CC BY
30
DOI: 10.18454/2079-6641-2015-11-2-61-66
УДК 517.9
тест пенлеве для одной системы магнитной гидродинамики
Г.М. Водинчар, Д.С. Нощєнко, А.С. Пережогин
Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, Камчатский край, п. Паратунка, ул. Мирная, 7 E-mail: d72156@gmail.com
Рассматривается одно из малоразмерных приближений системы магнитной гидродинамики, с помощью которой описываются магнитные поля космических объектов. Для исследования аналитических свойств нелинейной системы применяется тест Пенлеве.
В упрощенном представлении системы магнитной гидродинамики установлены значения коэффициентов, при которых выполняется необходимое условие наличия свойства Пенлеве.
Ключевые слова: метод Ковалевской-Гамбье, тест Пенлеве.
(с) Г.М. Водинчар, Д.С. Нощенко, А.С. Пережогин, 2015
MSC 34А34
painlevE test of a magnetohydrodynamics
system
G.M. Vodinehar, D.S. Noshenko, A.S. Perezhogin
Institute of Cosmophysical Research and Radio Wave Propagation FEB RAS E-mail: d72156@gmail.com
One approximation of magnetohydrodynamics equations, which describe the cosmic object’s magnetic field, is considered. The analytic properties of a nonlinear system are investigated by PainlevE test. Values of the coefficients in a simplified magnetohydrodynamics system are calculated for the necessary condition of PainlevE property.
Key words: Painleve test, Kovalevski-Gambier method.
(c) Vodinchar G.M., etc., 2015
Введение
Существование крупномасштабных магнитных полей планет, звезд и галактик успешно объясняется действием механизма динамо [1]. Математическое изучение работы этого механизма сводится к решению уравнений магнитной гидродинамики. Нелинейность и принципиальная трехмерность (ввиду известных антидинамотеорем) этих уравнений делает невозможным их аналитическое решение.
Огромные значения числа Рейнольдса для космических динамо-систем при прямом численном моделировании требуют такого пространственного разрешения, а значит и числа узлов разностной сетки, которые недоступны сейчас и в обозримом будушем даже лучшим суперкомпьютерам [2].
В связи с эти интенсивно исследуются различные упрощенные модели, сохраняющие качественно основные черты динамо-механизма.
Помимо вопроса о воспроизведении этими моделями основных черт динамосистем довольно интересным является и вопрос об аналитических свойствах их решений. В настоящей работе исследуется именно один из таких вопросов для малоразмерной аппроксимации уравнений динамо - условие прохождения этой системой теста Пенлеве.
Сначала схематично рассмотрим вывод системы из уравнений динамо.
Процесс генерации среднего магнитного поля турбулентными течениями проводящей вязкой несжимаемой жидкости с учетом а-эффекта во вращающейся системе координат описывается следующими уравнениями магнитной гидродинамики:
dtv + R (vV) v = PmAv — Vp — E-1Pm (ez x v) + rotB x B,
dtB = Rmrot (v x B) + Rarot (aB) + ДВ,
(1)
V ■ v = 0,
V ■ B = 0.
Здесь v - средняя (крупномасштабная) скорость, B - среднее (крупномасштабное) магнитное поле, p - давление, f - массовая плотность внешних сил, a - тензор а-эффекта, R - число Рейнольдса, Rm - магнитное число Рейнольдса, E - число Экмана, Pm - магнитное число Прандтля, Ra - амплитуда а-эффекта, ez - орт оси вращения.
Мы будем считать, что все рассматриваемые поля аксиально симметричны относительно оси вращения.
Бездивергентность полей v и B делает возможным их представление в виде суммы тороидальных и полоидальных составляющих.
Мы будем рассматривать случай выделения самых крупномасштабных структур, когда тороидальные и полоидальные компоненты скорости и магнитного поля можно представить в виде произведения стационарных полей на зависящие от времени амплитуды:
v = Х1 (t)vT (r)+ X2(t)vP (r) , B = yi(t)BT (r)+ y2(t)BP (r).
Подстановка разложений (2) в уравнения (1) и применение стандартной галер-кинской процедуры приводит к системе уравнений для амплитуд [3]:
dx 1 dt dx2 dt dyi dt dy2 dt
RA112X1X2 + E-1 PmPi2X2 + Fi + Lmy і У2 - Mixi, RA211X1 2 + E-1PmP2iXi + F2 + L211У1 + L222y2 - P2X2, RmWii2Xiy2 + RmWi2iX2yi + RaWia2У2 - ПіУі, RmW222X2y2 + Ra W2a 1У1 - П2У2.
(3)
При записи этой системы учтено, что в аксиально симметричном случае векторные линии любого полоидального поля лежат в плоскостях, проходящих через ось вращения, а линии любого тороидального поля им перпендикулярны. Большими буквами с нижними индексами обозначены постоянные коэффициенты, возникающие в результате применения метода Галеркина, Д; и Пі определяют скорости диссипации мод скорости и магнитного поля из разложения (2). При этом всегда P12 = -P21.
Кроме того, мы будем полагать, что выполнены следующие соотношения A112 = -A211, L112 = -W112, L211 = -W121, L222 = -W222. Эти соотношения возникают из следующих соображений. Известно, что в бездиссипативном пределе трехмерные уравнения магнитной гидродинамики удовлетворяют трем законам сохранения - сохранению полной энергии, сохранению перекрестной спиральности, сохранению магнитной спиральности [2]. Если потребовать выполнения аналога закона сохранения полной энергии в нашей системе в виде Xj + x2+yi + y2 = const, то возникнет необходимость именно в таких связях между коэффициентами. Также, для простоты, мы полагаем, что скорости диссипации тороидальных и полоидальных мод совпадают, откуда ді = Д2, Пі = П2.
Примем также, что Fi = 0. Физически это означает, что в динамо-системе нет внешнего источника тороидального движения. Тороидальная компонента скорости возникает только за счет кориолисова сноса полоидальной составляющей скорости, обладающей внешним источником F2.
Система (3) является одной из возможных простейших моделей некинематического динамо. Далее в работе исследуются некоторые ее аналитические свойства.
Упрощенная динамическая система
Упростим динамическую систему (3), наложив (уже просто формально, а не из физических соображений) дополнительные ограничения, приняв следующие равенства и вводя переобозначения: L222 = L211 = W121 = W222 = F1 = 0, F2 = M, RaW2a 1 = RaWia2 = a, P12 = K, P21 = -K, Xi = М2, X2 = Mi, yi = Из, У2 = M4.
Для упрощенной системы найдем значения параметров, при которых она проходит тест Пенелеве. В этом случае решение системы представимо в виде ряда Лорана со свободными произвольными коэффициентами. Реализуем метод Ковалевской-Гамбье
[4].
Основные этапы метода:
1) Выполним подстановку u(x) = Moxp. Определим значение p старшей степени, чтобы
уравнять соответствующие слагаемые.
2) После этого для каждого индекса j, начиная с j = 0, вычислим коэффициенты разложения u(x) = ujxP+j. Для каждого индекса j будем получать систему линейных алгебраических уравнений. Если удается однозначно разрешить системы для каждого индекса j, то получим однозначное представление решения в виде ряда Лорана. Для определение индексов j, при которых система является переопределенной, необходимо вычислить индексы Фукса.
3) Если хотя бы при одном индексе j система алгебраических уравнений является неразрешима, то тогда система дифференциальных уравнений не проходит тест Пенлеве. Если же все системы алгебраических уравнений, определяемые индексами Фукса, являются совместными, то система проходит тест Пенлеве.
Упрощенная динамическая система имеет вид:
du
d.
du
d.
du
d
du
1
x
U2
x
U3
x
U4
dx
—X u1 (x) + Ku2 (x) — Lu3 (x) u4 (x)
—X u2 (x) — Kui (x) + M
Lu\ (x) u4 (x) + a u4 (x) — u3 (x)
— a u3 (x) — u4 (x)
(4)
где M,L,K,X - параметры системы.
1 этап. Подставим разложение ui(x) = ui)0xPi,i = i..4 в систему уравнений (4). Система уравнений для ведущих слагаемых из разложения приводит к следующим соотношениям:
{Pi — 1 = P3 + P4
P2 — 1 = Pi (5)
P3 — 1 = Pi + P4 P4 — 1 = P3
Решение линєйной системы (5) дает только целые коэффициенты для переменных Pi
Pi = — 2 P2 = — 1P3 = —2, P4 = —1 (6)
Найдем коэффициенты щр из системы при старших степенях разложения при заданных значения Pi, i = 1..4:
P1x1 = —Lx3x4, P2x2 = —Kx1, P3 x3 = Lx1x4, P4x4 = —a x3
Таким образом мы имеем несколько наборов решений: одно тривиальное решение и 4 ненулевых решения.
—2 —2K 21 ±21
ui,0 = — ,u2,0 = —---,u3,0 = ±т— ,u4,0 = ±-
La
La
La
L
где I - мнимая единица.
2I 21
Рассмотрим первый набор коэффициентов и3,0 = -—, и4,0 = — —. Коэффициенты
из,о, U4,o имеют различные знаки. Вычислим индексы Фукса из определителя следующей матрицы:
а (j— 2) 0 —21а 2I
K j — 1 0 0 (8)
21 а 0 а( j - 2) 2
0 0 а j — 1 _
Получаем иррациональные значения индексов Фукса
0,1,5/2 — 1/2 л/17,5/2 + 1/2 /Л
(9)
В связи с этим необходимо выбирать из,о, U4,o только с одинаковыми знаками, чтобы можно было продолжить анализ системы. Если из,о и U4,o имеют одинаковый знак, тогда матрица для вычисления индекса Фуксов принимает вид:
а <N 1 а і 0 21 а 2I
K j-1 0 0
—21а 0 а j - 2 а 2
0 0 а j-1
определитель матрицы (10) К нулю,
(10)
— 1, 1, 2, 4.
Для каждого индекса Фукса вычисляем инварианты динамической системы:
Q1 = —
8I (Я — 1) 3L
IK2 I (17 Я 2 — 4 Я — 4)
Q2 = —Г- +
L
9L
Q4 =
(Я — 1) / 33 а2Я + 12Я3 + 27K2 — 15 а2 + 43 Я2 — 56Я + 16
3La
+
+2
(7Я — 4) (и2,2 — Д) + (3K2 + 7Я2 — 4Я) и2,1
K
а K2 а
+------------KM
1 L L
Полагая Q1 = Q2 = Q4 = 0, получаем следующие значения для параметров системы Я = 1, K = ±I, M = 0. Система дифференциальных уравнений принимает вид:
d
и1 (x) = —и1 (x) + 1и2 (x) — Lu3 (x) и4 (x) (11)
dX^ (x) = —U2 (x) — IU1 (x) (12)
f -u3 (x) = Lu1 (x) u4 (x) + а и4 (x) — u3 (x) x (13)
-^и4 (x) = —аи3 (x) — u4 (x) dx (14)
Таким образом, мы получаем однозначное представление решения в виде ряда Лорана. Следовательно, для таких параметров X, K, M выпишем явное разложение в ряд:
u1 = 2
x—1 - x—2
La
, w , 2 (a2 +1) 2
+1(1 — 2x) (и2>1 + u2,2)-------—-x + u^4x2 +.
La
2
u2 = —21 + (1 — x2) и21 + (x — 3/2x2) u2 2 +—-—^1-x2 + u2 4x3 +.. La x La
и3 =
21 (x 2 — x A (i (a2 +1) \ 2
- + (1 — 2 x) U2,2 + ------ — U2,1 (x — 1) + U3 ,4x2 + .
La
La
(15)
(16)
(17)
21 ( 2 ) (.n 2 ) I (a2 +1) (x — x2) 3
u4 = -—+ a (x — x)u2,1 + a (3/2x — xj u2,2 +— ------------- + u4 ,4x +...
Lx L
(18)
Заключение
Б упрощенном представлении динамическая система проходит тест Пеилеве с найденным набором значений для коэффициентов. Прохождение теста Пеилеве не является достаточным условием для наличия свойства Пеилеве. Найденные условия на коэффициенты упрощенной системы могут быть использованы для сопоставления с аналитическими и численными исследованиями решений данной системы.
Библиографический список
1. Зельдович Я.Б., Рузмайкин А.А., Соколов Д.Д. Магнитные поля в астрофизике. М.-Ижевск: РХД, 2006. 384 с.
2. Фрик П.Г. Турбулентность: подходы и модели. М.-Ижевск: РХД, 2010. 332 с.
3. Гледзер Е.Б., Должаиский Ф.Б., Обухов А.М. Системы гидродинамического типа и их применение. М.: Наука, 2010. 368 с.
4. Конт Р.М., Мюзетт М. Метод Пеилеве и его приложения. М.-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. 340 с.
Поступила в редакцию / Original article submitted: 18.11.2015
