CC BY
20
О нейтральном нагружении диска при тепловом и силовом воздействиях
М.А. Артемов, Е.С. Барановский, Г.Г. Бердзенишвили, Э.И. Семка, Д.Б. Фатхудинов Воронежский государственный университет
Аннотация: Рассматривается тонкий круговой диск, материал которого проявляет упругие и пластические свойства при тепловом и силовом воздействиях. В центральной части диска поле температур однородное. На границе диска задано давление и постоянная температура. Принимается приближение плоского напряженного состояния. Рассматривается аддитивная форма связи полных, упругих, пластических деформаций и деформаций при свободном тепловом расширении. Упругие деформации выражаются через напряжения согласно закону Гука. Предлагается линейная аппроксимация зависимости предела пластичности от температуры. Показана возможность нейтрального нагружения центральной области диска и его внешней границы. Особо выделяется условие пластичности Треска.
Ключевые слова: математическое моделирование, упругопластическое тело, плоское напряженное состояние, кусочно-линейные условия пластичности, теория пластического течения, термоупругопластичность.
Математическое моделирование состояния дисков и труб, испытывающих различные внешние воздействия, вызывает особый практический интерес в связи с применением в различных технологических процессах, направленных на высокую точность изготовления различных узлов. В этом научном направлении выполнено большое количество исследований [1-17]. Большая часть работ связана с использованием условий пластичности Треска [1-6]. Ряд авторов [7, 8] рассматривает условие пластичности Шмидта-Ишлинского. В некоторых работах рассматриваются кусочно-линейные условия пластичности общего вида, учитывающие пластическую сжимаемость [9, 10]. Использование гладких функций пластичности (например, Мизеса) приводит к построению приближенных аналитических или численных решений [16, 17].
Постановка задачи
В настоящей работе рассматривается задача определения
напряженного и деформированного состояния тонкого упругопластического диска, испытывающего тепловое и силовое воздействия. В центральной части кругового диска 0 < г < а температурное поле однородное, на границе диска г = Ь задана температура ТЬ = 0 и давление рЬ. Выбирается
приближение плоского напряженного состояния. Исследуется возможность нейтрального нагружения при изменении величин внешних воздействий.
Используется линейная аппроксимация зависимости предела пластичности к от температуры, что подходит, например, для хромоникелевых сталей [18]. Зависимости модуля Юнга Е и коэффициента линейного теплового расширения а от температуры имеют разнонаправленный характер, поэтому их произведение аЕ в данной работе считается постоянной величиной. Зависимость других параметров модели от температуры не учитывается.
В качестве масштаба напряжений выбирается к0 - предел пластичности при начальной температуре, за масштаб длины принимается а - радиус центральной части диска, масштаб температуры равен 10 С. Для безразмерных величин сохраняются обозначения соответствующих размерных величин.
Для несвязной термопластической задачи температурное поле определяется независимо от напряженно-деформируемого состояния. Распределение температуры в диске имеет вид [19]
Область упругого состояния диска
Пусть весь диск (а < г < Ь) находится в упругом состоянии. Для определения напряжений имеем систему уравнений:
Основные предположения
Поле температур
1, 0 < г < а;
Т = ТаГ, Г = 11п(Ь / г) а 1п(Ь / а), а
а < г < Ь.
а
аг
1 а (2 )
аг
г аг
а г + ЕаТа/
0,
ар = г'
ааг
а
■+аг
(1)
Решение системы (1) имеет вид [19]
а
аТаЕ т . В аТаЕ .т 2 ^ В т г , 7
а 1аг + А — —, а рП = а (1аг - г2/) + А + — 1аг =\/гаг.
2 аг
Г
2 ' Р
Г
2
Г
г
Когда заданы граничные условия
аг I г=а = — ра , аг I г=Ь = — рЬ величины А и В вычисляются по формулам:
аТаЕ
1 2 2 " аЬ Ь2 — а2
Раа 2 — РЬЬ2
^а^ т , га™ УЬ^ъ— ^а— г , А = —--1аь +-~-~-, В = —-^2аЬ +
а2аТаЕ т , а2ь2(Ра — РЬ )
22 Ь — а
г — а
22 Ь — а
(2)
I
аЬ
^ /аг.
Если а = 0, то
. аТаЕ
А = НЪ10Ь — Рь Ь
В = 0, 10 Ь =/ /гаг
(3)
Переход диска в упругопластическое состояние
Задача плоского напряженного состояния идеального упругопластического тела в области пластического состояния является статически определимой. Поэтому, если граничные условия не содержат перемещений, то определение напряжений не зависит от деформированного состояния.
Анализ упругого напряженного состояния диска показывает, что в зависимости от величины радиуса диска в процессе нагружения зарождение пластической области может происходить или на границе г = а, или на границе г = Ь, или на границах г = а и г = Ь одновременно.
Будем полагать, что для всех условий пластичности общим является предел пластичности на одноосное растяжение.
В области 0 < г < а реализуется однородное напряженное состояние ог = ор, поэтому в этой части диска при переходе в пластическое состояние для любого условия пластичности будет выполняться режим
ог = ор=- к .
Из формул (2), (3) следует, что указанный переход выполняется, если
Та = Тт = 2Ь2(к0 - рь )/(2Ь2к0% + аВ(Ь2 - 210Ъ)) . Для произвольного условия пластичности получить аналитическое
выражение для температуры Та = Тех, при которой в пластическое состояние переходит только граница г = Ь, нельзя, поэтому рассмотрим некоторые примеры.
Если давление Рь = 0 , то для любого условия пластичности на границе г = Ь напряжения ог = 0, ор = к0 , поэтому
Та = Тех = (Ь2к0)/(2аЕ10Ь ) .
Рассмотрим случай, когда выбирается кусочно-линейное условие пластичности общего вида
тах{агор + во г + } = к = ^(1 - ),
/=1^ п
о, = 0. (4)
Если на границе г = Ь давление Рь ф 0 и выполняется режим пластичности, то
' ь ^
2
Та = Тех = Ь ((а/ + в )РЬ + к0)/
2аЕ | г/йг V 0 )
Для условия пластичности Мизеса имеем
T = T =
1 a 1 ex
Pb +V 4 k o2 + 3 p2b
2aE
a 2 + 2
J rfdr
Когда общим выбирается не предел пластичности на одноосное растяжение, то алгоритм вычисления величин Tin и Tex остается прежним, но формулы для их вычисления будут иными.
Равенство Tin = Tex позволяет определить радиус диска b = bk, для которого одновременно на границах r = a и r = b зарождается пластическая область.
На рис. 1 приведены графики Tex и Tin до точки их пересечения b = bk при выборе условия пластичности Треска (сплошная линия), Шмидта-Ишлинского (точечная линия) и Мизеса (пунктирная линия). При выполнении всех численных расчетов выбраны следующие значения безразмерных параметров модели: k0 = 1, a = 1, aE = 0.012 .
Та
220 200 180 160 140 120 100 80
/
/ V
/ in
/ /
/\
/ \ г
/ йх
/
180
160 140
120
100
80
Т
/ >Ч Л in
■ / / /
*' /-v JT
/ ex
1.5
2.5
Рис. 1. а) рь = 0, £ = 0 ; Ь) рь = 0, £ = 0.0008(3) ; с) рь = 0.5, 4 = 0.0008(3) Результаты, представленные на рис. 1, показывают, что
1) когда Ь < Ьк и Та = Тех, только граница диска г = Ь переходит в пластическое состояние;
2) когда Ьк < Ь и Та = Тп, только область 0 < г < а переходит в пластическое состояние;
2
b
3) когда b = bk и Ta = Tex = Tin, одновременно в пластическое состояние переходит область 0 < r < a и граница диска r = b .
Нейтральное нагружение
Нейтральное нагружение в точке тела рассматривается как процесс изменения напряженного состояния, удовлетворяющий условию
пластичности, когда приращения пластических деформаций d sp = 0. Нагружение возможно за счет изменения внешних воздействий на диск: температуры ядра диска Ta и внешнего давления pb на границе r = b .
Для диска, находящегося в упругом состоянии, напряжения в области 0 < r < a определяются по формулам (2), (3).
Область однородного состояния. Для любого условия пластичности изотропного тела в области 0 < r < a напряжения ^cp=^r . При переходе данной области в пластическое состояние имеем <Jr =-k. Поэтому, учитывая (25), получаем, что параметры, определяющие внешние воздействия, должны удовлетворять условиям:
(2b2k0^ + aE(b2 - 210b )T = 2b2(k0 - Pb), b > bk. (5)
Из соотношений ассоциированного закона пластического течения
P P
следует, что er = er . Для упругих деформаций имеем
Eel = Еевф =-(1 -v)k .
Для полных деформаций выполнено er = eQ . Получаем, что
EeP = EeP = C + (1-v)k - EaTa.
На упругопластической границе r = a имеем eP = eP = 0 , поэтому
C = -(1 -v)k + EaTa .
Эти соотношения показывают, что изменение внешних параметров, не нарушающие условия (5), определяют процесс нейтрального нагружения в области 0 < г < а .
Внешняя граница. Для условия пластичности (4), когда а < Ь < Ьк, при изменении внешних воздействий на границе г = Ь будет осуществляться нейтральное нагружение, если
Рассмотрим условие пластичности Треска. В указанном диапазоне изменения внешнего давления может выполняться только режим
Поэтому для дисков малого радиуса в данном диапазоне рЬ процесс нейтрального нагружения невозможен. Для других условий пластичности процесс нейтрального нагружения точек границы г = Ь возможен.
1. Melan E., Parkus H. Wärmespannungen infolge stationärer Temperaturfelder. Wien: Springer, 1953, 107 s.
2. Gamer U. Elastic-Plastic Deformation of a Centrally Heated Disk // Journal of Thermal Stresses. 1985. V. 8, pp. 41-51.
3 Orcan Y., Gamer U. Elastic-Plastic Deformation of a Centrally Heated Cylinder // Acta Mechanica. 1991. V. 90, pp. 61-80.
4. Arslan E., Mack W., Eraslan A. N. The Rotating Elastic-Plastic Hollow Shaft Conveying a Hot Medium // Forschung im Ingenieurwesen. 2010. V. 74, pp. 27-39.
5. Артемов М. А., Барановский Е. С., Бердзенишвили Г. Г., Переяславская И. И. О напряженном состоянии тонкого диска с учетом зависимости предела
2аЕа/0rTa = k0 + (a + ßi)рь )b , 0 < рь < к0(1 -t).
2
Литература
текучести от температуры // Инженерный вестник Дона, 2017, № 3 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2017/4359.
6. Артемов М. А., Барановский Е. С., Бердзенишвили Г. Г., Переяславская И. И. О влиянии зависимости предела текучести от температуры на напряженное состояние тонкого диска // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий (ПМТУКТ-2017). Сборник трудов X международной конференции. Воронеж: Издательство «Научная книга», 2017. С. 51-55.
7. Dats E., Murashkin E. On Unsteady Heat Effect in Center of the Elastic-Plastic Disk // Lecture Notes in Engineering and Computer Science, "WCE 2016 -World Congress on Engineering 2016", pp. 69-72.
8. Артемов М. А, Барановский Е. С, Переяславская И. И. Математическое моделирование процесса термопластического деформирования тонкого кругового диска // Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании: материалы XIII Международной научной конференции. Саранск: СВМО, 2017. С. 236-247.
9. Артемов М. А., Барановский Е. С., Переяславская И. И. Напряженно-деформированное состояние диска при тепловом воздействии // Современные проблемы механики сплошной среды: тезисы докладов Международной конференции, посвященной памяти академика Л. И. Седова. М.: Матем. институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017. С. 33-35.
10. Артемов М. А., Барановский Е. С. Об одном алгоритме решения задач термопластичности // Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования: тезисы докладов XIV Международной научной конференции (с. Цей, 3-8 июля 2017 г.). Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН, 2017. C. 137-138.
11. Полетаев Ю. В. Механизм локального разрушения зоны термического влияния сварных соединений при малоцикловом нагружении // Инженерный вестник Дона, 2011, № 4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2011/606.
12. Полетаев Ю. В., Полетаев В. Ю. Методика оценки склонности сварных соединений низколегированных сталей к образованию трещин при термической обработке // Инженерный вестник Дона, 2014, № 4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2014/2583.
13. Артемов М. А., Барановский Е. С. Математическое моделирование пластического состояния тел. Плоская деформация // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2015. № 2 (24). С. 72-87.
14. Артемов М. А., Барановский Е. С., Якубенко А. П. Альтернативные формы записи кусочно-линейных условий пластичности и их обобщения // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. 2015. № 1. С. 71-82.
15. Переяславская И. И., Артемов М. А., Барановский Е. С. К вопросу математического моделирования осесимметричного плоско-напряженного состояния сжимаемого упругопластического тела // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2017. № 1 (31). С. 22-39.
16. Артемов М. А., Якубенко А. П. Математическое моделирование механического поведения вращающегося диска // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. 2014. № 1. С. 30-38.
17. Александров С. Е., Ломакин Е. В., Дзенг Й. Р. Решение термоупругопластической задачи для тонкого диска из пластически сжимаемого материала, подверженного термическому нагружению // Доклады Академии наук. 2012. Т. 443. № 3. C. 310-312.
18. Работнов Ю. Н. Сопротивление материалов. М.: Физматлит, 1962, 456 с.
19. Timoshenko S. R, Goodier J. N. Theory of Elasticity. New York: McGraw-Hill, 1970. 506 p.
References
1. Melan E., Parkus H. Wärmespannungen infolge stationärer Temperaturfelder. Wien: Springer, 1953, 107 s.
2. Gamer U. Journal of Thermal Stresses. 1985. V. 8, pp. 41-51.
3 Orcan Y., Gamer U. Acta Mechanica. 1991. V. 90, pp. 61-80.
4. Arslan E., Mack W., Eraslan A. N. Forschung im Ingenieurwesen. 2010. V. 74, pp. 27-39.
5. Artemov M. A., Baranovskii E. S. Berdzenishvili G. G., Pereyaslavskaya I. I. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2017. № 3.
URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2017/4359.
6. Artemov M. A., Baranovskiy E. S., Berdzenishvili G. G., Pereyaslavskaya I. I. Sovremennyye metody prikladnoy matematiki, teorii upravleniya i komp'yuternykh tekhnologiy (PMTUKT-2017). Sbornik trudov X mezhdunarodnoy konferentsii. Voronezh, 2017, pp. 51-55.
7. Dats E., Murashkin E. Lecture Notes in Engineering and Computer Science, "WCE 2016 - World Congress on Engineering 2016", pp. 69-72.
8. Artemov M. A., Baranovskiy E. S., Pereyaslavskaya I. I. Differentsial'nyye uravneniya i ikh prilozheniya v matematicheskom modelirovanii: materialy XIII Mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii. Saransk, 2017, pp. 236-247.
9. Artemov M. A., Baranovskiy E. S., Pereyaslavskaya I. I. Sovremennyye problemy mekhaniki sploshnoy sredy: tezisy dokladov Mezhdunarodnoy konferentsii, posvyashchennoy pamyati akademika L. I. Sedova. Moscow, 2017, pp. 33-35.
10. Artemov M. A., Baranovskiy E. S. Poryadkovyy analiz i smezhnyye voprosy matematicheskogo modelirovaniya: tezisy dokladov XIV Mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii (Tsey, 3-8 iyulya 2017 g.). Vladikavkaz, 2017, pp. 137-138.
11. Poletayev Yu. V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus). 2011, № 4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2011/606.
12. Poletayev Yu. V., Poletayev V. Yu. Inzenernyj vestnik Dona (Rus). 2014, № 4-1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2014/2583.
13. Artemov M. A., Baranovskiy E. S. Vestnik Chuvashskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta im. I.Ya. Yakovleva. Seriya: Mekhanika predel'nogo sostoyaniya. 2015, № 2 (24), pp. 72-87.
14. Artemov M. A., Baranovskiy E. S., Yakubenko A. P. Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Fizika. Matematika. 2015. № 1, pp. 71-82.
15. Pereyaslavskaya I. I., Artemov M. A., Baranovskiy E. S. Vestnik Chuvashskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta im. I.Ya. Yakovleva. Seriya: Mekhanika predel'nogo sostoyaniya. 2017, № 1 (31), pp. 2239.
16. Artemov M. A., Yakubenko A. P. Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Fizika. Matematika. 2014, № 1, pp. 30-38.
17. Aleksandrov S. E., Lomakin E. V., Dzeng Y. R. Doklady Akademii nauk. 2012, V. 443, pp. 310-312.
18. Rabotnov Yu. N. Soprotivleniye materialov [Resistance of materials]. Moscow: Fizmatlit, 1962, 456 p.
19. Timoshenko S. R, Goodier J. N. Theory of Elasticity. New York: McGraw-Hill, 1970. 506 p.
