Термомеханическое поле многослойной пластины c внутренними источниками Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКОЕ ПОЛЕ МНОГОСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ С ВНУТРЕННИМИ ИСТОЧНИКАМИ

Л. М. Юферева1, Ю. А. Лавров2

1. С.-Петербургский государственный университет путей сообщения (ПГУПС), канд. техн. наук, доцент, [email protected]

2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

1. Введение. Актуальность исследований термомеханических процессов в многослойных системах с внутренними источниками теплоты, работающими в периодическом режиме, обусловлена нуждами многих технических областей, в частности, области конструирования и производства полупроводниковых приборов большой мощности и средств отведения теплоты от них. Многослойные Р-М-переходы ряда полупроводниковых приборов имеют форму цилиндрической таблетки, толщина которой много меньше диаметра. Механический, электрический и тепловой контакт с элементами крепления, токосъема и теплоотведения имеют только основания цилиндра. Таким образом, процессы, вызываемые внутренними источниками теплоты, можно, в первом приближении, считать зависящими только от поперечной координаты и от времени.

Построение решения задач об определении совместного поля тепловых и механических процессов в кусочно-однородных системах, конструктивные элементы которых находятся в тепловом и механическом контакте, сопряжено с определенными математическими трудностями, особенно при рассмотрении конечных объемов. В настоящее время известен ряд точных аналитических решений (например, [1-2]), приближенные аналитические и численные решения (например, [3]). Подробный обзор работ по рассматриваемой тематике приведен в [4].

Численные методы исследования термомеханических процессов в многослойных системах имеют известные пределы применимости ввиду плохой обусловленности матриц соответствующих систем линейных уравнений. Следовательно, приближенные аналитические решения могут оказаться полезными для экспресс-оценки искомых полей.

2. Постановка задачи. Неограниченная вдоль декартовых координат х, у плоская

пластина 0 < г < Н разделена плоскостями г = Нт (т =1, 2, ... , М — 1) на М слоев Нт-1 < г < Нт, занимаемых материалами с различными механическими и теплофизическими свойствами. Здесь Но = 0, Нм = Н, Нт = ^™1 Н*, причем Нт —

толщина т-го слоя, Нт > 0, т =1, 2, ... , М.

В пластине разыскивается зависящие от времени т избыточная температура 0(г,т) = |0т(г, т)} = Т(г, т) — То (здесь Т(г,т) и То —соответственно, температура пластины и окружающей среды) и поперечное смещение Ш(г, т) = {Шт(г,т)}.

Здесь и далее для всех кусочно-однородных по переменной г функций Ф(г, т) = {Фт(г,т),Нт-1 < г < Нт}т=1,, м, представленных своими зонными участками Фт(г,т), применяется сокращенное обозначение Ф(г,т) = {Фт(г, т)}.

© Л. М. Юферева, Ю. А. Лавров, 2009

Искомые функции должны удовлетворять системе уравнений

<92©т(г, т) СтРт <9©т(г, т) дт(г, т) _ <Э'фт д21¥т(г, т)

дг2 Лт дт ' Лт

д2^т(г,т) рт д2№т(г, т)

дг2

Мт

дт2

7«

Лт дгдт

д©т(г, т)

' дг '

(2)

Здесь ст, рт, Лт, ат, Ет, стт — соответственно, удельная теплоемкость, плотность вещества, коэффициент теплопроводности, коэффициент линейного термического расширения, модуль упругости, коэффициент Пуассона т-го слоя,

фт —

Е„

ЛТ)

1 — 2<г„

Мт —

Ет ( 1 <2"т )

(1 +

)(1 — 2(7

т )

_ 1 +СГт (Т) /т — ,

1 _ От.

Объемная плотность теплового потока от внутренних источников, д(г, т) — д(г, т + то) — |дт(г,т)}, считается непрерывной по обеим переменным и периодической по времени т функцией с периодом то.

Уравнения (1)—(2) построены [1] для случая малых деформаций, вызванных малым отличием величины ©(г,т) от ее среднего значения

0 1

то Я

То Н

/ йт / йг ©(г, т) .

о о

В плоскости контакта каждой пары соседних слоев выполняются условия сопряже-

©т(Ят — 0, т) — ©т+1(Ят + 0, т) .

д©т(г, т)

дг

^т+1"

д©т+і(г,т)

=нт- о

дг

^т(Ят — 0, т) — №т+і(Ят + 0, т) ,

Мт

д^т(г,т)

дг

— Мт+1

д^т+і(г,т)

дг

(3)

(4)

(5)

(6)

£—Нт+0

2—Нт—0

Взаимодействие внешних поверхностей пластины с элементами крепления и тепло-отведения задаются соотношениями

д I аЛгл / \

~ді л7 )е‘(г’т)

|_ + ^^1(г,г) дг Мі /

0,

2 — 0

Н

2 — 0

д рм А тд/ / ^

Н------)УУм{г,т)

дг мм /

Н

(7)

(8) (9)

(10)

Л

т

0

2

0

0

2

«т, вт —соответственно коэффициенты теплоотдачи и постели для нижней (т = 0, г = 0) и верхней (т = М, г = Н) поверхностей пластины.

Понятие коэффициента теплоотдачи ат, как коэффициента пропорциональности между тепловым потоком и температурным напором, и коэффициента постели вт, как коэффициента пропорциональности между механическим давлением и механическим смещением, лежат в основе большинства методов расчета теплообменников.

3. Аналитическое решение. Приближенное решение задачи может быть построено

(Т) (Т) (Т)

в виде разложения по малому параметру е = «0 , «0 тахкт<м «т ,

©(г, т) = ©(0)(г, т) + е2©(2)(г, т) + ... ,

^(г, т) = е^(1)(г, т) + е3^(3)(г, т) + ... , при постоянных «тТ)/«0Т). Далее будут построены лишь первые слагаемые разложений,

|-то + то (0)

©(г,т) = в™(г,т) = ]Г V (оь" ^2 (*) вхр(г^г), (И)

к—-то п—0 № (^к))

+то +то (1)

^(г,г)=е^1)(г,г)= ]Г ]Г , (іьП „24п(^)ехр(»^г), (12)

к—-то п—0 (^к))

удовлетворяющие уравнениям

д2От(г,т) стрт дОт(г, т) _ 1 (0)

дг2 Ат дг _ Лт

д2^т(г ? 7") рт д2Шт(г

;Т) _ 7тг(1), ,

дг2 рт дт2 ~ Лт т[г'Т)

и краевым условиям (3)—(10). Здесь г = %/—Ї, и>к = 2ттк/то,

<^т(г,т)=Ягп(г,т), С^(г,г) = -Лт^^,

коэффициенты (і — 0,1)—результат разложения непрерывных по г функций

С(^ (г, т) — {С^ (г, т)} в ряд по базису (г) ехр(* о^т),

Н то

а(І) —

кп Нт,

■ J с!г J с!т (г, т(г) ехр(* а^т),

£(п)(г) — {»тк„(г)}.

0

0 0

Зонные функции 5(ткп(г) отыскиваются в виде

»ткп(г) — ^Іпі с^т^^ ^)г) + ^

БІІІ (рт(г)п(ик),ик)г) Р^т) (Пп(^й), ^й)

(0)/ \ / ^?2 ІШСтРтп (1)/ >1 /?72 7т , ‘-°2 Рт

Рт('П,и) = \ --------л------- , Рт^^) = \ ~---- + ------

Лт Лт Мт

Подчинение предложенных выражений для полей требованиям (3)—(10) означает, что для каждого значения индекса п столбец коэффициентов

с О) = (,0) ,0) ,0) ,0) ,0) ,0) )Т

= \*йп11, ,кп12, *йп21, *йп22, . " , *йпМ 1, *йпМ2)

должен быть решением линейной однородной системы уравнений

Ь(^’Шк)(пШ)с(П) = 0 . (13)

Из всех (2М) х (2М) коэффициентов матрицы Ь(7,ш)(п) от нуля отличны следующие:

£(и ш) (п) = к1), ь?2’ш) (П) = -1,

2т—1(П) = - СОв(рт) (п,^)Нт) ,

2т(п) = -

и;)Ят) р;;)(п, ^)

^2тт2т+1(п)=соКрт+1(п,^)н;

р;+1(п,-)

4т+1, 2т—1(П) = ^т)^ вЦ^п, ^)Нт) ,

£2т.+ 1, 2т(П) = -ет) С08(р;;) (П, ^)Нт) ,

4т+1,2т+1(п) = -em+lp;;+l(n,-)s1n(p;;)+l(n,-)нm), ь2тт?1, 2т+2(П) = ет+1 СЮв(р;;+ 1 (П ^)Нт) ,

т =1, 2, ... , М - 1,

4м“2м —1(П) = с°8(рт)(п,^)Н)кМм) - р(т) )

^2М, 2М — 1\Ч)— ^а\Ут \’ЬШ)±± )пМ

р(;)(п /.-) Н^ОО

Ж/

га") ^ ((7^ мт-^ ^(ртчп^жьм

Ь2Ы,2мМ = ('П^)Н) + ------------

ртчп, ^)

.? = 0,1,

(0) _ «о (о) _ ам

К1 — Л 1 КМ _ \

Л1 ЛМ

К(1) - _Д> (1)__/?М

— 5 — 5 — гт •

М1 Мм

40) = Лт *(1)

Условием существования нетривиального решения системы (13) является равенство нулю ее главного определителя,

ь(7’ш)(п) = 0. (14)

строения дискретного множества чи мерованных целым индексом к и неотрицательным целым индексом п.

Уравнение (14) служит для построения дискретного множества чисел Пп7)(^й ), ну-

Столбец СкП, соответствующий найденному Пп^^к), с помощью системы (13) вычисляется с точностью до постоянного множителя, который следует подчинить требованию

Н

При поиске корней уравнения (14), особенно комплексных (при ] = 0), возникают вычислительные трудности. Отмечено [2, 4], что среди всех корней уравнения решающее влияние на точность получаемого решения оказывают те из них, для которых п = 0. Поэтому представляется полезным применить приближенный метод поиска п(7) (^ к), основанный на разложении по степеням малого параметра е = Л-0, ^0 = шах«т<м ^т, при постоянных ^т/^0. В результате получаем

п0°)(^ к)

1

х0

«0 + «м +

Х(10) + * ^Х20) (х(оГ ,

(15)

(0)

х0

м

г—1

х10) = /1(^-1, ... , ^м, Л1, ... , Лм, «0, «м) ,

х20) = /2(^1, ... , ^м, С1Р1, ... , смРм),

п01) к)

цч [ /?0 + /?М +

х0 \

(1) , 2 (1)' х1 + ^2х2

(х!

0Ч2

(16)

м

1

х11)

/1 (^1^1,

Лм фм, ф1М1, ... , фм Мм, в0,вм):

х(1)

х2

/И ^1^1, ... , ^м фм,

/?1 /?м А

V1! ’ ” ’ ’ Фм )

1

0

&

2 1 2 м з

адд - №0адм + ^м ^ м3 , /1(м1,м2, ••• ,им, «1,^2, ••• ,-ум, 1и0,юм) = ----------------------^----------2^---------1“

. =1

м—1 м / / 2 2 \ / 22 \\

+ Е Е ; 'ГИ + ~ Ц,°Ц,М) +

г—1 7—г+1 \ ' г 7 ' \ г 7 /у

м—2 м—1 м / 2 2 \

, о \т^ \ ’ \ ’ [и)о ^

+ 22.2. 2.“.“/“^-- — + —). <17>

г—1 7—г+1 к —7+1 ^

м

/2(^1, «2, . .. , им, «1,«2, . .. , гм) = «^г +

г—1

м—1 м

+ Е К2и7(2гг + г7)+ «г^К + 2г7^ +

г—1 7—г+1

м — 2 м—1 м

+ 2 Е Е Е иги^«к(гг + г^- + гк) . (18)

г—1 7—г+1 к—7+1

Суммы в (17)—(18) следует считать равными нулю в случаях, когда верхний предел индекса меньше нижнего.

4. Численные результаты. Численный эксперимент проведен для трехслойной (М =

3, «медь—железо—алюминий») пластины; Л-1 = Л-2 = Лз = 0.0004 т, т0 = 0.02 в, Т0 =

00 С, «0 = «м = 800 ^/(т2 • 0С), в0 = вм = 1010 п/т3.

(а) 1 *.и

*.М

Г

тах _0рМ

-0.5

-о.гв

0.2 0.4 О.С 0.8 1

г/г0

(б) 4

0.Ч5 0.5 0.25

Г(Я2.г) ,

Иг

"тах _0рй<5

-0.5 -0Л5

0.2 0.4 0.6 0.8 1

<

<Г .■ -Г.

1 1 *0

Рис. 1.

Интенсивность внутренних источников теплоты выбрана зависящей только от времени:

Т1 = 0.0004 в, т2 = 0.002 в, при этом средняя за период плотность рассеиваемой мощности составляет ^Т2/(2т0). Представленные на рис. 1 результаты от величины Q не зависят.

Наряду с аналитическим решением (11)—(12) построено численное решение задачи с применением метода конечных разностей. При этом разыскиваются значения функции в равномерно распределенных по периоду Кт временных слоях, каждый из которых содержит по N узлов по координате г. Результаты применения численного решения при Кт = 200, N = 20, г = Н1 показаны на рис. 1 сплошными линиями для г = Н1, г = Н2, части (а), (б) соответственно. Штриховыми линиями отмечен отрезок ряда приближенного решения (11)—(12), в котором сохранено 25 слагаемых по к и одно слагаемое при п = 0, причем, величины п00)(^к), По^^к) взяты по явным формулам

Затраты машинного времени на приближенное решение невелики, а оценку искомого поля смещений оно дает вполне приемлемую.

Литература

1. Карташов Э. М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа, 2001. 540 с.

2. Кудинов В. А., Карташов Э. М., Калашников В. В. Аналитические решения задач тепло-массопереноса и термоупругости и для многослойных конструкций. М.: Высшая школа, 2005.

3. Кудинов В. А., Диноп В. В., Габдушев Р. Ж., Левин Д. В., Стефанюк С. А. Об одном методе определения собственных чисел в нестационарных задачах теплопроводности // Известия РАН. Энергетика. 2002. №4. С.112-117.

4. Кудинов В. А. Аналитические методы решения краевых задач для многослойных конструкций // Известия РАН. Энергетика. 1999. №5. С. 85-106.

Статья поступила в редакцию 18 декабря 2008 г.

(15)-(16).

430 с.