~т У , (2.13)

ип

-щ(р2 -Р:)(-1+2Рет У.

(2.14)

Интересна только действительная часть (2.13) - (2.14), она равна:

и01 = qU1 = qDр

бш :(1- 2р2е соб ,2 ) + 2р2е ^ соб 5 бш :

-\/2п -\/2п

(2.15)

и02 = qU 2 = qDр

бш:(-1 + 2р.е'^п соб 5 ) + 2р1е^ соб ,2 бш: -\/2п л/2п

(2.16)

Тем не менее удобно пользоваться комплексной формой записи, поэтому перейдем от гармоник к экспонентам в (2.15) - (2.16):

и1 =-—г Ар

(ей - е~и)- 2Р2 (

е~тгег: - е~тге~и

(2.17)

т

0

г

г

и2 = -1 гАр 22

Теперь необходимо исследовать полученное решение на устойчивость.

3. ЗАДАЧА ДЛЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

Будем рассматривать нормальные, периодические по X возмущения основного решения, пропорциональные ехр(гкх) . Линеаризованные уравнения для скорости в первой среде имеют вид:

щ, + гkqUlwl = -—р1г + -к2wl), (31)

А

и гк 2 ч (3 2)

и1: + гkqUlul + w1---1 =-----р1 + п(и1гг - к и1),

ёг р1

ж + гки, = 0. (3.3)

12 1

Уравнения для скорости второй жидкости записываются аналогично. Для температуры имеем:

Т„ - 2гкцит = Х№ъ - к %). (34)

Т1: - 2 ^2 + гкциТг =х,(Г,„ - кТ). <3-5»

Возмущения скорости и температуры должны затухать вдали от поверхности раздела, а при 2 = 0 выполняются условия:

w1 = w2 =£: + гки£, (3.6)

и1 + ^ £ = и2 + ^ £, (3.7)

1 ёг 2 ёг

Т = т2, (3.8)

Т = т (3'9)

Т1г Т2г ,

Конвективные течения. Сборник научных трудов

р (и1г + гЫх + ^2^- О - р2 (и2г + ^2 + ) = -гкМа(Т1 - 1 ° (3.10)

-(р1 - р2) + 2К А - р2w2г ) = (Сак2 + 0Ар° . (311)

4. УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

Задача (3.1) - (3.11) решается разложением переменных в ряд по степеням малого параметра £ с использованием метода многих масштабов [6]. Анализ разложений по малому параметру, пропорциональному амплитуде вибраций, показывает, что V и Х следует считать величинами четвертого порядка малости, q - величиной первого порядка малости. Наличие тонкого вязкого скин-слоя требует разложение по г начинать с «минус второго» порядка, число Марангони при этом велико. Таким образом, переменные представляются в виде:

и = и(0) +£и(1) +£и(2) +..., (4.1)

w = £W(— + £ w(2) + ..., (4.2)

р = £р(1) + £ р1'2'1 +..., (4.3)

Т = £Т(1) +£2т(2) + ..., (4.4)

О = О +£2Z2w(2)+..., (4.5)

Э Э э 2 э — =----------+ £---------+ £ ---------+...,

Эи Эи„ Эи Эt,

2

э - 2 э э э 2 э

---= £ --------+-------+ £-----+ £ --------+...

Эг Эг- Эг0 Эг1 Эг2

(4.6)

(4.7)

В уравнениях для скоростей и температур содержатся слагаемые, зависящие и не зависящие от г-. Эти слагаемые не могут компенсировать друг друга, поскольку первые затухают в очень тонком стоксовом слое вблизи поверхности раздела, а масштаб затухания

вторых имеет порядок длины волны возмущений. Поэтому уравнения для таких слагаемых следует рассматривать по отдельности.

Анализируя уравнения для скоростей, не зависящих от г- в порядке малости £1 , и соответствующие граничные условия, получим для главной части возмущений поверхности:

° + О° = 0 (4.8)

где О2 = Сак3 + ОАрк (4.9)

есть собственная частота капиллярно-гравитационных волн на поверхности раздела идеальных сред [7].

Как показано в [2], при касательных к поверхности раздела вибрациях не возникают так называемые "полуцелые" резонансы, то есть не возбуждаются волны с частотой, равной половине частоты вибраций. Здесь наиболее опасны возмущения с частотой

О = 1. (4.10)

Условие (4.10) позволяет определить длину волны параметрических волн при заданной частоте вибраций. Далее считается, что (4.10) выполнено и тогда из (4.9) следует, что

О = аеи + Ъе~и, (411)

после чего легко получить:

W\(\) = г(аеги - Ъе~г и)е_кг, (4.12)

w21) = г(аеи - Ъе~и)екг,

2 (4.13)

и1(1) = (аег - Ъе~и )е-кг, (4.14)

и21) =-(аеи - Ъе-и )екг,

(4.15)

7—(\) = 1(аеи + Ъе~и)е~кг, (416)

Т2(1) =1 (аеи + Ъе~и)екг. (4.17)

Для скоростей и(1) решения (4.14) - (4.15) неполны, к ним нужно добавить еще части, зависящие от г- .

Полученные выражения (4.12) - (4.13) для позволяют опре-

делить и 1'0'1(2- ) в порядке £ :

и10) = iqр2Др[maemе2 -т^Ъе-"'2-е“2" + тЪе-т2- -т^ае-"'2- ] (4Л8)

и20) = i gр1Др[maem2- е2 й - тЪет'2- е~2и + тЪет2- - т*ает'2- ] (4Л9)

По найденным значениям и1'0'1( 2- ) из уравнения непрерывности

легко находятся ^1'2'1(2-) и т.д. Не останавливаясь на деталях довольно громоздких вычислений, отметим, что уравнения, определяющие медленную эволюцию амплитуды возбуждаемых волн, получаются в порядке £ и имеют вид:

1 (4.20)

-а( + уа -~уЪ + 8(1 - 0а - т(а + Ъ) -О2а = 0,

1 (4.21)

Ъ + уЪ - — уa + 8(1 + г)Ъ - ц(а + Ъ) - О2Ъ = 0.

Параметры этих уравнений

у=q2 к 2р1р1(Др)\ (422)

8 = рр2к42у, (423)

т = 116 пк V 2Ыа(Др)4 (4.24)

описывают влияние вибраций, диссипации и эффекта Марангони соответственно, а - отклонение частоты волн от резонансного

значения.

В изотермическом случае /2 = 0 и для границы устойчивости К«2> из (4.20) - (4.21) следует:

2

g

3

2(W2 — d) ±y] (W2 — d)2 — 3d2

(4.25)

откуда следует, что минимальное значение амплитуды вибраций, возбуждающих резонанс, равно:

Г.» -4 d. <426)

При неизотермической ситуации критическое значение амплитуды вибрации определяется из уравнения:

<r+d-a2 -m)2+d2 = (^-r+m)2. <427)

Анализ этого выражения показывает, что наличие термокапиллярности эффективно понижает диссипацию и, следовательно, приводит к понижению порога возбуждения параметрических волн. Вопрос об обратном влиянии вибраций на конвективную устойчивость требует рассмотрения не только резонансных волн и выходит за рамки настоящей работы.

Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных исследований, грант № 00-01-00614.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ

1. Faraday M. On a peculiar class acoustical figures and on certain forms assumed by a group of particles upon elastic surface // Phil. Trans. Roy. Soc. London. 1831. V. 121. P. 209-318.

2. Любимов Д.В., Хеннер М.В., Шоц М.М. Об устойчивости поверхности раздела жидкостей при касательных вибрациях // Изв. РАН. МЖГ. 1998. № 3. С. 25-31.

3. Stability of plain-parallel virational flow in a two-layer system / Khenner M.V., Lyubimov D.V., Belozerova T.S., Roux B. // Eur. J. Mech. B / Fluids. 1999. V. 18. P. 1085-1101.

4. Pearson J.RA. On convection cells induced by surface // J. Fluid Mech. 1958. V. 4. P. 489-500.

5. Влияние термокапиллярного эффекта на параметрическое возбуждение волн / Бирих Р.В., Брискман В.А., Веларде М.Г., Черепанов АА. // Докл. РАН. 1997. Т. 352. № 5. С. 616-619.

6. Найфе АХ. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 455 с.

7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

THE INFLUENCE OF THE THERMOCAPILLARITY TO THE RESONANCE WAVES, INDUCED BY VIBRATIONS, TANGENTIAL TO THE INTERFACE

R.V. BIRIKH, V.A. BRISKMAN, A.A. TCHEREPANOV

Abstract. The problem of the stability of the two-layer system of fluids under the mutual influence of vertical temperature gradient and horizontal vibrations was investigated. This problem has some special features: the system cannot be at a rest even at the frame of a vessel. The conditions of the parametrical capillary-gravity waves on the interface were determined under the small viscosity approximation. Amplitude equations, describing waves evolution with the influence of Marangoni effect were received. Their analyses shows, that thermocapillarity tends to the reduction of the parametric resonance threshold.