CC BY
84
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (123) 2013
где 50 — матрица, строки которой составлены из последовательных координат векторов в£,Ш1°,...[И°.
27. Положить 7=7 + 1.
28. Если у < 7 , идти к п. 7.
29. Вычислить у , для которого
Р;.[х“|50гг0((,);(,]=тщсрД?“г50,г°((,);(,].
30. Конец (управление {т Лгй} , где величины т = тI, 5 = 5°, г(£) = е/х для £еД^ соответствуют индексу ], является оптимальным).
Библиографический список
1. Потапов, В. И. Постановка двух задач оптимального управления подвижной структурно-перестраиваемой избыточной системой, управляемой по каналам связи / В. И. Потапов // Динамика систем, механизмов и машин : материалы VIII Междунар. науч.-техн. конф., посвящ. 70-летию ОмГТУ. — Омск : Изд-во ОмГТУ, 2012. - С. 276-278.
2. Потапов, В. И. Новые задачи оптимизации резервированных систем / В. И. Потапов, С. Г. Братцев. — Иркутск : Изд-во Иркут. ун-та, 1986. — 112 с.
3. Потапов, В. И. Противоборство (дифференциальная игра) двух нейрокомпьютерных систем / В. И. Потапов, И. В. Потапов // Информационные технологии. — 2005. — № 8. — С. 53 — 57.
4. Потапов, В. И. Надежность технических нейросистем : моногр. / И. В. Потапов. — Омск : Изд-во ОмГТУ, 2011. — 212 с.
ПОТАПОВ Виктор Ильич, доктор технических наук, профессор (Россия), заведующий кафедрой «Информатика и вычислительная техника», заслуженный деятель науки и техники РФ.
Адрес для переписки: ivt@omgtu.ru
Статья поступила в редакцию 11.07.2013 г.
© В. И. Потапов
УДК 519.711.2:625.85 В. Д. БЕЛИЦКИЙ
А. В. КАТУНИН
Омский государственный технический университет
ТЕЗАУРУС МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПРОЦЕССА УПЛОТНЕНИЯ АСФАЛЬТОБЕТОННОЙ СМЕСИ
Приводится тезаурус математических моделей процесса уплотнения асфальтобетонной смеси. Показано, что обеспечение релаксации смеси в процессе ее уплотнения дает возможность достигнуть качества покрытия и наименьшей энергоемкости процесса уплотнения смеси. Рассмотрены алгоритм и условие реализации рациональной скорости движения дорожного катка в процессе уплотнения, что позволяет разработать алгоритм определения технологических показателей процесса уплотнения асфальтобетонной смеси, отвечающих условию минимизации энергозатрат.
Ключевые слова: математическая модель, процесс уплотнения, асфальтобетонная смесь, период релаксации.
Представление о характере изменения напряжений и деформации материала, в зависимости от его физико-механических свойств при механическом воздействии, дают реологические модели. Последние представляют среду в виде упрощенных механических моделей, составленных из элементов, каждый из которых или их сочетание дают представление об основных свойствах материала и характере напряженно-деформированного состояния под действием внешних нагрузок. Модели идеально пластического тела описывают моделью Сен-Венана. Материал такого типа под действием внешней нагрузки не деформируется пластически до тех пор, пока напряжение не превзойдет определенный предел пластичности тп [1]. Условие наступления пластической деформации как остаточной деформации сдвига определяется соотношением т = тп. Чтобы описать поведение материала, способного проявлять как
упругие, так и вязкие свойства, обычно применяют прием, позволяющий использовать уравнения Гука и Ньютона. Один из путей предложен Максвеллом, который, продифференцировав по времени уравнение Гука
- = —, (1)
df ЕсН
сложил полученную скорость деформации с той скоростью, которая определяется уравнением Ньютона
СІЕ _ X Л Г]
(2)
где т — напряжение, е — относительная деформация; Е — модуль упругости; I — время; п — коэффициент динамической вязкости.
Полученное уравнение
<ІЄ _ 1 <ІТ Т
1П~2~Ё(й + :г]
-%-*.) *г сїє ^<-М х = е " (х0+Е\— -є" <Н),
(3)
(4)
поведение материала, который, обладая упругостью, по существу является жидкостью (максвелловская жидкость). Интересен случай поведения такого материала, когда деформация в нем поддерживается
С?Б
постоянной, т.е. когда — = 0. Тогда из (3), при на-df
чальном условии т(у = т0, здесь t0 — начальное время, имеем
—<м>)
т = т„е
(5)
ґ = ^+^^1п10. 0 Е
(7)
Очевидно, что при нагружении величина относительной деформации асфальтобетонной смеси после ого прохода уплотняющего тела, при прочих равных условиях, будет пропорциональна ее относительной плотности, то есть
к Р,
(8)
где Де. — величина абсолютной деформации уплотняемого слоя; Л — толщина уплотняемого слоя, а — коэффициент пропорциональности; р0 — начальная плотность смеси; р. — плотность асфальтобетонной смеси после ього прохода уплотняющего тела.
Учитывая, что р0/р. = Ь. — показатель степени уплотняемости смеси [4], получим
Де, =Ла (1Ь,)
(9)
Таким образом, при Ь .^1, е^0 процесс уплотнения практически закончен. Выбрав начальное значение показателя степени уплотняемости смеси,
а также массу и геометрические параметры уплотняющего тела, можно сформулировать динамику процесса уплотнения, описать процесс уплотнения асфальтобетонной смеси во времени, установить влияние габаритов уплотняющего тела на процесс уплотнения. Так, по формулам (6) и (7) определяем период времени, необходимый для реализации процесса релаксации напряжений Дt=t—10. Зависимость коэффициента внутреннего трения от показателя степени уплотняемости смеси устанавливается по аналогии с методом, изложенным в работе [5]. Для реализации закона (6) необходимо выполнение условия
М<і,
(10)
При фиксированном значении величины деформации напряжения, возникающие в таком материале, постепенно убывают, происходит релаксация напряжений.
Изучение свойств асфальтобетонной смеси на этапе уплотнения позволило выдвинуть гипотезу о том, что процесс релаксации напряжений в период контакта материала с поверхностью уплотняющего тела происходит по закону (5). При этом значение величины коэффициента динамической вязкости П численно равно коэффициенту внутреннего трения асфальтобетонной смеси [2]. В период очередного прохода уплотняющего агрегата, то есть при фиксированном значении величины деформации, поскольку вес агрегата постоянен, релаксация напряжений в асфальтобетонной смеси происходит по следующему закону [3]
'с = 'с0е , (6)
где ф — угол внутреннего трения.
Определим момент времени, когда напряжение асфальтобетонной смеси будет на порядок меньше исходного напряжения т0, последнее зависит от массы уплотняющего агрегата. Положив т=0,1т0, получим из формулы (6)
где ^ — время контакта уплотняемой площадки асфальтобетонной смеси с уплотняющим телом. Логично сделать допущение о том, что период Дt — величина постоянная. Это объясняется тем, что при уплотнении асфальтобетонной смеси, то есть при росте Ь. одновременно увеличиваются tgф и Е, а их отношение сохраняет постоянство. По формуле (9) определяются соответствующие значения относительной деформации смеси.
Под рациональной скоростью движения дорожного катка, уплотняющего асфальтобетонную смесь, будем понимать значение величины скорости, при котором реализуется период релаксации. Период релаксации — это время, в течение которого первоначальная величина напряжений при фиксированной деформации снижается в е раз (е — основание натурального логарифма) [6]. В работе [7] получено аналитическое условие рациональной скорости движения дорожных катков при уплотнении асфальтобетонной смеси. То есть скорости, при которой реализуется период релаксации уплотняемой смеси. Были установлены зависимости между такими важными технологическими показателями, как: временем релаксации и углом внутреннего трения, абсолютной и относительной деформациями, модулем упругости смеси, контактными напряжениями, деформацией, показателем степени уплотняемости смеси и другими величинами. Полученные закономерности позволяют разработать алгоритм определения параметров процесса уплотнения асфальтобетонной смеси, при котором достигается высокое качество покрытия, а энергозатраты минимальны. Также доказано [8], что обеспечение релаксации смеси в процессе ее уплотнения как раз и дает возможность достигнуть этих двух важнейших показателей: качества покрытия и наименьшей энергоемкости процесса уплотнения смеси. Приходим к выводу, что реализация рациональной скорости движения катков при уплотнении смеси позволит достигнуть указанных показателей.
Анализ теоретических и экспериментальных данных [9, 10] позволил получить качественные характеристики зависимостей между величинами абсолютной деформации уплотняемого асфальтобетонного слоя и контактного напряжения, создаваемого катком при условии реализации и не реализации релаксационного процесса асфальтобетонной смеси. Когда процесс релаксации уплотняемой асфальтобетонной смеси реализуется, напряжения в уплотняемом слое падают практически до нуля. Далее, при каждом последующим контакте катка с поверхностью уплотняемого слоя, последний начинает деформироваться с начального момента контакта, а не с запаздыванием. Запаздывание процесса
или
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (123) 2013 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (123) 2013
деформирования происходит, когда время тратится на преодоление остаточных упругих напряжений, что имеет место при отсутствии реализации процесса релаксации. Как следствие этого, уменьшение величины абсолютной деформации при повторных контактах катка с уплотняемым слоем происходит по линейному закону, если процесс релаксации реализуется, и имеет нелинейную зависимость в противном случае. Таким образом, для обеспечения стабильного приращения величины абсолютной деформации асфальтобетонного слоя, в случае не реализации процесса релаксации, необходимо увеличить контактные напряжение, что приводит к дополнительным энергозатратам.
Итак, величина скорости движения катков при уплотнении асфальтобетонной смеси в алгоритме — рациональная (&р). Тогда величину производительности процесса уплотнения определим как
я=£Д,
(11)
здесь П. — производительность уплотнения при 1-ом проходе, которую, в свою очередь, определим, как
Д.=Д.ДЕ,.ЭР,
(12)
где В. — ширина вальца; &р. — скорость движения дорожного катка при г-ом проходе.
Величина энергии, затраченная на весь процесс уплотнения, определяется следующими выражениями:
^.=ЧВіЛє,Л1
(13)
(14)
здесь Li — длина г-ого прохода.
Выражение (13), с учетом формулы (14) и величины рациональной скорости, представим в виде
(15)
где ti — время (продолжительность) г'-ого прохода.
Время ti определим как отношение величины Li, которую можно считать константой к величине & , то есть
(16)
Скорость & , являясь решением уравнения (12), также выражается через Ь.. В свою очередь, как показано в работе [7]
Е,=СІ+ Д.Э^
(17)
где С и D — величины, зависящие от Ь..
Наконец, связь величин В. с Ь. найдем, воспользовавшись формулами из работы [11]
= (Шйщ+ Щ),
Т°‘ В{д(йщ)2
(іщ = 2Д агссоє (1 - ——),
(18)
(19)
здесь R. — радиус вальца; <1и. — длина дуги окружности вальца, которая погружена в смесь при контакте; О. — вес катка, приходящийся на валец.
Действительно, установив, например, зависимость между величинами абсолютной деформации и контактных напряжений в режиме нагрузка — разгрузка, при соблюдении релаксационного периода для данного типа смеси можно, реализуя полученные здесь зависимости, определить технологические параметры процесса уплотнения, энергоемкость уплотнения при каждом проходе катка, а также энергоемкость операции уплотнения в целом.
Выводы.
1. Согласно аксиоме реологии, каждый реальный материал, в том числе и асфальтобетонная смесь, обладает всеми реологическими свойствами, проявляющимися в различной степени в зависимости от условий протекания деформации. В модели (6) — (10), на разных этапах уплотнения сочетаются как упругие, так и пластические свойства асфальтобетонной смеси.
2. Возможность определения периода релаксации напряжений асфальтобетонной смеси позволяет установить рабочую скорость уплотняющего агрегата, поскольку период релаксации напряжений должен быть не больше времени контакта смеси с уплотняющим телом.
3. Величину энергии, затрачиваемой на весь процесс уплотнения, можно представить как энергетическую функцию одной переменной Ь, то есть
W(b). Это позволяет разработать алгоритм определения технологических показателей процесса уплотнения асфальтобетонной смеси, отвечающих условию минимизации энергозатрат.
Библиографический список
1. Гольденблат, И. И. Введение в теорию ползучести строительных материалов / И. И. Гольденблат. — М., Л. : Гос. изд-во по строительству и архитектуре, 1952. — 120 с.
2. Завьялов, М. А. Возможная реологическая модель релаксации асфальтобетонной смеси при уплотнении / М. А. Завьялов, А. М. Завьялов // Строительные и дорожные машины. — 2002. - № 7. - С. 25-26.
3. Богуславский, А. М. Реологические свойства асфальтового бетона различных составов / А. М. Богуславский, Л. А. Богуславский // Автомобильные дороги. — 1968. — № 2. - С. 18-19.
4. Завьялов, А. М. Анализ энергозатрат при укладке асфальтобетонной смеси / А. М. Завьялов, М. А. Завьялов // Строительные и дорожные машины. - 2001. - № 5. - С. 15-18.
5. Завьялов, М.А. Влияние удобоукладываемости асфальтобетонной смеси на энергоемкость процесса уплотнения / М. А. Завьялов, А.М. Завьялов // Строительные и дорожные машины. - 2002. - № 1. - С. 14-16.
6. Гезенцвей, Л. Б. Релаксация напряжений в асфальтобетоне / Л. Б. Гезенцвей, Э. А. Казарновская // Тр. Союздор-НИИ. - М. : Транспорт, 1966. - Вып. 7. - С. 54-59.
7. Завьялов, А. М. Аналитическое условие рациональной скорости движения дорожных катков при уплотнении асфальтобетонной смеси / А. М. Завьялов, М. А. Завьялов // Строительные и дорожные машины. - 2002. - № 9. - С. 44-45.
8. Завьялов, М. А. Закономерности остывания асфальтобетонного слоя и их связь с продолжительностью процесса уплотнения / М. А. Завьялов // Механизация строительства. - 2004. - № 2. - С. 17-18.
9. Завьялов, М. А. Формирование и оценка состояния дорожного асфальтобетонного покрытия на основе термодинамической теории : автореф. дис. ... д-ра техн. наук / М. А. Завьялов. - М., 2008. - 42 с.
10. Завьялов, М. А. Энергетическая функция процесса уплотнения асфальтобетонной смеси / М. А. Завьялов // Строительные и дорожные машины. - 2003. - № 3. - С. 19-21.
11. Завьялов, А. М. Влияние скорости движения дорожных катков на величину контактных напряжений при уплотнении асфальтобетонной смеси / А. М. Завьялов, М. А. Завьялов // Строительные и дорожные машины. — 2003. — № 9. — С. 22-23.
БЕЛИЦКИЙ Виктор Дмитриевич, кандидат технических наук, доцент (Россия), заместитель заведующего кафедрой «Нефтегазовое дело», почетный работник высшей школы Российской Федерации.
КАТУНИН Александр Владимирович, аспирант кафедры «Нефтегазовое дело», заведующий лабораториями.
Адрес для переписки: thngss@rambler.ru
Статья поступила в редакцию 24.04.2013 г.
© В. Д. Белицкий, А. В. Катунин
УДК 5179 Л. В. БЕЛЬГАРТ
Омский государственный технический университет
О ДИХОТОМИИ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Для указанного в названии статьи класса динамических систем получен достаточный признак экспоненциальной дихотомии в терминах коэффициентов.
Ключевые слова: экспоненциальная дихотомия, прямой метод Ляпунова, индефинитная эрмитова форма.
1. Одна из проблем теории устойчивости — разработка эффективных методов анализа поведения при большом времени динамических систем, параметры которых почти периодически зависят от времени. Во второй половине прошлого века получен ряд результатов по этой проблематике в рамках метода малого параметра — работы И. З. Штокало, Н. П. Еругина, В. Н. Фомина, Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского, В. Ш. Бурда, Ю. С. Колесова [1-7] и других авторов. Вместе с тем в ряде случаев возникающие в приложениях задачи расчёта динамических систем на устойчивость и дихотомию не вкладываются в схему этого метода.
Некоторое продвижение произошло в последние 20 лет. В цикле работ [8-20] группы сотрудников и аспирантов ОмГТУ получены прямым методом Ляпунова признаки экспоненциальной устойчивости для различных классов почти периодических уравнений — дифференциальных, разностных, функционально-дифференциальных — с существенно ослабленным по сравнению с общим случаем условием на производную функции Ляпунова вдоль траекторий системы.
Начиная с середины прошлого века в теории дифференциальных уравнений интенсивно изучается более сложный, чем устойчивость, тип поведения решений, получивший название «экспоненциальная дихотомия». Получены приложения теории экспоненциальной дихотомии к задачам теории нелинейных колебаний, теории автоматического управления и другие. Представляет теоретический и практический интерес распространение методов и результатов указанных выше работ по анализу устойчивости решений почти периодических систем на этот случай. Первые результаты в этом на-
правлении получены в вышедших в последние пять лет работах Р. К. Романовского и Л. В. Бельгарт [21-24]. В частности, в работе [22] доказан прямым методом Ляпунова критерий экспоненциальной дихотомии для линейной системы
х = А({)х, (1)
с почти периодической матрицей A(t) с ослабленным условием на производную функции Ляпунова вдоль траекторий системы. Данная работа является продолжением исследований, выполненных в этой работе.
Задачи теории колебаний, теории автоматического управления в ряде случаев приводят к анализу асимптотического поведения — устойчивости, дихотомии — линейных систем вида
и + р(()и + чт(()и = 0, (2)
с периодическими и почти периодическими матрицами p(t), q(t). Результат работы [22] позволяет получить просто проверяемый достаточный признак экспоненциальной дихотомии для системы (2).
Далее в пунктах 2-4 даны необходимые определения и сформулирована теорема из [22], в п. 5 излагается новый результат.
2. Пусть заданы функция ОД: R^C и число е>0.
Число T = Це) называется е-почти-периодом
функции ОД, если выполняется неравенство |^ +
+ 7)-ОД|<е ^еЩ.
Функция ОД называется почти периодической (п.п.), если она непрерывна на оси и для любого е>0 существует такое число 7=7(е), что любой отрезок длины I на оси содержит хотя бы один е-почти-период.
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (123) 2013 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
