Термоградиентная стабилизация температурных полей в твердых телах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 Серия: Физика Вып. 2 (17)

УДК 536.2:519.7

Термоградиентная стабилизация температурных полей в твердых телах

А. Ю. Ощепкова, М. А. Марценюкь, В. В. Кирюшовс

а ФГУП ОКБ "Маяк", 614990, Пермь, ул. Данщина, 19 ь Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 с Информационный центр ГУВД Пермского края, 614990, Пермь, Комсомольский проспект, 74

Описывается метод управления температурным полем распределенного объекта, имеющего заданную форму, на основе спектрального подхода. В качестве измерительных элементов используются дифференциальные датчики температуры, в качестве элементов управления - тепловыделяющие элементы малых размеров. Работоспособность метода подтверждена компьютерным моделированием и экспериментальным макетированием.

Ключевые слова: температурное поле, дифференциальные термодатчики, управление.

1. Описание задачи и подходов к решению

Твердым телом будем называть любой объект, имеющий заданную форму, теплоперенос в котором осуществляется кондуктивным образом, конвекционные процессы отсутствуют. Изменение температуры в каждой точке объекта с течением времени Т = T(г , t) описывается уравнением теплопроводности

рСр дТ = кДТ + 0(г,0 + д(г,0, (1)

где параметры р (плотность), Ср (теплоемкость), к (коэффициент теплопроводности материала объекта), - являются постоянными величинами; , t) - мощность локальных неконтролируемых воздействий, Q(r, /) - управляемая мощность, отнесенная к единице объема.

Задача управления может быть сформулирована как задача стабилизации непрерывного объекта [1]:

Т(г,/) - ©(г) ^ 0, t ^ ж. (2)

Здесь ©(г) - распределение температуры в объекте, которое необходимо поддерживать в течение всего времени его функционирования. Если величина ©(г) = © является постоянной, то речь идет

о поддержании одинаковых значений температуры в каждой точке пространства, т.е. о выравнивании

температурного поля по объекту. Такая задача наиболее часто возникает при необходимости устранения термодеформаций частей конструкций, вызванных неоднородным нагревом оборудования. Примерами могут служить крупногабаритные оптические элементы систем наблюдения космического базирования, деформации поверхностей которых приводят к искажениям изображений, или элементы лабораторного оборудования для измерений геометрических размеров, когда температурные неоднородности приводят к недопустимо высоким погрешностям. В первом случае температурные неоднородности возникают из-за неравномерного солнечного освещения, во втором -вследствие работы вспомогательного оборудования или других причин. Ряд примеров можно продолжить, однако ограничимся рассмотренными, как наиболее наглядными и актуальными. Заметим только, что в них речь идет о прецизионном управлении, когда требуется устранять отклонения температуры в пределах десятых или даже сотых долей градусов.

Несмотря на свою очевидность и кажущуюся математическую простоту, задача (2) не может быть точно решена доступными техническими средствами. Дело в том, что рассматриваемый объект управления является распределенной системой, величины Т(г, Г) и Q(r, ^ задаются в бесконечном количестве точек, т.е. представляют собой физические поля. Современные пирометрические средства мониторинга температуры позволяют контролировать только поверхность тела, но не его объем [2]. Еще более трудной технической

© Ощепков А.Ю., МарценюкМ.А., Кирюшов В.В., 2011

52

задачей является создание распределенных по объему устройств управления температурой, как тепловыделяющих (нагревателей), так и теплопоглощающих (охладителей). Стандартный подход к управлению распределенными системами состоит в их дискретизации [3]. В нашей задаче процесс дискретизации состоит в том, что поле температуры восстанавливается по показаниям конечного числа датчиков, а поле управляющего воздействия синтезируется с помощью конечного числа управляющих элементов. Количество датчиков и управляющих элементов определяется требуемой точностью стабилизации, их размещение оптимизируется исходя из применяемого способа дискретизации - конечно-разностного или спектрального. В первом случае переменными состояниями являются значения температуры в отдельных точках, т.е. непосредственно показания датчиков, во втором -амплитуды гармоник (базисных функций), которые определяются расчетным путем, исходя из результатов измерений. Независимо от способа дискретизации, постановка задачи управления (2) должна быть пересмотрена, в-частности, в ней должна быть учтена точность измерений, определяемая применяемыми техническими средствами.

В данной работе описывается решение задачи управления температурным полем с помощью системы термоградиентной стабилизации (ТГС): на объекте размещаются дифференциальные датчики температуры, измеряющие разности (градиенты) температур, и только тепловыделяющие элементы (нагреватели) без охладителей; дискретизация осуществляется на основе спектрального метода. Средняя температура объекта регулируется внешней по отношению к системе ТГС системой управления, работающей в режиме «тепло/холод». В рассмотренных выше примерах роль внешней системы управления может играть система кондиционирования помещения лаборатории или система термостатирования космического аппарата [4].

В разделе 2 дается теоретическое обоснование механизма термоградиентной стабилизации, показывается, как задачу управления распределенной системой можно свести к синтезу управления независимыми системами первого порядка, кратко изложены современные робастные и адаптивные алгоритмы управления такими объектами. В разделе 3 приведены результаты компьютерного моделирования, подтверждающие работоспособность системы термоградиентной стабилизации и определяющие ее точностные характеристики. В разделе 4 описан экспериментальный макет системы термоградиентной стабилизации элементов измерительного оборудования лаборатории нанометрии.

2. Математическая модель системы термоградиентной стабилизации

2.1. Тип и размещение датчиков температуры

Пусть на объекте регулирования расположено ЫО датчиков температуры. Датчики будем считать точечными, места их расположения обозначим как

Га = {Ха , Уа , 2а } ^ ° ЫЭ . (3)

В идеальном случае показания датчиков

О (0 совпадают со значениями температуры в

точках г :

Оа ^) = Т (га, t). (4)

Для восстановления поля температуры по показаниям датчиков используем базис из N (N < )

ортогональных функций Фк:

<ф* Ю (Г)Фт (?УУ = 8Ы,

V (5)

к, т = 1,2,..., N.

Представим поле температуры Т (г , t) в виде конечного ряда по системе базисных функций

Т (г, 0 = Б0^) + ^Бк (t)Ф к (г). (6)

к =1

Интегрируя формулу (6) по V, с учетом свойства (5) получим, что слагаемое Б0 ^) представляет собой не что иное, как усредненное по объему тела значение температуры

Бо^) = 11Т(г,t)dV = (Т). (7)

* V

Средняя температура регулируется внешней системой управления, поэтому здесь мы считаем ее величину константой, от которой отсчитывается требуемое распределение температурного поля ©(г). Другими словами, общую задачу стабилизации (2) переформулируем как задачу термоградиентной стабилизации следующим образом:

Т(г,t) -©(Л ^ 0, t ^ж;

V , / V/ , (8)

Т(г,^ = Т(г,^ - Т.

Из выражений (4), (6) и (7) следует, что показания абсолютных датчиков температуры имеют вид

О ^) = (Т) + Т(га, t), т.е. связаны со средним значением температуры, которое внешняя система управления должна передавать системе ТГС, чтобы последняя могла выделить полезный сигнал из суммы. Если выбрать дифференциальные датчики, которые показывают различие температур “положительного” и “отрицательного” чувствительных элементов (ЧЭ), горячего и холодного спаев термопар, то выходным сигналом такого датчика будет величина

Ба ^) = Т (г+, t) - Т (г-, t), (9)

где а — номер датчика, га и га — точки расположения “положительного” и “отрицательного” ЧЭ соответственно. Среднее значение показаний автоматически исключается, что объясняет необходимость применения в системе ТГС именно дифференциальных датчиков температуры. Отметим, что дифференциальные датчики на основе термопар имеют более высокую точность измерения, а их чувствительные элементы меньше по размерам по сравнению с термометрами сопротивления.

Из уравнений (9) и (6) получаем:

оа (0 = ¿¿ОА «, fkk = Фk (С) - Фk г). (10)

k=1

Для восстановления температурного поля Т (г , Г) по показаниям датчиков О (0 необходимо, чтобы матрица имела обратную, что определяет требования к местам расположения чувствительных элементов датчиков температуры. Умножив каждое из N равенств (10) на gkk = ()-1 и просуммировав по а, получим

N

Бк ^) = £ ёкРа (^. Для поля температуры получа-

а=1

ем выражение

В =-

T (Г, t) = XS gaD (t )ф* (Г),

k=1 а=1

gka =(фк (Га+ ) -фк (Га~ )) 1.

(11)

Мы считаем, что количество датчиков совпадает с размерностью базиса. Чтобы исследовать вопрос о точности аппроксимации для тела определенной формы, необходимо разместить на нем дополнительные датчики температуры или провести компьютерное моделирование процесса. Однако восстановление температурного поля по показаниям конечного числа датчиков температуры не является для нас самоцелью. Необходимо решить задачу управления этим полем.

2.2. Выделение температурных мод и управление

Чтобы найти законы изменения величин Вк (ґ) (уравнения движения), определяющие поведение температурного поля Т (г , ґ), подставим его выражение, определяемое соотношениями (6)-(8), в уравнение (1), умножим его на Ф*т(Г) и проинтегрируем по объему тела. Получим систему дифференциальных уравнений

рс,

-Е(ф» 1д|фк) • вк

-<ф„

(12)

Рс,

-(ф» ,

m = 1,2,..., N.

Управляющие воздействия определяются проекциями поля управления Q(r, ^) на базисные функции:

1

Pm (t) =— (Фт|0 •

PCP

(13)

Решение задачи управления состоит в том, чтобы определить компоненты вектора воздействий (13) как функции времени в соответствии с целью управления (8). Полученная математическая модель системы управления в форме уравнения (12) представляет собой систему со многими входами и многими выходами (MIMO: multi input - multi output). Определить устойчивые алгоритмы управления для MIMO-систем чрезвычайно сложно [5].

Очевидно, что возникшие трудности связаны с недиагональностью релаксационной матрицы

Кь =(ФЯ| Д|Ф*>. (14)

Если в качестве базиса выбрать такие собственные функции объекта (r), что

(Y ml A|Y k) = --^2 8mk ,

S.

(15)

то решение задачи синтеза управления существенно упрощается. Разумеется, найти собственные функции достаточно сложно, поскольку они определяются формой объекта и зависят от граничных условий. Однако эти трудности преодолимы, если использовать для расчетов все доступные средства: от аналитических вычислений до компьютерного моделирования и экспериментальных способов идентификации.

Будем считать, что функции ^ (г) известны.

Разложение поля температуры по этому базису запишем в виде

T (г, t) = £ Ak (t)Y k (r)

(16)

(знак тильды здесь и далее опущен). Функции ^ (г) будем называть гармониками, а амплитуды А (0 - температурными модами.

В качестве примера приведем гармоники для одномерного стержня длины Ь с теплоизолирован-

ными концами

d Y k (x)

dx

= 0

Y k (x) = J vcos 7^kkX •

, (17)

\L L

Первые четыре гармоники изображены на рис. 1.

1

к

+

k=1

1

k=1

x=0, L

Заменив в выражении (12) функции ф (г) на ^ (г), вследствие свойства уравнения (15) получим N независимых уравнений для температурных мод Ат О1):

А-т =— Ат + ^^т + ^ , т = 1,2,..., N. (18)

Тт

Здесь введены обозначения:

рсл

(Т >г2 >... > тN);

^ = К (ґ) = (Фя 10 = | Ф*„ (г)0(г, ґ)^К;

РС, ' рСр V

-(Фтк) .

РСР

(19)

Чтобы явно учесть в уравнениях движения цель регулирования, представим требуемое распределение температурного поля ©(г) также в виде раз-

ложения по гармоникам:

(20)

Для достижения цели управления (8) достаточно выполнения условий Ат (!) - ат ^ 0, t ^ ж . Введем новые переменные состояния Хт (^ по правилу

^т (Ґ) = Лт (Ґ) - ат .

(21)

Теперь математическая модель системы управления примет вид:

—т = -^х + м (ґ) + ^ ,

т т т

аґ т

т

хт ^ 0, т = 1,2,...,N.

Мт (ґ) = К (ґ), ^т = ^ - — Я,. .

(22)

(23)

Таким образом, мы свели задачу синтеза управления распределенным объектом к работе N одноканальных независимых регуляторов, работающих в режиме компенсации внешних возмущений Рт путем выработки управляющих воздействий ит, которые логично назвать модальными управляющими воздействиями или просто модальными управлениями.

Определение модальных управлений не решает задачу полностью. Для завершения синтеза управления необходимо по известным величинам ыт найти мощности, которые нужно подать на элементы управления для того, чтобы обеспечить требуемое поле управления Q(r, ^. Но прежде чем перейти к описанию этого заключительного этапа, перечислим в справочных целях основные алгоритмы, используемые в современных одноканальных регуляторах. Выбор алгоритма будет определяться требованиями к динамическим и точностным характеристикам системы управления.

2.3. Алгоритмы работы современных одноканальных регуляторов

Для решения задачи управления (22) могут быть применены регуляторы по отклонению, вырабатывающие сигнал управления, зависящий от ошибки (отклонения выходной величины от за-

г

т

2

тт =

к

1

к =1

данного, в нашем случае - нулевого, значения). В качестве ошибки, или невязки, выступает переменная состояния Х@}. Многолетняя практика автоматизации показала, что подавляющее большинство задач синтеза одноканального управления может быть решено с помощью регуляторов по отклонению, учитывающих текущее значение ошибки, первую производную ошибки и интеграл от ошибки за время регулирования. Такой регулятор называется пропорционально-интегрально-дифференциальным или ПИД-регулятором.

Управляющее воздействие иф, которое вырабатывает ПИД-регулятор, описывается выражением

¿(Г) = Крв(і) + К | е(т)ёт + К1

йе(ї)

(24)

ёХ

X (кТ) - X ((к - 1)Т) Т

(25)

а величину интеграла записать по формуле прямоугольников в виде суммы

кТ к

| X(№ = Х X (]Т) • Т . (26)

0 1= 0

Введём обозначение: /(кТ) = /к. Тогда уравнение движения с учётом уравнения (25) запишется в разностной форме

У — У 1

+ _Хк = ик + р, Т <<т,

Т т

где управляющее воздействие Ык имеет вид щ = -К(1 + Т)_к -КТ£_ .

Т

(27)

(28)

И І=0

Здесь выбрано КР=К, К1=К/ТИ, Кв=0 (ПИ-регулятор).

Отметим, что алгоритм (28) является нерекуррентным и требует вычисления больших сумм. Чтобы найти рекуррентный алгоритм дискретного

ПИ-регулятора, запишем выражение для управляющего воздействия в (к+1)-й момент времени и вычтем из него равенство (28). В результате получим рекуррентный ПИ-алгоритм

Т

ик+_ = ик + Кхк - К (1 + —) X

1 тл

(29)

который легко программируется и широко применяется в реальных цифровых системах управления.

Отметим, что при достижении цели управления (X = 0) из уравнения (29) следует, что

= ик при Хк = 0, Хк+1 =

(30)

где е(/) = -XУ). ПИД-алгоритм представляет собой яркий пример робастного алгоритма, достигающего цели регулирования для широкого интервала значений параметров системы управления.

Алгоритм (24) непрерывен по времени. Вместе с тем общий алгоритм работы системы ТГС, помимо расчета управляющего воздействия, предполагает обработку большого количества информации. Поэтому логично использовать цифровой дискретный способ управления, когда один момент времени измерения и определения управляющего воздействия отделен от следующего момента конечным промежутком Т, называемым периодом квантования. Для перехода к дискретному управлению запишем уравнение (22) в разностной форме (индекс т опустим). В случае, когда период квантования Т много меньше собственного времени задачи, % производную в момент измерения кТ (к=0,1,2,...) можно представить в виде конечной разности [6]

Ык+1 = ик ГкХк+1 , Гк =

т.е. алгоритм дискретного ПИ-регулятора автоматически выходит на компенсацию внешнего воздействия (с точностью до ошибки квантования уровня сигнала), как и для непрерывного случая.

Для учета точности измерения, обеспечиваемой применяемыми техническими средствами, можно ввести величину Д > 0 - заданное значение порога точности задачи. Тогда цель регулирования, выраженная в уравнении (22), считается достигнутой на некотором шаге к+1, для которого выполняется условие

Xk+l2 <Д. (31)

В этом случае можно использовать следующий

простой робастный алгоритм:

Г > 0, х,, ,2 > Д;

к++1 (32)

0, Хк+12 <Д.

Его сходимость доказывается в теории алгоритма скоростного градиента (АСГ) [1]. Алгоритмы работы ПИД-регуляторов, вообще говоря, являются частными случаями АСГ. Отметим, что все вышеперечисленные алгоритмы достигают цели регулирования, однако время достижения не регламентируется. Следовательно, их разумно применять, когда нет никаких требований к быстродействию системы управления.

Рассмотрим более подробно алгоритм, направленный на наискорейшее достижение цели. Уравнение (27) представим в общем виде

Xk+¡ = А^к + Бик + ^ , к = 0,1,2,..., X0 Ф 0. (33)

Заметим, что вследствие условия малости периода квантования по сравнению с собственным временем объекта (см. (27)) величина А<1, следовательно, при отсутствии управления (ик = 0) система (33) является асимптотически устойчивой. Если положить Д —— 0 , то цель регулирования (31) можно записать в виде хк+х = 0. Очевидно, что эта цель может быть достигнута за один шаг с помощью управляющего воздействия [7]:

ик = - "^(^хк + Р). В

(34)

Подстановка уравнения (34) в (33) даст хк+1 = 0, поэтому для дальнейших шагов получим

и

Г =кТ

F B''

(35)

Если возможности управления ограничены и управляющее воздействие, рассчитанное по формуле (34), превосходит максимально возможное значение £/шах, на вход объекта управления должна подаваться величина £/шах с соответствующим знаком, что обеспечит движение системы в нужном направлении, аналогично градиентным алгоритмам. Алгоритм управления (34)-(35) назовём быстрым алгоритмом (fast algorithm) [9].

Заметим, что преимущество робастных алгоритмов состоит в том, что для своей работы они не требуют знаний параметров системы. Быстрый алгоритм, напротив, нельзя применить, если неизвестны величины А, В и F. Объединим робастный и быстрый алгоритмы. Пусть неизвестные параметры системы не изменяются с течением времени или изменяются медленно, так что в течение нескольких шагов управления их изменения несущественны. На первых трёх шагах управления применим любой робастный закон управления, например, самый простой из ПИД-алгоритмов:

uk = -KPxk, к = 0,1,2 (П-регулятор). В результате в соответствии с уравнением (33), получим три равенства:

Х^ = AX0 + Бщ + F,

Х2 = АХ{ + Бщ + F, (36)

Х3 = АХ2 + Бщ, + F.

Здесь значения входов объекта ык и измеряемых выходов Хк, к = 0,1,2,3 являются известными величинами, а три параметра А, Б, F составляют вектор неизвестных параметров, подлежащих идентификации [9].

Введём векторы , |У^ и матрицу G3 по правилам:

Г A Гх' Г X0 U0 л

|£>= І2 = B , ю= X 2 , G3 = X1 u1 1

,F V 1X3 V IX 2 и 1V

(37)

тогда систему уравнений (36) можно записать в виде

О-Ц) = . (38)

Вектор неизвестных параметров определится после решения системы (38):

Ю = . (39)

Определив параметры А, В, F, можем синтезировать быстрый алгоритм (34)-(35), начиная с к = 3. В результате мы получили идентификационный адаптивный алгоритм управления на основе быстрого алгоритма, который кратко можно назвать идентификационный быстрый алгоритм

(ИБАл). Процедура идентификации (37)-(39) обладает очевидным свойством, чрезвычайно важным при практическом применении в реальных регуляторах: компоненты вектора | ^ могут не совпадать

с величинами А, В, F, полученными в модели (27), (33) после дискретизации непрерывного объекта. Компоненты ,£2 ,^3} являются новыми само-

стоятельными параметрами дискретной системы управления.

2.4. Моделирование тепловыделяющих

элементов. Терморегулировочная матрица

Продолжим рассмотрение алгоритма работы системы термоградиентной стабилизации в целом. Напомним рассмотренные выше шаги этого алгоритма:

• снимаем показания датчиков Ба (/);

• вычисляем значения температурных мод:

N _1

А,(0 = ХЕьА(0, gka =(^(г;)(С)) ; (40)

а=1

• рассчитываем значения невязок

^т (0 = Ат (^) - ат ;

• определяем величины модальных воздействий ит (/) по какому-либо закону регулирования из перечисленных в п.2.3.

Для дальнейшего продвижения необходимо создать модель исполнительных устройств, которые в нашем случае представляют собой тепловыделяющие элементы (нагреватели), расположенные на объекте.

Будем управлять с помощью нагревателей, имеющих малые размеры, так что их можно считать точечными, как и датчики. В этом случае поле управления запишется в виде

(41)

где

а >0, Ь = 1,2,...,^ - (42)

мощности нагревателей, N - их количество. Подстановка равенства (41) в (19) дает

1 г ^

ит (1) = —— | ^*т (Г0Х <^Ь (1 )5(Г - ГЬ =

РСР V Ь=1 (43)

= ^тъЯ„ (Г).

Ь=1

В выражении (43) учтено свойство 5-функции, которое приводит к следующему виду матрицы Nmb:

1

Nmb =— ^ (Гь ),

PCP

m = 1,2,...,N; Ь = 1,2,...,Ne.

(44)

Прямая связь между мощностями нагревателей и создаваемыми ими модальными управлениями найдена. Теперь нужно решить обратную задачу:

Ь=1

по известным величинам ит определить значения мощностей Q с учетом равенства (42). Эта задача более трудная. Подчеркнем, что трудности возникают вследствие технических требований к системе управления и не связаны с применяемым математическим аппаратом. Требования положительности управляющих мощностей Q приводят к требованию избыточности элементов управления над измерительными датчиками. Другими словами, число регулируемых мод не может превосходить количества нагревателей: N < NQ. Таким образом, матрица NтЪ является прямоугольной и система линейных уравнений (43) не имеет однозначного решения. Систему уравнений (43) нужно решать совместно с неравенствами

(42), которые выделяют области возможных значений переменных Q в Nß -мерном пространстве.

Чтобы выбрать однозначное решение, нужно наложить дополнительное условие. Таким условием может служить естественное требование минимальности энергетических затрат на управление

nq

XQb ^ “in- (45)

b=1

Мы сформулировали задачу линейного программирования, которая может быть решена симплекс-методом [10]. Полученное решение запишем в виде:

Qb =ІМьтит, b = 1,2,---,Nq- (46)

m=1

Матрицу Mm размерности Nß x N назовем

терморегулировочной матрицей. Ее определение составляет наиболее трудоемкий вычислительный этап в алгоритме работы системы ТГС. Ниже подробности определения компонентов терморегулировочной матрицы будут пояснены на конкретном примере. Заключительный шаг алгоритма - вывод мощностей, рассчитанных в равенстве (46), на нагреватели.

2.5. Управление температурным полем одномерного объекта

В качестве примера рассмотрим управление полем температуры стержня длины L с теплоизолированными концами. Плотность материала стержня р, удельная теплоемкость C . Цель

управления - выравнивание поля температуры, т.е. компенсация неоднородностей температуры по длине стержня, возникающих вследствие внешних возмущений. На стержне разместим два дифференциальных датчика Di, D2 и три нагревателя так, как указано на рис.2. Для построения математической модели системы ТГС необходимо выбрать базисные функции для разложения поля темпера-

туры и управляющих воздействий. В качестве таковых выбираем собственные функции, указанные в уравнении (17). Элементы измерения (ЧЭ датчиков) и выработки управляющих воздействий (нагреватели) в модели считаем точечными.

Ь

Рис.2. Схема размещения чувствительных элементов датчиков и нагревателей в модели системы ТГС одномерного стержня

Координаты точек, в которых находятся элементы и значения первых двух базисных функций приведены в табл. 1.

Таблица 1

Элемент Координата #"1 ёT ■

Di Xi+ 0 1 1

V L -1 1

D2 X2+ L/2 0 -1

*T L -1 1

Qi X1 0 1 1

Q2 X2 L -1 1

Q3 X3 L/2 0 -1

С помощью этих элементов можно синтезировать управление по двум модам. Физически это означает, что мы можем устранять перепады температуры, возникающие между концами стержня, а также между концами и серединой стержня.

Рассмотрим сначала управление только одной (первой) модой.

Прямая связь между величиной моды А1 и показаниями датчика Д1 в соответствии с формулами (9) и (16) имеет вид

Д = А • (4(х+) - 4*1 (х^)) = ^ • 2А . (47)

Аналогично формулы (43) и (44) дают связь между управляющим воздействием щ и мощностями нагревателей Q1 и Q2.

и, =

1 рСР

2 1

1— (^*і(Хі) • 0 +Т*і( Х2) • 02 ) = (01 - 02 )-

(48)

и рСр

Величина а в уравнении (20) в соответствии с целью регулирования равна нулю, поэтому выполняется равенство Х1 = А1.

Выполняем шаги алгоритма работы системы ТГС, указанные в предыдущем пункте:

• снимаем показания датчика Д ;

• вычисляем из формулы (47). Д =^~ • ~~;

• рассчитываем невязку X = Д;

• определяем величину воздействия щ , на-

пример, по самому простому пропорциональному закону:

и = -к • X, =- к •.-----------------------

і 2 2

(49)

1рСр рі = -к,-^Д.

(50)

р 4

Очевидно, что величина р независимо от выбранного закона регулирования пропорциональна модальному воздействию и :

И = К • Р . (51)

бі - 02 = Р; (52а)

01 > 0, 02 > 0; (52б)

0 + 02 ^ тіп. (52в)

Зависимость, выраженная равенством (52а), изображена графически на рис. 3, область, определяемая неравенствами (52б), заштрихована. Из графиков следует, что задача (52) имеет различные решения при положительных и отрицательных значениях р , а именно:

01 = р, 02 = 0, Р > 0;

0і = 0, 02 = |р|, р <0.

(53)

• заключительный шаг алгоритма - вывод мощностей на нагреватели по правилу (53). Если в общем случае определить терморегулировочную матрицу МЪт как матрицу связи между мощностями О и величинами Рт = Ктит.

0ъ = £МЬтрт, Ь = 1,2,...,N0

(54)

Для определения терморегулировочной матрицы (46) соотношение (48) запишем в виде р = 0 - О, где введена новая величина р , имеющая размерность мощности:

то она будет безразмерной, следовательно, более удобной в применении, чем матрица М . В рассмотренном нами случае терморегулировочную матрицу можно представить в виде

м

Ьт

т 1

ъ Р1>0 Р1<0

1 1 0

2 0 1

Система ТГС включает нагреватель на том конце стержня, который имеет более низкую температуру. Предполагается, что количество теплоты, переданное объекту, сбрасывается равномерно по длине стержня во внешнюю систему управления.

Управление по двум модам Используем теперь оба имеющихся датчика и все три нагревателя. Связь между модами и показаниями датчиков:

¡2

(55)

А = Л-- 2 д,

°2 =іт (А - 2А2).

Откуда находим значения невязок

х=А =#Т'

Х2 = А '( ^ - А1-

(56)

Рис.3. Иллюстрация к применению симплекс-метода для определения терморегулировочной матрицы при управлении по одной моде

Теперь можно сформулировать конкретную задачу для применения симплекс-метода:

Рассчитываем величины модальных управляющих воздействий по пропорциональному закону

щ =-К« • XI, «2 = -Кр2) • X2. (57)

Нужно отметить один факт, который не имел значения при управлении по одной моде, а здесь чрез-

т=1

вычайно важен. Дело в том, что при разработке реальной системы управления очень сложно проследить за размерностями входных и выходных величин регулятора. Коэффициенты К® и К®, например, могут задавать разные масштабы выходных величин щ, щ. Но в таком случае их нельзя складывать! Поэтому мы можем ввести некоторые обобщенные пропорциональные коэффициенты Кр и Кр, подбираемые разработчиком системы, с помощью которых, используя данные табл. 1 и формулы (44) и (48), получим

P1 - öl - Q2 P2 - Q1 + ö2 - Q3

P — KP ^ - D2

Di

(58)

Однако воздействия р и р нельзя подавать на объект одновременно!

Задача для симплекс-метода:

6 ~ 62 = р; й+ й_ й = Р;

6 > о, 62 > о б > 0; (59)

й + 62 + 6з ^ тіп-

Решение задачи (59) приводит к следующей терморегулировочной матрице:

M, -

bm

m 1 2

b P1>0 P1<0 P2>0 P2<0

1 1 0 1/2 0

2 0 1 1/2 0

3 0 0 0 1

Смысл этой матрицы также нагляден, как и при одномодовом управлении: для устранения первой гармоники включается один из концевых нагревателей, для компенсации второй включаются либо одновременно два концевых нагревателя, либо один в центре стержня.

3. Компьютерное моделирование работы составных частей системы термоградиентной стабилизации

Для проверки эффективности работы системы ТГС было проведено компьютерное моделирование температурных полей двумерного объекта прямоугольной формы в РББ-1оо1 МЛТЬЛБ. Далее объект управления условно будем называть пластиной. Размеры пластины 54х20 см, материал -дюралюминий (р = 2787 кг/м3, Ср = 833 Дж/(кг град), к = 164 Вт/(м град)). Ось Х направлена вдоль длинной стороны, ось У - вдоль короткой стороны, начало координат указано на рис.4. Ко-

роткие стороны пластины предполагаются теплоизолированными, вдоль длинных сторон происходит теплообмен с коэффициентом теплоотдачи 20 Вт /(м2 • град), что соответствует свободной

конвекции в воздушную среду [11]. Температура окружения считается равной нулю.

Посередине пластины вдоль длинной стороны располагаются три тепловыделяющих элемента, центры которых находятся на следующих расстояниях от оси Y: 9 см (левый нагреватель, если смотреть на пластину сверху), 27 см (средний нагреватель) и 45 см (правый нагреватель). Отметим, что левый и правый нагреватели находятся на расстоянии 1/6 длины пластины, т.е. в узлах третьей гармоники, как это следует из графиков собственных функций задачи, приведенных на рис.1. Нагреватели имеют вид квадратов со стороной 1 см. Тепловое воздействие, оказываемое нагревателями, моделировалось путем задания условий на внутренних границах квадратных областей в виде постоянных тепловых потоков в задаче Неймана. Значение теплового потока для нагревателя подбиралось так, чтобы при его работе максимальное значение отклонения температуры от температуры среды в установившемся режиме составляло около двух градусов.

Стационарное температурное поле, создаваемое одним (левым) нагревателем, приведено на рис. 4,а. На рис. 4,б приведен профиль отклонения температуры от среднего значения вдоль разреза пластины по оси Х. Из графика видно, что расстояние между точками различно. Это происходит вследствие особенности построения триангуляционной сетки в PDE-tool: количество узлов сетки возрастает около резких изменений направлений границ областей. В нашем случае наибольшая плотность узлов оказывается около нагревателя. Неравномерность расположения отсчетов не позволяет использовать стандартную функцию быстрого преобразования Фурье “fff", имеющуюся в MATLAB. Поэтому значения спектральных амплитуд Лк (температурных мод (16)) рассчитывались по формуле

П N

A-VL 'S r (j

k -1,2,3,4,5,6,

cos

(xj- xj-iX

(60)

где N - количество точек в массиве. Спектр профиля представлен на рис. 4,в. Как и ожидалось, наибольшую величину имеет первая мода, ее значение равно 0,24, вторая мода в два раза меньше.

Рис. 4. Поле температуры, создаваемое одним нагревателем (а), профиль отклонения температуры от среднего значения вдоль оси Х (б) и его спектр (в)

Если считать работу левого нагревателя внешним возмущением, то для компенсации первой моды, как это следует из алгоритма работы ТГС, изложенного в п. 2.5, необходимо подать на правый нагреватель такую же мощность, как на левый. Результат работы одномодового регулятора приведен на рис. 5,а. Первая мода устранена, однако значение второй моды увеличилось.

Для компенсации второй моды необходимо включить средний нагреватель. Результат приведен на рис. 5,б. Он получился великолепным и несколько неожиданным: работой двух нагревателей устранены первые пять мод! Итак, компьютерное моделирование полностью подтвердило возможность термоградиентной

стабилизации температурных полей с помощью нагревательных элементов малых размеров

Рис. 5. Поля температуры при одномодовом управлении (а), двухмодовом управлении (б) и

их спектры

4. Термоградиентная стабилизация столешницы рабочего стола для измерительного оборудования

Современные технологии требуют изготовления деталей, геометрические размеры которых (длины, толщины, отклонения от заданной формы) должны быть выдержаны с точностью 10..Л00 нм. Для измерения размеров с такой точностью необходимо, чтобы разность температур между измеряемой деталью и элементами прибора была не более 0,1 градуса [12]. Чтобы выполнитьь это условие, измерительный прибор предполагается поставить на столешницу из материала с высокой теплопроводностью. Был из-

готовлен экспериментальный макет рабочего стола со столешницей из листового дюралюминия Д16 толщиной 16 мм. Размер поверхности 110х50 см. Предварительные исследования показали, что при работе оборудования и в присутствии оператора разница температур между краями по длине стола достигала 0,17...0,24 градуса.

Для устранения перепада температур по длине столешницы была применена одномодовая система ТГС. В качестве термодатчика в системе использовалась батарея из 7 термопар медь-константан. "Положительный" и "отрицательный" чувствительные элементы размещались внизу столешницы по ее осевой линии на расстоянии 1/6 длины от краев. Такое размещение

исключает влияние третьей гармоники на пока- ____________________Таблица 2

зания датчика, следовательно, точность регулирования первой моды повышается. Настройки регулятора “Термодат”

Элементами управления служили плоские Уставка 0.00

контактные нагреватели с размером рабочей по- 1пР И.іп

верхности 19х7,5 см, напряжение питания на- Ои!3 Сооі

гревателей 36 В переменного тока, мощность 40 Оиі4 НЕМ

Вт. РгоР 0.40

Алгоритм одномодовой ТГС (53) был реали- Ы 5000

зован с помощью промышленного регулятора аіЕБ ОББ

“Термодат” в специальном исполнении. Сигнал Н.Ог Ріа

от датчика подавался на универсальный мас- ы.Оиг Оиг4

штабируемый вход прибора. Уставка полагалась ргур Раа

равной нулю, так что при положительном сигна- Р Ні 100

ле от датчика включался канал “Охлаждение”, а Р Ьо 0

при отрицательном - канал “Нагрев”. На обоих Н-РЬ8 10

каналах в приборе были организованы одинако- саг Ріа

вые симисторные выходы, один из выходов е.Оиг ОШ3

подключался к нагревателю 01, а другой - к на- гСИ 1

гревателю 02. На каждом выходе был установ- С.РЬЯ 10

лен ПИД-закон регулирования. Настроечные И.РШ 0-00

параметры, установленные в приборе, реали- иі 0

зующие описанный алгоритм, приведены в и а 0

табл.2. И2 7-00

Общий вид экспериментального макета сто- и м 25.00

лешницы с ТГС приведен на рис. 6. И.Ьо ОББ

Рис. 6. Макет системы термоградиентной стабилизации столешницы рабочего стола для измерительного оборудовании (вид снизу)

При работе системы ТГС перепад температур вдоль столешницы поддерживался на уровне сотых долей градуса. Мощность, выводимая на нагреватели в установившемся режиме составляла 0.2.3% от максимальной, т.е. не превы-

шала 1.2 Вт. Такая мощность не может привести к существенному изменению температуры окружающей среды, которая в реальных условиях также должна поддерживаться с высокой точностью. Это предполагается осуществлять путем

применения в нанометрической лаборатории прецизионного кондиционера.

Таким образом, работоспособность метода термоградиентной стабилизации, изложенного в данной работе, подтверждена экспериментально.

Авторы выражают благодарность директору приборостроительного предприятия "Системы контроля" К.В. Вяткину за предоставление серийного регулятора "Термодат" в специальном исполнении и заведующему лабораторией цифровых методов управления В.С. Павлову за изготовление элементов экспериментального макета системы ТГС.

Список литературы

1. Фрадков А .Л. О применении кибернетических методов в физике // Успехи физ. наук. 2005. Т.175. С. 113—138.

2. Термометры, пирометры, тепловизоры// ИКЬіНрУ/^^^Іеїташк.т/саІаІо^ІегтотеІху.

3. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965. 476 с.

4. Теплообмен и тепловой режим космических аппаратов / пер. с англ. под ред. Д. Лукаса. М.: Мир, 1974. 543 с.

5. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке МЛТЬЛБ. СПб.: Наука, 1999. 467 с.

6. Самарский А.А. Введение в численные методы. 3-е изд. СПб.:Лань, 2005. 288 с.

7. Кунцевич В.М. Адаптивное управление: алгоритмы, системы, применение. Киев: Вища школа, 1988. 64 с.

8. Ощепков А.Ю. Системы автоматического управления: теория, применение, моделирование в МЛТЬЛБ/Перм. ун-т. Пермь, 2006. 170 с.

9. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991. 432 с.

10. Симплексный метод решения задач линейного программирования. иКЬ: http://www.gran-dars.ru.

11. Крейт Ф., Блэк У. Основы теплопередачи. М.: Мир, 1983. 512 с.

12. ЦЯЬ: http://www.termodat.ru

Thermogradient stabilization temperature fields in solids

A. Y. Oschepkova, M. A. Martsenyukb, V. V. Kiryushovc

a Special Design Office "Mayak", Danchina St., 19, 614990, Perm b Perm State University, Bukirev St., 15, 614990, Perm

c Information Center Department of Internal Affairs of Perm Krai, Komsomol prosp., 74, 614990, Perm.

A method for controlling temperature field of distributed object that has defined form, based on the spectral approach, is developed. As the measuring elements are used differential temperature sensors, as controls proposed heaters of small size. Efficiency of nhe method is confirmed by computer simulation and experimental breadboarding.

Keywords: temperature field, differential temperature sensors, control.