Научная статья на тему 'Термомеханическое поле многослойной пластины c внутренними источниками'

Термомеханическое поле многослойной пластины c внутренними источниками Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
58
22
Поделиться
Ключевые слова
МНОГОСЛОЙНАЯ ПЛАСТИНА / ИДЕАЛЬНЫЙ ТЕПЛОВОЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ КОНТАКТ / ПРИБЛИЖЕННОЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ / MULTY-LAYERED PLATE / IDEAL HEAT AND MECHANICAL CONTACT / APPROXIMATE ANALYTIC SOLUTION

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Юферева Л. М., Лавров Ю. А.

Юферева Л.М., Лавров Ю.А. Термомеханическое поле многослойной пластины c внутренними источниками // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2009. Вып. 2. С. 122-128. Методом малого параметра построено приближеное решение одномерной задачи определения совместных колебаний температуры и механических вибраций в многослойной плоской пластине. Процессы в пластине возбуждаются распределенными по ее объему внутренними источниками теплоты, интенсивность которых имеет периодическую зависимость от времени. В плоскостях соприкосновения каждой пары соседних слоев выполняются условия идеального механического и теплового контакта. Механический и тепловой режим на внешних поверхностях пластины подчиняются модели Винклера и модели Ньютона соответственно. Для собственных значений задачи Штурма-Лиувилля, необходимых при построении базисных функций, по которым разлагается тепловое и механическое поле, выведены и численно испытаны явные приближенные формулы. Построены и испытаны приближенные выражения для полей. Библиогр. 4. Ил. 1. УДК

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Юферева Л. М., Лавров Ю. А.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

The thermo-mechanical field in multi-layered plate with internal sources

Yufereva L.M., Lavrov Yu.A. The thermo-mechanical field in multi-layered plate with internal sources // Vestnik St.Petersburg University. Ser. 1. 2009. Issue 2. P. 122-128. The approximate solution of one-dimensional problem on determination of coupled temperature oscillations and mechanical vibrations in multi-layered plate is built by the small-parameter method. The processes in the plate are excited by internal heat sources that are distributed within its volume. In the planes dividing each pair of adjacent layers the conditions of ideal heat and mechanical contact are fulfilled. Mechanical and thermal regimes on external plate surfaces submit to the Winkler's and Newton's models respectively. There are derived the approximate expressions for eigenvalues of the Sturm-Liouville problem that are necessary in building the basis functions for thermal and vibration field's decomposition.

Текст научной работы на тему «Термомеханическое поле многослойной пластины c внутренними источниками»

ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКОЕ ПОЛЕ МНОГОСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ С ВНУТРЕННИМИ ИСТОЧНИКАМИ

Л. М. Юферева1, Ю. А. Лавров2

1. С.-Петербургский государственный университет путей сообщения (ПГУПС), канд. техн. наук, доцент, lmyu@bk.ru

2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, lyamm06@rambler.ru

1. Введение. Актуальность исследований термомеханических процессов в многослойных системах с внутренними источниками теплоты, работающими в периодическом режиме, обусловлена нуждами многих технических областей, в частности, области конструирования и производства полупроводниковых приборов большой мощности и средств отведения теплоты от них. Многослойные Р-М-переходы ряда полупроводниковых приборов имеют форму цилиндрической таблетки, толщина которой много меньше диаметра. Механический, электрический и тепловой контакт с элементами крепления, токосъема и теплоотведения имеют только основания цилиндра. Таким образом, процессы, вызываемые внутренними источниками теплоты, можно, в первом приближении, считать зависящими только от поперечной координаты и от времени.

Построение решения задач об определении совместного поля тепловых и механических процессов в кусочно-однородных системах, конструктивные элементы которых находятся в тепловом и механическом контакте, сопряжено с определенными математическими трудностями, особенно при рассмотрении конечных объемов. В настоящее время известен ряд точных аналитических решений (например, [1-2]), приближенные аналитические и численные решения (например, [3]). Подробный обзор работ по рассматриваемой тематике приведен в [4].

Численные методы исследования термомеханических процессов в многослойных системах имеют известные пределы применимости ввиду плохой обусловленности матриц соответствующих систем линейных уравнений. Следовательно, приближенные аналитические решения могут оказаться полезными для экспресс-оценки искомых полей.

2. Постановка задачи. Неограниченная вдоль декартовых координат х, у плоская

пластина 0 < г < Н разделена плоскостями г = Нт (т =1, 2, ... , М — 1) на М слоев Нт-1 < г < Нт, занимаемых материалами с различными механическими и теплофизическими свойствами. Здесь Но = 0, Нм = Н, Нт = ^™1 Н*, причем Нт —

толщина т-го слоя, Нт > 0, т =1, 2, ... , М.

В пластине разыскивается зависящие от времени т избыточная температура 0(г,т) = |0т(г, т)} = Т(г, т) — То (здесь Т(г,т) и То —соответственно, температура пластины и окружающей среды) и поперечное смещение Ш(г, т) = {Шт(г,т)}.

Здесь и далее для всех кусочно-однородных по переменной г функций Ф(г, т) = {Фт(г,т),Нт-1 < г < Нт}т=1,, м, представленных своими зонными участками Фт(г,т), применяется сокращенное обозначение Ф(г,т) = {Фт(г, т)}.

© Л. М. Юферева, Ю. А. Лавров, 2009

Искомые функции должны удовлетворять системе уравнений

<92©т(г, т) СтРт <9©т(г, т) дт(г, т) _ <Э'фт д21¥т(г, т)

дг2 Лт дт ' Лт

д2^т(г,т) рт д2№т(г, т)

дг2

Мт

дт2

Лт дгдт

д©т(г, т)

' дг '

(2)

Здесь ст, рт, Лт, ат, Ет, стт — соответственно, удельная теплоемкость, плотность вещества, коэффициент теплопроводности, коэффициент линейного термического расширения, модуль упругости, коэффициент Пуассона т-го слоя,

фт —

Е„

ЛТ)

1 — 2<г„

Мт —

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Ет ( 1 <2"т )

(1 +

)(1 — 2(7

т )

_ 1 +СГт (Т) /т — ,

1 _ От.

Объемная плотность теплового потока от внутренних источников, д(г, т) — д(г, т + то) — |дт(г,т)}, считается непрерывной по обеим переменным и периодической по времени т функцией с периодом то.

Уравнения (1)—(2) построены [1] для случая малых деформаций, вызванных малым отличием величины ©(г,т) от ее среднего значения

0 1

то Я

То Н

/ йт / йг ©(г, т) .

о о

В плоскости контакта каждой пары соседних слоев выполняются условия сопряже-

©т(Ят — 0, т) — ©т+1(Ят + 0, т) .

д©т(г, т)

дг

^т+1"

д©т+і(г,т)

=нт- о

дг

^т(Ят — 0, т) — №т+і(Ят + 0, т) ,

Мт

д^т(г,т)

дг

— Мт+1

д^т+і(г,т)

дг

(3)

(4)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(5)

(6)

£—Нт+0

2—Нт—0

Взаимодействие внешних поверхностей пластины с элементами крепления и тепло-отведения задаются соотношениями

д I аЛгл / \

~ді л7 )е‘(г’т)

|_ + ^^1(г,г) дг Мі /

0,

2 — 0

Н

2 — 0

д рм А тд/ / ^

Н------)УУм{г,т)

дг мм /

Н

(7)

(8) (9)

(10)

Л

т

0

2

0

0

2

«т, вт —соответственно коэффициенты теплоотдачи и постели для нижней (т = 0, г = 0) и верхней (т = М, г = Н) поверхностей пластины.

Понятие коэффициента теплоотдачи ат, как коэффициента пропорциональности между тепловым потоком и температурным напором, и коэффициента постели вт, как коэффициента пропорциональности между механическим давлением и механическим смещением, лежат в основе большинства методов расчета теплообменников.

3. Аналитическое решение. Приближенное решение задачи может быть построено

(Т) (Т) (Т)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

в виде разложения по малому параметру е = «0 , «0 тахкт<м «т ,

©(г, т) = ©(0)(г, т) + е2©(2)(г, т) + ... ,

^(г, т) = е^(1)(г, т) + е3^(3)(г, т) + ... , при постоянных «тТ)/«0Т). Далее будут построены лишь первые слагаемые разложений,

|-то + то (0)

©(г,т) = в™(г,т) = ]Г V (оь" ^2 (*) вхр(г^г), (И)

к—-то п—0 № (^к))

+то +то (1)

^(г,г)=е^1)(г,г)= ]Г ]Г , (іьП „24п(^)ехр(»^г), (12)

к—-то п—0 (^к))

удовлетворяющие уравнениям

д2От(г,т) стрт дОт(г, т) _ 1 (0)

дг2 Ат дг _ Лт

д2^т(г ? 7") рт д2Шт(г

;Т) _ 7тг(1), ,

дг2 рт дт2 ~ Лт т[г'Т)

и краевым условиям (3)—(10). Здесь г = %/—Ї, и>к = 2ттк/то,

<^т(г,т)=Ягп(г,т), С^(г,г) = -Лт^^,

коэффициенты (і — 0,1)—результат разложения непрерывных по г функций

С(^ (г, т) — {С^ (г, т)} в ряд по базису (г) ехр(* о^т),

Н то

а(І) —

кп Нт,

■ J с!г J с!т (г, т(г) ехр(* а^т),

£(п)(г) — {»тк„(г)}.

0

0 0

Зонные функции 5(ткп(г) отыскиваются в виде

»ткп(г) — ^Іпі с^т^^ ^)г) + ^

БІІІ (рт(г)п(ик),ик)г) Р^т) (Пп(^й), ^й)

(0)/ \ / ^?2 ІШСтРтп (1)/ >1 /?72 7т , ‘-°2 Рт

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Рт('П,и) = \ --------л------- , Рт^^) = \ ~---- + ------

Лт Лт Мт

Подчинение предложенных выражений для полей требованиям (3)—(10) означает, что для каждого значения индекса п столбец коэффициентов

с О) = (,0) ,0) ,0) ,0) ,0) ,0) )Т

= \*йп11, ,кп12, *йп21, *йп22, . " , *йпМ 1, *йпМ2)

должен быть решением линейной однородной системы уравнений

Ь(^’Шк)(пШ)с(П) = 0 . (13)

Из всех (2М) х (2М) коэффициентов матрицы Ь(7,ш)(п) от нуля отличны следующие:

£(и ш) (п) = к1), ь?2’ш) (П) = -1,

2т—1(П) = - СОв(рт) (п,^)Нт) ,

2т(п) = -

и;)Ят) р;;)(п, ^)

^2тт2т+1(п)=соКрт+1(п,^)н;

р;+1(п,-)

4т+1, 2т—1(П) = ^т)^ вЦ^п, ^)Нт) ,

£2т.+ 1, 2т(П) = -ет) С08(р;;) (П, ^)Нт) ,

4т+1,2т+1(п) = -em+lp;;+l(n,-)s1n(p;;)+l(n,-)нm), ь2тт?1, 2т+2(П) = ет+1 СЮв(р;;+ 1 (П ^)Нт) ,

т =1, 2, ... , М - 1,

4м“2м —1(П) = с°8(рт)(п,^)Н)кМм) - р(т) )

^2М, 2М — 1\Ч)— ^а\Ут \’ЬШ)±± )пМ

р(;)(п /.-) Н^ОО

Ж/

га") ^ ((7^ мт-^ ^(ртчп^жьм

Ь2Ы,2мМ = ('П^)Н) + ------------

ртчп, ^)

.? = 0,1,

(0) _ «о (о) _ ам

К1 — Л 1 КМ _ \

Л1 ЛМ

К(1) - _Д> (1)__/?М

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

— 5 — 5 — гт •

М1 Мм

40) = Лт *(1)

Условием существования нетривиального решения системы (13) является равенство нулю ее главного определителя,

ь(7’ш)(п) = 0. (14)

строения дискретного множества чи мерованных целым индексом к и неотрицательным целым индексом п.

Уравнение (14) служит для построения дискретного множества чисел Пп7)(^й ), ну-

Столбец СкП, соответствующий найденному Пп^^к), с помощью системы (13) вычисляется с точностью до постоянного множителя, который следует подчинить требованию

Н

При поиске корней уравнения (14), особенно комплексных (при ] = 0), возникают вычислительные трудности. Отмечено [2, 4], что среди всех корней уравнения решающее влияние на точность получаемого решения оказывают те из них, для которых п = 0. Поэтому представляется полезным применить приближенный метод поиска п(7) (^ к), основанный на разложении по степеням малого параметра е = Л-0, ^0 = шах«т<м ^т, при постоянных ^т/^0. В результате получаем

п0°)(^ к)

1

х0

«0 + «м +

Х(10) + * ^Х20) (х(оГ ,

(15)

(0)

х0

м

г—1

х10) = /1(^-1, ... , ^м, Л1, ... , Лм, «0, «м) ,

х20) = /2(^1, ... , ^м, С1Р1, ... , смРм),

п01) к)

цч [ /?0 + /?М +

х0 \

(1) , 2 (1)' х1 + ^2х2

(х!

0Ч2

(16)

м

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1

х11)

/1 (^1^1,

Лм фм, ф1М1, ... , фм Мм, в0,вм):

х(1)

х2

/И ^1^1, ... , ^м фм,

/?1 /?м А

V1! ’ ” ’ ’ Фм )

1

0

&

2 1 2 м з

адд - №0адм + ^м ^ м3 , /1(м1,м2, ••• ,им, «1,^2, ••• ,-ум, 1и0,юм) = ----------------------^----------2^---------1“

. =1

м—1 м / / 2 2 \ / 22 \\

+ Е Е ; 'ГИ + ~ Ц,°Ц,М) +

г—1 7—г+1 \ ' г 7 ' \ г 7 /у

м—2 м—1 м / 2 2 \

, о \т^ \ ’ \ ’ [и)о ^

+ 22.2. 2.“.“/“^-- — + —). <17>

г—1 7—г+1 к —7+1 ^

м

/2(^1, «2, . .. , им, «1,«2, . .. , гм) = «^г +

г—1

м—1 м

+ Е К2и7(2гг + г7)+ «г^К + 2г7^ +

г—1 7—г+1

м — 2 м—1 м

+ 2 Е Е Е иги^«к(гг + г^- + гк) . (18)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

г—1 7—г+1 к—7+1

Суммы в (17)—(18) следует считать равными нулю в случаях, когда верхний предел индекса меньше нижнего.

4. Численные результаты. Численный эксперимент проведен для трехслойной (М =

3, «медь—железо—алюминий») пластины; Л-1 = Л-2 = Лз = 0.0004 т, т0 = 0.02 в, Т0 =

00 С, «0 = «м = 800 ^/(т2 • 0С), в0 = вм = 1010 п/т3.

(а) 1 *.и

*.М

Г

тах _0рМ

-0.5

-о.гв

0.2 0.4 О.С 0.8 1

г/г0

(б) 4

0.Ч5 0.5 0.25

Г(Я2.г) ,

Иг

"тах _0рй<5

-0.5 -0Л5

0.2 0.4 0.6 0.8 1

<

<Г .■ -Г.

1 1 *0

Рис. 1.

Интенсивность внутренних источников теплоты выбрана зависящей только от времени:

Т1 = 0.0004 в, т2 = 0.002 в, при этом средняя за период плотность рассеиваемой мощности составляет ^Т2/(2т0). Представленные на рис. 1 результаты от величины Q не зависят.

Наряду с аналитическим решением (11)—(12) построено численное решение задачи с применением метода конечных разностей. При этом разыскиваются значения функции в равномерно распределенных по периоду Кт временных слоях, каждый из которых содержит по N узлов по координате г. Результаты применения численного решения при Кт = 200, N = 20, г = Н1 показаны на рис. 1 сплошными линиями для г = Н1, г = Н2, части (а), (б) соответственно. Штриховыми линиями отмечен отрезок ряда приближенного решения (11)—(12), в котором сохранено 25 слагаемых по к и одно слагаемое при п = 0, причем, величины п00)(^к), По^^к) взяты по явным формулам

Затраты машинного времени на приближенное решение невелики, а оценку искомого поля смещений оно дает вполне приемлемую.

Литература

1. Карташов Э. М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа, 2001. 540 с.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2. Кудинов В. А., Карташов Э. М., Калашников В. В. Аналитические решения задач тепло-массопереноса и термоупругости и для многослойных конструкций. М.: Высшая школа, 2005.

3. Кудинов В. А., Диноп В. В., Габдушев Р. Ж., Левин Д. В., Стефанюк С. А. Об одном методе определения собственных чисел в нестационарных задачах теплопроводности // Известия РАН. Энергетика. 2002. №4. С.112-117.

4. Кудинов В. А. Аналитические методы решения краевых задач для многослойных конструкций // Известия РАН. Энергетика. 1999. №5. С. 85-106.

Статья поступила в редакцию 18 декабря 2008 г.

(15)-(16).

430 с.