ТЕРМОМАГНИТНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В СВЕРХПРОВОДНИКАХ II РОДА Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Ф

И

З

И

К

О

-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 530.1

Н.А. Тайланов, Б.Х. Маматкулов ТЕРМОМАГНИТНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В СВЕРХПРОВОДНИКАХ II РОДА

В рамках модели критического состояния Бина проведено теоретическое исследование процесса развития термомагнитной неустойчивости типа скачка магнитного потока в сверхпроводнике II-рода, находящегося в плоском полубесконечном образце. Определено выражение для термомагнитной неустойчивости в образце.

Ключевые слова: критического состояния, термомагнитная неустойчивость, скачка магнитного потока, 11-рода.

Хорошо известно, что термомагнитная неустойчивость типа скачка магнитного потока в сверхпроводниках обусловлена взаимодействием тепловых и электромагнитных малых возмущений. Такой скачок, как правило, приводит к переходу сверхпроводника в нормальное состояние [1]. Явление термомагнитной неустойчивости критического состояния или скачка магнитного потока было обнаружено как в низкотемпературных [1-6], так и высокотемпературных сверхпроводящих образцах [7, 8]. Динамика устойчивости критического состояния по отношению к скачкам магнитного потока в жестких и композитных сверхпроводниках была обсуждена в теоретических и экспериментальных работах [1-5]. Общая концепция устойчивости критического состояния в сверхпроводниках II рода была развита в [4, 5]. В работе [5] изучена динамика развития малых тепловых и электромагнитных возмущений и соответствующие условия устойчивости критического состояния в сверхпроводниках в режиме вязкого течения потока. Динамика устойчивости критического состояния в сверхпроводниках в режиме крипа потока с нелинейной вольтамперной характеристикой рассмотрена в [9, 10]. В нашей предыдущей работе динамика малых тепловых и электромагнитных возмущений была изучена в рамках модели вязкого течения потока, причем вольтамперная характеристика сверхпроводника линейна при достаточно больших значениях электрического поля [11]. Однако, недостаточно исследованным остается вопрос о динамике развития малых термомагнитных возмущений в режиме крипа потока с нелинейной вольтамперной характеристикой сверхпроводника.

Целью настоящей работы является теоретическое изучение динамики пространственного и временного распределения тепловых и электромагнитных возмущений в сверхпроводнике в режиме крипа потока.

Как известно, для моделирования процесса эволюции возмущений температуры и электромагнитного поля в сверхпроводниках II рода широко используется система дифференциальных уравнений макроскопической электродинамики [4, 5]. При этом распределения магнитной индукции и транспортного тока в сверхпроводнике определяются следующим уравнением:

го15 = Ц07. (1)

Взаимосвязь между магнитной индукцией В и электрическим полем Е устанавливается уравнениями Максвелла

гоХЁ = ^-. (2)

А

Соответственно распределение температуры в образце определяется уравнением теплопроводности

© Тайланов Н.А., Маматкулов Б.Х., 2020.

ISSN 2223-4047

Вестник магистратуры. 2020. № 2-6 (101)

у(Г)^ = У[К(Г)УГ] + 7£, (3)

ш

где V и к - коэффициенты теплоемкости и теплопроводности образца соответственно. Зависимость ](Е, Т, В) определяется уравнением критического состояния

] = ]с (Т, В) + ](Е).

Далее получим решение системы уравнений (1)-(3) в предположении, что критическая плотность тока не зависит от индукции магнитного поля В, и воспользуемся моделью Бина

]с = ] С (Ве,Т) = Л - а(Т С -Т0 ) ,

где Ве - значение внешней магнитной индукции; а = —Л—; ]0 - равновесная плотность тока, То и Тс -

Тс - То

соответственно начальная и критическая температуры образца [5]. Систему дифференциальных уравнений (1)-(3) следует дополнить вольтамперной характеристикой сверхпроводника](Е). В режиме крипа потока вольтамперная характеристика сверхпроводников является существенно нелинейной, обусловленной теп-лоактивационным движением вихрей [12, 13]. Зависимость](Е) в режиме крипа потока описывается выражением [12]:

-,1/п

Е

] = Ja

Ео

(4)

где E0 - значение напряженности электрического поля при j = jc [5]; постоянный параметр n зависит от механизма пиннинга [12]. В случае, когда n = 1, соотношение (4) описывает вязкое течение потока [14]. При достаточно больших значениях n последнее равенство определяет критическое состояние Бина j ж jC [1]. Когда 1 < n < да, соотношение (4) описывает нелинейный крип потока [15]. В этом случае дифференциальная проводимость определяется равенством

dE пЕв

Согласно равенству (5), дифференциальная проводимость нарастает с увеличением фонового электрического поля Ев и существенно зависит от значения скорости изменения магнитной индукции, определяемому равенством Ев ос ВЕх. Следовательно, критерий устойчивости также зависит от значения дифференциального сопротивления ст. Для типичных значений ji = 103 A/см2, EB = 10-7 V/см имеем ст = 1010 ^-1см-1. Откуда следует, что дифференциальная проводимость играет определяющую роль при определении устойчивости критического состояния и динамики развития малых тепловых и электромагнитных возмущений в сверхпроводнике [6,7].

Сформулируем основные уравнения, описывающие динамику развития тепловых и электромагнитных возмущений для простого случая - сверхпроводящего плоского полубесконечного образца x > 0. Предполагаем, что внешнее магнитное поле B = (0, 0, Be) направлено по оси z и скорость магнитного поля является постоянной Be = const. Согласно уравнению Максвелла (2), в образце имеется вихревое электрическое поле Е=(0, Ее, 0). Здесь Ее - амплитуда фонового электрического поля. Из концепции критического

состояния непосредственно следует параллельность плотности тока и электрического поля j ~ Е . Для такой геометрии пространственное и временное распределения малых тепловых Т(х, t) и электромагнитных возмущений Е(х, t) описываются следующими уравнениями:

d © d2©

v—= К-ТГ + jc8, (6)

dt dx

d 2s _

dx2

(7)

Щ]с ш®

пЕ dt ШТ dt Представим решение системы (6), (7) в виде

5Т(х,') = (Тс -То)®(2У'"0, (8)

5Е(х,') = Есв(г)еу'/'0 , (9)

где у - подлежащее определению собственное число задачи. Из последней системы уравнений видно, что характерное время развития тепловых и электромагнитных возмущений порядка / у . Мы ввели следующие обозначения:

, ау(Т с -То) х у(Тс - То)

'о = .2 , 2 = , , 1 = .2 .

Л 1 ЦоЛ

Наибольший практический интерес представляет адиабатический случай, когда т << 1, т.е. диффузия магнитного потока происходит быстрее, чем развитие малых тепловых возмущений [4, 5]. Это позволяет существенно упростить процедуру получения критерия устойчивости сверхпроводящего состояния в образце. В этом приближении, решая систему уравнений (6), (7), можно получить следующее дифференциальное уравнение для распределения электромагнитного поля

п®

В =-8 .

т - т

Подставляя последнее решение в уравнение теплопроводности, получаем в квазистационарном приближении [5] уравнение

с12е /'

г—— = у ■>с. 8-^8. (10)

а?г паВе1

Так как при выводе последнего уравнения мы пренебрегли тепловыми эффектами, лишь электродинамические граничные условия должны быть подставлены в (10)

вао=о, ^=о. (11)

ш

Критерий неустойчивости фронта потока определяется положительными значениями Ие у > 0.

Решение уравнения (10) можно представить в следующем виде:

Ф) = с№и12,1/2 + С2^/2,1/2 , (12)

где Ж - функция Уитеккера; постоянные интегрирования с и с2 определяются из электродинамических граничных условий (11). После несложных преобразований получим следующий критерий неустойчивости:

B =

4njc к (Тс-Т0)

с у jnBe

Легко видеть, что пороговое значение Bc термомагнитной неустойчивости в основном зависит от вида фонового электрического поля, инициированного изменением внешней магнитной индукции ЕВ и Be. Значение поля Bc монотонно уменьшается с ростом скорости индукции внешнего магнитного поля по образцу [9].

Заключение. Таким образом, на основе линейного анализа системы дифференциальных уравнений для распределения температуры и электромагнитного поля было показано, что при определенных условиях возможно возникновение термомагнитной неустойчивости в сверхпроводнике. Пороговое значение термомагнитной неустойчивости в основном зависит от вида фонового электрического поля, индуцированного временным изменением внешнего магнитного поля.

Библиографический список

1.C.P. Bean, Phys. Rev. Lett. 8, 250 (1962); Rev. Mod. Phys. 36, 31 (1964).

2.P.S. Swartz and S.P. Bean, J. Appl. Phys. 39, 4991 (1968).

3.S.L. Wipf, Cryogenics 31, 936 (1961).

4.R.G. Mints, and A.L. Rakhmanov, Rev. Mod. Phys. 53, 551 (1981).

5.R.G. Mints and A.L. Rakhmanov. Instabilities in Superconductors (Moscow, Nauka, 1984).

6.A.M. Campbell and J.E. Evetts, Critical Currents in Superconductors (Taylor and Francis, London, 1972).

7.L. Legrand, I. Rosenman, Ch. Simon, and G. Collin, Physica C 211, 239 (1993).

8.A. Nabialek, M. Niewczas, Physica C 436, 43 (2006).

9.R.G. Mints, Phys. Rev. B 53, 12311 (1996).

10.R.G. Mints and E.H. Brandt, Phys. Rev. B 54, 12421 (1996).

11.N.A. Tayalanov and A. Elmuradov, Technical Physics 11, 48 (2003).

12.P.W. Anderson, Y.B. Kim, Rev. Mod. Phys. 36 (1964).

13.P.W. Anderson, Phys. Rev. Lett. 309, 317 (1962).

14.E. Zeldov, N.M. Amer, G. Koren, A. Gupta, R.J. Gambino, and M.W. McElfresh, Phys. Rev. Lett. 62, 3093 (1989).

15.P.H. Kes, J. Aarts, J. van der Berg, C.J. van der Beek, and J.A. Mydosh, Supercond. Sci. Technol. 1, 242 (1989).

ТАЙЛАНОВ НИЗОМАБДУРАЗЗОКОВИЧ - доцент, Джизакский государственный педагогический институт, Узбекистан.

МАМАТКУЛОВ БАХОДИРХАСАНОВИЧ- старший преподаватель, Джизакский политехнический институт, Узбекистан.