CC BY
8
УДК 621.3
БОТ: 10.15587/2312-8372.2019.154680
РОЗРОБКА МАТЕМАТИЧНО1 МОДЕЛ НЕЛ1Н1ЙНОГО ЕЛЕКТРИЧНОГО КОЛА З АВТОНОМНИМ РЕГУЛЬОВАНИМ ЕЛЕКТРОМЕХАН1ЧНИМ ПЕРЕТВОРЮВАЧЕМ ЕНЕРГЛ
Островерхов М. Я., Трiнчук Д. Я.
1. Вступ
Нелшшш електричш кола з автономними регульованими електромехашчними перетворювачами енергii на сьогоднiшнiй день знаходять широке застосування. Найбтьш розповсюдженим з таких е автономний електричний транспорт: електромобiлi, електроскутери, електробуси, шгве1' тощо. Для покращення !хньо! конкурентоспроможност потрiбно шдвищувати енергоефективнiсть, в тому числ^ досягати найменш можливого споживання енергii у динамiцi руху. Задля цього необхiдно мати достатньо точну i водночас просту модель електричного кола для проведення дослiджень на еташ проектування.
Тому актуальним е завдання з розробки математичноi модел^ достатньо адекватноi для проведення точних енергетичних розрахунюв нелiнiйного кола.
2. Об'ект досл1дження та його технолопчний аудит
Об'ектом дослгдження е нелшшне електричне коло з автономним регульованим електромеханiчним перетворювачем енергii, яке моделюе привщ автономних електричних транспортних засобш. Таке коло мiстиIъ наступнi компоненти:
- джерело електрично!' енергii - зазвичай це лтй-юнш акумулятори, до яких часто паралельно пiдключаеться батарея суперконденсаторiв;
- перетворювач електрично1' енергп - напiвпровiдниковий перетворювач на транзисторах, який забезпечуе параметри струму на джерелi енергii до параметрiв струму на споживачц
- електромеханiчний перетворювач - електродвигун.
Якщо при розробщ математично1' моделi такого електричного кола врахувати вс параметри його складових, то складнiсть системи математичних рiвнянь не тiльки не дозолить отримати аналгтичний розв'язок, але й призведе до високо! складностi розрахункiв при и чисельному розв'язку. Спрощення моделi шляхом нехтування певними параметрами може суттево спростити систему рiвнянь при збереженш необхiдноi точностi розрахункiв.
3. Мета та задачi дослiдження
Метою дослгдження е розробка математично1' моделi нелiнiйного електричного кола з автономним регульованим електромехашчним перетворювачем енергii, максимально просто1' для скорочення часу пошуку чисельних розв'язкiв. Але при цьому достатньо точно! для проведення енергетичних розрахунюв на етат проектування.
Для досягнення поставлено1' мети необхiдно:
1. Скласти математичн моделi реальних елеменлв електричного кола.
2. Визначити, як параметри в цих моделях е достатньо несуттевими, аби ними можна було знехтувати.
3. Завершити розробку математично! моделi кола, створивши вщповщну ш комп'ютерну модель.
4. Дослщження iснуючих р1шень проблеми
На сьогодшшнш день вже проводилась низка дослщжень нелшшних електричних кл з автономними регульованими елекIромеханiчними перетворювачами енерги в щлому та гхнх елементш окремо. Для цих дослщжень був створений ряд математичних моделей з акцентом уваги на той чи шший елемент.
Зокрема, в роботi [1] були представлен рiзнi математичнi моделi асинхронних двигунiв, але без прив'язки до джерела живлення. В робот [2] видiлена найбiльш зручна з цих моделей, але вона не враховуе енергетичш втрати в магнiтопроводi двигуна.
В робот [3] була представлена модель акумулятора при його тривалш робот з урахуванням його розряду. Вона також враховувала падшня напруги на активному опорi акумулятора, але не враховувала перехщних процешв, якi протiкають в цьому елемент. Вони були показанi в роботах [4, 5], проте без прив'язки до навантаження.
До^дження роботи акумулятора на навантаження, в тому чи^ на електричш двигуни, представлеш в роботах [6, 7]. Сучасш тенденцн показують, що о^м акумулятора часто використовуеться паралельно шдключений до нього суперконденсатор, чого не було дослщжено в жоднiй з вищевказаних робiт. Математична модель суперконденсатора наведена в робот [8], але без прив'язки до шших елементв.
Повне електричне коло з акумулятором, суперконденсатором та навантаженням було дослщжено в робот! [9]. Проте увага акцентувалась виключно на джерелi живлення, а модель навантаження була дуже спрощеною, неадекватною до електричного двигуна. Модель двигуна застосована в робот! [10], але система керування була спрощена для пришвидшення розрахунюв. Така модель може бути доволi точною для динамiчних розрахунк1в електропривода, але вона дае велику похибку в енергетичних розрахунках, оскльки не враховуе енергетичш процеси при iмпульсному режим роботи з широтно-шпульсною модуляшею.
Таким чином, питання створення адекватно! моделi нелiнiйного електричного кола з автономним регульованим електромеханiчним перетворювачем енерги для проведення енергетичних розрахункiв залишаеться перспективним.
5. Методи дослiдження
Найскладшшим з точки зору математичного опису елементом даного кола е електричний двигун. Математична модель для нього буде вiдрiзнятись в залежностi вщ типу цього двигуна. Найбтьш ушверсальним е опис асинхронного двигуна (АД). Це найбшьш розповсюджений тип двигуна на сьогодшшнш день, в тому чи^ вш е дуже розповсюдженим в електричних транспортних засобах. Також Чд мOделi АД можливо перейти до моделей шших тишв двигушв.
Для зменшення кшькост рiвнянь в po6oTi розглядаеться модель не в природних трифазних координатах, а в ортогональнш двофазнш системi координат. Також, для спрощення поки що знехтуемо втратами енергп в магнiтопроводi двигуна. Електрична схема замщення однiеi фази тако1 системи зображена на рис. 1, де позначено:
Rs, Rr - активнi опори обмоток статора та ротора двигуна; Lm - взаемна шдуктивнють обмоток статора та ротора; Lis, Llr - шдуктивност розсiювання обмоток статора та ротора вщповщно; кsd, кsq, кrd, hsa - електрорушiйна сила (ЕРС) щдукци обмоток статора та ротора в проекщях на d- та q-осi;
we - швидкiсть обертання магнiтного поля;
usd - напруга на затискачах обмотки статора в проекцп на d-вюь.
Рис. 1. Е^валентне коло замiщення асинхронного двигуна в проекцп на d-вюь
Шсля математичних перетворень можна отримати повну систему диференцшних рiвнянь для асинхронного двигуна [2]:
^qs Rs +sLs sL m -®eL,n -1 V
lds Rs+sLs sLm Uds
V sLm Rr+sLr (юр-сor)Lr
ldr _ _-(юв-сor)Lm sLm -(©e-cor)Lr Rr+sLr _Udr_ (1)
р at
L
т =-
е 2
9 (M^A/s MVrfr)
де V,1ЧГ, 1<иг - струми в обмотках статора i ротора в проекцiях на d- та д-осц юг - швидкiсть обертання ротора; Те - електромехашчний момент двигуна; Ть - статичний момент навантаження на валу двигуна; р - кiлькiсть пар полюсiв двигуна;
J - приведений момент шерцп системи двигун-приводний мехашзм;
¥dm, ¥dm - потокозчеплення в проекцiях на d- та q-oti; s - оператор Лапласа.
Ця система рiвнянь мае п'ятий порядок, проте в останньому piBMHHi виникае нелiнiйнicть, а значить система не може бути розв'язана аналогично. При створенш тако! мoделi було знехтувано насичешстю магнiтoпрoвoду, неcинуcoiдальнicтю розподшу магнiтнoгo поля, нерiвнoмiрнicтю пoвiтрянoгo прoмiжку та втратами енергii в магнiтoпрoвoдi на гicтерезиc та вихрoвi струми. Останш е дoвoлi суттевими, при енергетичних розрахунках виникае необхщшсть !х врахування, тому це буде зроблено шзшше.
Електрична схема замiщення акумулятора зображена на рис. 2, де показано: Ue - напруга акумулятора, що залежить вiд стану його заряду; Rint - внутрiшнiй активний отр акумулятора'
CL, Rl - емшсть та oпiр, що пов'язат з iнтеркаляцiею та переносом маси лтю; CH, RH - електрoхiмiчнi емнicть та oпiр пoдвiйнoгo шару; Un - напруга на вихoдi акумулятора.
Рис. 2. Електрична схема замщення акумулятора
У cхемi на рис. 2 напруга акумулятора е змшною i вона залежить вщ стану заряду акумулятора. Цю залежшсть можна виразити за рiвнянням Шеферда [3]:
Ue=E0-K
q
Q-я
ie+A
exp
г \
-вЗ-Q
(2)
де E0 - ЕРС акумулятора;
Q - максимальна емшсть акумулятора;
q - повний заряд, який акумулятор вщдав за час його роботи;
^ - струм через акумулятор;
K, A, B - експериментальнi константи.
Р'вняння, ть хмаш з тако! математично! модел^ також мають нелiнiйностi. Проте 1х можна спростити, якщо припустити, що розрахунки на етапi проектування проводитимуться для режимiв, що за тривалютю не перевищують десяткiв секунд. У такому разi з доволi високою точнiстю можна вважати, що стан заряду акумулятора за цей час не змшюватиметься, а отже Ue=const. Таким чином можна
позбутися нелшшносп в моделi акумулятора. О^м того, можна знехтувати i емнюними колами у схемi замiщення. Попередш розрахунки показали, що iхнiй вплив на величину струму буде значно слабший, ан1ж вплив електродвигуна.
Для суперконденсатора юнуе низка схем замщення. Найбiльш розповсюджена з них зображена на рис. 3 [9], де показано: С— - стал емност суперконденсатора; Я^з - опори емнюних гiлок суперконденсатора; Я4 - ошр саморозряду;
Су - емнiсть, величина я^' залежить вiд напруги; и - напруга на обкладинках суперконденсатора.
Рис. 3. Схема замщення суперконденсатора
На схемi на рис. 3 зображеш три емшсш гшки з рiзними сталими часу, якi зростають зi збiльшенням номеру iндексу гшки. Смшсть С^и^ - залежна вщ напруги емнiсть. Функцiю залежностi можна прийняти за лшшну:
Су=ксу\и\,
(3)
де ксу - коефiцiент пропорцшност, що визначаеться експериментально.
Математична модель суперконденсатора виглядатиме наступним чином:
1С =1{+12+13+1А, ¿{ис-12К2)
12=С2
1, = с,
¿(и с-1Л.)
де I - струм i-i гшки кола;
1с - повний струм, що протшае через суперконденсатор.
Отже, маючи моделi кожного з елеменлв, можна зобразити схему замiщення електричного кола (рис. 4), де показано широтно^мпульсний модулятор (Ш1М), який виконуе перетворення електрично! енергii та узгоджуе параметри струму на акумуляторi та двигуш.
Рис. 4. Спрощена електрична схема замщення електричного кола: Ш1М -
широтно-iмпульсний модулятор
Окрiм описаних вище моделей, схема мае два додаткових елементи: Яп та Ят - це опори, що враховують навантаження та магнiтнi втрати. Обидва щ опори е нелiнiйними. Ошр навантаження Яп можна визначити з мехашчно! потужностi навантаження:
и2
—^ Я
я' й
V;
(5)
де Р2 - мехашчна потужнiсть, яка задаеться навантажувальною характеристикою для бажаних режимiв роботи;
и2 - напруга на виход схеми замщення двигуна, яку можна визначити з системи (1). Вираз для визначення значення опору Ят знаходиться з рiвностi потужностi електричних втрат на опорi та потужност магнiтних втрат в двигунi i мае наступний вигляд:
я.
де и\ - напруга на входi Ш1М;
у - магштний потiк, який задаеться векторним керуванням;
Г - частота струму в колi АД, яка задаеться векторним керуванням;
кт - коефщент пропорцiйностi, який визначаеться експериментально.
6. Результати досл1дження
Отримана система математичних р^внянь мстить чотири нел1н1йнос11: добутки потокозчеплення та струмв в асинхронному двигунi, нелшшна емн1сть у суперконденсаторi та нелийш резистори Ят та Я„. Отже, для виршення тако1 системи виникае необх1дн1стъ до застосування чисельних розрахунюв. Для цього в робот! розроблена комп'ютерна модель даного кола в програмному пакет МаНаЬ Simulink (рис. 5).
Рис. 5. Комп'ютерна модель нелшшного електричного кола з автономним регульованим електромеханiчним перетворювачем енергii: 1 - акумулятор;
2 - асинхронний двигун (АД); 3 - постшна складова моменту навантаження;
4 - змшна складова моменту навантаження, пропорцшна до квадрату швидкостi обертання ротора двигуна; 5 - суперконденсатор; 6 - широтно^мпульсний модулятор (Ш1М); 7 - блок векторного керуванш Ш1М; 8 - блоки завдання швидкост та магнiтного потоку для векторного керування; 9 - нелшшний резистор, що моделюе втрати в стаи АД; 10 - блоки розрахунки опору нелшшного резистора; 11 - емшсний фшьтр
Ця модель дозволяе з достатньою точнютю проводити дослщження та розрахунки параметрiв кола на стадп проектування. В якостi навантаження електродвигуна користувач може задавати як постшний момент опору, так i момент, пропорцiйний до квадрату швидкосп (вентиляторна характеристика), або iх суму. Керування електромехашчним перетворювачем виконуеться за законами векторного регулювання при завданш швидкостi обертання ротора двигуна та магштного потоку. Дослiдження моделi показало адекватшсть електромагнiтних процесiв в розробленому е^валентному електричному колi до процешв у реальному колi з автономним регульованим електромехашчним перетворювачем.
7. SWOT-аналiз результат дослiджень
Strengths. В ходi дослiджень були розробленi математична та комп'ютерна моделi нелiнiйного електричного кола з автономним регульованим електромехашчним перетворювачем енергii. На вiдмiну вщ вже iснуючих моделей ця модель допомагае проводити бiльш точнi розрахунки енергетичних процешв та ефективностi кола при урахуванш iмпульсних режимiв роботи, створених широтно^мпульсним модулятором. А також враховуе втрати в магштному колi двигуна на гiстерезис та вихровi струми. За рахунок цього при використанш моделi для розрахункiв на етат проектування можливо пiдiбрати бшьш рацiональнi параметри елементiв кола для покращення його ККД.
Weaknesses. Модель за рахунок пiдвищеноi точностi i, як наслiдок, складностi, бiльш громiздка для оцiнки динамiчних показникiв електричного кола з регульованим електромехашчним перетворювачем. Оскшьки бшьш прост iснуючi моделi дозволяють це зробити з набагато меншими обчислювальними витратами.
Opportunities. Модель розроблена з врахуванням електромагштних процешв у колi найбiльш розповсюдженого асинхронного електродвигуна. Перспективним е розробка аналогiчноi моделi з урахуванням електромагнiтних процешв в iнших типах двигунiв, зокрема, вентильних та синхронних з постшними магштами.
Threats. Модель не була тдтверджена експериментально в повному склад^ Експериментально пiдтверджена адекватнiсть тiльки основних елеменлв, тому до проведення повiрочних експериментiв вона не може вважатися надшною.
8. Висновки
1. В робот була створена математична модель нелшшного електричного кола з автономним регульованим електромехашчним перетворювачем енергп. Модель розроблена з урахуванням вимог до точности необхiдноi для енергетичних розрахунюв.
При розробш моделi кола було дослщжено iснуючi математичнi моделi окремих елеменлв реального кола: асинхронного двигуна, лтй-юнного акумулятора та суперконденсатора, та на основi них складенi найбшьш оптимальнi моделi для цих елеменлв в даному колi.
2. В ходi аналiзу цих моделей було виявлено, що для прискорення розрахунюв можливо спростити модель акумулятора, в той час як модель двигуна була недостатньо точною, оскшьки не враховувала втрати в магштопровод^ Ц втрати були враховано в е^валентнш моделi кола шляхом включення до нього нелшшного резистора.
3. На основi математичноi моделi в програмному пакетi Matlab Simulink була розроблена комп'ютерна модель даного кола. Модель дозволяе проводити дослщження та розрахунки кола з точшстю достатньою для визначення його енергетичних характеристик при помiрних обчислювальних витратах.
Лггература
1. Панкратов В. В. Векторное управление асинхронным электроприводом. HoBOctóipcbK, 1999. 66 с.
2. Статьи о векторном управлении. URL: http://xn— 8sbecmada0aoptggbsmf4a0a.xn--p1ai/stati-o-vektornom-upravlenii.html
3. Shepherd C. M Design of Primary and Secondary Cells // Journal of The Electrochemical Society. 1965. Vol. 112, Issue 7. P. 657-664. doi: http://doi.org/10.1149/1.2423659
4. Tang X. Li-ion battery parameter estimation for state of charge // American Control Conference (ACC). 2011. P. 941-946. doi: http://doi.org/10.1109/acc.2011.5990963
5. Wang C., Appleby A. J., Little F. E. Electrochemical impedance study of initial lithium ion intercalation into graphite powders // Electrochimica Acta. 2001. Vol. 46, Issue 12. P. 1793-1813. doi: http://doi.org/10.1016/s0013-4686(00)00782-9
6. Battery Management System: An Overview of Its Application in the Smart Grid and Electric Vehicles / Rahimi-Eichi H. et. al. // IEEE Industrial Electronics Magazine. 2013. Vol. 7, Issue 2. P. 4-16. doi: http://doi.org/10.1109/mie.2013.2250351
7. Lee J., Nam O., Cho B. H. Li-ion battery SOC estimation method based on the reduced order extended Kalman filtering // Journal of Power Sources. 2007. Vol. 174, Issue 1. P. 9-15. doi: http://doi.org/10.1016/jjpowsour.2007.03.072
8. Matching the nanoporous carbon electrodes and organic electrolytes in double layer capacitors / Maletin Y. et. al. // Applied Physics A. 2005. Vol. 82, Issue 4. P. 653657. doi: http://doi.org/10.1007/s00339-005-3416-9
9. Бшецький О. О. Енергетичш процеси в колах заряду суперконденсаторiв 3Í змшними початковими напругами: дис. ... канд. тех. наук: 05.09.05. Кшв, 2016. 195 с.
10. A MPC based energy management strategy for battery-supercapacitor combined energy storage system of HEV / Liu S. et. al. // 35th Chinese Control Conference. 2016. P. 8727-8731. doi: http://doi.org/10.1109/chicc.2016.7554751
