CC BY
105
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2010. Вып. 2. С. 222-230
ФизикА
УДК 539.4.669.017
Термодинамический подход к проблеме накопления микроповреждений в нагруженных металлических материалах
О.А. Афанасьев, В.П. Баранов, Н.С. Крыкин
Аннотация. На основе кинетической термодинамики исследована эволюция плотности дефектов на микроскопическом уровне процесса разрушения нагруженных материалов. Установлены зависимости для энтальпийной и энтрапийной составляющих удельного изменения свободной энергии Гиббса от плотности дефектов. Получено трансцендентное уравнение, описывающее эволюцию плотности дефектов в процессе деформации материала. Определена критическая плотность субмикротрещин, достижение которой приводит к самоорганизованной перестройке материала на новый механизм диссипации энергии путем слияния субмикротрещин и образования дефектов мезоуровня.
Ключевые слова: кинетическая термодинамика, накопление повреждений, самоорганизация.
В настоящее время нагружаемый материал принято рассматривать как нелинейную динамическую систему, эволюционирующую под воздействием приложенных напряжений [1]. Методологическую основу изучения процессов деструкции в нагружаемом твердом теле на микро- и мезоуровнях составляют физическая мезомеханика и неравновесная термодинамика. Паниным В. Е., заложившим основы физической мезомеханики материалов, получен ряд фундаментальных результатов, которые полностью соответствуют современным представлениям теории динамических систем и основополагающим принципам синергетики [2]. На современном этапе развития методов и средств физической мезомеханики широко используются подходы нелинейной динамики (теории самоорганизации или синергетики) и фрактальной геометрии [3, 4]. В работах Гладышева Г. П. развит термодинамический подход, основанный на введении времени в термодинамику, что привело к созданию кинетической термодинамики, подходы которой оказались чрезвычайно плодотворными для описания эволюции квазизакрытых иерархических систем, в которых протекают квазиравновесные процессы термодинамической самоорганизации (самосборки). С подобными процессами приходится
сталкиваться при изучении эволюции дефектной структуры материала при различных видах нагружения. Согласно современным представлениям твердые материалы, находящиеся под нагрузкой, превышающей предел упругости, представляют собой многоуровневую иерархическую систему дефектов структуры, эволюция которой направлена на минимизацию внешнего воздействия на всех масштабных уровнях [5]. При переходе с одного масштабного уровня на другой дефектная структура проходит через состояния само-организованной критичности, которые характеризуются пространственновременной масштабной инвариантностью, приводящей к фрактальному пространственному и временному самоподобию на всех иерархических уровнях.
Процесс накопления повреждений сопровождается изменением во времени свободной энергии материала (функции Гиббса). Для удельной (отнесенной к единице объема) функции Гиббса используем кинетическое уравнение
до(ь) = дн (ь) - т ■ дб(ь), (1)
где ДН(Ь) и Д£(Ь) — соответственно изменение удельных энтальпии и энтропии, Т — абсолютная температура.
В уравнении (1) величина ДО определяет ту часть внутренней энергии, которую система отдает при переходе из одного состояния в другое, а Т ■ ДБ — часть внутренней энергии, которая остается в системе (связанную энергию). Энтальпийный фактор ДН характеризует увеличение внутренней энергии в процессе нагружения материала, а энтропийный фактор ДБ отражает стремление системы к беспорядку, который по мере накопления повреждений также возрастает.
Введение времени в термодинамику оказывается оправданным, если изучаемые системы и процессы близки к равновесию, так что функции состояния исследуемых систем в любой момент времени имеют реальный физический смысл. В этом случае дифференциалы указанных функций можно с приемлемым приближением считать полными. В уравнении (1) предполагается непрерывность изменения во времени функций состояния ДО, ДН и ДБ. Тогда для функции Гиббса при ДЬ ^ 0 имеем ДО(Ь + ДЬ) — ДО(Ь) = ДДО(Ь) ~ йДО(Ь). Это позволяет исследовать производную йДО(Ь)/йЬ, то есть скорость изменения степени завершенности процесса на определенном иерархическом уровне и, соответственно, переход системы в состояние неустойчивости, связанный с достижением предельной повреждаемости материала на данном уровне разрушения и дальнейшей перестройкой дефектной структуры материала.
Рассмотрим микроскопический уровень процесса накопления повреждений и установим зависимость изменения удельной энергии Гиббса от плотности дефектов, которые непрерывно возникают в процессе нагружения материала. Изменение удельной энтальпии для конденсированных сред при изобарно-изотермическом процессе соответствует изменению внутренней энергии системы, являющейся аддитивной функцией состояния. На микроуровне
величина ДН равна изменению удельной энергии микроструктуры, которое в силу аддитивности можно найти по формуле
п
Дит 'У ] рё,1 ■ и, (2)
г=1
где п — число типов дефектов микроструктуры, р^, и^ — плотность и энергия образования г-го типа дефекта.
В процессе нагружения в твердых телах возникают локальные нарушения трансляционной инвариантности кристаллической структуры, которые проявляются в виде дефектов различного типа: вакансий и межузельных атомов, атом-вакансионных нанокластеров различных конфигураций, дислокаций, дисклинаций, двойников, мезо- и макрополос локализованной деформации, трещин и др. На ранних стадиях деформации, соответствующих процессам деструкции материала на микроуровне, максимальную концентрацию имеют несплошности субмикроскопического размера. Установлено [6, 7], что в различных металлических материалах (сталях, титановых сплавах, чистых поликристаллических металлах — алюминии, никеле, серебре и др.) наибольшую плотность имеют повреждения в виде субмикротрещин, размер которых значительно меньше размера зерна (~ 0,1 мкм). Тогда изменение удельной энтальпии можно представить в виде
ДН(Ь) = рвпЬ(Ь) ■ ивиЬ, (3)
где р8иь(Ь), ииь — плотность и энергия образования субмикротрещин.
Изменение удельной энтропии микроструктуры найдем в соответствии со статистикой Больцмана, что оправдано, так как уже на ранних стадиях деформации в различных материалах наблюдается высокая плотность субмикротрещин. Согласно рентгеновским данным и данным сканирующей микроскопии в приповерхностных слоях деформированных образцов алюминия, никеля, а также различных марок сталей плотность субмикротрещин составляет 1010 — 1012 см_3 [6]. В этом случае можно использовать энтропию смешения, которая связана с плотностью дефектов следующей формулой [8]
ДБ(Ь) = к ■ р8иь(Ь) ■ {1 — 1п[р8иь(Ь)/па]}, (4)
где к — постоянная Больцмана, па — число атомов в области усреднения.
Из последнего соотношения найдем скорость производства энтропии внутри системы
йДБ/йЬ = к ■ 1п(па/рзиь) ■ (йрзиь/ЛЬ). (5)
Если принять, что с увеличением времени нагружения материала скорость изменения плотности субмикротрещин не возрастает, то уравнение (5) отвечает теореме Гленсдорфа-Пригожина [3] о производстве энтропии в открытой системе, согласно которой состояние открытой системы всегда изменяется в направлении уменьшения производства энтропии, пока не бу-
дет достигнуто состояние текущего равновесия, при котором производство энтропии минимально.
Из формул (3) и (4) получим зависимость изменения удельной энергии Гиббса от плотности потока субмикротрещин:
AG(t) = psub{t) • usub k • T • psub{t) • {1 ln[psub(t')/na\} ■ (6)
Тогда о степени завершенности процесса накопления повреждений на микроуровне можно судить по минимуму производной
dAG(t)/dt — [usub + k • T • ln(psub/na)\ • (dpsub/dt) ■ (7')
Для практического использования формул (3)—(7) необходимо определить эволюцию плотности субмикротрещин в процессе деформации материала. В работе [8] для замедленного разрушения высокопрочных материалов предложена методика решения этой задачи, основанная на использовании начального участка машинной кривой релаксации приложенного к образцу напряжения и предположении, что этот участок релаксационной кривой во временном интервале [0, t*\ (t* — точка изменения наклона кривой) соответствует процессу накопления повреждений на микроуровне.
Изменение во времени свободной энергии нагруженного материала происходит вследствие затраченной на образование дефектов текущей работы пластической деформации. Удельную работу пластической деформации найдем по формуле
Api(t) — Aar(t) • e(t). (8)
Здесь Aar(t), e(t) - релаксация напряжения и текущая деформация (t е
е [0,t*]).
Зависимость напряжения от деформации в условиях релаксации имеет вид [9]
a(t) — ao - [E - AE(t)\ • Yp • z(t), (9)
где ao и a(t) — приложенное и текущее напряжение, E и AE(t) — модуль упругости и его текущий дефект, yp — относительная податливость образца. Дефект модуля при расчетах можно не учитывать, так как для t е [0, t*\ AE ^ E. Тогда из уравнений (8) и (9) получим кинетическое уравнение для удельной работы пластической деформации, затраченной на образование дефектов:
Api(t) — Aa2(t)/(Yp • E)■ (10)
Из равенства формул (6) и (10) найдем трансцендентное уравнение эволюции плотности субмикротрещин:
(UT -1 + ^. (П)
Скорость изменения потока дефектов определим из уравнения (11) дифференцированием неявно заданной функции рзиь^)'-= Л(А°2)/Л1
Yp • k • T • E • [Usub/(k • T) + ln(psub/ паУ\
Подставляя последнее выражение в формулу (7), установим зависимость скорости изменения функции Гиббса от релаксации напряжений и ее скорости в виде
dAG 2 • Aar dAar (
dt yp • E dt ,
откуда следует, что при At ^ 0 отношение приращения функции Гиббса к приращению квадрата релаксации напряжений есть величина постоянная, равная
dAG
ЖО? — Yp •E, (13)
Соотношения (12), (13) позволяют установить скорость изменения свободной энергии образца в процессе его нагружения по результатам испыта-
ний на релаксацию напряжений.
Аппроксимируем машинную кривую релаксации напряжений в интервале [0, t*] уравнением
ar(t) — a0 • [1 — exp(-a • t)\, (14)
в котором коэффициент а определяется из условия a(t*) — a*: а — (—1/t*) • ln(1 — a*/a0).
Для плотности субмикротрещин в критической точке t* из формул (11) и (14) имеем трансцендентную зависимость аррениусовского типа
Psub — Па • exP
где
-( ft - 4- -1
P*ub
(15)
в и8пЬ в [о0 • -
Р,„ь- риV ), А- ■ 1Ъ- 1н • к • т • Е ■
При достижении концентрацией субмикротрещин критического значения р*иЬ дефектная структура материала в локальных областях переходит в неравновесное состояние, а процесс разрушения - к промежуточной между микро- и мезоуровнями стадии предельной поврежденности. На этой стадии происходит самоорганизованная перестройка материала на новый механизм диссипации энергии путем слияния субмикротрещин, вследствие чего возникает геометрический фазовый переход к образованию дефектов мезоуровня — микротрещин.
Для проведения численного эксперимента определим энергию пзиь на основе дискретно-континуальной модели заблокированного дислокационного скопления (модели заторможенного сдвига), в которой первые две ведущие дислокации описываются дискретно, а оставшаяся часть скопления —
континуально. Из этой модели следует, что зарождение субмикротрещины обусловлено потерей устойчивости дислокационного скопления за счет слияния его ведущих дислокаций с образованием в голове скопления зародыша разрушения в виде сверхдислокации мощности 2 • Ь (Ь — вектор Бюргерса). Последний, едва возникнув, будет самопроизвольно расти за счет поглощения до полного исчерпания дислокаций скопления. В результате образуется неспособная к залечиванию субмикротрещина протяженностью 0, 5 • п2 • Ь и шириной п • Ь (п — мощность скопления). Как показано в работе [10], энергия пзиь, равная силе взаимодействия между ведущими дислокациями скопления, умноженной на расстояние между ними, определяется по формуле
Пиъ — В • Ь2 • Ь • [1 - (Н/Ь)2], (16)
где В — О/[2 • п • (1 — V)], О — модуль сдвига; V — коэффициент Пуассона; Ь, Н — расстояние между лидирующими дислокациями и протяженность их ядер.
Проведем расчеты для среднелегированной конструкционной стали 30ХГСА с механическими свойствами: Е — 2,1 • 105 МПа, О — 0, 79 • 105 МПа, ов — 1450 МПа, а0,2 — 1270 МПа, 65а — 7%, ф — 19%.
Примем следующие значения параметров: V — 0, 28; Т — 293° К; ао — — 0, 7 • а0,2 — 889 МПа; а* — а(Ь* — 6, 5 мин) — 883 МПа; Ь — 2, 88 • 10-8 см; уп ~ 1; Н — 1, 2 • Ь; Ь — 5 • Ь; па — 4, 2 • 1022 см-3. Из формулы (16) следует, что требуемая для образования одной субмикротрещины энергия будет равна ивиЪ 1, 93 • 10 18 Дж. При мощности скопления п — 30 протяженность и ширина дефекта составят: 1зиЪ 3 • 10 см, НguЪ 0, 87 • 10-6 см.
Численное решение трансцендентного уравнения (15) итерационным методом дает следующее значение для критической плотности субмикротрещин: Р*иъ — 9, 3 • 1013 см-3. При такой плотности дефектов критическое изменение удельной энтальпии (критическое изменение удельной энергии микроструктуры), как следует из формулы (3), будет равно АН * — АН (Ь*) — р*иъ • изиъ — 0,18 • 10-3 Дж/см3. Удельные изменения энтропии и свободной энергии Гиббса в критической точке, согласно формулам (4) и (1), составят: А5* — А5(Ь*) — 0,27 • 10-7 Дж/(°Ксм3), АО* — АО(Ь*) — 0,172 • 10-3 Дж/см3.Отсюда следует, что основной вклад в изменение свободной энергии Гиббса в критической точке вносит энтальпийный фактор.
Описание стадии предельной поврежденности материала на микроуровне и моделирование процесса зарождения микротрещин может быть рассмотрено в рамках теории перколяции и фрактального анализа. Модели перко-ляции, как и синергетика, анализируют достижение критических условий, связанных с фазовыми переходами, и основаны на том, что вблизи точек неустойчивости (бифуркации) системы механические свойства материала обладают свойствами автомодельности и универсальности. В окрестности точки бифуркации выбранную локальную область, поврежденную субмикротрещинами, можно рассматривать как фрактальную микроструктуру, так как согласно основному принципу фрактального анализа микроструктур
материалов, любая структура, содержащая достаточно большое множество элементов, представляет собой мультифрактал, составленный из конечного числа вложенных друг в друга самоподобных структур. Согласно теореме Рамсея, этот мультифрактал обязательно содержит высокоупорядоченную структуру.
Основу для создания перколяционной модели образования микротрещин, которые являются естественными фрактальными кластерами, составляют: порог перколяции (критическая плотность субмикротрещин р*иЬ); шаг перколяции (критическое расстояние между дефектами, приводящее к их слиянию); функция распределения дефектов в рассматриваемой локальной области. В случае равномерного распределения линейный размер кластера, образовавшегося в результате перколяции субмикротрещин, можно определить по формуле [8]
1ы ~ {п*3иь)вї • (18'иЬ + 5р), (17)
где п1иЬ, Іи — число и средний линейный размер субмикротрещин, зародившихся к моменту времени Ь* в области усреднения (масса фрактала); вf = 1)Л^ — критический показатель мультифрактала (с^ — фрактальная размерность дефектной микроструктуры), 5р — шаг перколяции.
Критический показатель вf обладает свойствами универсальности и самоподобия. Универсальность означает, что этот показатель определяется лишь размерностью пространства, а самоподобие — возможность характеризовать свойства упорядоченной структуры фрактальной размерностью. По значению этого показателя можно судить о степени зигзагообразности и разветвленности микротрещины. Значение фрактальной размерности микроструктуры df может быть установлено по результатам компьютерного моделирования процесса перколяции и дальнейшего фрактального анализа образовавшегося перколяционного кластера. Эти исследования могут составить основу для синергетической модели образования дефектов мезоуровня. Построение такой модели позволит связать фрактальную размерность микроструктуры с инвариантным комплексом, включающим параметр порядка в точке бифуркации (например, критическое изменение удельной энергии микроструктуры) и основные структурные и механические характеристики материала, и прогнозировать для широкого класса материалов условия перехода процесса разрушения на мезоуровень, который является предвестником необратимого разрушения.
Список литературы
1. Макаров П.В. Нагружаемый материал как нелинейная динамическая система.
Проблемы моделирования // Физ. мезомех. 2005. Т.8, №6. С.39-56.
2. Панин В.Е. Физические основы мезомеханики среды со структурой // Изв.
вузов. Физика. 1992. Т.35, №4. С.15-18.
3. Иванова В.С. Синергетика и фракталы в материаловедении. М.: Наука. 1994.
383 с.
4. Иванова В.С. Закономерности упорядоченной самоорганизации // Прикладная синергетика, фракталы и компьютерное моделирование структур. Томск: ТГУ, 2002. С.222-237.
5. Гладышев Г.П. Кинетическая термодинамика как физико-химическая основа получения материалов в условиях самосборки // Металловедение и термическая обработка металлов. 2006. №9. С.8-12.
6. Иванова В.С. Разрушение металлов. М.: Металлургия. 1979. 168 с.
7. Чуканов А.Н. Физико-механические закономерности формирования предельного состояния и развития локального разрушения в металлических материалах: дисс... .докт. техн. наук. Тула: ТулГУ, 2001. 381 с.
8. Баранов В.П., Сергеев Н.Н. Фрактальная кинетика накопления повреждаемости на микроуровне в процессе замедленного разрушения высокопрочных сталей // Изв. ТулГУ. Сер. Строительные материалы, конструкции и сооружения. 2005. №.8. С.3-9.
9. Лепин Г.Ф. Ползучесть металлов и критерии жаропрочности. М.: Металлургия, 1976. 344 с.
10. Баранов В.П. Прогнозирование длительности зарождения субмикронесплош-ностей в высокопрочных сталях // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т.9, вып.3. С.21-29.
Афанасьев Олег Александрович (leader-express@tula.net), специалист, ООО Компания «Лидер - экспресс», Тула.
Баранов Виктор Павлович (barvik1955@yandex.ru), д.т.н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Крыкин Никита Сергеевич (krykin@metamorph-is.ru), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
The thermodynamic approach to a problem of microcracks accumulation in stressed metal solids
O.A. Afanasiev, V.P. Baranov, N.S. Krykin
Abstract. The defect density evolution at a microscopic level of stressed solids destruction process has been investigated on the basis of kinetic and thermodynamic model. Relations between the enthalpy and entropy contributions of the standart Gibbs free energy change and defect density have been set. The transcendental equation describing the defect density evolution in the course of material deformation has been received. The critical density of submicrocracks which achievement leads to self-organized reconstruction of material to the new
energy dissipation mechanism by means of submicrocracks accumulation and mesolevel defect formation has been defined.
Keywords: kinetic and thermodynamic model, microcracks accumulation, self-organization.
Afanasiev Oleg (leader-express@tula.net), specialist, Leader express company, Tula.
Baranov Viktor (barvik1955@yandex.ru), doctor of technical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Krykin Nikita (krykin@metamorph-is.ru), postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Поступила 05.06.2010
