Алгоритм оценки мощностей нагревательных элементов в многозонной установке для выращивания кристаллов по Бриджмену Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.315.592+004.942

АЛГОРИТМ ОЦЕНКИ МОЩНОСТЕЙ НАГРЕВАТЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В МНОГОЗОННОЙ УСТАНОВКЕ ДЛЯ ВЫРАЩИВАНИЯ КРИСТАЛЛОВ ПО БРИДЖМЕНУ

М.М. Филиппов, Ю.В. Бабушкин, А.И. Грибенюков*, В.Е. Гинсар*

Томский политехнический университет *Институт мониторинга климатических и экологических систем СО РАН, г. Томск E-mail: [email protected]

Рассмотрена модель многозонной термической установки для выращивания кристаллов методом Бриджмена в вертикальном варианте с произвольным числом нагревательных элементов. Разработан алгоритм оценки мощностей нагревателей, формирующих априорно заданное распределение температуры в рабочем объеме. Алгоритм позволяет оперативно оценивать мощности как на этапе проектирования, так и во время эксплуатации термической установки.

Ключевые слова:

Многозонная термическая установка, метод Бриджмена, алгоритм.

Key words:

Multizone thermal device, Bridgman method, algorithm.

Одной из задач, возникающих при проектировании многозонных термических установок, в том числе установок для выращивания монокристаллов методом Бриджмена в вертикальном варианте, является расчет мощностей нагревательных элементов, позволяющих сформировать не только номинально необходимые термические условия для выращивания кристаллов, но и обеспечить возможность оптимизации режимов на всех этапах технологического процесса [1, 2]. Сложность задачи обусловлена тем, что гипотетически оптимальные условия, требуемые для роста монокристаллов (в частности, динамика осевого распределения температур Т(г) в рабочем объеме установки в течение технологического процесса) формируются с помощью Ы-го количества дискретных нагревательных модулей, термически связанных между собой через рабочий объем.

В качестве объекта исследования рассматривается термическая установка для выращивания монокристаллов ZnGeP2 методом Бриджмена. Установка представляет собой многозонную печь на основе планарных нагревательных модулей [3].

Рабочий объем установки представляет собой цилиндр, ограниченный в радиальном направлении внутренними поверхностями кольцевых нагревательных модулей (23 планарных элемента, соосно установленных друг относительно друга и разделенных теплоизолирующими прокладками). На рис. 1, а, показан продольный разрез установки с заполненным рабочим объемом. Осевое распределение температуры, номинально обеспечивающее условия для роста кристаллов ZnGeP2, приведено на рис. 1, б.

Управление температурным полем установки производится на основе измерений температуры термопарами, располагаемыми вблизи электрических нагревателей (регулирующие термопары). В качестве источников тепла используются секционные электрические нагреватели, изготовленные по оригинальной технологии в ИМКЭС СО РАН, г. Томск. Максимальные мощности нагревательных элементов приведены в [4].

Рис. 1. Разрез установки для выращивания кристаллов методом Бриджмена в вертикальном варианте с заполненным рабочим объемом (а). Обозначения: 1) воздух; 2) паровая фаза над расплавом кристаллизуемого вещества; 3) ампула; 4) тигель; 5) рабочее вещество; 6) теплоотвод; 7) тепловые шунты; 8) теплоизо-лятор; 9) подставка печи; 10) затравочный кристалл, Н1-Н30 и М1-М23 - нагревательные элементы и модули, И-23 - контрольные точки измерения температуры на оси установки. Осевое распределение температуры, номинально обеспечивающее условия выращивания монокристаллов ZnGeP-l (б)

Пусть для некоторого распределения мощностей нагревателей Рщ (¡=1,Ы, N - количество нагревательных элементов) известно начальное осевое распределение температуры в рабочем объеме установки Т0(г), которое в /-ой контрольной точке с координатой г имеет значение Т0/. Предположим, что по технологическим соображениям в рабочем объеме установки необходимо получить некоторое заранее заданное осевое распределение температур Т((г) с температурами Т. (/=1,М, М - количество точек измерения температуры) в тех же контрольных точках г. Требуется определить, при каком распределении мощностей нагревателей Рз-будет реализовано распределение Тз.

Пусть вариации 8Р] 0'=1,Ы) от начального распределения мощностей нагревателей вызывают изменение начального осевого распределения температуры до некоторого текущего Т(г) с значениями Т, измеряемыми в /-ых точках г.

Потребуем, чтобы функционал ¥ из суммы квадратов невязок текущего осевого распределения температуры, относительно заданного с весовыми коэффициентами V; достигал минимума:

F -£ w.<Т. - Т. )2

(1)

Полагая Т=Т(Р,,Рг,...,РЫ) и ограничиваясь первыми членами разложения Т в ряд Тэйлора относительно начального осевого распределения температуры Т0 , получим:

N дТ

т - т +У-^ SP.. ' 0 j=Î дР 1

(2)

дТ

N дТ

F -У w. 70. + У —SP. - Т.

! 0 р,Т) J 3

i = l I j = 1ÜPi

Условие минимума будет выполнено, если производная от правой части (3) по всем вариациям 8Р„ (и=1,Ы) будет равна нулю:

М ( N Л

дТ.

1=1 дР.

дТ.

дРп

- 0, n - l, N

или

yw. [-Т- <Т0. - Т. ) + дТ УГ SP. ti . дР * 3 дР j={ дР. 1

. -1 \ n ni-1 1

n J = 1 j

n - iN.

- O, (4)

Расписывая суммирование по индексу j, полу-

чим

M дТ дТ M дТ дТ

У w 1—- У w 1—'■------------

ti 'дР, дР, .=1 'дР2 дР

M дТ. дТ. M дТ. дТ.

У w.—- —- У w.

2^2

= дР, дР2 ~=1 дР2 дР2

M дТ дТ

... У w t----------------------

ti 'дР„ дР,

M дТ. дТ.

... У w.— ----------------------

ri дРм дР2

M дТ. дТ. M дТ. дТ. M дТ. дТ.

У w.—'■-------- У w.—'■------------ ... У w.—'■---------------

¿—I ' ЯР ЛО ¿—I ' ЯР ЛО ¿—I ' ЛО ЯР

Î-1 дР дPN =1

дР2 дРн

^Р,

SP2

SPN,

M дТ

У w<r31 -^дР

M дТ

У w (Тз 2 - 7‘») ^

M дТ

У w. ^ - То N ) -Т. '-1 дР .

где —- - частные производные от г-й температу-

ÖPj

ры по мощностиу-го нагревателя.

Подстановка (2) в (1) приводит функционал к виду:

( n Л2

, ^ min. (3)

v j-‘ /

или в матричной форме

AxSP=V, (5)

где A[wxw] - матрица, характеризующая интегральное влияние вариации мощностей нагревателей на температуры установки в измеряемых точках, 5Р[и] - вектор вариации мощностей нагревателей, V[n] - вектор, характеризующий отклонение заданного распределения температуры от начального.

На основании полученных соотношений алгоритм расчета распределений мощностей нагревательных элементов сводится к следующему:

• определяется требуемое условиями технологического процесса осевое распределение температур в рабочем объеме многозонной печи T3i, измеряемое в i-ых точках (/=1,M);

• с помощью математической модели (на этапе проектирования) либо на реальной установке находится начоаольное осевое распределение температур T0/ ( /=1,M) для некоторого известного распределения мощностей Poj(j=1,N) нагревателей;

• варьируя последовательно ¿р» 1...5 % от P0j (j=0 ,N) регистрируются вариации температур STj (/=1,M);

• рассчитываются коэффициенты влияния нагревателей на изменение температур

ST. ---- ---

—К (i = 1,M, j = 1, N);

8Pj

• на основании полученных данных и выбранных весовых коэффициентов рассчитывается матрица A и вектор V;

• путем решения (5) находится вектор вариаций SP;

• искомое распределение мощностей электрических нагревателей находится по формуле

Pçj = Poj +8Pj, j = 1N.

Экспериментальную оценку алгоритма планируется провести на многозонной печи при вводе в эксплуатацию. Проверка алгоритма, реализованного в

-1

Таблица 1. Распределение мощностей нагревательных элементов

Мощность, Вт Нагреватели

Н1 Н2 Н3 Н4 Н5 Н6 Н7 Н8 Н9

Poj 267,21 113,99 94,33 76,65 72,13 70,36 68,79 61,32 54,83

Pj 267,21 113,99 94,33 76,65 72,13 70,36 68,79 61,35 54,89

Н10 Н11 Н12 Н13 Н14 Н15 Н16 Н16 Н17

Poj 41,27 10,92 203,3 10,92 127,92 10,4 125,64 125,64 10,4

Pj 43,65 11,91 203,41 12,07 126,5 10,59 127,4 127,4 13,59

Н18 Н19 Н20 Н21 Н22 Н23 Н24 Н24 Н25

Poj 116,5 6,24 111,93 5,46 109,65 6,24 148,48 148,48 141,52

Pj 110,75 4,68 113,59 2,99 111,12 5,42 157,35 157,35 138,79

Н26 Н27 Н28 Н29 Н30 - - - -

Poj 193,9 192,6 230,67 175,68 432,89

Pj 193,97 192,56 230,66 175,68 432,89

Таблица 2. Осевое распределение температуры

Температура, К Контрольные точки

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8

T0i 1255,26 1282,15 1293,13 1302,76 1307,48 1308,63 1308,58 1308,16

Т 1257,26 1284,15 1295,13 1304,76 1309,48 1310,63 1310,58 1310,16

1257,27 1284,15 1295,13 1304,76 1309,48 1310,63 1310,58 1310,16

t9 t10 t11 t12 t13 t14 t15 t16

T0i 1308,48 1308 1307,59 1306,91 1305,95 1304,6 1302,35 1297,47

Тз 1310,48 1310 1309,59 1308,91 1307,95 1306,6 1304,35 1299,47

Тр 1310,48 1309,99 1309,59 1308,9 1307,94 1306,58 1304,32 1299,81

t17 t18 t19 t20 t21 t22 t23 -

Т0 i 1293,71 1287,41 1286,78 1286,65 1285,38 1277,74 1297,47

Тз 1295,71 1289,41 1288,78 1288,65 1287,38 1279,74 1299,47

Тр 1295,69 1289,41 1288,78 1288,61 1287,39 1279,75 1299,81

пакете МаНаЬ [5], производилась на математической модели многозонной термической установки, рис. 1, а, для M=23 и N=30. Начальное распределение тепловых мощностей электрических нагревательных элементов P0¡ и соответствующее ему распределение температуры т0; приведены в таблицах 1 и 2.

С помощью математической модели установки [4] найдем коэффициенты влияния нагревателей на изменение температур.

При м;=1 рассчитаем элементы матрицы А. Найдем распределение мощностей, необходимое для перехода от исходного профиля температуры к профилю с температурами, повышенными на 2°. Решая (5), найдем распределение мощностей для реализации нового распределения температуры. Для полученного распределения мощностей Pз¡

рассчитаем осевое распределение тр„ (табл. 1 и 2). Видно, что максимальное отклонение расчетного распределения температуры от заданного в контрольных точках не превышает 0,34°.

Выводы

1. Предложен алгоритм оценки мощностей нагревательных элементов многозонной термической установки для выращивания кристаллов методом Бриджмена в вертикальном варианте.

2. Алгоритм позволяет оперативно найти распределение тепловых мощностей нагревательных элементов для формирования заданного температурного распределения в рабочем объеме установки.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Kurz M., Muller G. Control of thermal conditions during crystal growth by inverse modeling // Journal of Crystal Growth. - 2000. -V. 208. - № 1. - P. 341-349.

2. Lin K., Boschert S., Dold P., Benz K.W, Kriessl O., Schmidt A., Si-ebert K.G., Dziuk G. Numerical methods for industrial vertical Bridgman growth of (Cd,Zn)Te // Journal of Crystal Growth. -2002. - V. 237-239. - № 39. - P. 1736-1740.

3. Пат. 1830132 СССР. МПК5 F27B 5/06. Трубчатая печь / В.Е. Гин-сар, В.А. Десятов. Заявлено 22.01.1991; Опубл. 23.07.1993, Бюл. № 27. - 8 с.: ил.

4. Филиппов М.М., Бабушкин Ю.В., Грибенюков А.И., Гин-сар В.Е. Оценка динамики температурного поля в рабочем объеме вертикальной установки Бриджмена при продольноосевом перемещении ростового контейнера в процессе выращивания кристаллов // Известия Томского политехнического университета. - 2009. - Т. 315. - № 2. - С. 104-109.

5. Официальный сайт Ма11аЪ [Электронный ресурс]. - режим доступа: http://www.mathworks.com/. - 07.09.2009.

Поступила 09.09.2009г.