CC BY
45
Владикавказский математический журнал 2010, Том 12, Выпуск 2, С. 31-45
УДК 519.688, 517.18
ТЕТРАЦИЯ КАК СПЕЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
Д. Ю. Кузнецов
Голоморфная тетрация (суперэкспонента) по основанию е и ее обратная функция (арктетрация) аппроксимированы элементарными функциями.
Ключевые слова: тетрация, суперфункция, функция Абеля, голоморфная функция, аналитич-ная функция, суперэкспонента, суперлогарифм, аккуратная аппроксимация функций, специальные функции, итерирование функций, нецелые итерации.
Введение
Тетрация или суперэкспонента определяется как голоморфное решение F уравнения
F(z + 1) = expb (F(z)). (1)
Такое уравнение рассматривалось с 1950-х гг. [1-10]. В частности, для «натурального» основания b = e. Термин «суперэкспонента», или sexp, указывает на то, что функция F является суперфункцией [9, 11] от экспоненты.
Вообще говоря, для некоторой функции H, которую можно назвать передаточной функцией [11, 12], суперфункция F есть голоморфное решение уравнения
F (z + 1) = H (F (z)). (2)
Уравнение (1) является специальным случаем уравнения (2) для H = expb. При этом умножение является суперфункцией сложения (прибавления константы), экспонента — суперфункцией от умножения на константу, а решение F уравнения (1) — суперфункцией от экспоненты, т. е. суперэкспонентой.
Специальный случай суперэкспоненты F, голоморфной хотя бы в правой части комплексной плоскости, я называю «тетрацией», F = tetb, если эта функция удовлетворяет дополнительному условию
F (0) = 1. (3)
Четыре примера таких функций показаны на рис. 1 для b = л/2, b = exp(1/e), b = 2 и b = e.
Тетрация tetb (z) может интерпретироваться как результат z-кратного экспоненциро-вания единицы, по крайней мере для целых значений z:
tetb(z) =expJ expb(..expb(1)..))
----.-^ . (4)
z exponentiations
© 2010 Кузнецов Д. Ю.
Рис. 1. Тетрация tetb(x) по основанию b = e (толстая сплошная), b = 2 (пунктир), b = exp(1/e) (тонкая сплошная) и b = \f2 (точки) как голоморфное решение уравнений (1), (2) для вещественных значений x.
Имя функции «тетрация» («tetra» значит «четыре») указывает, что эта функция является четвертым элементом последовательности функций (единичный инкремент, сложение, умножение, экспонента, тетрация, пентация, ...), в которой каждый элемент (кроме элемента номер ноль) является суперфункцией для предыдущего элемента и передаточной функцией для последующего элемента. Физические приложения суперфункций, которые обосновывают термин «передаточная функция», предложены в работах [8, 11, 12]; суперфункция и ее обратная функция позволяют определять нецелые итерации функций и, в частности, такие экзотические функции, как ^/exp Кнезера [1] и Л описанный в работе [11].
Способ аппроксимации решения уравнения (1) зависит от b. При 1 < b < exp(1/e) может использоваться так называемая регулярная итерация (regular iteration) [2, 3, 5-7, 9]. Для b > exp(1/e), решение можно вычислять через контурный интеграл [8], предполагая, что эта функция голоморфна на множестве
C = C \{x G R : x <-2}. (5)
Такое представление позволяет выразить производную tet' и вычислять обратную функцию, т. е. арктетрацию ate = tet-1. Для такой обратной функции может использоваться обозначение «суперлогарифм», slog, хотя tet-1 и не является суперфункцией от логарифма. Арктетрация удовлетворяет уравнению
ate(exp(z)) = ate(z) + 1. (6)
Единственность решения ate, биголоморфного на множестве
G = {z G C : Re(z) > Re(L); |z| < |L|}, (7)
исследуется в работах [8, 10]. Здесь L ~ 0.318 + 1.337 i есть стационарная точка логарифма, т. е. решение уравнения L = log(L). В языке программирования Maple константа L может быть представлена как conjugate(-LambertW(-1)), а в языке Mathematica эта константа выражается как Conjugate[-ProductLog[-1]].
В этой статье я предлагаю несложные аппроксимации функций tet и ate, которые могут быть прототипами для их численного complex < double > представления. Здесь я рассматриваю только случай b = e; log = ln = loge и H = exp = expe. Тетрация при других значениях основания b > e1/e может быть рассмотрена аналогичным образом. Ниже предлагается аппроксимация для функции tet = tete, показанная на рис. 1 толстой сплошной кривой, но эта аппроксимация не ограничивается вещественными значениями аргумента. Карты тетрации и арктетрации в комплексной плоскости показаны на рис. 2.
Im(z)
4 3 2 1 0 -1 -3 -3 -4 -5
Re(z)
Im(z)
p = 2.2 p = 2 q = 0.6 q = 0.4
4 3 2 1 0
-1 -2 -3 -4
5
2.4 0 8 8
q =0.
=1
p = -1
=- 1
2.4 =- 0.8 /
q q X /
;q = 0.2
_p =1.8
-6 -4 -2
4
6
q=0
-p =1.8 -q = -0.2
Re(z)
2
Рис. 2. Функции f = tet(z) и f = ate(z) в комплексной z-плоскости. Показаны уровни p = Re(f) = const и q = Im(f) = const.
2. Свойства функций tet и ate
В этом параграфе обсуждаются свойства функций f = tet(z) и f = ate(z), следующие из их представления через контурный интеграл [8]. Поведение этих функций в комплексной плоскости z показано на рис. 2 с помощью линий p = Re(f) = const и q = Im(f) = const. Уровни целых значений p и q показаны толстыми темными линиями. Толстые светлые линии показывают уровни p = Re(L) и |q| = Im(L). Тонкие линии показывают промежуточные уровни, затененный серп — область G по формуле (7). Верхний угол этого серпа есть L, а нижний L*. Затененная полоса показывает домен ate(G).
Функция tet имеет точку ветвления —2 и разрез вдоль вещественной оси до —то. Положение этого разреза соответствует условию вещественности функции, т. е. tet(z*) =
Функция ate имеет две точки ветвления, и необходимо выбрать положение линий разреза. В работе [8], линии разреза соответствуют уровню Re(ate(z)) = -2, при этом разрезы «накручиваются» вокруг точек ветвления, и вычисление положений этих разрезов замедляет алгоритм вычисления арктетрации. Поэтому в этой работе линии разреза помещены вдоль прямых, параллельных вещественной оси.
Функция tet асимптотически приближается к своим предельным значениям L в верхней полуплоскости и L* в нижней полуплоскости. Это приближение видно на рис. 2 в той части, где линии p = Re(L) почти параллельны линиям q = Im(L). Стремление к значению L экспоненциальное [8]. Апроксимация тетрации tet(z) при больших значениях Im(z) должна использовать это свойство. В левой части комплексной плоскости, а также вблизи вещественной оси, кроме уравнения (1) функция f = tet удовлетворяет также «обратному» соотношению, т. е.
Уравнения (1) и (8) упрощают аппроксимирование функций. Для численного представления тетрации, достаточно аппроксимировать эту функцию в некоторой связной области комплексной плоскости, которая простирается от — iro до iro так, что ширина ее сечения при каждом значении Im(z) = const превышает единицу. Эта область может частично перекрываться с изображением tet(G) домена G. В частности, этот район может быть полоской |Re(z)| < 1/2, использованной в работе [8], но может быть и «альтернативной полоской» —1 < Re(z) < 0, предложенной для проверки аппроксимации. Аналогично, для представления функции ate, достаточно аппроксимировать ее в некоторой области, которая простирается от L* до L так, что экспонента от левого края области попадает внутрь области (или хотя бы на правый край этой области).
Ниже, я предлагаю аппроксимации, построенные на основе дискретного представления этих функций через контурный интеграл [8]. Затем, свойства функций tet и ate используются для обобщения этих представлений на всю комплексную плоскость
Для того, чтобы отличать функции tet и ate от их аппрокимаций, я даю специальное имя каждой аппроксимации. Аппроксимации функции tet при больших значениях мнимой части аргумента получается из асимптотического разложения
tet(z)*.
log f (z + 1))= f (z) Vz G C : |Im(f (z))| < n.
(8)
3. Численное представление тетрации: fima
tet(z) = L + ^ Am,n exp (Lnz + amz).
(9)
n,m
Подставляя такое разложение в уравнение (1) и считая ехр(Ь,г) малым параметром, получаю значение а = 2п1 и уравнения для коэффициентов А.
Учет нескольких слагаемых в разложении (9) дает асимптотическую аппроксимацию, назову ее Аша:
N
„и
йша(г) = ^ аиеи + ве ехр(2п^), (10)
и
и=0
где в является константой, малый параметр
е = ехр (Ьг + К), (11)
а коэффициенты
ао = Ь и 0.3181315052047641353 + 1.33723570143068940891, (12)
а1 = 1, (13)
а2 = и -0.1513148971556517359 - 0.29674883673224130671, (14)
Ь - 1
аз = а22+ 1/6 = ттл—1+72-ГТ и -0.03697630940906762 + 0.098730544311496971, (15)
Ь — 1 6(Ь — 1)(Ь — 1)
6 + 6Ь + 5Ь2 + Ь3
а4 =
24(Ь - 1)3(Ь + 1)(Ь2 + Ь + 1) (16)
0.0258115979731401398 0.017386962126530755 1,
24 + 36Ь + 46Ь2 + 40Ь3 + 24Ь4 + 9Ь5 + Ь6
а5 =
120(Ь - 1)4(Ь + 1)2(1 + Ь + 2Ь2 + Ь3 + Ь4) (17)
и -0.0079444196 + 0.000579250181.
Параметр К вводится для того, чтобы положить а1 = 1. Тогда получаются несложные выражения и других коэффициентов а через стационарные значение Ь логарифма. Значение этого параметра выбирается так, чтобы при фиксированном И,е(,г) и больших значениях 1ш(г) ^ 1 имела место асимптотика
1е1(,г) = Ь + ехр(Ь,г + К) + 0( ехр(2Ьг)). (18)
Увеличение количества слагаемых в полиноме (10) и добавление полиномов от е с множителями ехр(2п1я), ехр(4п1г), и т. д., улучшает аппроксимацию, но для алгоритма с 14-ю десятичными знаками, описанного ниже, достаточно в сумме (10) взять 6 слагаемых, полагая N = 5, и учесть одно слагаемое, пропорциональное ехр(2п1г). Я оцениваю параметры К и в, аппроксимируя численное решение [8]:
К и 1.0779614375280 - 0.94654096394782 1, (19)
в и 0.12233176 - 0.02366108 1. (20)
Можно ожидать, что эти значения аппроксимируют фундаментальные математические константы. Приближение Аша по формуле (10) показано на верхнем графике рис. 3 в тех же обозначениях, что и на рис. 2. В нижней части рис. 3 показано согласие
= - ^ ехр (Аша(г - 1)) - йша(г) . (21)
1ш(г) 4
3 2 1 0
1ш(г)
4 3 2 1 0
6
-6
4
2
0
2
4
4
2
0
2
4
6
Иф)
О 0 > 14
)о
)о"
—— Оо < 1
6
Иф)
Рис. 3. Аппроксимация f = Еша(г) по формуле (10) и согласие Д по формуле (21)в комплексной ^-плоскости.
Эта функция выражает невязку при подстановке ^ ^ Аша в уравнение (1). Уровень О = 1 показан очень толстой светлой, самой нижней линией; уровни О = 2,4, 6, 8 — тонкими черными линиями; уровни О = 10,12,14 — толстыми линиями. Функция согласия указывает, сколько верных десятичных цифр можно ожидать получить в этом приближении. В частности, для значений аргумента над всеми проведенными линиями, можно ожидать получить по крайней мере 14 корректных десятичных знаков, в то время как для значений под нижней (самой толстой) линией, даже первый десятичный знак такого приближения сомнителен
Вместе с «сопряженным» приближением йша(г*)*, аппроксимация (10) покрывает значительную часть комплексной плоскости, но не годится вблизи вещественной оси.
4. Аппроксимация тетрации: разложение в нуле
Ряд Тэйлора имеет радиус сходимости, равный расстоянию от точки разложения до ближайшей сингулярности. В случае тетрации, конечная сумма ряда Маклорена дает приближение
N-1
па1у(г) = вигп, 1еф) = па1у(г) + ), (22)
п=0
аппроксимирущее тетрацию при |г| < 2. Эта аппроксимация показана на рис. 4. Аппроксимации первых коэффициентов сп представлены в первом столбце таблицы 1.
Im(z)
0
-1 -2
Im(z)
1 0 -1 2
< 1 Im(z)
0 -1 2
-2 0 2 Re(z) -2 0 2 Re(z) -2 0 2 Re(z)
Рис. 4. Аппроксимация f = naiv(z) оборванным рядом Тэйлора в нуле по формуле (22) тетрации tet, левый график; согласия D1 и D2 по формулам (23) и (24), центральный и правый графики.
Таблица 1
Коэффициенты в разложениях (22), (25) и (29)
1
1
n cn sn Re(tn) Im(tn)
0 1.00000000000000 0.30685281944005 0.37090658903229 1.33682167078891
1 1.09176735125832 0.59176735125832 0.01830048268799 0.06961107694975
2 0.27148321290170 0.39648321290170 -0.04222107960160 0.02429633404907
3 0.21245324817626 0.17078658150959 -0.01585164381085 -0.01478953595879
4 0.06954037613999 0.08516537613999 0.00264738081895 -0.00657558130520
5 0.04429195209047 0.03804195209047 0.00182759574799 -0.00025319516391
6 0.01473674209639 0.01734090876306 0.00036562994770 0.00028246515810
7 0.00866878181723 0.00755271038865 0.00002689538943 0.00014180498091
8 0.00279647939839 0.00328476064839 -0.00003139436775 0.00003583704949
9 0.00161063129058 0.00139361740170 -0.00001376358453 -0.00000183512708
10 0.00048992723148 0.00058758348148 -0.00000180290980 -0.00000314787679
11 0.00028818107115 0.00024379186661 0.00000026398870 -0.00000092613311
12 0.00008009461254 0.00010043966462 0.00000024961828 -0.00000013664223
14 0.00001218379034 0.00001654344436 0.00000000637479 0.00000002270476
15 0.00000866553367 0.00000663102846 -0.00000000341142 0.00000000512289
16 0.00000168778232 0.00000264145664 -0.00000000162203 0.00000000031619
17 0.00000149325325 0.00000104446533 -0.00000000038743 -0.00000000027282
18 0.00000019876076 0.00000041068839 -0.00000000001201 -0.00000000013440
19 0.00000026086736 0.00000016048059 0.00000000002570 -0.00000000002543
20 0.00000001470995 0.00000006239367 0.00000000000935 0.00000000000045
21 0.00000004683450 0.00000002412797 0.00000000000170 0.00000000000186
22 -0.00000000154924 0.00000000928797 -0.00000000000005 0.00000000000071
23 0.00000000874151 0.00000000355850 -0.00000000000016 0.00000000000012
24 -0.00000000112579 0.00000000135774 -0.00000000000005 -0.00000000000001
25 0.00000000170796 0.00000000051587 -0.00000000000001 -0.00000000000001
Нулевой столбец таблицы 1 указывает номер п коэффициента, первый столбец — значение коэффициента сп в формуле (22).
Точность аппроксимации (22) может быть охарактеризована функциями согласия:
В1 = — ^ I ехр(па1у(,г — 1)) — па1у(г) I, (23)
Эти функции построены на центральном и правом графиках рис. 4. Знак «15» указывает область, где согласие больше 14. Рисунок указывает, что при |г| < 1, такая конечная сумма ряда Тэйлора дает порядка 15 значащих цифр.
Чтобы расширить область аппроксимации, имеет смысл «выключить» сингулярность в точке —2, раскладывая функцию — log(z + 2) вместо функции Такое раз-
ложение дает приближение
N-1
тае1о(г) = log(z + 2) + ^ (25)
п=0
tet(z) = maclo(z) + ).
(26)
Название maclo (MAClaurin expansion with LOgarithm) указывает, что использованы разложение Маклорена и логарифм. Приближения коэффициентов разложения представлены во втором столбце таблицы 1.
Функция maclo показана на рис. 5 для N = 101. При построении рисунка использован генератор [14].
Im|(z)
2 1 6'
-1 -2
2 1 0 -1 2
2 Re(z)
2
0
2 Re(z)
Im(z) 2 1 0 -1 2
2
0
2 Re(z)
Рис. 5. Функция f = шас1о(,г) по формуле (25) при N = 101 в комплексной ^-плоскости, слева; согласия и по формулам (27) и (28), центр и справа.
Область аппроксимации тетрации функцией тае1о шире, чем в случае непосредственного разложения тетрации в нуле. В правой части того же рис. 5 показаны согласия
D3 = — lg exp (maclo(z + 1)) — maclo(z)
(27)
D4 = — lg log (maclo(z — 1)) — maclo(z) . (28)
В центральной области невязки при подстановке tet ^ maclo в уравнения (1), (8) имеют порядок величины 10-15.
5. Разложение Тэйлора функции tet в точке 3i
Карты согласий D на рис. 3 и 5 указывают, что в области значений z ^ 3i, каждая из аппроксимаций fima(z) и maclo(z) дает мало значащих цифр. В этой секции предложено разложение Тэйлора функции tet(z) в точке z = 3i; назову такую аппроксимацию «tai» (TAylor expansion centered at the Imaginary axis):
N-1
tai(z) = tn (z - 3i)n . (29)
n=0
Коэффициенты этого разложения оценены в последних двух столбцах таблицы 1. Для N = 51 функция tai построена на рис. 6.
ImfzJ 5 4 3 2 1 0 1
2
0
2
Re(z)
Im(z) 5 4 3 2 1 0 1
2
0
2
Re(z)
(30)
Рис. 6. Функция $ = tai(z) по формуле (29) для N = 51 и согласие по формуле (30).
Рисунок построен с помощью генератора [15]. Погрешность аппроксимации решения уравнений (1), (8) характеризуется согласием
Въ = - ^ | + 1)) - tai(z)|.
Это согласие построено в правой части рис. 6.
5 4 3 2 1 0
1 0
(Z)/z
//, D > L4
Ш
T) ^
-fv
2
0
2
Re(z)
Re(z)
Рис. 7. Сравнение аппроксимации tai по формуле (29) с аппроксимациией fima по формуле (10), слева, и с аппроксимацией maclo по формуле (25), справа: согласия D = D6 и D = D7 по формулам (31), (32) в комплексной z-плоскости.
Взаимное согласие аппроксимаций может быть характеризовано функциями:
D6 = — lg |fima(z) — tai(z)|,
(31)
В7 = - ^ |шас1о(г) - tai(z) |. (32)
Эти функции показаны на рис. 7. В центральных областях невязка не превышает 10-14. На основе этого рисунка я предлагаю следующую аппроксимацию:
fse(z) =
fima(z), 4.5 < Im(z),
tai(z), 1.5 < Im(z) < 4.5,
maclo(z), —1.5 < Im(z) < 1.5,
tai(z*)*, —4.5 < Im(z) < —1.5, fima(z*)*, Im(z) < —4.5.
(33)
Эту аппроксимацию интересно сравнить с результатами, опубликованными ранее. Ниже анализируется отклонение Гяе^) — ^4(2), где ^4(2) есть аппроксимация, полученная с помощью контурного интеграла [8]. В левой части рис. 8 показано согласие
^в = — ^|£зе(г) — *4(г)| (34)
аппроксимации 1не с аппроксимацией ^4 тетрации через контурный интеграл [8].
со сдвинутой на -0.5 базовой областью, справа.
Рис. 8 выявляет дефекты каждой из аппроксимаций. Скачки при Im(z) = 1.5 и при Im(z) = 2.5 вызваны переходом от функции maclo к функции tai и от функции tai к функции fima в комбинации FSE. Скачки при полуцелых значениях Re(z) вызваны разрывами функции F4, которая расширяет начальное приближение, справедливое для |Re(z)| < 1, используя |Re(z)| < 1/2 в качестве базового интервала. Ошибки округления приводят к нерегулярной структуре. По крайней мере внутри полоски |Re(z)| < 1.5 взаимные отклонения этих аппроксимаций имеют порядок величины 10-14.
В правой части рис. 8 построено согласие для функции F5, которая аналогична функции F4, но базовый интервал сдвинут на —1/2. Аппроксимация F5 имеет скачки при целых значениях вещественной части. Эти скачки тоже малы; согласие во всяком случае не хуже, чем для функции F4.
Таким образом, различие всех трех аппроксимаций имеет порядок величины 10-14. На основе рис. 7, 8 я предлагаю финальную аппрокцимацию FSE (Fast Super Exponential) тетрации tet:
'FIMA(z), TAI(z),
4.5 < Im(z), 1.5 < Im(z) < 4.5,
FSE(z) = { MACLO(z), —1.5 < Im(z) < 1.5, TAI(z*)*, —4.5 < Im(z) < —1.5, FIMA(z*)*, Im(z) < —4.5,
где
ИМА^) =
\ Аша(^),
1ш(г) > 4 + 0.2379Ие(г),
|ехр(Е1МА(,г - 1)), 1ш(г) < 4 + 0.2379Иф),
Ча1(г), |Ке(^)| < 0.5,
ТА1(г) = 1 log(TAI(z + 1)), Ие(г) < -0.5,
ехр(ТА1(,г - 1)), Ие(г) > 0.5,
Ча1(г), |Не(^)| < 0.5,
log(MACLO(z + 1)), Иф) < -0.5, ехр(МАСЬО(г - 1)), Иф) > 0.5.
МА^О(я) =
(36)
(37)
(38)
Эта аппрокцимация дает по меньшей мере 14 верных десятичных знаков голоморфной тетрации 1е1 и согласуется с результатами [8].
-3 / III /111 /1
\ 2 //
У 7
2 - 1
/ " /1111 ---2
X
Рис. 9. Первые четыре производные функции f = 1е^х) для вещественных значений х.
Насколько я могу судить, эта аппроксимация быстрее и точнее всех аппрокцимаций голоморфной тетрации, публиковавшихся ранее. Большое число слагаемых сохранено в аппроксимациях (29) и (25) для того, чтобы обеспечить их хорошее перекрытие на рис. 7 и 8. На конечной стадии имплементации количество слагаемых в аппроксимациях рядов может быть уменьшено без потери точности. Особенно это относится к вычислению тетрации на вещественной оси: достаточно обеспечить хорошую аппроксимацию функции 1е1(г) для |г| < 1/2, что составляет всего четвертую часть от радиуса круга, в котором аппроксимация тетрации функцией шас1о дает 14 знаков.
По просьбе коллег, я перевел алгоритм быстрого вычисления тетрации и арктетрации с языка С++ на язык МаЛеша^са. В качестве примера использования, на рис. 9 с этим алгоритмом построены первая, вторая, третья и четвертая производные тетрации, как функции вещественного аргумента. Код, генерирующий этот рисунок, доступен на ситизендиуме [16]. В принципе, с тем же кодом (т. е. на языке МаШешаИса) можно получать и другие рисунки для тетрации и арктетрации по основанию е и, в частности, карты этих функций в комплексной плоскости.
6. Аппроксимация арктетрации ate, функция FSL
Обратная функция тетрации, т. е. арктетрация ate = tet-1, удовлетворяет уравнениям:
ate(z) = ate(exp(z)) — 1, (39)
ate(z) = ate(log(z)) + 1, (40)
по крайней мере, пока z € G. Кроме того, ate(1) = 0. Эта функция может быть представлена как численное решение уравнения tet(ate(z)) = z; однако, такое представление существенно медленнее, чем аппроксимация с помощью подходящих элементарных функций.
Первая (и наивная) попытка численного представления функции ate — это, естественно, разложение Тэйлора в единице. Коэффициенты такого разложения можно найти, обращая ряд naiv по формуле (22). Радиус сходимости такого обращенного ряда есть |L| ~ 1.5, причем аппроксимация особенно плоха в окрестности стационарных точек L и L* логарифма. Лучше разложить функцию
ate(z) - fcö - log^ (41)
в точке z = 1. Такое разложение ведет к аппроксимации
fsl(z) = l°g(L-^ + l°g(L-Ll + £ u,(z - 1)"; (42)
n=0
ate(z) = fsl(z) + O ((z-1)w) (43)
Приближенные значения первых коэффициентов u этого разложения представлены в таблице 2. Аппроксимация fsl при N = 70 показана на рис. 10.
Формально, разложение Тэйлора функции (41) в точке z = 1 имеет тот же радиус сходимости, что и разложение Тэйлора функции ate. Однако практически, при численном представлении функции, аппроксимация по формуле (42) сходится существенно быстрее, чем непосредственное разложение Тэйлора функции ate. Функция fsl аппроксимирует ate даже на границе круга сходимости ряда и, в частности, вблизи концов серпа G, т. е. вблизи точек L и L*. Функция fsl имеет те же точки ветвления L и L*, что и функция ate, и тоже принимает бесконечные значения в этих точках.
Таблица 2
Коэффициенты un в разложении (42)
n un n un n un
0 1.41922521550451 10 0.00000003111805 20 0.00000000002293
1 -0.02606629029752 11 0.00000002940887 21 -0.00000000002462
2 0.00173304781808 12 -0.00000001896929 22 0.00000000000666
3 -0.00001952130725 13 0.00000000351784 23 0.00000000000322
4 -0.00006307006450 14 0.00000000204270 24 -0.00000000000354
5 0.00002567895998 15 -0.00000000171995 25 0.00000000000096
6 -0.00000559010027 16 0.00000000039882 26 0.00000000000051
7 -0.00000007279712 17 0.00000000019328 27 -0.00000000000055
8 0.00000065148872 18 -0.00000000019113 28 0.00000000000014
9 -0.00000027698138 19 0.00000000004947 29 0.00000000000009
Im(z) 1 0 -1 -2
Im(z)
Im(z) 1
-10 12 Re(z)
2
-10 12 Re(z)
2
-10 12 Re(z)
Рис. 10. Функция 1в1(,г) по формуле (42), слева; согласия по формулам (44) и (45), центр и справа; область О по формуле (7) затенена.
Чтобы оценить невязки при подстановке ate ^ fsl в уравнения (39), (40) согласия
Da = - lg
fsl(exp(z)) - 1 - fsl(z)
Db = - lg fsl(log(z))+ 1 - fsl(z)
(44)
(45)
построены на центральном и правом графиках рис. 10. Как и раньше, символ «15» указывает область, где согласие лучше четырнадцати. (Внутри внутренних контуров, невязки не превышают 10-14.)
Область аппроксимации может быть расширена с помощью функции
FSE(z) =
fsl(z),
FSL(exp(z)) - 1, FSL(log(z)) + 1,
|Im(z)| < Im(L) &,
|z-1| < | log(z) - 1| & |z-1| < | exp(z) - 1|, |Im(z)| < Im(L) & |z-1| > | exp(z) - 1|, |Im(z)| > Im(L) or |z-1| > | log(z) - 1|.
(46)
Расширение (46) позволяет накрыть всю комплексную плоскость с помощью одной единственной аппроксимации элементарной функцией (42). Чтобы проверить взаимное соответствие аппроксимаций FSE и FSL, рассмотрим согласия:
Dc = - lg
FSL(FSE(z)) - z
(47)
Dd = - lg
FSE(FSL(z)) - z
(48)
Эти согласия показаны на рис. 11.
Рисунок подтверждает хорошую точность аппроксимации; ее погрешность сравнима с ошибками округления при использовании переменных complex(double).
Заключение
Разработан численный алгоритм FSE по формуле (35) для вычисления голоморфной тетрации (суперэкспоненты) по основанию е. Предложен также алгоритм FSL по формуле (46) для вычисления обратной функции. Пока эти алгоритмы самые точные и самые быстрые; они могут быть прототипами для численной реализации тетрации и арктетрации в компиляторах следующего поколения.
Благодарность. Генрику Траппманну (Henryk Trappmann) за помощь и критику.
Литература
1. Kneser H. Reelle analytische Lösungen der Gleichung ip(ip(x)) = ex und verwandter Funktionalgleichungen // J. för die reine und angewandte Math.—1950.—Vol. 187.—P. 56-67.
2. Szekeres G. Regular iteration of real and complex functions // Acta Math.—1958.—Vol. 100.—P. 203258.
3. Szekeres G. Fractional iteration of exponentially growing function // J. Austral. Math. Soc.—1961.— Vol. 2.—P. 301-320.
4. Knoebel R. A. Exponential reiterated // Amer. Math. Monthly.—1981.—Vol. 88.—P. 235-252.
5. Bromer N. Superexponentiation // Math. Mag.—1987.—Vol. 60, № 3.—P. 169-174.
6. Walker P. Infinitely differentiable generalized logarithmic and exponential functions // Math. of Comp.— 1991.—Vol. 196.—P. 723-733.
7. Walker P. On the solutions of an Abelian functional equation // J. Math. Anal. and Appl.—1991.— Vol. 155, № 1.—P. 93-110.
8. Kouznetsov D. Solution of F(z+1) = exp(F(z)) in complex z-plane // Math. of Comp.—2009.—Vol. 78.— P. 1647-1670.
9. Kouznetsov D., Trappmann H. Portrait of the four regular super-exponentials to base sqrt(2) // Math. of Computation.—2010.—Vol.79.—P. 1727-1756.
10. Trappmann H., Kouznetsov D. Uniqueness of analytic Abel functions in absence of a real fixed point.— 2010.—(to appear). Preprint: URLhttp://www.ils.uec.ac.jp/ dima/PAPERS/2009uniabel.pdf
11. Кузнецов Д., Траппманн Г. Суперфункции и квадратный корень из факториала // Вестн. Московского университета. Сер. 3. Физика и Астрономия.—2010.—Т. 65, № 1.—С. 8-14.
12. Кузнецов Д. Континуальное обобщение логостического отображения // Вест. Московского университета. Сер. 3. Физика и астрономия.—2010.—Vol. 65, № 2.—С. 24-31.
URL: http://www.springerlink.com/content/u712vtp4122544x4
13. Код для рис. 4:
http:/\protect\kern-.1667em\relax/en.citizendium.org/wiki/TetrationPolynomial25power. jpg/code.
14. Код для рис. 5:
http:/\protect\kern-.1667em\relax/en.citizendium.org/wiki/TetrationApproLP100.jpg/code.
15. Код для рис. 6:
http:/\protect\kern-.1667em\relax/en.citizendium.org/wiki/ TetrationTailorExpansion3ipower25.jpg/code.
16. Код для рис. 9:
http:/\protect\kern-.1667em\relax/en.citizendium.org/wiki/TetrationDerivativesReal.jpg/ code.
17. Код для рис. 10:
http:/\protect\kern-.1667em\relax/en.citizendium.org/wiki/SLQGappro50.jpg/code.
Статья поступила 16 февраля 2009 г.
Кузнецов Дмитрий Юрьевич Институт лазерных наук Университет электро-коммуникаций, научный сотрудник
1-5-1 Chofugaoka, Chofushi, Tokyo, 182-8585, Japan E-mail: dima(at)ils.uec.ac.jp
TETRATIONAL AS SPECIAL FUNCTION Kouznetsov D.
Holomorphic tetrational (superexponential) to the base e and its inverse function (arctetrational) are approximated with elementary functions.
Key words: tetrational, superfunction, Abel equation, Abel function, holomorphic extension, analytic continuation, numerical implementation, special functions, Taylor expansion, superexponential, arctetrational, superlogarithm, non-integer iteration.
