Термоупругопластическое состояние тонкой круглой диэлектрической пластины при локальном нагреве нестационарным источником тепла Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.7

А.В. Ефимов, Ю.В. Чеботаревский, Д.Г. Павлов

ТЕРМОУПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ ТОНКОЙ КРУГЛОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПЛАСТИНЫ ПРИ ЛОКАЛЬНОМ НАГРЕВЕ НЕСТАЦИОНАРНЫМ ИСТОЧНИКОМ ТЕПЛА

На основе теории течения с использованием метода конечных элементов рассматривается термоупругопластическое состояние тонкой диэлектрической пластины нагреваемой локальным нестационарным внутренним источником тепла. Предложенный в данной работе подход к решению задачи позволил обнаружить в процессе нагружения эффект разделения пластической зоны на части с разным характером пластического течения.

A.V. Efimov, Yu.V. Chebotarevsky, D.G. Pavlov

THERMAL ELASTOPLASTIC STATE OF THE THIN ROUND DIELECTRIC PLATE

AT LOCAL HEATING BY NON-STATIONARY HEAT SOURCE

In this work termal elastoplastic state of the thin dielectric plate heated by local non-stationary inner heat source is shown by final elements method on the basis of flow theory.

The approach we are offering in this work, allows to reveal in the process of loading the effect of the plastic zone division into parts with the different character of plastic flow.

При создании современных приборов в качестве конструкционных элементов используются хрупкие диэлектрики. Их особенность состоит в том, что, оставаясь хрупкими при нормальной температуре, они могут испытывать макропластические деформации в зонах высокотемпературного нагрева.

В данной работе рассмотрим термоупругопластическое состояние тонкой диэлектрической пластины радиуса Я, нагреваемой локальным нормально распределенным нестационарным внутренним источником тепла с центром нагрева, смещенным относительно центра пластины. Определение температурного поля такой пластины, при условии, что на ее верхней и нижней поверхностях осуществляется теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона, рассматривалось в работе [2]. В ней же проведено исследование термоупругопластического состояния пластины на базе теории малых упругопластических деформаций с применением принципа возможных изменений напряженного состояния в процессе нагружения (нагрева). В данной работе на основе теории течения с использованием метода конечных элементов рассматриваются как процесс нагружения, так и процесс разгрузки. Проводится сравнительный анализ результатов, полученных с применением обеих теорий. Делается вывод о том, что использование теории течения и метода конечных элементов позволяет получить без применения каких-либо искусственных приемов более общие качественные результаты.

На основании решения задачи теплопроводности [2] температурное поле аппроксимируем следующей функцией:

(1)

где (Ь, ф0) - координаты центра нагрева в полярной системе координат с началом координат в центре пластины; г - время нагрева пластины; к - коэффициент сосредоточенности источника.

При записи физических уравнений будем рассматривать материал пластины как идеально упругий, при значениях температуры 0 < 0 пл, и как идеально упругопластический при

0 > 0пл, где 0пл - определенная для данного материала температура, по достижении которой он может испытывать макропластические деформации. При этом воспользуемся зависимостью между компонентами тензоров приращения напряжений и деформаций теории течения Прандтля-Рейсса [3]:

^ Ч = r, ф) .

(2)

Здесь

4ц2 + 2цЯ

2 ц + X 2 цХ

2 ц + X 0

2 ц + X 4 ц2 + 4 цХ 2 ц + X 0

2ц

- матрица коэффициентов упругости; а - температурный коэффициент линейного расширения; 8ГГ = 8 = 1, 5 = 5фг = 0 , а множитель X* = 0 при упругом поведении материала и в

процессе разгрузки (/<0), X =

V Е

(1 + V)(1 — 2 V)’ц 2 (1+v)

Е

- параметры Ламе.

0

0

Специфику поведения хрупких неметаллических материалов при нагреве учтем при задании поверхности текучести уравнением

/ = о2 -(а0 (0))'

О

(3)

где

оО (е) =

при 0 < ^ , Оо при 0 > 0„л;

ои - интенсивность напряжении, а о0 - предел текучести материала.

При заданном температурном поле решение рассматриваемой термоупругопластической задачи сводится к определению компонент тензоров напряжений Оу и деформаций £у (гу=г,ф) и составляющих вектора перемещения и и и из уравнений равновесия

Эог. , Эт»р |

О - О

Э г Эт

гф

г Эф Эо

О

|

Э г г Эф

т

ф+ 2 -ТЕ-:

(4)

геометрических соотношений

д

£ =-------- £ =

£ г Л ’ £ф Э г

Эи и Э и Эи

--------1---, V —--------------1-----

г Эф г гф г Эф Э г

(5)

и физических уравнений, учитывающих специфику поведения хрупких неметаллических материалов (2), при соответствующих граничных условиях.

Решение поставленной задачи с применением стандартных конечно-элементных комплексов на основе теории течения было сведено к минимизации функционала Лагранжа, из условия стационарности которого следует:

I кг 5егг + °фф5£фф + 2 °Гф5£Гф)^ =0 , (6)

х

где X - площадь поверхности пластины.

При этом учитывалось, что пластина не имеет смещения как жесткое целое и(0,0)=и(0,0)=0, и(Л,0)=0 и ее контур свободен от внешней нагрузки огг=огф=0.

Для подтверждения достоверности получаемых результатов было проведено тестирование программы расчета на базе аналитического решения [4] осесимметричной задачи о термоупругопластическом состоянии хрупкой диэлектрической пластины, нагреваемой сосредоточенным источником тепла.

С использованием построенного алгоритма расчета было проведено исследование напряженно-деформируемого состояния пластины при следующих значениях параметров: Я=10-3 м, к=106^109 м, Ь=(0,3^1)10 3 м, И0,3^1)-10-4 с, £’=3,6-1011 н/м2, у=0,3.

Сравнительный анализ результатов расчета на основе теории течения с данными, полученными в работе [2] на базе деформационной теории, показал, что в процессе нагружения

при расположении центра источника тепла в областях, достаточно далеких от края пластины,

8 —2

и при значениях коэффициента его сосредоточенности к>10 м (независимо от расположения центра нагрева) имеет место их хорошее как количественное, так и качественное совпадение. При смещении центра нагрева к краю пластины и уменьшении коэффициента сосредоточенности источника тепла наблюдается не только количественное несовпадение результатов, но и качественное изменение картины поведения напряжений. Причем при всех рассмотренных режимах теплового воздействия касательные напряжения по абсолютной величине оказались пренебрежимо малыми по сравнению с нормальными.

ф

г

О

г

Ниже в качестве примера на рис. 1-3 показаны графики поведения интенсивности ои (штрихпунктирные линии) и нормальных напряжений ог (пунктирные линии) и Оф (сплошные линии) по радиусу пластины при ф=0 в моменты времени: ?=0,3-10—4 с, £=0,6-10-4 с, ?=10-4 с.

Рис. 1

гМ

Рис. 2

Рис. 3

В соответствии с принятым условием текучести (3) индикатором, позволяющим различать области пластины с упругим и пластическим характером поведения материала, является интенсивность напряжений ои. Анализируя график её поведения на рис. 1, приходим к выводу, что к моменту времени £=0,3-10-4 с в пластине возникает зона пластических деформаций, выходящая на её край. Причем эта зона значительно меньше того пространства, в пределах которого выполняется необходимое для возникновения пластических деформаций температурное условие 0>0пл. Это объясняется низким уровнем предшествующего термоупругонапряженного состояния пластины, недостаточным для появления пластических деформаций. К моменту времени £=0,6-10-4 с зона пластических деформаций разделяется на две части (краевую и внутреннюю) с различным характером пластического течения. К моменту окончания теплового воздействия источника ?=10-4 с происходит дальнейшее увеличение размеров обеих зон.

Поскольку касательное напряжение оГф пренебрежимо мало по сравнению с нормальными ог и Оф, приближенно можно считать главные напряжения равными 01~0ГГ, О2~Офф, <Уз~<Угг=0, и условие текучести (3) преобразовать к виду:

^2 , 2

°ГГ + °<р<р

(7)

Проводя аналогию с условием текучести Треска, с геометрической точки зрения соотношение (7) можно рассматривать как уравнение эллипса, описанного вокруг шестиугольника Треска (рис. 4).

Судя по характеру поведения напряжений ог, Оф и интенсивности ои, в пределах краевой части пластической зоны реализуется режим пластического течения, соответствующий дуге эллипса Г убера-Мизеса, заключенной между вершинами А и В шестиугольника Треска. Это позволяет считать, что здесь имеет место режим, подобный логарифмическому, в случае использования условия текучести Треска.

/// ъ/ А__Е 6° і\

1 -6. /Е

\[ -6.

С Г)

Рис. 4

Во внутренней части пластической зоны реализуется режим, отвечающий дуге эллипса Губера-Мизеса, заключенной между вершинами С и Э, то есть аналогичный режиму типа 1/г в случае условия текучести Треска.

—з

При расположении центра источника достаточно далеко от края (Х<0,6-10 м) разделения пластической зоны на 2 части не происходит. На рис. 5 в качестве примера показан график поведения напряжений для указанных выше параметров, /=0,4-10 3 м и /=10 4 с.

I 1 1 1 \ 1 1 1^1 У у " ' - ™ч _ У

ог

11111 а -е Г(лл) 1 1 1 1 1 1 1 1 1

15. ■

10. ■

-10. ■

-го. ■

Рис. 5

Анализируя характер поведения интенсивности напряжений на этом рисунке, легко увидеть, что при данных параметрах пластическая зона занимает всю область, в которой возможно появление пластических деформаций, и в ней реализуется режим пластического течения, отвечающий точке С (агг=афф=-а0) на эллипсе Губера-Мизеса. То есть здесь имеет место совпадение результатов при использовании любого из указанных выше условий текучести.

Таким образом, предложенный в данной работе подход к решению задачи позволил обнаружить в процессе нагружения «краевой эффект» разделения пластической зоны на части с разным характером пластического течения. Кроме того, данный подход в отличие от способа решения, применяемого в [3], дает возможность исследовать напряженно-деформируемое состояние пластины в процессе разгрузки и определить остаточные напряжения без применения каких-либо дополнительных искусственных приемов. Анализ процесса разгрузки в силу ограниченности объема данной статьи здесь не приводится и будет дан в отдельной работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов / Под общ. ред. В.И. Мяченкова. М.: Машиностроение, 1989. 520 с.

2. Павлов Д.Г. Температурные поля и напряженно-деформированное состояние круглых пластин при нестационарном локальном нагреве источником тепла: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. Саратов, 1990. 18 с.

3. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды: Учебник. 3-е изд. М.: Изд-во МГУ, 1990. 310 с.

4. Чеботаревский Ю.В. Напряженное состояние бесконечной пластины при воздействии импульсного нормально распределенного источника тепла // Задачи прикладной теории упругости: Межвуз. науч. сб. Саратов: СПИ, 1985. С.118-122.

5. Павлов Д.Г., Харламова И.Ю., Чеботаревский Ю.В. К решению задачи термопластичности о нагреве тонкой кольцевой пластины локальным источником тепла // Прочность и устойчивость элементов конструкций в агрессивных средах: Межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 1990. С.56-58.

Ефимов Алексей Владимирович -

аспирант кафедры «Теоретическая механика»

Саратовского государственного технического университета

Чеботаревский Юрий Викторович -

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая механика» Саратовского государственного технического университета

Павлов Дмитрий Геннадьевич -

кандидат технических наук, доцент кафедры «Теоретическая механика»

Саратовского государственного технического университета