CC BY
52
УДК 62-533.65+681.52
ОПТИМАЛЬНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ РАСПРЕДЕЛЕННОГО ОБЪЕКТА
М.М. Филиппов, А.И. Грибенюков, В.А. Кочегуров*, Ю.В. Бабушкин*
Институт мониторинга климатических и экологических систем СО РАН, г. Томск *Томский политехнический университет E-mail: [email protected]
Рассмотрена задача оптимальной стабилизации при формировании заданного температурного поля. Решение основано на переходе к конечно-разностной аппроксимации модели объекта исследования и получении линеаризованной системы уравнений, позволяющей найти оптимальное управление с полной обратной связью в виде пропорциональных регуляторов на основе метода динамического программирования и квадратичного критерия качества. Приведены оценки точности стабилизации температурного поля.
Ключевые слова:
Система с распределенными параметрами, оптимальное управление, стабилизация, температурное поле.
Key words:
Distributed parameters system, optimal control, stabilization, thermal field.
Задача стабилизации заранее заданных распределений температур, пространственный профиль которых обусловлен неизотермичностью используемых технологических процессов, является типичной для сложного электротермического оборудования, например, многозонных термических установок для выращивания кристаллов [1].
В экспериментальных работах по выращиванию монокристаллов установлено, что одним из условий получения кристаллов высокого качества в многозонных термических установках является поддержание в зоне кристаллизации распределения температуры Т*(х,/) с точностью не хуже
0,1 К [2]. Но непосредственно на самих установках (или их моделях) подобрать алгоритмы управления, которые могли бы обеспечить необходимую точность поддержания температурного профиля, часто оказывается невозможным из-за их сложности, обусловленной протекающими процессами, взаимным влиянием термических зон и т. д.
С другой стороны, во многих ситуациях, результаты, полученные на простых моделях, могут быть обобщены на более сложные случаи. Поэтому в качестве модели объекта управления в данной работе рассматривается стержень длиною Ь, характеризующийся одномерным распределением теплофизических свойств вдоль независимой пространственной переменной х и зависящим от времени распределением температуры Т(х,/). Температура Т(х,/) поддерживается рассредоточенными по длине стержня нагревателями с помощью управляющих воздействий и(х,/).
Целью работы является поиск таких управляющих воздействий, которые позволят сформировать и поддерживать заданное распределение температуры объекта с требуемой точностью.
Для анализа распределения Т(х,/) вдоль переменной х объект разбивается на п дискретных отрезков длиною Ах, где Ах выбирается согласно теореме отсчетов Котельникова из условия Ах<2п/дв. Здесь дв _ максимальная пространственная частота разло-
жения Т(х, О = Х Т(дп, (дп, х) по собственным
п=1
функциям %(м,,х). _
Коэффициенты разложения Т (д,,/) определяются с помощью конечного интегрального преобразования вида
T (р, t) = f T (x, x) r( x) dx,
(1)
где г(х) - весовая функция, зависящая от структуры математической модели объекта управления.
Распределение Т(х,1) заменяется «-мерным вектором
т (Ах, і ) = |т [А-,1) тп ((п+1Ах ’?
Соответственно управление и(х,7) представляется также вектором
и(Ах, 0 = 1щ [АХ>іип ^(П +21)АХ > і}}•
n dT (Ax, t) ,
Скорость изменения —і—— в общем случае
dt
можно записать dT (Ax, t)
dt
= F(T(Ax, t), «(Ax, t)),
(2)
а выходной сигнал
У (Ах, 0 = 2 (Т (Ах, t), «(Ах, ()), (3)
где В, Z_ некоторые нелинейные непрерывно дифференцируемые вектор-функции.
В качестве заданного стационарного распределения Т (х) принимается выражение вида
т ''А*)={т* (т) •■■■•т* ((п+тАх
Предполагается, что Т*(Ах) реализуется с помощью управляющего воздействия и*(Ах).
Для линеаризации (2, 3) относительно Т*(Ах), и*(Ах) используется разложение в ряд Тейлора
й АТ (Ах, t)
- = ААТ (Ах, і ) + ВАи(Ах, і ) + О, (4)
где О _ слагаемые второго и выше порядков малости, которые далее принимаются равными нулю,
дГ (Т(Ах, t), «(Ах, 0)
А = ■
В =
дТ (Ах, і ) дГ(Т(Ах, і), и(Ах, і))
Г,и* ’
Т *,и*
ді
дх2
V
ді дх2
дТ (0, і)
-- кТ(х, і) + / (и(х, і)),
дх
дТ (Ь, і)
дх
где
Я , а6 5
а = —, к =----
ср cpV
- к1Т(0, і) = z1, і > 0,
+ к2Т(Ь, і) = z2, і > 0,
Ї (и( х, і))
(9)
(10)
(11)
, Ї (и (х, і)) =
ср
ат(х0) а^
к, =---------, к2 =-------------------
1 Я 2 Я
ос(х=Ь)
ди(Ах, і)
- матрицы постоянных коэффициентов;
АТ (Ах, і) = Т* (Ах) - Т (Ах, і),
Аи(Ах,і) = и*(Ах) - и(Ах,і).
Коэффициенты матриц А и В зависят от объекта исследования, в частности, при формировании температурного поля длинного стержня используется уравнение теплопроводности (5) с граничными и начальным условиями (6-8)
дТ (х, і) д2Т (х, і) аъБ
ср — ------= Я ——-------— Т(х, і) + /(и(х, і)), (5)
zl = к1Т°^ ’, z2 = к2Т
Конечно-разностная аппроксимация по пространственной переменной уравнений (9-11) для шестигранного стержня с радиусом описанной окружности гс дает
^ = аи-Л-1 - а. Т+а- і+1Т+1 + Рн а и +%т ос, (12)
аі
Т(0) = Тос, Т0 = Т°с(х=0), Тп+1 = т°с(х=Ь\ і = 1,:.п,
где
Ї1 =
І11 = а10 + а12 + Ї1 , а10 = 2Яат<х='>01 2а1
Я
срк
, в=
срк
1
2Я + ат<х=)к ’ Я
81 т- , аі - аі --1 1 аі-+1 1 //> аі,і-1 ,2
cрV1 срк
а6 V Рв
где /(и(х, t)) =^гТ°с + —и(х, t), 0 < х < Ь, t > 0,
Я^^^М-ат(х=0)Т(0,^ = ат(х=)Г<х^\ t > 0, (6) дх
+ ат(х=1)Т(Ь,^ = ат(х=1 'Тф=\ t > 0, (7)
дх
Т (х, 0) = Т0С, 0 < х < Ь, (8)
где Я - коэффициент теплопроводности, Вт/(м-К); с _ удельная теплоемкость, Дж/(кг-К); р _ плотность, кг/м3; а6, ат _ коэффициенты теплоотдачи боковой и торцевых поверхностей, Вт/(м2-К); РН _ тепловые мощности нагревателей, Вт; 5, V _ площадь боковой поверхности стержня, м2, и объем, м3, в котором выделяется тепло нагревателей; и(х,/)=(0...1) _ управляющие воздействия на нагреватели; Т“ _ температура окружающей среды, К; Т _ температура, К; / _ время, с.
Система (5_7) может быть представлена в более удобной форме
дТ (х, t) д 2Т (х, 0
срк
■у У, =
1
ср^/.
і = 2п-1, а = а ,+ а ,+г , а ,=---------------,
. 51 п 1 ап,п ап,п-1 ап,п+1 ‘ п, ап,п-1 _ 1 2 ,
срк2
= 0, Уп =
2Яа х ’р2 2а 1
срк
02 =
1
1
2Я+а^к ’ 8 cрVn Или в форме (4) с матрицами вида
а11 а12 0 ... 0
0
А =
а21 а22 а23
В =
81 0 0 ..
0 ё2 0 -
а
п-1 п ,п
0 0
0
0 8п
Для определения размерности матриц необходимо найти собственные значения и собственные функции объекта управления из решения задачи Штурма_Лиувилля вида [3]
й ^Д2’Хх =-д2(р(р,х), -^(^,0) = 0,
ах
аф(р, ь)
ах
ах
+ к2ф(р, Ь) = 0.
сргс
Собственные функции для рассматриваемого объекта имеют вид [3]
9(Дп, х) = -1 С05(дпх)+
, п = 1, ж, (13)
где нормирующий коэффициент Еп с учетом (13) определяется выражением [3]
Е =
к2 Дп + к1 + _к_ + Ь
2Д д1+к2 2Д2 2
1+
кЦ
а собственные значения дп с учетом граничных условий (10, 11) находятся из характеристического уравнения [3]
ЫдЬ) = к + к2 д д2 - к1к2
Так как функция 1ё(дЬ) является периодической, то характеристическое уравнение имеет бесконечное число собственных значений. При возрастании числа гармоник (п^да) величина нормировочного коэффициента быстро сходится к своему пределу и при п>5 (рис. 1) можно использовать
предельное значение Е
Это позволяет ограничиться конечным числом гармоник, исходя из удовлетворительной аппроксимации Т*(х).
Пусть, например, заранее заданное распределение температуры по длине стержня имеет вид
Т '(х) =
Т *, 0 < х < хр
Т* + (Тг - ТХ)(х- х1)1(х2 - х1), х1 < х< х2, (14) Тг, х2 < х < Ь,
где Т, Тг _ температуры низко- и высокотемпературной зон; х1, х2 _ координаты начала переходной и высокотемпературной зон. Весовая функция
в (1) для данной задачи определяется структурой модели (5) и равна г(х)=1/а [4].
Результаты прямого и обратного преобразования (14) при использовании различного числа гармоник представлены на рис. 2. Расчет показывает, что при п=6_8 максимальная погрешность преобразования наблюдается на торцах стержня и не превышает 1 К, а градиент температуры в переходной зоне практически совпадает с заранее заданным. Повышение числа гармоник точность преобразования не увеличивает.
Для нахождения закона управления используется метод динамического программирования при квадратичном критерии качества вида
1 ч
I = - |(АТтVАТ + АитQАu)Л +
2 0
+ 2 АТ т(^)ЛАТ (^),
(15)
где 5, 0, Л _ положительно определенные симметричные матрицы весовых коэффициентов.
Оптимальное управление находится из решения уравнения Риккати
К^) + К^) А + АтК^) + К^^-1В тК(}) - Б = 0 с граничным условием
¥(АТ, О = 2 АТ т(0 К (^)АТ&)■
Решение дифференциального уравнения Рик-кати дает возможность определить оптимальное управление в виде
А,«(г, АТ) = Q-1Вт К ^ )АТ (^
Если а элементы матриц А, В, 5, 0 не за-
висят от времени, то матрица коэффициентов оптимального регулятора определяется из алгебраического уравнения Риккати [5]
КА + АтК + KBQ-1ВтК - Б = 0, а оптимальное управление рассчитывается по формуле
т,Кк
12 3 4 5 6 7
Номер секции
Рис. 2. Заданное и восстановленные распределения температур для различного числа гармоник. Обозначения: 1) Т*; 2) п=3; 3) п=7; 4) п=9
Аи(і, АТ) = д-1Вт КАТ (і) = РАТ (і).
Проверка предлагаемого подхода осуществлялась при единичных матрицах 0, 5, Л в пакете программ 8ішиііпк МаИаЬ 7.7 для шестигранного стального стержня длиною 42 см и радиусом описанной окружности 0,7 см. Фрагмент структурной схемы системы оптимального управления приведен на рис. 3.
В табл. 1 приведены результаты стабилизации температурного поля стержня для различных значений коэффициентов матриц весовых коэффициентов в критерии качества (15).
Таблица 1. Уставки регуляторов и показания температур при реализации заданного распределения температуры, К. Е - единичная матрица
Номер регулятора 1 2 3 4 5 6 7
Т 353,00 353,00 353,00 363,00 373,00 373,00 373,00
Т,(3=Е, 0=Е) 352,50 352,62 352,87 362,56 372,26 372,50 372,34
Т,($=Е, 0=0,1 Е) 352,84 352,88 352,96 362,86 372,76 372,84 372,79
Т,(3=Е, 0=0,01Е) 352,95 352,96 352,99 362,96 372,93 372,95 372,93
Результаты расчетов показывают, что оптимальное управление с единичными весовыми матрица-
АТ*Ц_ -----------------------------------------------------------------------------------------------------
Рис. 3. Фрагмент структурной схемы системы управления. Обозначения: Т* - заданное значение температуры; БО - блок ограничения; БУ - блок умножения; БВТ - блок вычисления температуры; а, д, уі - коэффициенты уравнений (12); р, - коэффициенты регуляторов
Рис. 4. Переходные процессы при отключении нагревателя центральной секции. ^^ - время выключения и включения нагревателя
ми 5 и 0 обеспечивает формирование заданного распределения температуры со средней ошибкой ~0,48 К. Уменьшение коэффициентов матрицы 0 на два порядка приводит к уменьшению средней ошибки регулирования до ~0,047 К.
В табл. 2 представлены распределения потребляемых мощностей нагревателей для трех случаев: базовое состояние (5=Е, 0=Е) (а), повышение уставки центральной секции на 5 К (Ь), отключение нагревателя центральной секции (с).
Таблица 2. Распределения потребляемой мощности нагревателей, Вт
Номер регулятора 1 2 3 4 5 6 7
а 1,972 1,478 0,578 1,739 2,901 2,026 2,629
Ь 1,972 1,467 0,145 2,753 2,468 2,014 2,629
с 1,972 1,480 1,346 0,000 3,669 2,027 2,629
Расчеты показывают, что в базовом состоянии наблюдается пониженное потребление тепловой энергии третьего нагревателя, расположенного перед переходной зоной. Это вызвано нагревом третьей секции от центральной. Причем, повышение уставки температуры центральной секции усиливает этот эффект (распределение Ь). Отключение нагревателя центральной секции приводит к росту потребляемой мощности соседних нагревателей (распределение с). Следует отметить, что рассмотренные ситуации практически не оказывают
влияния на распределение температур и мощностей нагревателей в низкотемпературной и высокотемпературной зонах.
Из результатов расчета изменений температуры при переходных процессах, вызванных кратковременным (1000 с) выключением нагревателя центральной секции стержня (рис. 4) следует, что, несмотря на полное отключение, в месте ее расположения температура остается высокой, благодаря теплопроводности стержня и энергетической подпитки из соседних секций. Их температуры поддерживаются системой управления на заданном уровне.
Полученные результаты на модельном объекте планируется использовать для стабилизации температурного поля многозонных термических установок при выращивании кристаллов.
Выводы
1. Методом динамического программирования с использованием квадратичного критерия качества на основе конечно-разностной аппроксимации модели распределенного объекта управления найдена структура оптимальных регуляторов.
2. Точность стабилизации заданного температурного поля, полученная на модели распределенного объекта управления, зависит от весовых коэффициентов критерия качества и может достигать 0,05 % от установившегося значения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Филиппов М.М., Бабушкин Ю.В., Грибенюков А.И., Гин-сар В.Е. Система управления многозонной термической установкой для выращивания кристаллов по методу Бриджмена // Известия Томского политехнического университета. - 2010. -Т. 316. - №5. - С. 146_151.
2. Марков А.В. Выращивание монокристаллов арсенида галлия с высоким структурным совершенством методом вертикально направленной кристаллизации // Известия вузов. Материалы электронной техники. - 2006. - № 6. - С. 16-19.
3. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1979. - 224 с.
4. Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами. - М.: Высшая школа, 2003. - 229 с.
5. Пантелеев А.В., Бортаковский А.С. Теория управления в примерах и задачах. - М.: Высшая школа, 2003. - 583 с.
Поступила 12.04.2011 г.
УДК 62-533.65+681.52
МОДАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРНЫМ ПОЛЕМ РАСПРЕДЕЛЕННОГО ОБЪЕКТА
М.М. Филиппов, А.И. Грибенюков, Ю.В. Бабушкин*, В.А. Кочегуров*
Институт мониторинга климатических и экологических систем СО РАН, г. Томск *Томский политехнический университет E-mail: [email protected]
Рассмотрена задача стабилизации температурного поля объекта с распределенными параметрами с помощью системы модального управления, включающей программируемый контроллер, который производит анализ гармоник и выработку управляющих воздействий. На примере длинного стержня, с встроенными в него нагревателями показано, что точность стабилизации температурного поля, достигаемая рассмотренным методом, соизмерима с точностью системы управления на основе ПИД-ре-гуляторов.
Ключевые слова:
Система с распределенными параметрами, модальное управление, стабилизация, температурное поле.
Key words:
Distributed parameters system, modal control, stabilization, thermal field.
В современной теории автоматического регулирования все большее внимание уделяется проблемам управления объектами с распределенными параметрами (ОРП). К настоящему времени получены теоретические результаты, позволяющие решать конкретные задачи оптимального управления в различных областях [1].
Интерес представляет использование разработанных теорий и для таких объектов, как многозонные термические установки для выращивания кристаллов [2], параметры которых распределены в пространстве. Однако, подбирать алгоритмы управления непосредственно на установке или ее модельном представлении не всегда возможно, поэтому в качестве модели объекта управления рассматривается упрощенный объект, например, стержень длиною Ь, характеризующийся одномерным распределением теплофизических свойств вдоль независимой пространственной переменной х и зависящим от времени распределением температуры Т(х,0 [3].
Целью работы является определение структуры и параметров регулятора для системы модального управления температурным полем стержня и сравнение возможностей стабилизации температурного поля с системой управления, включающей в контур управления независимые ПИД-регуляторы.
Модальное представление объекта управления в виде длинного стержня, математическая модель которого приведена в [3], записывается следующим образом
^Т±Ь£) = -(ад2п + к )ТП (Дп, t) +
Ш
+ЯуК (Дп, t) + кТ°с + К( Дп X (1)
Т (д„ ,0) = Т(дп), п = 1, ж,
_ Ь
где Т(д, ^ = |т(х, д, х)г(х)йх _ конечное ин-
0
тегральное преобразование температуры; (р(д,х) -ядро конечного интегрального преобразования, которое определяется в результате решения соответствующей задачи Штурма_Лиувилля; д_ параметр преобразования; г(х) _ весовая функция, зависящая от структуры математической модели объекта управления (для модели стержня г (x)=a~1); a, к, qv, R(дn) _ коэффициенты, учитывающие температуропроводность стержня, теплоотдачу с поверхности стержня в окружающую среду, тепло, выделяемое источниками тепловыделения и граничные условия; Т“, -п(дп,0 _ конечные интегральные преобразования температуры окружающей среды и управляющего воздействия.
