О распределении температуры, напряжений и деформаций в системе материал покрытие при условии неидеальности теплового контакта между веществами Текст научной статьи по специальности «Физика»

О распределении температуры, напряжений и деформаций в системе “материал - покрытие” при условии неидеальности теплового контакта между веществами

А.Г. Князева

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

В работе предложена одномерная математическая формулировка связной сопряженной задачи термоупругости с неидеальным тепловым контактом между веществами. Построено приближенное аналитическое решение задачи в квазистатической и динамической формулировках, для чего использован метод интегральных преобразований по Лапласу в сочетании с асимптотическим представлением решения в пространстве изображений. Найдены поля температуры, напряжений, деформаций и перемещений. С помощью простых примеров продемонстрировано, что область в окрестности границы раздела “материал - покрытие” может быть причиной локализации напряжений и деформаций. Рассмотрены различные типы граничных условий: постоянство температуры на свободной поверхности, постоянный тепловой поток, лучистый поток для абсолютно прозрачного покрытия и т. д., а при построении качественных оценок — различные варианты сочетания свойств материалов.

1. Введение

При производстве и практическом использовании материалов с покрытиями возникает ряд проблем, связанных с несовершенством контакта между веществами. Несовершенный контакт появляется вследствие неровностей поверхностей соприкасающихся материалов, различного характера химических и молекулярных связей в различных местах контакта, особенностей способов нанесения покрытий, частичного отслоения материалов друг от друга или их повреждения в процессе эксплуатации и т. д. Как следствие, обслуживающие характеристики материалов с покрытиями, например уровень и длительность допустимых нагрузок, могут меняться. Для того чтобы оценить роль несовершенных условий в первом приближении, проанализируем связную сопряженную задачу теории термоупругости для полупространства с дополнительным тепловым сопротивлением на границе раздела веществ. Вообще говоря, понятие “граница раздела” для материала с покрытием — довольно условно; речь должна идти о некотором промежуточном слое малой толщины с особыми свойствами. Предлагаемая ниже постановка задачи, в принципе, отражает этот факт.

Заметим, что сопряженные задачи термоупругости встречаются в литературе. Так, в [1] решается несвяз-

ная задача о напряженно-деформированном состоянии пластины, состоящей из двух разнородных материалов, при теплообмене с окружающей средой, в [2] обсуждаются постановки задач для тел с покрытиями в рамках обобщенной теории термоупругости без явного использования условий сопряжения. Там же обсуждается формулировка граничных условий в случае неидеального термомеханического контакта между веществами, но решения конкретных задач не приведены. Форма представленных в литературе решений сопряженных задач не позволяет быстро оценить качественную сторону исследуемых процессов.

2. Формулировка задачи

Математическая формулировка задачи включает уравнения теплопроводности для покрытия (0 < х < h)

с р дт _, д\ эе(р

С191~зТ Т1 ~дхг 1 Т1^Г (1)

и для основного материала (х > И)

С р дТ2 _, д 2Т2 д#

С2р2^Г~ _ лТ2 2 2ТаТ2~\ , (2)

дг дх2 д(

где Тк, к _ 1, 2 — температура; ск, рк,,Тк — теплоемкости при постоянных деформациях, плотности и коэф-

© Князева А.Г, 2000

фициенты теплопроводности веществ; ) — первые инварианты тензора деформаций для покрытия (к = 1) и для основного материала (к = 2); h — толщина покрытия; х — пространственная координата; t — время; а тк — линейные коэффициенты теплового расширения; Кк — изотермические модули всестороннего сжатия. Уравнения движения

Эа(11) = д 2и1

дх

_да(р

дх

= Рі

= Р2'

дt2 д 2щ

дt2

0 < х < h,

х > h,

(3)

(4)

в общем случае следует решать совместно с (1), (2).

Соотношения между компонентами тензора напряжений стг(к ) и деформаций е(к) имеют вид

4) _ 2Цк4) + 8 у ) - ЗК к а Тк (Тк - То)],

к _ 1, 2. (5)

Здесь ик — компоненты векторов перемещений, которые перпендикулярны поверхностям х _ И и х _ 0 (только эти компоненты отличны от нуля в одномерной формулировке); ,к, Цк — коэффициенты Ламе (Кк = = ,к + 2цк /3); Т0 — начальная температура или температура недеформированного состояния.

Так как для полупространства с хорошей точностью можно принять е(к) ~ ) _ ек _ дик/дх [3], то уравне-

ния движения (3), (4) могут быть записаны в форме

(( , т )д2и1 дТ1 д2и1

(,1 + 2^1) 2 3К1аТ1“^ _ р1 2 ’ (6)

дх2 дх дг2

(Х 2 + 2Ц 2 }

д и2

"дхг

- 3К а

2 т2

д_72

дх

= Р2-

д 2и2 д2

•• (7)

На поверхности контакта между веществами принимается непрерывность вектора перемещений и компонент тензора напряжений, перпендикулярных этой поверхности. Это предполагает так называемый идеальный механический контакт между веществами, то есть

= а(2)

и = и2

->и , и для х_ И.

Считаем, что тепловой поток на границе также непрерывен, но возможен разрыв в температуре, что связано с наличием на границе раздела дополнительного теплового сопротивления или несовершенства в условии теплового контакта. Последнее моделируется введением некоторого промежуточного слоя малой толщины Д, такой, что мы можем пренебречь его теплоемкостью и распределением температуры в нем. Тогда для х _ И мы можем записать условие

дх

т2

дТ2

дх ’

Ті - Тг = -

А

X

Т2'

Т3

дТ2

дх

где , Т3 — коэффициент теплопроводности для дополнительного слоя. В принципе, величина Д /, Т3 может быть непосредственно связана или с характером химических и молекулярных связей в этой области, или с поверхностной энергией, или с величиной диффузионной зоны [4], которая характерна для того или иного способа нанесения покрытия. Возможна формулировка подобной задачи, в которой неидеальным будет и механический контакт между веществами [2]. Например, в простейшем случае можем записать

(2)

и - и2 = А-

3К

На границе х _ 0 поддерживается постоянная температура Т _ Т. Механические условия на этой границе могут быть различными, например

и1 _ 0 или стЦ _ 0.

При х ^ ^ все возмущения затухают.

В начальный момент времени в общем случае мы имеем

Т1 _ Т2 _ Т0, и1 _ и2 _ 0,

ди1 ди2 0

дг дг

Требуется определить поля температуры, напряжений, деформаций и перемещений в любой момент времени г > 0.

3. Выбор безразмерных переменных

Удачный выбор безразмерных переменных, позволяющий найти безразмерные комплексы различных физических величин и сократить число независимых параметров, есть, как хорошо известно, половина решения задачи. Но в теории термоупругости этот путь анализа проблемы используется довольно редко и зачастую — весьма формально. По этой причине остановимся на процедуре выбора безразмерных переменных подробно.

Так, полагая

6к_ , т_ -, ^_ —,

Т - То а(к)

с. (к) =

су

х*

=

ик

а»

где г», х», а», и* пока неизвестны, придем от уравнений (2), (5) (для х > Ь) и (7) к формулам

д02

X т2 и д 0

3К2ат2 и*

дт С2Р2 х2 д^2 С2Р2

х*

Тс - То

д^дт

а

х

X

д£2 — 2 + 2ц2

х» ■

д02 р2

х»2

и»

д£ г»2 — 2 + 2|Л2 дт2

—2 + 2М-2 и» ду2 3К2аТ2(Т Т0 )(0 , -а

^ _---------------—--------------------(02 +

х»

а»

д£

Принимая

3К2ат2 (Т _ Т0 ) _ 1 а»

— 2 + 2ц2 и»

_ 1,

а

найдем масштабы для напряжений а» и для перемещений и», зависящие от х». Если мы примем, что

_ 1 и я _

р2

х»

,

2 2 ч Т2'

С2р2 х» г» —2 + 2М-2 С2р2

то получим формулы для масштабов х» и г» в явной форме. Выбранные масштабы имеют вполне определенный физический смысл. Например, х» — это расстояние, которое тепловая волна пробежит за время г»; а» есть максимальные напряжения в основном веществе при “тепловом ударе” на его поверхности и т. д. Следовательно, можно записать

Т2

д02 _д202._Ю0(02 + а)дУ

дт д£2

д£дт

д и2 д02

д£2

•(2) _

д£ Я дт2

(8)

(9)

ди.

(10)

_— _(02 +1) д£ V 2 '

для £ > 8 (или х > И), где ю0 _

— 2 + 2^2 С2р2 коэффициент связности для основного материала, который отличен от обычно используемого в теории термоупругости, где вместо разности температур (Т _ Т0) стоит Т0; а _ Т6,/(Т _ Т0 ) — параметр, величина которого совместно со скоростью деформации и величиной коэффициента связности позволяет оценить необходимость использования связной формулировки; 8 _ И/х»; Я _ 1 для динамической задачи, я _ 0 для квазистати-ческой формулировки.

Используя найденные выше масштабы, запишем

Кс

д01 д 2 01

дт д£2

_ю0а(01 + а)

д

Э£Эт ’

д2у _ д01 д 2 у

а—1 _р—1 _ як—т-д£2 д£ * дт2

•И _ “"д^- _р(01+1)

(11)

(12)

(13)

для области 0 < £ < 8, где

с1р1 _ Скк к_£ь р2

Кс _^-_^-к; к_^-; К—_—^;

, Т2

С2р2 С2

а _ —1 + 2М-1 , р_ К1ат1

— 2 + 2М-2 К2аТ2

Для других компонент тензора напряжений, которые отличны от нуля, имеем

•22 _ •33) _ Аа*1 _ Р(01 +1);

_ ^33) _ А2е2 _ (02 + 1),

где

и»

Е» _----------= -

а

А1 _ '

—1

х» — 2 + 2|Л2

-А _- — 2

, а2 _

—1 + 2^1 — 2 + 2^2

Граничные и начальные условия принимают вид: д01 _ д02

£_8: К— а^=-дГ ■

01 _02 __у-Э0^ ,

1 2 ' д£ у _ ^

ад£ _р(01 + 1)_д^ _(02 +1), д£ д£

£ —— ^: 02 _ _1, V■2 —— 0,

£ _ 0: 01 _ 0, V _ 0,

и

д V

01 _ 0 _р(01+1)_ 0

д£

т _ 0 : 01 _ 02 _ _1,

ду ду2

V, _ 1 _ —2 _ 0,

12 дт дт ^

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

где у _ Д—Т2/ (х»— Т3) — безразмерное тепловое сопротивление. Итак, мы имеем в безразмерной формулировке девять параметров: у, а, р, КС, К—, к, ю0, а, 8.

В линеаризованной задаче, которая может быть решена аналитически, имеем ю _ ю0а (для статической задачи) или ю _ ю0 (а_1) (для динамической задачи) вместо двух параметров ю0 и а. В размерной формулировке у нас было существенно больше независимых параметров — 17. Как будет показано далее, не все безразмерные комплексы одинаково важны для результата.

4. Квазистационарная задача

4.1. Аналитическое решение

В случае квазистационарной формулировки, которая справедлива по причине существенного различия скоростей распространения тепловых и механических воз-

Е

Е

мущений, если нас не интересует процесс формирования упругих волн, мы пренебрегаем силами инерции в уравнении движения. Тогда решение задачи существенно упрощается. Так, для механической части задачи можно воспользоваться известным решением задачи о механическом равновесии толстой пластины, которая свободна от внешних механических воздействий [5, 6]. Для того чтобы обобщить это решение на сопряженную задачу, можно принять, что механические свойства зависят от пространственной координаты, а затем устремить толщину пластины к бесконечности. А для бесконечно толстой пластины (или для полупространства) все слагаемые в аналитическом решении, которые зависят от условий механического закрепления, будут пренебрежимо малы. Следовательно, для компонент тензоров деформаций и напряжений, которые отличны от нуля, получим выражения: р

где

е1 - — (01 + 1)> е2 - 0 2 + 1 а

с(1) = с(2) - 0 с11 ~ с11 _0>

с«- с|3)--С1р(01 +1),

Ь22 - *33) = -С2 (02 + 1), 2^1

(23)

С -

Х1 + 2^1 2Ц 2

С2 -

X 2 + 2^2

- 1 - A1,

■ - 1 - А2

для задачи с дополнительным тепловым сопротивлением на границе раздела.

В первом случае (задача с идеальным тепловым контактом между веществами) можно использовать известное решение сопряженной задачи теплопроводности, например [7, 8]. Для нашей цели будут полезны некоторые детали аналитического решения.

Решение задачи (25), (15), (16) (у _ 0) и (19), (20), (22) (для температуры) может быть найдено методом интегральных преобразований по Лапласу (операционным методом). Представим решение в пространстве изображений (т1 — р, 0к — 0к, где т1 _ т/(1 + ю)) так, как оно будет использовано в дальнейшем

0--1+е

р рф(р)

є ое

*1(5-3)

02 - - — +

1 е-4Р (5-3)

(26)

р РФ(Р) 1 + К є

где

Ф(р)-е"13-е0е ^, с1 ^Кс1 Р

К

X

1 - Кє

Єо - 1 + Кє’ -

Кє - V Kc1KX , Кс1 -

Кс + мв

Мы имеем

1 + м

Если м - 0, то есть задача несвязная, Кє -- д/КсКX - ^C1p1XT^C^^3XT~ есть известный в теории теплопроводности параметр — тепловая активность одного вещества (покрытия) по отношению к другому (основному материалу).

Используя разложение

V -

|(0+1)^5,

(24)

где 0_01 для 0<£<8 и 0_02 для £>8, т. е. перемещения непрерывны.

Для того чтобы найти решение тепловой задачи, линеаризуем уравнение теплопроводности. Для квазиста-ционарной формулировки характерной является температура Т, следовательно, мы подставим 0к _ 0 в связное слагаемое уравнения теплопроводности. Из механической части задачи найдем

д 2 у де1 Р д01 д 2у2 де2 д0 2

— — и _ _

д5дт дт а дт д5дт дт дт

и придем к следующим уравнениям

2

(Кс + юв)

(1 + м)

301 - д_%

дт X д52 д02 - д202

(25)

дт д£2

Далее рассуждения будут различны для задачи с идеальным тепловым контактом между веществами и

Ф-1(р)-е-^е

-2ис,5

(27)

п-0

I —2^181 1

что вполне корректно, так как е0е 1 < 1, и переходя

к оригиналам, найдем

"VКЛ1К—

01 --1 + Х]е 0ег&

п-0 I

-є П+1ег&

2л/т1 4Ка! К

-(5 + 2и8)

02 - -1 +

2Кє

1 + К

_ 2л/т1

« X

(25(и +1)-5)

Є П-0

х ег&

5-5 + -у/Кс1ІК\ -5(2п +1)

где

2

егґс(у)--= [е ып

2л/т1

йі.

(28)

Выражения (23), (24), (28) представляют собой точное решение квазистационарной задачи для у _ 0. Для

того, чтобы получить информацию о поведении интересующих нас величин в зависимости от физических параметров, мы можем использовать ЭВМ, но качественные результаты могут быть получены очень быстро (без непосредственных расчетов).

Так как параметр е 0 меняется в пределах ]-1, 1[, мы можем пренебречь слагаемыми, содержащими этот параметр в степени более, чем единица. Далее, для г _ 8/ (2д/т1) д/Кс1/К— >> 1 и г << 1 можно получить простые оценки для температуры и, следовательно, для • (к), ек, V. Например, принимая £_8, из (26) найдем

1 1 2Ке

п _•18(2и+1)

р р 1 + Ке п_0

,Е0 е

1 1 2Ке

----+-------ЪЦе-18+е0е ~3^

р р 1 + к/ 0

Тогда решение принимает форму

(29)

0 _ 0] _02 = _1 + -2Ке-1 2 1 + Ке

(

+ Е0егвс

38 К

V К

ег&

^ с1

8К

к

^с1

(30)

В случае малых г воспользуемся разложением функции ег&(г) в ряд для малых значений аргумента

ег&(г) = 1 —^ г, у/п

тогда для £ _ 8 найдем 2К

0 = _1 + -

1 + Ке

8 КС1

(1 + Е0)—1=л -С1 (1 + 3Е0 )

упт^ К—

(31)

Подставляя е0, Кс1, т1 в выражение (31), получим 4Ке

0 = _1 + -

(1 + Ке)2

1_ 8 К£+^(2 _ Ке)

■\/т\ К—

. (32)

Заметим, что малые значения г дают ограничения для времени. Формулу (32) можно считать вполне корректной при выполнении условия

82 КС + юР

т>

К—

Формула (30) отражает качественное поведение температуры для любых значений параметров задачи.

Как можно видеть из полученных формул, величина контактной температуры зависит только от двух параметров или от двух безразмерных комплексов КЕ и

81 _ 8.

КС + юР

_к .

Подобные результаты не удается обнаружить при численном решении задачи.

Легко заметить, что в рассмотренном частном случае температура на контакте непрерывна, но компоненты тензора напряжений • 22, ^33 и деформация терпят разрыв. Величины разрывов зависят от механических и тепловых свойств контактирующих веществ. Из представленных выше формул имеем:

е1 _ е2 _(0+ 1)(-Р_ 1 4)_ •22) _ (0+1)(С2 _ С1Р)

(разрывов в механических величинах нет лишь в том случае, если свойства веществ одинаковые).

В размерных переменных имеем:

Де(0) _ е(1) _е!2’ _ 1^01^(Т_Т0)х

— 2 + 2ц 2 К1а Т1 — 2 + 2ц 2

К 2а Т2 —1 + 2ц1

_1

Да(1) _ а(1) _а(2) _ _ц2

6ат'о / \

2 Т2 (Т _ Т0 )х

— 2 + 2ц 2 К1аТ1 — 2 + 2ц2 ц

_ К 2а Т2 —1 + 2ц1 ц 2

_1

то есть, если из эксперимента известно, как меняется со временем температура на контакте, мы можем оценить величину разрывов в напряжениях и деформациях.

Во втором случае (на границе раздела материалов существует дополнительное тепловое сопротивление) в пространстве изображений по Лапласу мы найдем

0 __ 1 + —^ (£_8) _ Ее^1 (£_8) ],

р рф(р)

02 __1 +_______1_______2Ке _________е~^Р(£_8),

р рф(р) 1 + (1 + у4р )Е ’

(33)

где

ф(р)_ е^8 _ Ее ^8,

е_ 1 _(1 + уУр ) _е , 1 _у Ке^р/(1 _ Ке)

1 + ( + у,[р ) 0 1 + У Ке4р!(1 + Ке)'

В этом случае мы можем использовать подход, предложенный в [9-12] для подобных задач.

Учитывая, что у << 1, запишем

2КеЛ/р ( 2)

1-----у+о(2)

1_К

2Ке

2Ке

1 + (1 + Ул/р )Ке 1 +

1_ ЬЛ у+ о(у 2 )

1+К

х

+

х

л 2Ке( + уд/р) 2Ке Г у[р ( 2)

1 _ Е _----7^------------------— 1 + У + о(у 2 )

1 + ( + Ул/р) Е 1 + К Е 1 ' К

что позволяет представить решение (33) в точке £ _ 8 в форме

01 _ _ +

1 1 2КЕ

02 _ _ +

р р 1+ КЕ 1 1 2КЕ

р р 1 + КЕ

1 + *££_ + о(у 2 )

1 + КЕ

1 _1^1 + о(, 2 )

1 + КЕ

где

1_

2К ,4р

1 _ К Е2

+ о(У 2)

Следовательно, в оригиналах с точностью до

2

о1у , уе^ имеем:

82 КС

01 _ 0 +

2К еУ

ехр

(1 + К е)2

02 _0_

2 ехр 2К е2у

82 Кс1

4К—11

(34)

(1 + К е)2

где 0 — решение предыдущей задачи в точке £ _ 8

(форму^а (30)). , __________.

Если г _ _ 8/ \2\ Кс1 /К—т1 )<< 1, можно упростить решение. В этом случае аналогично предыдущему имеем

01 _0+„ ^ 2 Л- + о(у2, г2),

(1 + Ке) V пт1

(1 + Ке) л/пт1

где 0 рассчитывается по (32).

Можно легко найти из предыдущего, что разрыв в температуре приводит к появлению дополнительных слагаемых в формулах для напряжений и деформаций, которые зависят от параметра у :

е1 _ е2 _(0 + 1|"'РР_ 1'] + ["'РР + К е Р

^ _ 4? _ (0 + 1)(С2 _ С!р)+ СКе + С^,

где

Р _ 2Кеул/1 + ю

(1 + Ке)2л/ПГ

ехр

82 (КС +юр) 4К—т

В размерных переменных последние формулы принимают вид

ДЕц _ДЕ((1)_ Р1

К е +

—2 + 2ц2 К1аТ1

— 1 + 2ц1 К 2а Т2

Да11 _ Да11) _ 2ц 2 Р1

К Е +

ц1 — 2 + 2ц2 К1аТ1

ц 2 —1 + 2ц1 К 2а Т2

где

6 -Ке л/1 + Ю К 2а Т2 Д I С2р 2—

(1 + К Е)2 — 2 + 2ц 2 — Т3

Т2

х ехр

4к Т2г

1+ю

С1р1 К1а Т1

С2р2 К2аТ2

и включают комплексы физических параметров, определяющих величины разрывов на контакте материалов.

Этот результат, вообще говоря, очевиден. Но безразмерные комплексы, определяющие величины разрывов, могут быть получены только из аналитического решения задачи. Например, для малых значений г (что, например, соответствует малым 8) найдем

01 _ 02 _

2К е 1 + К

■У-

(1 + ю) пт

(35)

Чем больше 8, т. е. чем толще покрытие (см. формулу (34)), тем слабее сказывается неидеальность теплового контакта на величине разрыва 01 _ 02 и величинах напряжений и деформаций.

Заметим, что приближенный метод решения, который использован здесь, вполне корректен, так как основан на теоремах разложения, известных в теории интегральных преобразований [13].

4.2. Численное решение

Для численного решения статической задачи достаточно найти решение сопряженной задачи теплопроводности. Компоненты тензоров напряжений и деформаций могут быть рассчитаны с помощью точного решения (23).

Численное решение тепловой задачи было проведено по неявной разностной схеме методом прогонки. Найдено поле температур в различные моменты времени.

Пример расчета представлен на рис. 1, где можно видеть, что в деформации и в компонентах тензора напряжений, перпендикулярных оси х, существуют разрывы, что качественно согласуется с аналитическим решением.

Анализ результатов позволил обнаружить интересное явление. Если тепловое сопротивление достаточно велико, можно наблюдать в некотором интервале времени рост контактной температуры выше температуры источника, что связано с затруднением теплообмена между веществами. Когда в покрытии устанавливается линейное распределение температуры, локальный температурный максимум начинает постепенно “рассасы-

х

Рис. 1. Пространственное распределение температуры 0 (а), перемещений V (б), деформаций е11 (в) и напряжений (г) для различных моментов времени; 8_ 5, у_ 10_2, КС _ 1, К—_ 5, Р_ 2, а_ 1, ю_ 0; т_ 10_2 (1), 4.9 -10_1 (2), 2.0 (5), 6.0 (4), 24 (5)

ваться”. Это проиллюстрировано на рис. 2. Напряжения и деформации меняются аналогично температуре. Этот эффект, который также обнаруживается при анализе аналитического решения, может быть интересен для выяснения причин локального повышения напряжений при внешнем воздействии на материалы, содержащие внутренние границы раздела.

Отметим другой интересный факт. Как правило, принимается, что роль эффекта связности мало существенна для задач теории термоупругости. Отклонения в расчетах по связным и несвязным моделям могут быть заметны лишь для веществ, характеризующихся большими (более 0.1) значениями коэффициента ю [3]. Роль этого эффекта возрастает в сопряженных задачах вследст-

вие различия тепловых и механических свойств веществ. Так, коэффициент связности ю входит в уравнение теплопроводности для покрытия в произведении с параметром Р, который может меняться в достаточно широких пределах. Например, для параметров, использованных для расчета кривых рис. 2, в точке £ _ 8 для т _ 6.0 имеем 42) = _2.9, •22) ~ _1-3 в связной задаче (ю_ 0.02) и •п ~ _2-4, •22) ~ —1-1 — в несвязной задаче (ю _ 0) Роль эффекта связности возрастает с увеличением коэффициента теплового расширения покрытия.

Любопытно, что величина разрывов в напряжениях и деформации на контакте веществ в большей степени определяется различием тепловых, а не механических свойств веществ.

Рис. 2. Пространственное распределение температуры 0 (а), перемещений V (б), деформаций е11 (в) и напряжений s33 (г) для различных моментов времени; 8_ 5, у_ 0.17, КС _ 1, К—_ 5, Р_ 2, а_ 1, ю_ 0; т_ 10_2 (1), 4.9-10_1 (2), 1.5 (5), 6.0 (4), 24 (5)

4.3. Влияние типа внешнего источника на поведение характеристик в окрестности границы раздела

Пусть на свободную поверхность x = 0 системы “материал - покрытие” падает поток тепла величиной q0. Тогда вместо условия Т1 = Ts на этой границе будем иметь

1 ЭТ

-Л1^~=q 0’

дх

или в безразмерных переменных 901

(36)

где Q0 _ q0/Т* _Т0 ^г*/с2р2—Т2, и во всех параметрах задачи, которые выписаны выше, вместо Т8 стоит неопределенная величина Т*. Ее выбором мы можем распорядиться, приняв, например, ю _ 1 или Q0 _ 1. Остановимся на втором варианте, тогда

Т* = ТО + Чо

с2р21

Т2

Учитывая выбранную выше величину г*, найдем, что ю << 1, но а >> 1, что оправдывает линеаризацию этой задачи при аналитическом решении как в квазиста-тическом, так и в динамическом случаях.

Условия на контакте материалов остаются прежними.

В этой задаче (задача № 1) опять справедливы соотношения (23), (24), а для тепловой части мы можем воспользоваться готовым решением [7, 11], представленным в нужных переменных. В пространстве изображений по Лапласу (т1 ^ р) получаем

11 _-+ -

„ ____т_________1___[е(£_8) _ ее^1 (£_8) ]

1 р рд/р Кф(р) к

1

__ 1 + _1____

р р4р ф(р) 1+ке(+у4р)

-л/р (£_8)

(37)

где ф(р)_ е^+ее-^8, а корни характеристического уравнения — те же, что и в предыдущей задаче. В точке £ _ 8, аналогично предыдущему, найдем

01 __ - + 1 ~гг Z,

р КЕ р>/р

02 __ 1 + 1 2 *

р р4р 1 + Ке( + у4р )

где

г _Е(_е)

_Е)пе_(2п+1)851

п_0

В частном случае у _ 0 имеем

_01 _02 __-+

112

р/7 1 + Ке 5 (_ Е0 У

п е -•18(2п+1)

112

_+

р р^ 1 + К Е

I _£18 _3^18 .

е 1 _ Е0е 1 +

Если у Ф 0, но у << 1, то, пользуясь разложением функций, содержащих этот параметр, определим изображение температуры с точностью до слагаемых порядка у2:

_ 0 + -

2 V е-.8 + 4Ке Xе-3^18

1 + К Е р

(1 + Ке)2 р

2Ке у е_^ + 2Ке(3_Ке) у е_з

(1 + Ке)2 р

•18

(1 + Ке)3 р

Вообще говоря, для малых т1, соответствующих большим р (или •1), достаточно оставить слагаемые порядка уе 1 , отражающие качественное влияние не-идеальности теплового контакта (не представляет особого труда записать и более точное решение, справедливое в более широком диапазоне параметров задачи). Переходя в последних формулах к оригиналам, с точностью до слагаемых высокого порядка малости по у найдем

01 _ 0 + Д01, 02 _ 0 +Д02,

(38)

где

0 = _1 + -

1 + КЕ

^-/т^ехр V п

КС

К—

-8 ег&

КС

КС182

4К—т1 8

К—

_ 2е<

+ 3ег

/Г"

'Уйехр

9КЛ8 4К—т1

К

К—

-8 ег&

Кс1 38

\К— 2>/т"Г _

Д01

> 0,

Д02

(1 + Ке)2 (3 _ Ке)к (1 + Ке)3

-ег&

К—

< 0.

Если покрытие имеет малую толщину или 8/2 х Ху/(КС + юР)/(К—т) << 1, то из формул (38) получим с той же точностью по у

Д01 = 2(1 + 2К) у_ _2у^ IКс± (1 + 4К е) > 0,

(1 + Ке )2

пт1 V К— (1 + КЕ )

Д02 ~ _

3К _1

(1 + Ке )

-у +

у8Ке 1Кс1 (5К _ 7)

К— (1 + Ке )3

< 0,

что, естественно, приведет к аналогичным результатам для напряжений и деформаций на границе раздела веществ: напряжения на контакте по абсолютной величине будут выше на величину |С1РД01|, зато в основном материале они уменьшатся на величину |С2Д02|. Т. е. неидеальность теплового контакта сказывается в этом случае вполне благоприятно. По истечении достаточно большого времени вторыми слагаемыми в последних формулах можно будет пренебречь.

Изменится ли результат, если вещества нагреваются не тепловым, а лучистым потоком? Только что рассмотренная задача соответствует случаю абсолютно непрозрачного покрытия. Если покрытие прозрачно, а основное вещество нет, то возможны две принципиально различные ситуации.

Так, если тонкий пограничный слой, отвечающий за тепловое сопротивление, (“граница”) прозрачен для излучения, то граничные условия в задаче будут следующими:

+

£ = 0: - = 0

^ = 8: К

Э01 Э02 і

~дГ-_дГ = ’

Э01

"эГ

(39)

01 - 02 = -УК;

(“граница” будет стоком тепла для основного вещества, задача № 2).

В противном случае разница между температурами на контакте будет равна

01 -02 =-у_д01

12 Г Э£

(40)

(задача № 3).

Опуская выкладки, выпишем окончательный результат. Выражение для температуры в обоих случаях будет иметь вид (38), величины разрывов в напряжениях и деформациях также будут аналогичны предыдущему (формулы внешне будут одинаковыми для всех рассмотренных квазистатических задач)

е1 - е2 = (0+ 1) ~- 11 + —А01 -А02, а I а

*<1> -^ =(0 + 1)(С2 - С1р)-

(41)

- С1РА01 + С2 А02,

величина температуры 0 (для задачи с идеальным тепловым контактом и прозрачным покрытием) может быть рассчитана по формуле

0 = -1 + -

1

1 + К

+ (1 -Є0 )х

- 2Є0

- 2Єг

2 /ГГ

2-/— ехр V п

ё

2

Кл8 V Кят1,

-2

К і

-8 ег&

( К;_ь_л кя л/Т7

ехр

( 4К182 > V Кят1 ,

К,

к.

-8 ег&

(42)

Нетрудно заметить, что решение этих задач зависит от того же безразмерного комплекса, что и рассмотренные выше, 81 _ 8^/(Кс + юР)/К— , и от тепловой активности материала покрытия. Для второй задачи справедливо (без ограничений на толщину покрытия)

А02 = 2.

V п 1

2 /ГГ

2-/— ехр V п

Кє 2 У +_ 2Кє 3 у

+ К є

Кс 8

(1 + К є)2

(43)

2

V Кят1,

-28

Кс1

к,

ег&

(^ К1л

л/T^V кя

(1 + К є)

Кєу ег&

2 є

^ КТ

лМ Кя

> 0.

Если выполняется условие г = 8/-\/т1л/Кс1/Кх << << 1, то можем записать (т Ф 0)

2

л о 3Кє

А01 = -у є

■-8у

2 Кє(1 -2Кє) ІКа < 0;

А02 = 2.

(1+Кє )3 л/ПТ7 (1+Кє )3

(7 К2 (1 + 3Кє )^ + (3+Кє )К V п

Кя

(1 + Кє )2

-у + -

(1 + Кє )2

- 48у 1Кс1

К 3

кя (1 + К є )2 2 8у Кс1 (3 + Кє )Кє

л/Пд/Г^у Кя (1+Кє )2

> 0.

То есть в этом случае при учете неидеальности теплового контакта между материалами напряжения в покрытии уменьшаются по абсолютной величине, а вот в основном веществе (на границе) будут расти как л/Г по мере нагрева, причем кривая 02 (8, т) в начале координат тем круче, чем больше тепловое сопротивление у.

Решение третьей задачи дает результат, аналогичный полученному в первой. Добавочные слагаемые к температуре имеют вид

А0,

У

4 Кє у _

- +------------ ег&

(

А0

(1 + Кє ) (1 + Кє )■

+ 2Кє У

(1 + К є )3

УКє , 2Кє Ує 0

ег&

К я

(2^ К7А

л/Г1 V К я

> 0,

(44)

(1 + Кє ) (1 + Кє )

+ 2Кє у

(1 + К є )3

•ег&

ег&

Кс Кя

(2^ К1А

л/Г1 V К я

< 0.

Для малых z в этом случае справедливо приближение (т1 Ф 0)

А0

у(1 + 7 Кє) 16 Кє у8

(1 + Кє )2 л/ПГ! (1 + Кє П Кя

Кс

> 0,

А01 + Кє ^ - 2К) ег&

(1 + Кє )2 (1 + Кє )3

(

к

лМ Кя

А0 =- 3уКє (Кє -1) + 4Кєу8(Кє - 3) Кс < 0

2 (1 + Кє )3 л/пт1 (1 + Кє П Кя '

+

X

+

X

+

5. О динамической задаче

5.1. Общее решение в пространстве изображений

Для решения динамической задачи (я _ 1) был использован метод обобщенного термоупругого потенциала в пространстве изображений по Лапласу [3, 6]. Нетрудно показать, что термоупругий потенциал удовлетворяет соотношениям

d 4Ф1

Гк 2 ( Р Кс л

— р + ю— + —^ р

а 1 К— K—J

d 2Ф

1+ Л/Ф1 _ 0,

dЪ;

а

d -[2 + (1 + ю)р]]21 + Р3ф2 _0

(45)

где индекс 1 относится к покрытию, 2 — к основному материалу, причем справедливо

dФ1 _ dФ3

", ^2

СЪ,

_ dv1 d Ф1 _

dv3

d 2Ф2

е1 _

dl1

е2 =-

(46)

1 а d2Ф1 к 2— _—+ -^о1 -- Р2Ф1 Р

Р С^2 Р'

1 d2 Ф2 2-5Г

_ - +

- р2Ф

dv1

2,

_ dv3

Общее решение для потенциалов Ф1 и Ф2 имеет вид

Ф1 _ Л1е~5'^ + В1е5^ + С1в~4^ + —1е'^,

Ф2 _ Л2е 52^ + В2е52^ + С2е '2^ + -2е'2^

для первой и второй областей, где ^, qk, к _ 1, 2 — корни соответствующих характеристических уравнений

1

51 ql _■

Ар ±

' 2 2 „ ккс 3л1/2

Лр - 4-^р

аК

—

Лр ±(/2У - У

1/2'

(47)

где

К—

а

В частном случае ю _ 0 имеем

_4р^ ql _ Рл/—:

V а

(48)

Постоянные интегрирования Л1, В1, С1, D1■ Л2, В2, С2, —2 могут быть найдены из граничных условий, записанных в пространстве изображений. Для рассматриваемой задачи с постоянной температурой на внешней поверхности получаем:

—2 _ В2 _ 0,

л _ 2Р Ь2 ехр^) ^ _ 2Р а2 ехр^8)

Л2 —------------------------------------, С 2 —-,

р а2Ь1 - а1Ь2 Р а2Ь1 - а1Ь2

Л _ Р -Ь2 (*2 - *1 )+ а2(,У2 - У ) е^8 р а2Ь - а1Ь2

С _ Р ~Ь2(г2 + 21 )+ а2(2 + Ч ) eq18

р а2Ь- аф2

Р -Ь2 (*2 + *1 )+ а2(У2 + У1 ) е-^18 р а2Ь - аЬ

Р -Ь2 2 - 21 )+ а2 ^2 - tl )

В1 _

-1 _

-'18

а2Ь1 - а1Ь2

где

а1 _ а[- ([ - *2 )е^18 + (*1 + *2 )е 518 ]+

+ ь[1 + [2 К'8 - (2 - 22 К''181

а2 _ ^1 [(*1 - *2 У'8 + (*1 + *2 У "18 ]-- '1 [1 + [2 + (2 - 22 )е_'181

Ь1 _ а[- (У1 - У2У18 + (У1 + У2 У'8 ]+ + b[(t1 + [2 )е'18 - (t1 - t2 )е1

Ь2 _ 51 [(У1 - У2 У 8 + (У1 + У2 У ^ ]-- '1 [(г1 + [2 )е'18 + (t1 - t2 )е '‘8 1

* _ ■г ( - ЬК— ) У _ '2 (/ - ЬК— )

1 К— 51 (Ь - а) ’ 1 К— ^(Ь - а) ’

_ Ь -кй(1 -уя2) _ Ь -к/(1 -у'2)

*2 _------------------л ;-, У2 _

к(Ь - а)

к(Ь - а)

(49)

2 _ 52 ( - аК—) t _ '2(/ - аК—)

1 К—'1(Ь - а)’ 1 К—'1(Ь - а)

2 _-а-кй(1 -У52) t _-а - к/(1 -У'2)

2 к(Ь - а) ^ 2 к(Ь - а) ^

^ _Р(52 - р21 1 _Р('2 - р2 I

а _ а512 - кр2, Ь _ а'!2 -кр2.

Как видно, общее решение задачи громоздко даже в пространстве изображений. Даже если удастся записать это решение в оригиналах, оно будет практически бесполезным. Некоторые качественные оценки можно сделать в частных случаях, основываясь на решении в пространстве изображений и способе представления решения, изложенном выше.

+

+

5.2. Качественный анализ задачи для простейшего случая

Предположим, что ю = 0, а теплофизические и механические свойства основного материала и покрытия одинаковы, то есть

Kc = K я=к = а = р = 1.

Тепловой контакт между веществами считаем неидеальным, у Ф 0. Подобные условия справедливы при оценке качества сварных швов. В этом случае из общего решения для температуры имеем

01 = - — + — {Р [VP{ - §)]+ £ exP[- VP (£ - §)]

Р Р

Є2 _ -— +

2Z exp[-VP(; - s)]

где

p p 2 + yVP ’

Z _[e[ + ee], є _ .

2 + yVP

(50)

Очевидно, что (50) есть частный случай представленного выше решения задачи теплопроводности, а при у _ 0 мы получаем 0 _ -1/р + (1/ р) ехр(- ^/р) — известное решение первой краевой задачи теплопроводности для полупространства в пространстве изображений.

Для компоненты напряжений 511, поведение которой интересно для динамической формулировки, имеем

s (1>_-S11 —

-{єє^(;-S)+e^^P(;-S>

- pt

eP

+x

1- р ^ ч/р

х [- е [ + ее -[р -4р • ее -р8 ],

ї1(12) = —— {2/ (2 + уТр )е (£-8) - (і/д/р ) р^ъ +

1-р

+ (еД/р)е-р5-^ + є[е-р(5-5) - е-р(5+8)]}. (51)

Опять, полагая у = 0, получаем известное решение задачи термоупругости. Очевидно, что при £ = 8 выполняется равенство ї/1 = ?1(12).

С точностью до слагаемых второго порядка малости по е из (51) имеем

s (1>_-s

1

1 - P

- pt

4р _

є

+x 1 - P

e~4~P (2S-t) - e~jp (2S+t) + 2 e~Pt~2^~pS ■

VP

- ep(t~S)-JpS - e-p(s+t)-Vps

1 - P

___2___e-Jpt-_L e - pt

2+yVP VP .

1 - p

e~p(t-s)-/ps - e-p(;+s)-VpS + 2 e-p^^Ip.

VP

2+yVP

для t > S или в пространстве оригиналов

Si(1>_-

I

I exp(т - z)

( ?2 Л

2V nz3

exp

4z

V У

H (z -t) V^(z -t) _

dz -

т

-11 G(т - z)[F(z, 2S -1) - F(z, 2S + t)]z -

2О

т

- y| exp(т - z + t)H(т - z + t)F(z, 2S)dz +

О

т

+ y| F(z, S){G[т - (z - S + t)]H[т - (z - S +1>] +

+G[ - (z - S - t)]H [т - (z - S - t)]}dz,

S(2> _ --S11 _

■ f

-J G(т- z)exp

24 -£ + — т

y y2

erfc( —4z + —^

dz +

h (z -t)

dz -

L

JexpCr-z>

О0 Vn(z -t>

т

- y J G[т - (z -1 + S)][т - (z -1 + S)]F(z, S)dz

О

т

- yJ exp[т - z + t]H[т - z + t]F(z, 2S)dz +

I z

+J G(r- z) J F(z - t,0)F(t, t + 2S)dt

dz,

где

( у > Vn?- y)

erf (z)_ 1 - erfc(z),

+ exp(т - y > erf (т - y >,

F (z, y)_-

Y^nz

exp

( У—Л

4z

v у

exp

x erfc

-У + ^ z Y y2

У 2л/7

~nz+~T

Н(у) — единичная функция Хевисайда; Н(у)_ 1, если У > 0; Н(у) _ 0, если у < 0.

Нетрудно показать, что для малых у функция F имеет асимптотическое представление

є

+

x

x

Y

x

Y

x

F (z, y)'-

-Jnzz

exp

Y

( f} 4z

1 —

1 + >Y/(4z)

что позволяет упростить решение при качественных оценках.

Из структуры полученного решения видно, что в полупространстве возникает целая серия волн с затухающей амплитудой. Отброшенные слагаемые представляют собой волны с еще меньшей амплитудой, зависящей от малого параметра у. Вследствие разрыва в температуре на границе раздела веществ деформации е11 и напряжения ст22 _ ст33 также разрывны. Аналогичные выводы можно сделать и в других частных случаях.

4. Выводы

Таким образом, в работе построено приближенное аналитическое решение сопряженной задачи термоупругости в квазистатической и динамической постановках. Проведен анализ полученных решений в различных частных случаях. В процессе решения найдены безразмерные комплексы (включающие различные физические параметры), которые могут быть полезны для трактовки экспериментальных данных; продемонстрирована эффективность приближенных аналитических методов и метода анализа размерностей для сопряженных задач термоупругости. Полученные аналитические оценки могут быть полезны при отладке компьютерных программ и расчете более сложных процессов.

Литература

1. Тиман Б.Л., Фесенко В.М. Термоупругие напряжения в трехслойной пластине при теплообмене с окружающей средой, температура которой меняется с постоянной скоростью // Физико-химические процессы обработки материалов концентрированными потоками энергии. - М.: Наука, 1989. - С. 263-266.

2. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Обобщенная термомеханика. - Ки-

ев: Наукова думка, 1976. - 310 с.

3. Грибанов В.Ф., Паничкин Н.Г. Связанные и динамические задачи термоупругости. - М.: Машиностроение, 1984. - 184 с.

4. Справочник по теплообменникам. В 2-х томах / Под ред. Б.С. Петухова, В.К. Шикова. - М.: Энергоатомиздат, 1987. - Т. 1. - 560 с.

5. ЕремеевВ.С. Диффузия и напряжения. - М.: Энергоатомиздат, 1984. - 184 с.

6. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. - М.: Наука, 1975.- 576 с.

7. ЛыгковА.В. Теория теплопроводности. - М.: Высшая школа, 1967. -

600 с.

8. Карташов Э.М. Аналитические методы решения задач теплопроводности. - М.: Высшая школа, 1985. - 480 с.

9. КнязеваА.Г., ДикИ.Г. Зажигание конденсированного вещества, экранированного полупрозрачной, теплопроводящей пластиной // ФГВ. - 1989. - Т. 25. - № 3. - С. 9-16.

10. KnyazevaA.G. Approximate Estimations of Gasless Composition Ignition Characteristics under Conjugate Heat Exchange Conditions // Proc. of Int. Conf. on Combustion ICOC’93, Moscow-St.-Petersburg. -Izhevsk, 1996.

11. КнязеваА.Г. Приближенные оценки характеристик зажигания топлива лучистым потоком через преграду с различными свойствами // ФГВ. - 1996. - Т. 32. - № 1. - C. 26^1.

12. Князева А.Г., Дик И.Г Приближенный расчет характеристик зажигания в условиях сопряженного теплообмена. - Томск: ТГУ, 1989. - Деп. в ВИНИТИ, № 6441-В89.

13. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. - М.: Наука, 1971. - 288 с.