CC BY
29
О напряженном состоянии тонкого диска с учетом зависимости предела
текучести от температуры
М. А. Артемов, Е. С. Барановский, Г. Г. Бердзенишвили, И. И. Переяславская
Воронежский государственный университет
Аннотация: Рассматривается задача определения напряженного и деформированного состояния тонкого кругового диска, проявляющего упругие и пластические свойства при тепловом и силовом воздействиях. В центральной части диска поле температур однородное. На границе диска задано давление и постоянная температура. Выбирается условие пластичности Треска. Учитывается зависимость предела пластичности от температуры. Пластические деформации определяются по теории пластического течения. Установлены условия, позволяющие определять величину температуры центральной части диска и его радиус, в зависимости от которых пластическая область может формироваться в центральной части диска или на его границе. Приведены графики для напряжений. Для верификации полученных результатов предлагается рассматривать графики эквивалентного напряжения для допустимых режимов пластичности и график годографа вектора напряжений.
Ключевые слова: математическое моделирование, упругопластическое тело, плоское напряженное состояние, кусочно-линейные условия пластичности, теория пластического течения, термоупругопластичность.
Математическому моделированию напряженного и деформированного состояния дисков, испытывающих силовое и тепловое воздействия, посвящено значительное количество работ. Практически во всех последних публикациях учитывается зависимость параметров тел от температуры. Отметим работы [1-5], в которых изучаются задачи, близкие к задаче, рассматриваемой в данной статье.
Постановка задачи
Рассматривается тонкий круговой диск, подверженный полярно-симметричному тепловому и силовому воздействиям. Поле температур центральной части диска 0 < г < а является однородным Т = Та. На внешней границе диска г = Ь задано давление рЬ и температура Ть = 0.
Все величины приводятся к безразмерному виду. В качестве масштаба напряжений выбран предел пластичности к при начальной температуре,
в качестве масштаба длины - радиус а. Для безразмерных величин принято обозначение размерных величин, что не привносит путаницу, поскольку не вводятся безразмерные комплексы.
Для определения напряженного, деформированного и температурного состояния диска выбирается цилиндрическая система координат, ось которой перпендикулярна срединной поверхности диска и является осью симметрии диска. Поле температур определяется по формуле [1]
Г1, 0 < г < а,
Т = Та/, / =
1п(ь / г) 0 < г < ь. (1)
1п(Ь / а)
Упругое состояние
Обозначим через с,, се радиусы границ области, в которой диск находится в упругом состоянии, через р, и ре - давления на этих границах. В этой области компоненты тензора напряжений определяются по формулам [1]:
/ л
г В 1 г
| /гФ + А - —, а(р= ТааЕ — | рФ - /
ТааЕ г _ В
^ г 2 J 2' Р
г с г
с,
т V с'п У
В
+ А + (2)
г2
где А = ТаЕ1 )>г + ^ - Р2С2 , В = С^ГоОЕ)мг + ЩР,-^, с — с с — с с — с2 с — с
Е - модуль Юнга, а - коэффициент линейного теплового расширения.
Упругопластическое состояние диска
Задача плоского напряженного состояния идеального упругопластического тела в области пластического состояния является локально статически определимой. Поэтому, если граничные условия не содержат перемещений, то определение напряжений не зависит от деформированного состояния.
Выберем условие пластичности Треска, в котором учитывается зависимость предела пластичности от температуры. Учитывая, что напряжения аг, а^, <а2 являются главными, запишем это условие
в виде тах{| - аг |,| с2 -аг \,\а(-а2 |} = к, к = к0(1 - ), где к0 - предел пластичности при Г = 0, % - коэффициент, определяющий зависимость предела пластичности от температуры.
В области 0 < г < а реализуется однородное напряженное состояние аг =&(, поэтому в этой части диска при переходе в пластическое состояние
будет выполняться условие аг = а(=-к; из формул (2) (полагая сI = 0, се = Ь) следует, что это условие будет выполнено, если
Га = Г = 2Ь2(Рь -к0)/
г ( Ь \
аЕ
2| /гиг - Ь
2Ь2к0%
(3)
/гиг - Ь2
V V 0
Для диапазона к < Рь < 0 давления на границе г = Ь может реализоваться только режим с( -с г = к . Учитывая (2), находим температуру, при которой на границе г = Ь будет выполняться этот режим
Га = Ге = (Ь2 к0)/
Ь
2аЕ | г/иг . (4)
0 )
Приравнивая правые части (3), (4) и учитывая (1), получим уравнение, позволяющее определить радиус диска Ь = Ьк, для которого одновременно на границах г = а и г = Ь зарождается пластическая область.
Когда Ьк < Ь и Га < Г, или Ь < Ьк и Га < Ге, диск находится в упругом состоянии; в формулах (2) следует полагать сг- = 0, се = Ь, ре = рЬ .
Внутренняя пластическая область
Если Ь > Ьк и Г1п < Га, то в области диска 0 < г < а реализуется режим полной пластичности: аг =а(=-ка, ка = к0(1 -%Га). Несложно проверить,
что в области а < г < ci из возможных режимов пластичности реализуется режим: а( = -к0(1 - ), - к0(1 - £,Га) <аг < 0, для которого
= -к - к0Г (1 - а / г )/1п(Ь / а), <т( = -к. (5)
Для области сг- < г < Ь, где диск находится в упругом состоянии, в формулах (2) следует полагать се = Ь, ре = рЬ . Радиус упругопластической границы г = сг определяется, например, из условия непрерывности
окружного напряжения на этой границе (квадратные скобки используем для обозначения разрыва величин на границах)
к(]!г=с = 0. (6)
Из равенств (а(-аг) |г=Ь = к0 и (6), учитывая формулы (2) и (5), определяются значения с1 и температура Га = Г1, при которой на границе
г = Ь зарождается пластическая область.
На рис. 1 приведены графики распределения напряжений, эквивалентного напряжения для возможных режимов пластичности и годографа вектора напряжений, для следующих значений параметров: а = 1,Ь = 7,к0 = 1,рЬ = 0,аЕ = 0.012,Га = 330,^ = 0.0008, с1 = 2.1.
Рис. 1
Деформации
В рамках теории пластического течения для кусочно-линейных функций пластичности определение деформаций в пластической области обсуждалось в работах [8-10], в которых объясняются разрывы радиальной и осевой компонент пластических деформаций.
Две пластические области
Если Та > Т1, Ь > Ьк и рь > 0, образуется внешняя пластическая область
се < г < Ь, в которой реализуется режим пластичности ар-аг = к и
<тг =- рЬ + (к + к0)1п(г / Ь)/2, ^р = - Рь + к0 + ((к + к>)/2 + Та% /(1п Ь / а))1п(г / Ь). (7)
В области ci < г < се упругого состояния диска напряжения определяются по формулам (2), в которых величины А, В и сг-, се определяются из условия непрерывности напряжений на упругопластических границах г = с1 и г = се.
Второй сценарий образования пластических областей
В случае, когда Ь < Ьг, при достижении температуры Та значения Те на
границе г = Ь зарождается внешняя пластическая область; при дальнейшем увеличении температуры происходит зарождение и расширение внутренней пластической области. Обозначим через Т2 значение температуры Та, при
которой область диска 0 < г < а переходит в пластическое состояние. В области се < г < Ь напряжения определяются по формулам (7).
Если сг = а, температура Та = Т2, радиус упругопластической границы
г = се и величины А, В в формулах (2) определяются из условий
непрерывности напряжений на границах г = а и г = се .
Если Ta > T2, радиус упругопластической границы ci > a. В пластической области a < r < ci напряжения определяются по формулам (5). Радиусы упругопластических границ r = ci и r = ce определяются из условия непрерывности напряжений на этих границах.
Выводы
В работе показана правомерность использования условия пластичности Треска при решении задачи о тепловом воздействии на диск, когда учитывается зависимость предела пластичности от температуры.
Литература
1. Timoshenko S. R, Goodier J. N. Theory of Elasticity. New York: McGraw-Hill, 1970. 506 p.
2. Gamer U. Elastic-Plastic Deformation of a Centrally Heated Disk // Journal of Thermal Stresses. 1985. V. 8. pp. 41-51.
3. Orcan Y., Gamer U. Elastic-Plastic Deformation of a Centrally Heated Cylinder // Acta Mechanica. 1991. V. 90. pp. 61-80.
4. Dats E., Murashkin E. On Unsteady Heat Effect in Center of the Elastic-Plastic Disk // Lecture Notes in Engineering and Computer Science Сер. "WCE 2016 - World Congress on Engineering 2016". pp. 69-72.
5. Артемов М. А., Барановский Е. С. Об одном алгоритме решения задач термопластичности // Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования: тезисы докладов XIV Международной научной конференции (с. Цей, 3-8 июля 2017 г.). Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН, 2017. C. 137-138.
6. Полетаев Ю. В. Механизм локального разрушения зоны термического влияния сварных соединений при малоцикловом нагружении // Инженерный вестник Дона, 2011. №4 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2011/606.
7. Полетаев Ю.В., Полетаев В.Ю. Методика оценки склонности сварных соединений низколегированных сталей к образованию трещин при термической обработке // Инженерный вестник Дона, 2014 №4 URL:ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2014/2583.
8. Артемов М. А., Барановский Е. С. Математическое моделирование пластического состояния тел. Плоская деформация // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2015. № 2 (24). С. 72-87.
9. Артемов М. А., Барановский Е. С., Якубенко А. П. Альтернативные формы записи кусочно-линейных условий пластичности и их обобщения // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. 2015. № 1. С. 71-82.
10. Переяславская И. И., Артемов М. А., Барановский Е. С. К вопросу математического моделирования осесимметричного плоско-напряженного состояния сжимаемого упругопластического тела // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2017. № 1 (31). С. 22-39.
References
1. Timoshenko S. R, Goodier J. N. Theory of Elasticity. New York: McGraw-Hill, 1970. 506 p.
2. Gamer U. Journal of Thermal Stresses. 1985. V. 8. pp. 41-51.
3. Orcan Y., Gamer U. Acta Mechanica. 1991. V. 90. pp. 61-80.
4. Dats E., Murashkin E. Lecture Notes in Engineering and Computer Science. WCE 2016. World Congress on Engineering 2016. pp. 69-72.
5. Artemov M. A., Baranovskii E. S. Vladikavkaz, Southern Mathematical Institute RAS, 2017. pp. 137-138.
6. Poletayev Yu. V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2011, №4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2011/606.
7. Poletayev Yu. V., Poletayev V. Yu. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2014, № 4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2014/2583.
8. Artemov M. A., Baranovskii E. S. Proceedings of Yakovlev Chuvash State Pedagogical University. Serie: Mechanics. 2015. № 2 (24). pp. 72-87.
9. Artemov M. A., Baranovskii E. S., Yakubenko A. P. Proceedings of Voronezh State University. 2015. № 1. pp. 71-82.
10. Pereyaslavskaya I. I., Artemov M. A., Baranovskii E. S. Proceedings of Yakovlev Chuvash State Pedagogical University. Serie: Mechanics. 2017. № 1 (31). pp. 22-36.
