Математическая модель течений тонкого слоя жидкости с учетом испарения на термокапиллярной границе раздела Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.6:532.5

Математическая модель течений тонкого слоя жидкости с учетом испарения на термокапиллярной границе раздела*

О.Н. Гончарова, Е.В. Резанова

Алтайский государственный университет (Барнаул, Россия)

A Mathematical Model of Thin Liquid Layer Flows with Evaporation on a Thermocapillary Interface

O.N. Goncharova, E.V. Rezanova

Altai State University (Barnaul, Russia)

Проводится построение математической модели для описания течений тонкого слоя жидкости по наклонной неравномерно нагретой подложке. Математическое моделирование осуществляется с использованием уравнений Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости и соотношений, представляющих собой обобщение кинематического, динамического и энергетического условий на свободной границе в случае массопереноса через нее в результате испарения. Длинноволновое приближение уравнений Навье-Стокса, переноса тепла и условий на границе раздела позволяет получить математическую модель для описания термокапиллярных течений с испарением. Проведен параметрический анализ обобщенных кинематического, динамического, теплового условий на границе раздела с испарением. Математическая модель течений тонкого слоя жидкости по наклонной подложке представлена в работе в двумерном случае для больших чисел Рейнольдса. Решены задачи для главных и первых членов разложений по степеням малого параметра. Выведено эволюционное уравнение для толщины слоя, учитывающее эффекты гравитации, капиллярности, термокапиллярности, вязкости и испарения, а также действие дополнительных касательных напряжений со стороны сопутствующего потока газа.

Ключевые слова: термокапиллярное течение жидкости, граница раздела, испарение, уравнения тонкого слоя, математическая модель.

БМ 10.14258/izvasu(2014)1.2-02

In the paper, a mathematical model is developed to describe thin liquid layer flows on an inclined, nonuniformly heated surface. Mathematical modeling is performed with the use of the Navier-Stokes equations for a viscous incompressible liquid and equations obtained by generalization of kinematic, dynamic, and energetic conditions on a free boundary for the case of a mass transfer due to evaporation. A long-wave approximation of the Navier-Stokes equations, heat transfer equation, and equations of the conditions on the interface allows a mathematical model to be elaborated for studying thermocapillary flows with evaporation. A parametric analysis of the generalized kinematic, dynamic, and heat equations on the interface with evaporation is carried out. The mathematical model of thin liquid layer flows on the inclined surface is presented in a two-dimensional case for large values of the Reynolds number. The problems are solved for the zeroth and first orders of approximations of expansion terms in powers of a small parameter. An evolution equation of the layer thickness is derived that takes into account the effects of gravitation, capillarity, thermocapillarity, viscosity and evaporation alongside with an action of additional tangential stresses of the co-current gas flow.

Key words: thermocapillary fluid flow, interface, evaporation, equations of a thin liquid layer, mathematical model.

Введение. Изучается тонкий слой вязкой несжимаемой жидкости, стекающий по наклонной неравномерно нагретой подложке в усло-

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-08-00163).

виях сопутствующего потока газа и испарения на границе раздела. Построению математических моделей, описывающих течения вязкой жидкости в приближении тонкого слоя, исследованию корректности моделей, качественных свойств и устойчивости решений, а также их численному

исследованию посвящено много работ (см., например, [1-3]). При этом в работах [4-8] представлено математическое моделирование испаряющихся пленок.

В данной работе предложена новая математическая модель для описания течений тонкого слоя жидкости в условиях испарения на границе раздела. Данное математическое моделирование будет проведено на основе длинноволнового приближения уравнений Навье-Стокса и уравнения переноса тепла, а также обобщенных кинематического, динамического и энергетического условий на свободной границе [9-11], учитывающих эффекты переноса массы за счет испарения. На твердой непроницаемой подложке должны быть выполнены условия прилипания. Распределение температуры на твердой подложке, обеспечивающее ее неоднородный нагрев, представляет собой функцию продольной координаты. Кинетическое уравнение Герца-Кнудсена будет использовано для определения зависимости локального потока массы пара от температуры на границе раздела. В работе представлены точные решения систем уравнений для главных и первых членов разложений по малому параметру задачи в двумерном случае. Эволюционное уравнение для толщины слоя получено в случае чисел Рейнольдса порядка O(1/e) и учитывает эффекты гравитации, капиллярности и термокапиллярности, вязкости и испарения.

Представлены результаты параметрического анализа задачи о термокапиллярных течениях в тонких слоях с учетом испарения и сравнения для различных пар «жидкость — газ» типа «этанол — азот».

1. Постановка задачи о течении тонкого слоя вязкой несжимаемой жидкости с учетом испарения. В рассматриваемой задаче течение тонкого слоя жидкости изучается с помощью системы Навье-Стокса и уравнения переноса тепла. Пусть v = (u, w) —вектор скорости жидкости, p — давление, T — температура, р — плотность жидкости, v — коэффициент кинематической вязкости, х — коэффициент температуропроводности. Рассматривается движение вязкой несжимаемой жидкости по твердой подложке при наличии свободной деформируемой границы раздела. Твердая непроницаемая подложка наклонена под углом а к горизонту. Система координат выбрана таким образом, что ось Ox направлена вдоль твердой границы. Твердая граница определяется уравнением z = 0, а положение границы раздела Г — уравнением z = h(x,t). Вектор силы тяжести g имеет вид g = (51,52) = (g sin а, —g cos а), g = |g|.

В задаче имеется два различных масштаба длины, поскольку характерная длина деформации свободной поверхности намного превосходит

амплитуду деформации. Пусть I — продольная характерная длина, d — поперечная характерная длина, причем I ^ (, так что е = !/1 представляет собой малый параметр системы. Отметим, что характерные продольная и поперечная скорости и* и и* также связаны между собой: и* = ем*. Пусть характерное время процесса t* связано с другими параметрами задачи следующим образом: I = и*Ь*, а характерное давление задается выражением р* = ри*. Система уравнений Навье-Стокса и переноса тепла в безразмерном виде записывается следующим образом:

Ree2(ut + uux + wuz) — £2uxx = uzz — Ree2px+

+—— sin a,

Ree

(1)

Ree4 (wt + uwx + wwz) — e4 wxx — e2 wzz = —Ree2pz —

wx

Y

--cos a,

Re

(2)

ux + wz = 0, (3)

RePre2(Tt + uTx + wTz) - e2Txx = Tzz. (4)

Здесь введены следующие обозначения: Re = u*l/v — число Рейнольдса, Pr = v/x — число Прандтля, y = gd3/v2 — число Галилея, v — коэффициент кинематической вязкости жидкости, x — коэффициент темературопроводности.

Пусть уравнение вида z = h(x, t) по-прежнему используется для задания свободной границы в безразмерной форме. Вектор нормали к свободной границе n и касательный вектор s имеют координаты (ni,n-2) и (п-2, —ni), соответственно, где п\ = —ehx¡\J\ + e2h2x, n-2 = 1/\J\ + £2h2. Кривизна свободной границы и скорость ее перемещения по направлению внешней нормали задаются соотношениями: 2 Н = ehxx/y/{l + e2h2)3, Dn = -eht/^í+e2h2x.

Выбирая характерную скорость и* = v/d, получим Re = 1/e. Тем самым дальнейшее моделирование применимо для случая чисел Рейнольдса порядка O(1/e).

На свободной границе раздела z = h(x, t) должны быть выполнены кинематическое, динамическое и энергетическое условия [9-11]. Представим кинематическое условие в виде

—e(ht + hxu — w)

1

угт1Щ

JJ •

(5)

Динамические условия в безразмерной форме имеют вид

—p +

2e2

1+ e2hx

[e hxux + wz — hx(uz + e wx)] =

_ЮЯ , P^L__\£2h2 g , g_

-еЪ,х{и°г + у%)] + { 1--)Л2еуЛ2 +

+а

Са ^(1 + £2^2)3'

(6)

2

--(1 -е2кх){их+е^х)

1 + £2Ь?х 1 2

р-и 2£

Т~ 1+е2к2х 1

— £ Н2п2 + £ Н2шг —

— £Нх П9х + £Нхш9 +

+-(1 -е2к2М+^х)

Ма

Рг у/1 + еЧ2

(Тх + ЬхТг).

(7)

Представим энергетическое условие в безразмерной форме в случае линейной зависимости коэффициента поверхностного натяжения а от температуры. В безразмерной форме имеем а = 1 — ааТ, где аа = МаСа£/Рг, Ма = атТя1/(ри\) — число Марангони, Са = пяру/а0 — капиллярное число, ао — значение коэффициента поверхностного натяжения при некотором относительном значении температуры, ат — температурный коэффициент поверхностного натяжения, Тя — характерный перепад температуры

дТ -

——I- 132{Т<11У г«} = /33ЛЛеу + дп

-Нх(иг +е2«;ж)]} + ^АЛе,

л3 +

Л РЛ1 +

+вбЛ£а

= Леи .

(8)

дТ

Здесь —— и (¿гг'гv вычисляются по формулам дп

^ = 1 (-е2кхТх + ТД дп ^/1 + £2Н2х

2 д^ 2 (1гиГУ = ^ ТГ- ~ XI '

22

(пх + Шг )|г — |

£Нх 1

£кх

е2к

1+ £2КХ 2 1 + £2КХ

7^2 +

1 + £21гХ 21 1 + £2Н2

.

Отметим, что также введены следующие обозначения: -, р — отношение коэффициентов кинематической вязкости и плотностей газа и жидкости, соответственно, - = пЯ/пя — отношение характерной продольной скорости газа к характерной

скорости жидкости пя, р9 — давление в газе (безразмерное), Н — отношение характерного размера слоя газа к I. Коэффициенты вг (« = 2,..., 6) следующим образом выражаются через другие безразмерные комплексы: = Мае2/(РгЕ17), /?з = 1 = ((1/р)-1)/(Ей)ф = (1-(1 /р))2/(Ей), /36 = (1 - (1/р))е/(СаЕи), II = Ау/и2, Е = кТя/(Хцри) — параметр испарения [4], Хц — скрытая теплота парообразования, к — коэффициент теплопроводности жидкости. Величину локального потока массы пара на границе раздела Леу определим с помощью уравнения Герца-Кнудсена [5], записанного в безразмерной форме:

Леу = aJ Т |2=

Н(Х,Ь).

(9)

Здесь коэффициент а^ вычисляется следующим

образом: а.7 = ар8Хи^(———т)1/2 [5,11], где л я 2ПК913

а — коэффициент аккомодации, р8 — плотность пара, М — молекулярный вес, К9 — универсальная газовая постоянная, Т8 — температура насыщенного пара. Отметим, что Л = /(рпя) и Л = Е, если характерная величина потока массы пара Л^" вычисляется, как кТя/(йХц).

На твердой подложке г = 0 примем, что выполнены условия прилипания

п|г

0, w|г

0,

и задано распределение температуры Т | г=0 = ©0(М).

(10)

(11)

2. Вывод уравнений тонкого слоя. Задача об определении компонент скорости п, ш, температуры Т, давления р и толщины слоя жидкости Н (1)—(4), (5)—(11) изучается в длинноволновом приближении. Решение ищется в виде разложений по степеням малого параметра £. Уравнения (1)—(4), записанные для главных членов разложения, принимают вид

0

р0

7 сов а,

(12)

(13)

(14)

(15)

Следствием условий прилипания (10) и условия, определяющего нагрев подложки (11), являются условия

Пх = — ш0,

Т0 = 0.

П |г=0 =0, ш0 |г=0 =0,

Т0|г

©0

(16)

(17)

В результате проведенного параметрического анализа (см. табл. 1, 2 значений коэффициентов, представленную для жидкости типа этанол) получаем, что следствием условий (5)—(8) для главных

2

Н

2

0

0

г

0

членов разложении являются следующие соотношения:

р0 = рЯ - аса Ьхх (1 - «ае0) + ао а2 (в0)2 (18)

«0 = «Ма е, (19)

-ТО + в2{в0(иХ)} = 70 - в4Р0Л + ввЬххЛ). (20)

Здесь в0 = Т0|г, в = (Тх0 + ^хТ°)|г, Л = в0, а также аса = е2/Са, ао = ((1 //?) - 1)Л2, ат = рг/ие/Ь, аМа = е2Ма/Рг, /3 = /3,7, в4 = в4Е, вб = вб Л3, /в = е/вЕ. Здесь есть величина порядка 10-3, 10-4, порядок других коэффициентов соотношении (18)—(20) приведены в таблицах 1, 2 для этанола.

Интегрируя уравнения (12)—(15), получим, что решениями являются функции и0, ад0,р0,Т0 вида

—Ysina— + С12,

p0 = —y cos az + C0 (x, t), T0 = A(x,t)z + ©0(x,t).

(21)

(22)

(23)

(24)

Коэффициенты C0(x,t), C1(x, t), A(x, t) должны удовлетворять следующим соотношениям:

C0 (x, t) = pg — acahxx (1 — aCT(Ah + ©0)) + Y cos ah+ aj (Ah + ©0)2, Ci(x,t) = «Ma(Ax h + (©0)x + hxA) + y sin ah,

—A + ^2(Ah + ©0)(Ci)xh = = aj (Ah + ©0) {1 — &(-Ycosah + C0) + вб hxx}.

Первые члены u1, w1, p1, T1 разложений по степеням малого параметра е удовлетворяют следующей системе уравнений:

«L = pX + u0 + u0uX + w0 u0, (25)

P1 = w°z, w1 = — Ti = Pr(T° + u0Tx0 + w°Tz°).

(26) (27)

На твердой границе г = 0 выполняются условия

«1|*=0 = 0, ш1 |г=0 = 0, (28)

а из условии (11) и (15) следует

Т 1|2=0 = 0. (29)

На границе г = Ь(х, £) должны быть выполнены следующие соотношения:

р1 = аса аст ^ххв1 + ао в0в1, (30) «X = ама ©, (31)

Таблица 1 Значения параметров a в системе «этанол — азот»

а — параметр значения (Т* = 10 К)

М аСае = Рг 10~1е

£¿ О-Са = 7— (/ а 104е2

aD = ¿- 1) J2 Р 10"1

ат = рь> е 10-2е

еАМа О-Ма — „ Нг 103е2

Таблица 2 Значения параметров в в системе «этанол — азот»

/3 — параметр значения (Т* = 10 К)

Мае2 Р2 = -— ^ PrFJI 105е2

/?з = 1 1

/34 = /34£ ю-1

/36 = е/36£ —е2103

+ в2{©0[«х + М«0 + ш0)] + е1«х} = 0. (32)

Здесь е1 = Т 1|г, © = (Тх1 + ЬхТ1)|г.

Тогда решение системы (25)-(27) с учетом условий на твердой границе (28),(29) можно представить в виде

2 3

г2 г3 —

У1 = (Со)х—+ (С^г—+ (С3)г+

2

+ (C1)x Ci

6

24'

z 3 z4 = — (C-o)xx—--(Cí)tx

6

24

z5 _ z2

-((C^l + C^C.U)— -(Cs)x-,

p1 = —(Ci)xz + C2 (x,t),

3 2

{z° z2

[А + С1(во)х]- + (во)г^+

+ [-YSÍn a^L+C^-^CM—-

z5 ~ —Y sin aAx — ^ + Az. f 40 i

(33)

(34)

(35)

(36)

Заметим, что функции С2, С3, А должны удовлетворять соотношениям

<?2(х,4) = (С1)х Ь + ©1(аса аст Ьхх+

+2а^ ао (АЬ + ©0)),

2

4

z

1

w

СзОМ) =

2 6

Л = F (Л, ©o,Ci,h),

где F(Л, ©o,Ci,h) находится с помощью соотношения (32).

Используя выражения (21), (22), (22), (34) для выражения функций u и w через u0, w0, u1, w1, получим уравнение для определения толщины слоя жидкости.

Представим уравнение для определения толщины слоя, ограничиваясь главными членами разложения (lubrication approximation)

h2

ht + hx{-~fsma— + C\h} + EJev = 0.

Здесь

jev = a j [a(x, t)h + ©o(x, t)].

Следует отметить, что замыкания постановки задачи следует задать начальное положение термокапиллярной границы раздела h(x, 0) = ho(x) и условия на бесконечности. Если функция h известна, то распределение скоростей, давления и температуры также определяется с учетом формул (21)-(24) и (33)-(36).

Поясним, что в таблицах 1 и 2 представлены значения физических характеристик для систем «жидкость — газ» вида «этанол — азот». При этом физические характеристики этанола и азота таковы: pi =0.79 г/см3, vi = 0.015 см2/сек, к1 =4 • 10-4 кал/(сек см К), Xi =0.89 • 10-3 см2/сек, ст0 =22 дин/см, <гт = 0.08 дин/(см K), = 217 кал/г, а = 0.01, M = 46 г/моль, ps = 1.6 • 10-3 г/см3, p2 = 1.2 • 10-3 г/см3, v2 = 0.15 см2/сек, к2 = 0.65 • 10-4 кал/(сек см К), х2 = 0.3 см2/сек. Значения использумых в задаче безразмерных параметров представлены в таблицах для характерного перепада температуры T* = 10 K [10,11].

Библиографический список

1. Копбосынов Б.К., Пухначев В.В. Термокапиллярное движение в тонком слое жидкости // Гидромеханика и процессы переноса в невесомости: сб. научн. трудов. — АН СССР, Ур. научн. центр. — 1983.

2. Кабов О.А., Кузнецов В.В., Марчук И.В., Пухначев В.В., Чиннов Е.А. Регулярные структуры при термокапиллярной конвекции в движущемся тонком слое жидкости // Поверхность. рентгеновские, синхронные и нейтронные исследования. — 2001. — №9.

3. Frank M. A., Kabov O.A. Thermocapillary structure formation in a falling film: Experiment and calculations // Phys of Fluids. — 2006. — № 18.

4. Oron A., Davis S.H., Bankoff S.G. Long-scale evolution of thin liquid films // Reviews of Modern Physics. — 1997. — Vol. 69 (3).

5. Miladinova S., Slavtchev S., Lebon G., Legros J.-C. Long-wave instabilities of non-uniformly heated falling films // J. Fluid Mech. — 2002. — Vol. 453.

6. Shklyaev O., Fried E. Stability of an evaporating thin liquid film // Journal of Fluid Mechanics. — 2007. — Vol. 584.

7. Кабов О.А., Кабова Ю.О., Кузнецов В.В. Испарение неизотермической пленки жидкости в микроканале при спутном потоке газа // ДАН. — 2012. — 446 (5).

8. Гончарова О.Н., Резанова Е.В., Тарасов Я.А. Математическое моделирование термокапиллярных течений в тонком слое жидкости с учетом испарения // Известия Алт. гос. ун-та. — 2014. — №1/1(81). D0I:10.14258/izvasu(2014) 1.1-10.

9. Iorio C.S., Goncharova O.N., Kabov O.A. Study of evaporative convection in an open cavity under shear stress flow // Microgravity Sci. Technol. — 2009. — №21(1).

10. Iorio C.S., Goncharova O.N., Kabov O.A. Heat and mass transfer control by evaporative thermal pattering of thin liquid layers // Computational Thermal Sci. — 2011. — №3(4).

11. Гончарова О.Н. Моделирование течений в условиях тепло- и массопереноса на границе // Известия Алт. гос. ун-та. — 2012. — №1/2(73).