CC BY
80
УДК 539.374
Неравновесные процессы в конденсированных средах. Часть 2. Структурная неустойчивость, инициированная ударным нагружением
Т.А. Хантулева, Ю.И. Мещеряков1
Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, 199034, Россия 1 Институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург, 199178, Россия
В опубликованной ранее первой части работы для описания экспериментальных результатов по ударному нагружению твердотельных материалов на основе нелокальной теории неравновесных процессов переноса построена нелокальная математическая модель упругопластической волны, которая позволяет учесть инерционные свойства среды, изменение ее структуры и механических свойств при ударном нагружении. В настоящей работе показано, что процесс энергообмена между масштабными уровнями динамического деформирования определяется соотношением между экспериментально измеримыми в реальном времени величинами: вариацией массовой скорости на мезоуровне и дефектом массовой скорости как результата потери доли энергии, затрачиваемой на структурообразование. Определен внутренний критерий перехода динамически деформируемого материала в структурно-неустойчивое состояние.
Ключевые слова: макро-мезо энергообмен, вариация массовой скорости, дефект скорости, структурная неустойчивость
Nonequilibrium processes in condensed media. Part 2. Structural instability
induced by shock loading
T.A. Khantuleva and Yu.I. Meshcheryakov1
St. Petersburg State University, St. Petersburg, 199034, Russia 1 Institute of Problems of Mechanical Engineering RAS, St. Petersburg, 199178, Russia
In the first part of the work, we described our concept of shock wave processes, which is based on nonlocal nonequilibrium transport theory, and associated mathematical elastoplastic wave model that allows for inertial properties, structural changes, and variation in mechanical properties of solid-state materials under shock loading. In the second part of the work, it is demonstrated that the energy exchange between the scales of dynamic deformation is defined by the relation between the characteristics measurable in real time: the mesoscale mass velocity variation and the mass velocity defect due to loss of the energy expended in structure formation. An internal criterion is found for the transition of a dynamically deformed material to structural instability.
Keywords: macroscale-mesoscale energy exchange, mass velocity variation, velocity defect, structural instability
1. Введение
В работе [1] представлены результаты экспериментальных исследований по динамическому нагружению твердых материалов, которые свидетельствуют о многомасштабных процессах обмена количеством движения (импульсом) и энергией, сопровождающих волновой перенос импульса. Показано, что при выполнении определенных условий нагружения внутри волнового фронта генерируются пульсации массовой скорости, а за фронтом могут оставаться «вмороженные» в среду мезоско-пические структуры, наблюдаемые в мишенях при структурных исследованиях [2, 3]. Взаимная связь меж-
ду этими явлениями, установленная в экспериментах, указывает на возникновение эффектов самоорганизации структуры. Поскольку для описания таких многомасштабных процессов методы механики сплошной среды неприменимы, в настоящей работе был использован новый подход, разработанный на основе нелокальной теории неравновесных процессов переноса [4]. В рамках этого подхода построена динамическая модель переноса импульса, которая описывает наиболее характерные черты упругопластического поведения материалов при ударном нагружении: а) формирование двуволновой формы упругопластической волны, б) выделение и ре-
© Хантулева Т. А., Мещеряков Ю.И., 2015
лаксация упругого предвестника, в) гидродинамическое затухание, г) эволюция пластического фронта в процессе распространения волны по материалу. Базирующаяся на результатах неравновесной статистической механики нелокальная модель с памятью адекватно описывает весь комплекс экспериментально наблюдаемых закономерностей при распространении нестационарной упругопластической волны. Сравнение с экспериментальными результатами подтверждает, что принятые в рамках квазистатических представлений предположения о бесконечной скорости распространения возмущений, когда силы и сопряженные им потоки одновременны, о разделении деформаций и напряжений на упругие и пластические части и об отсутствии влияния скорости деформации на соотношение между напряжением и деформацией [5-7] непригодны для динамических процессов. В литературе эти проблемы уже давно поднимались [8, 9], однако оформить представления о пластическом фронте как фронте релаксации или инерции среды в единую теоретическую модель удалось только на основе нелокальной теории переноса.
В настоящей работе решаются вопросы, связанные с сопровождающими распространение упругопласти-ческой волны процессами энергообмена и самоорганизации новых структур за фронтом. Описание этих процессов с единой позиции потребовало отказаться от классических определений энергии и, в частности, разделения ее на кинетическую и внутреннюю, поскольку обе компоненты энергии перестают носить потенциальный характер и приобретают смысл пространственно-временных корреляций скорости среды. В условиях запаздывающих реакций на внешнее воздействие при волновом переносе, когда вместо диссипации механической энергии в тепло возникает процесс самоорганизации на промежуточном масштабном уровне, термодинамические величины и в первую очередь производство энтропии также требуют переопределения. Как будет показано ниже, это приводит к возможности отрицательных значений обобщенного производства энтропии при самоорганизации системы. Как в турбулентном потоке жидкости, в структурно-неустойчивом состоянии твердого тела образуются вихре-волновые структуры и понижается уровень производства энтропии. Получен критерий перехода материала в структурно-неустойчивое состояние, который реализуется при катастрофическом увеличении скорости роста дисперсии массовой скорости в волне нагрузки и, соответственно, увеличении скорости энергообмена макро-мезо.
2. Эволюция нестационарного волнового фронта и производство энтропии в упругопластической волне
Координатная зависимость параметров т(х), 6(х) нелокальной модели нестационарной упругопластической
волны [1] определяет изменение формы волнового фронта при ее распространении. Возникает вопрос, в каком направлении идут эти изменения? Из неравновесной термодинамики известно, что выведенная из равновесного состояния система релаксирует сначала к некоторому квазистационарному состоянию, которое, согласно теореме Пригожина, характеризуется минимальным производством энтропии и определяет направление эволюции системы, и только много позже система приходит к равновесию [10]. Это значит, что в любой открытой системе степени свободы, которые не поддерживаются граничными условиями, наложенными на систему, релаксируют в направлении минимизации производства энтропии. Таким образом, стремление системы минимизировать свои необратимые потери — производство энтропии — можно принять за внутреннюю цель неравновесной системы. С точки зрения теории управления наличие целевой функции позволяет сформулировать задачу управления, в рамках которой алгоритм изменения управляющих параметров системы обеспечивает движение системы в направлении достижения цели [11]. В случае нестационарной волны в качестве управляющих параметров выбираются параметры нелокальной модели т, 6. Целью этого внутреннего управления является минимизация скорости интегрального производства энтропии внутри волны в процессе ее распространения в среде.
Определим скорость изменения энтропии вдоль оси x на основе термодинамического тождества [10], которое не привязано к равновесному состоянию
T^ = (1)
dx dx dx р
где рСП — продольная компонента тензора напряжений [1]. Принято считать, что изменение энтропии обусловлено необратимыми потерями в процессе взаимного преобразования работы сил деформирования и внутренней энергии. В общем случае выделить необратимые потери механической энергии в ходе процесса невозможно, поэтому традиционное определение производства энтропии теряет смысл. Определить, какие процессы произошли внутри волнового фронта, можно только за волной после его прохождения. Поэтому термодинамическое соотношение (1) следует проинтегрировать по всему фронту волны, перейдя предварительно к волновым переменным. Не разделяя заранее вклады обратимых и необратимых процессов, как уже отмечалось выше, для автомодельного решения получаем
AE - TAS = Jdc|f П(С, I; т, 6). (2)
0
Правая часть выражения (2) представляет собой интеграл от произведения термодинамической силы на сопряженный поток. В термодинамике это формально соответствует определению интегрального производства энтропии внутри волны. При этом если в правой части
невозможно выделить обратимые и необратимые части потока, то и в левой части выделить необратимое изменение энтропии нельзя. Фактически левая часть соотношения (2) представляет собой изменение свободной энергии за фронтом волны: ДЕ - Т АS = ДТ. Определим обобщенное производство энтропии в волне через работу сил деформирования согласно (2) следующим образом:
ДТ = ст(£) =
=к| к ехр 1* (3)
о дС 0 { т (5) { ЭС
Для упругой волны на начальной стадии (т ^ 1) выражение (3) обращается в нуль, что означает обратимость процесса распространения волны и отсутствие его влияния на свойства среды: .дv
ДТ = а© = | ёСх
о дС о
хехр ^С-?-^
дv 1 лГ&> _ 477^1 ¿С^ v = 0.
Т (5)1
В гидродинамическом пределе, когда эффектами памяти можно пренебречь (т ^ 0), выражение (3) представляет собой интегральное производство энтропии, отвечающее законам линейной термодинамики необратимых процессов переноса и принятое в механике сплошной среды [10]:
1 д7> ™
ДТ = а(5) = 1 ^ I <х
о о
х ехр<
п(С-С-9(5))2 т2(5)
дv 1 , „ ( дv Л
ас
д^'т^о о
дС
> о. (4)
Выражение (4) учитывает только диссипативные потери механической энергии волны. Однако для динамических процессов обнаружены потери механической энергии, которые не связаны с диссипацией [2, 3, 12]. Для малых времен влияние вязкости и теплопроводности обычно пренебрежимо мало, а потери механической энергии обусловлены переходом ее не на микроскопический уровень, где возможен диффузионный перенос импульса и энергии, а на некоторый промежуточный мезоскопический уровень, где формируются новые внутренние структуры среды [13, 14]. В отличие от квазистатики, в волновых процессах переноса с учетом запаздывания по фазе термодинамические силы и сопряженные им потоки могут быть разнонаправленными, что может приводить к отрицательному обобщенному производству энтропии в неравновесной системе. В переходном режиме нагружения, реализуемом при коротких импульсах нагрузки, когда есть перенос массы, а диссипация энергии еще не началась, возможны процессы самоорганизации новых динамических структур. Наблюдаемое в реальном времени увеличение дисперсии
скорости среды свидетельствует о генерации вихре-вол-новых пульсаций массовой скорости в волне, которые могут быть как обратимыми, так и необратимыми. В последнем случае образование новой внутренней структуры за волной может приводить к отрицательным значениям интегрального производства энтропии, понижающим уровень энтропии в открытой системе вдали от термодинамического равновесия. Это также соответствует потере свободной энергии среды за волной ДТ < 0 за счет образования новых связей. В свою очередь, новая структура среды после прохождения нестационарной волны меняет макроскопические свойства среды. Таким образом, выражение (3) можно принять за обобщенное производство энтропии, которое объединяет все возможные ситуации.
3. Импульсы конечной длительности
Для определения характера протекающего процесса по знаку обобщенного интегрального производства энтропии надо описать весь процесс нагружения и разгрузки, в ходе которого производство энтропии сначала повышается, затем уменьшается, а за фронтом остается постоянным. Результат вычисления обобщенного производства энтропии за волной должен показать, какие необратимые изменения произошли в среде внутри уп-ругопластической волны на заданном расстоянии от поверхности удара. Поэтому надо рассматривать не удар по полупространству, а соударение тел конечного размера, при котором в материале распространяется импульс конечной длительности. Поскольку все ударники имеют конечные размеры, то и создаваемые ими импульсы будут конечной длительности. Это значит, что помимо процесса нагружения, есть процесс разгрузки, который порождает задний фронт волны. Особенностью высокоскоростного нагружения твердых тел является образование плато импульса между передними и задними фронтами. Природа его заключается в инерции ударника, действие которой продолжается после того, как завершилась релаксация сдвиговых степеней свободы на фоне замороженной релаксации объемных степеней свободы.
Рассмотрим подробнее, как инициируются импульсы конечной длительности. При взаимодействии ударника с мишенью от поверхности удара в противоположные стороны распространяются две волны. Волна в ударнике отражается от его задней поверхности и снова возвращается в мишень. Известно, что при упругом отражении напряжение меняет свой знак. Однако за время процесса сдвиговой релаксации в волне выделяется и начинает релаксировать упругий предвестник. Перевернутый, он идет вслед за фронтом в мишени в виде волны разгрузки с той же скоростью звука в продольной волне, что и передний фронт, отставая от него на время, равное удвоенной толщине ударника, деленной на скорость зву-
ка в продольной волне. В результате образуется задний фронт, состоящий из предвестника, который вычитается из массовой скорости на плато импульса сжатия, и пластической части заднего фронта как следствие релаксации материала при разгрузке. При разгрузке пластическая часть заднего фронта начинается сразу же за упругим предвестником и заканчивается после завершения релаксации сдвиговых степеней свободы. Такая модель принципиально отличается от классической упруго-пластической модели [5-7], в которой упругий предвестник разгрузки удваивается, чтобы сначала компенсировать силы сжатия, а уже после этого разгрузить среду до упругого предела. Различие объясняется тем, что в отличие от квазистатики, где деформации и напряжения относятся к одному моменту времени, а скорость распространения возмущений бесконечна, в динамических процессах инерция играет очень важную роль. В квазистатическом представлении считается, что на плато тоже действуют силы сжатия, которые до начала разгрузки надо компенсировать. В модели нестационарной волны, построенной в данной работе, на плато силы сжатия не действуют, поскольку оно получается в результате инерции ударника. Заметим, что в пользу этой концепции говорят экспериментальные данные по ударному нагружению различных материалов, которые свидетельствуют о том, что удвоения упругого предвестника на заднем фронте в действительности никогда не наблюдается. В общем случае задний фронт разгрузки должен отличаться от переднего только за счет релаксации материала ударника.
На рис. 1 представлены временны е профили массовой скорости для разных времен релаксации сдвиговых напряжений. Показано, что с ростом параметра запаздывания плато импульса сокращается по длительности и может совсем исчезнуть (так называемое «гидродинамическое» затухание).
4. Аномальная потеря амплитуды импульса при распространении волны (дефект скорости)
Как показано в [1], в экспериментах по ударному нагружению твердых материалов выявлена аномальная потеря амплитуды пластической волны, которая не может быть объяснена только преобразованием механической энергии в тепло (диссипацией). При нагружении коротким импульсом на небольших расстояниях от поверхности удара медленные диффузионные механизмы переноса количества движения и энергии еще не успевают развиться. Именно поэтому в ударно-волновых процессах пренебрегают эффектами теплопроводности. Наблюдаемые потери импульса при распространении можно объяснить только процессами переноса количества движения с макроскопического уровня на некоторый промежуточный мезоскопический уровень, на котором оставшаяся в среде энергия будет затрачиваться
Рис. 1. Изменение формы профиля конечной длительности при фиксированном значении т с ростом параметра запаздывания 9 = 10 (1), 15 (2), 20 (3), 25 (4)
на образование новых внутренних структур, наблюдаемых в мишенях после прохождения нестационарной волны [2, 3].
В случае автомодельного решения при е/т^ 0 уменьшение амплитуды волны на плато отсутствует. В экспериментах такая ситуация наблюдается при достаточно малых скоростях удара, когда материал еще не перешел в структурно-неустойчивое состояние и потери импульса малы, хотя разброс по этим данным достаточно велик. Однако с ростом скорости деформации амплитуда волны начинает заметно снижаться (см. [1], рис. 7 и 8). Чтобы описать этот эффект и выяснить его природу, учтем в уравнении переноса импульса из системы (8) из [1] влияние поправки порядка е/т << 1, которая как раз отвечает за потери импульса при распространении волны:
ш
С, С; т)
4 0. (5)
т 0 ^
Эу е Эу
В рамках решения в первой итерации под знаком интеграла стоят производные начального профиля скорости, который не зависит от продольной координаты. Это позволяет пренебречь вторым членом в квадратных скобках под знаком интеграла. Учет последнего члена в (5) приводит к нарушению линейной связи между напряжением и скоростью у Ф П.
Принимая во внимание реальное направление распространения импульса, можно приближенно оценить среднюю потерю импульса Ду в мишени толщиной Ь за счет поправки порядка е/т << 1 к автомодельному решению у0, определяемому выражением (12) из [1], в явном виде:
е ^ дП ^ Ду = у - - у =е I ас« ь I (П ^) - п (0)Х. (6)
т 0 ^ 0
Здесь у — решение второго уравнения системы (8) из [1]. Величина коэффициента Ь зависит от скорости потери импульса волной на данной толщине мишени в процессе энергообмена макро-мезо. Эта потеря обус-
Рис. 2. Зависимость дефекта скорости Ди, вариации скорости D и откольной прочности Ж от скорости ударника для меди М3
ловлена обменными процессами между макроскопическим и мезоскопическим масштабными уровнями [2, 3]. Экспериментальные данные говорят о том, что, начиная с некоторой критической скорости удара, потеря импульса в волне начинает быстро расти. На рис. 2 начало резкого нарастания дефекта скорости на плато импульса соответствует скорости ударника 310 м/с. При этом в мишени наблюдается появление мезоскопических структур, вихревой характер которых указывает на процесс, аналогичный турбулентному переходу в гидродинамике. Вид профилей скорости с учетом дефекта скорости при разных скоростях энергообмена Ь в сравнении с экспериментальным профилем показан на рис. 3.
Следует отметить, что, несмотря на экспериментально выявленный факт роста дефекта скорости со скоростью удара, закономерности поведения дефекта скорости в процессе распространения волны неясны. Проблема заключается в том, что одновременная регистрация профилей массовой скорости в одной мишени представляет значительную экспериментальную сложность. Остается возможность регистрации профилей при разных толщинах мишеней в серии опытов с приблизительно одинаковыми скоростями ударника. При этом возникает
Рис. 3. Сравнение экспериментального профиля (точечная кривая) при скорости ударника 369 м/с (толщина ударника 2 мм, толщина мишени 5 мм) с теоретическими данными при т = 10, 6 = 16: 1 — автомодельное решение, Ь = 0; 2, 3 — профили с потерей импульса при Ь = 0.035 (2), 0.045 (3)
дополнительная проблема, связанная с тем, что при регистрации профиля массовой скорости на свободной поверхности мишени пятно лазерного луча интерферометра охватывает элемент поверхности, относящийся по своему масштабу к мезоуровню 2 (50-300 мкм). Поэтому для получения макроскопических значений дефекта скорости требуется дополнительное усреднение по мезоуровню 2, т.е. по серии однотипных опытов. В случае же квазистационарного режима динамического деформирования дефект скорости вместе со скоростью потери суммарного импульса приблизительно сохраняют постоянные малые значения, составляющие примерно десятую часть от максимального значения массовой скорости на плато импульса [11].
5. Энергообмен и дисперсия скорости на мезоуровне
В динамических процессах напряжение и скорость деформации связаны не в одной пространственной точке, а со сдвигом по координате. Поэтому и удельную плотность кинетической энергии надо определять не традиционно как v 2 /2, а через корреляцию с начальной скоростью v0.
В качестве источника определим сначала удельную плотность полной механической энергии из уравнения баланса с удельной мощностью деформирующих сил в момент ударного нагружения: dE =dvon
эс эс '
С учетом уравнения переноса импульса (11) из [1], из выражения (7) следует, что в динамическом процессе за счет инерционных эффектов полная удельная плотность энергии определяется корреляцией скорости в данной точке х v(Z) со скоростью v0(Z) (начальный профиль скорости при ударе), а удельные плотности кинетической и внутренней энергии не определяются полным дифференциалом и не совпадают с традиционным определением:
Z дП Z dv E - Eo =J vo — dZ + In—0dZ = ^ + En. (8) o dZ o dZ Поэтому и внутренняя энергия, которая включает в себя как энергию коллективного взаимодействия за счет инерции среды, так и тепловую энергию, не является термодинамическим потенциалом, а энергия взаимодействия не определяется потенциальной механической энергией [10]. Согласно определению (8), потеря импульса в волне Av означает потерю кинетической энергии, которую можно с учетом постоянства v0 легко найти:
Z Э (v0 - v) _ Z 9Av
AEkin =I v0-0
dZ 0 dZ
(9)
Экспериментальные данные указывают на то, что эта энергия, не успевая преобразоваться в тепло, перехо-
дит на мезоскопический масштабный уровень. На мезо-уровне эта энергия возбуждает динамические пульсации массовой скорости, которые регистрируются в реальном масштабе времени в форме дисперсии массовой скорости D2 =( V2)-(v)2. Дисперсия скорости может вести себя по-разному в зависимости от хода процесса эволюции профиля массовой скорости при распространении по материалу. В квазистационарном режиме дисперсия массовой скорости мала и наблюдается только в середине волнового фронта, тогда как при высокой скорости деформации, при которой имеет место большая потеря амплитуды импульса, дисперсия велика и не затухает на всей длительности импульса. В этом случае можно считать, что кинетическая энергия, потерянная на макроуровне, полностью переходит в кинетическую энергию на мезоуровне. В общем случае баланс энергии в процессе энергообмена между разными масштабными уровнями можно записать в виде
дЕкш дЕт
= V0
дП
--V0
дДv
(10)
дС дС 0 дС 0 дС
Здесь Ет = О2 ¡2 + Ет — удельная плотность энергии на мезоуровне, которая состоит из двух частей. Первая часть — это кинетическая энергия, выраженная через пульсационную компоненту массовой скорости, регистрируемую в эксперименте как дисперсия массовой скорости О2. Вторая часть — внутренняя энергия взаимодействия мезочастиц.
Из (10) следует, что не вся кинетическая энергия, потерянная на макроуровне, переходит в кинетическую энергию на мезоуровне. При этом, хотя суммарная энергия на всех масштабных уровнях сохраняется, при хаотическом движении на заданном масштабе усреднения количество движения (импульс) теряется за счет его оттока на нижний масштабный уровень. Например, средняя кинетическая энергия хаотического движения частиц на микроуровне задает внутреннюю тепловую энергию среды. Коллективные коррелированные движения частиц создают упорядоченный перенос импульса на мезоскопическом масштабном уровне, а для макроуровня усредненное направленное движение может отсутствовать. Таким образом, перенос импульса на мезоуров-не, как и на макроуровне, должен определяться по интегральной модели (11) из [1], где в качестве подынтегральной функции стоит скорость потери импульса на макроуровне и притока на мезоуровень. При этом параметры модели переноса импульса на мезоуровне отличны от макропараметров модели т, 6. Тогда связь между вариацией скорости (корнем квадратным из дисперсии массовой скорости), которая является динамической характеристикой процесса, и скоростью потери импульса в волне при распространении, принимает вид
О = |ехр (-п«-Т-6т>2 С (11)
о I тт не
Здесь параметры тт, 6т определяют характерные времена релаксации пульсаций скорости и запаздывания на мезоуровне, отнесенные ко времени нагружения tг. В качестве начального импульса выступает потеря скорости на макроуровне Дv. Из (11) следует, что для мелкомасштабных пульсаций кинетическая энергия и дисперсия скорости О2 малы и пульсационная скорость пропорциональна параметру мезоуровня Тт:
О — Тт ^. (12)
т
тт —о дС,
Для крупномасштабных пульсаций вся потерянная на макроуровне кинетическая энергия переходит в кинетическую энергию пульсаций, а вариация скорости пропорциональна потере импульса на макроуровне:
О — Аv. (13)
Тт —
Как показывают данные эксперимента [2, 3], вблизи этого предела крупномасштабные пульсации необратимым образом приводят к появлению в среде 3D-струк-тур, вмороженных в материал безотносительно к первичной зеренной структуре. В режиме, когда О ~Дv, в экспериментах наблюдается максимальная прочность материала [15, 16] (рис. 2).
Как отмечалось выше, с ростом скорости ударного нагружения дефект скорости на плато (потеря импульса на макроуровне) резко растет, тогда как дисперсия скорости начинает убывать. Это означает, что потерянная энергия с макроуровня расходуется не на кинетическую энергию пульсаций, а запасается в виде энергии взаимодействия мезоэлементов и остается в мезоструктуре материала. Полученные экспериментальные результаты относятся к одной толщине мишени. Отсутствие экспериментальных данных для разных толщин при одинаковой скорости ударника не позволяет ответить на вопрос, на каком расстоянии от поверхности удара реализуются режимы максимальной дисперсии и эффективного структурообразования. Известно только, что крупномасштабные пульсации возникают на малых толщинах мишеней при сравнительно высоких скоростях удара, тогда как с ростом толщины мишени устанавливается квазистационарный режим, где потери импульса приходятся на передний фронт и наблюдается небольшая дисперсия скорости. Это говорит о том, что на начальной стадии процесса распространения волны возможно возбуждение пульсаций на мезоуровне, которые быстро релаксируют при установлении квазистационарного режима распространения волны. В этой связи возникает проблема определения условий реализации такого переходного процесса, при котором до установления квазистационарного режима распространения волны реализуется процесс синергетического структурообра-зования. Именно в этом режиме возможно активное управление процессом нагружения для получения желаемых структур.
6. Критерий структурной неустойчивости при ударном нагружении
Вычислим локальную скорость потери импульса при распространении волны для развитой двуволновой структуры, когда 9>> 1: ЭДу е ЭП е
9Z
т Эх т
._ейП 0
тЭС
ЭИЭт + ЭИЭ0Л Эт Эх д0 Эх
т дх дх
(14)
Интегрирование полученного выражения по £ дает локальную потерю импульса в виде
5 .ЭП
т 0 дх
0 e-п(0т)2
т
Z_0
п
дт „ д0
0e-п(0т)2 , Z_0 e-n((?_в)/т)2
erf ^ (Z_0) + erf^0
_ e-n((Z_0)/т)2 Э0 дх
Эт
дх
(15)
Поведение дефекта скорости на плато импульса при £ = 9 существенно зависит от траектории эволюции волнового фронта, которая определяется соотношением параметров т, 9: е
Д^ (0) = -т
0e-п( 0/т):
т
-V
1
+ -e т
-п(1/ т)2
erf-+ erf-
ч\
Эт
дх
_п(1/ т)
,2 _д0
дх
/У
(16)
Легко показать, что в предельных случаях при т ^ 0 и т ^ ^ дефект скорости на плато определяется скоростями эволюции параметров и исчезает по мере распространения волны с ростом Ь:
Д^ (0)
Ctr дт дт л ^ —-—, — < 0,
т^о L дх дх
д0
(17)
> 0.
Ctr д0 ,
L дх' дх
При этом вблизи обоих пределов дефект скорости отрицательный и описывает с учетом направления распространения волны потерю амплитуды импульса. На рис. 4 представлены зависимости параметров т и 0 от толщины мишени, построенные на основе экспериментов по ударному нагружению мишеней из алюминиевого сплава Д16. Из этих зависимостей можно заключить, что в квазистационарном режиме дт/дх - д0/дх -- const, причем т - 0. В этих условиях для длительных импульсов дефект скорости на плато невелик: Д^(0) --0.1-0.2 на 10 мм толщины мишени.
D-т
=
(18)
Рис. 4. Экспериментальные зависимости времени релаксации т (1) и времени запаздывания 9 (2) от толщины мишени
Можно показать, что в квазистационарном режиме дисперсия возникает только на переднем фронте и, как в турбулентных течениях жидкости, пропорциональна градиенту скорости:
эду _ еэеэп^ эеэу
1 ЭС ~тт т Эх ЭС ~ет Эх ЭС:
Стт L
Здесь е т — относительный пространственный масштаб релаксации на мезоуровне, или размер элемента ме-зоструктуры. Для квазистационарных профилей скорости этот факт наблюдается в эксперименте (рис. 5). Видно, что пульсационная скорость имеет максимум в точке перегиба волнового фронта:
дD Э9Э2 у (г 0 ь = 9--
дС m дх дС2
V2n
= 0.
(19)
Это значит, что к середине фронта, где достигается его максимальная крутизна, в квазистационарном режиме скорость роста D начинает быстро падать. Если же этого не происходит и дисперсия начинает расти быстрее,
Рис. 5. Профиль скорости свободной поверхности , вариации скорости D и скорости деформации de/dt для 15мм мишени из алюминия Д16 при скорости нагружения 315 м/с
чем крутизна профиля массовой скорости, происходит потеря импульса [2, 3]. При этом критерий перехода материала в структурно-неустойчивое состояние приобретает вид
2
Т
dD aeaV _
ЭС £m Эх ЭС2 г e V2n
>0.
(20)
Согласно этому критерию, увеличение скорости роста дисперсии на переднем фронте волны означает, что в материале начинается структурная перестройка, связанная со сменой режима энергообмена в среде, когда среда поглощает импульс, принесенный волной, но не успевает обратить его в тепло, а запасает во внутренней структуре на промежуточном мезоскопическом масштабном уровне.
Таким образом, в соответствии с рассматриваемым в настоящей работе нелокальным подходом к описанию процесса распространения волнового фронта, если на некотором расстоянии от поверхности удара измерен профиль скорости и получена экспериментальная точка на плоскости параметров (т, 6), то оказывается возможным предсказать будущий ход процесса. Траектория на поверхности производства энтропии, а также поведение дисперсии массовой скорости покажут, произойдет ли образование новых структур или импульс будет дисси-пировать. В первом случае на мезоуровне параметр структуры ет будет расти, во втором уменьшаться. Условие (20) определяет внутренний критерий структурно-неустойчивого состояния материала, выраженный через экспериментально измеряемые характеристики отклика среды на ударное нагружение, которые в общем случае зависят от скорости удара, длительности импульса, исходной структуры и нелинейных свойств материала. Даже небольшое воздействие на материал в этом состоянии может существенно повлиять на его механические свойства.
7. Заключение
В экспериментальных исследованиях по ударно-волновому нагружению твердых материалов обнаружено, что кроме макроскопического отклика материала в виде временных профилей средней массовой скорости важными дополнительными характеристиками являются дисперсия массовой скорости и дефект скорости на плато импульса. Дисперсия массовой скорости является количественной мерой интенсивности крупномасштабных пульсаций массовой скорости, возбуждаемых в динамически деформируемом материале на мезоскопи-ческом масштабном уровне при переходе последнего в структурно-неустойчивое состояние. Величина дефекта массовой скорости является мерой энергии и количества движения, передаваемых с макроуровня на мезоуро-вень в процессе динамического деформирования.
В стационарных условиях динамического деформирования скорость обмена энергией и импульсом между
макро- и мезоуровнями мала, поэтому дефект массовой скорости нарастает медленно. При этом дисперсия массовой скорости максимальна в середине пластического фронта волны и по своей величине пропорциональна скорости деформации. Рост дефекта массовой скорости на плато импульса сжатия свидетельствует о нестационарном характере динамического деформирования материала при ударном нагружении. Величина дефекта массовой скорости отражает скорость энергообмена макро-мезо, при которой значительная часть энергии внешнего воздействия не успевает передаваться непосредственно на атомный уровень и трансформироваться в тепловую энергию. При этом энергия, получаемая от ударного нагружения, частично расходуется на структурные перестройки и гетерогенизацию материала.
На основе нелокальной теории переноса импульса и энергии в динамически деформируемых средах разработана модель описания ударно-волнового отклика материала на ударное нагружение, в которой необходимыми элементами выступают время и скорость ввода энергии в материал. Включение в модель релаксационных и инерционных эффектов позволяет описать процесс динамического деформирования таким образом, что в рамках единой модели осуществляется переход от упругой стадии динамического деформирования к пластической без искусственного разделения деформации на упругую и пластическую компоненты. В рамках нелокальной модели переноса импульса удалось адекватно описать весь комплекс экспериментально наблюдаемых закономерностей поведения нестационарной волны в связи со свойствами среды после ее прохождения. При этом показано, что подобие между квазистационарными и динамическими процессами отсутствует. Выявлен экспериментально обоснованный критерий перехода материала в структурно-неустойчивое состояние, в котором можно небольшим внешним воздействием повлиять на процесс формирования новых структур в материале и существенно изменить его макроскопические свойства. В будущем нелокальные модели переходных процессов могут позволить предсказать поведение динамически деформируемой среды при различных условиях ударного нагружения и проследить за эволюцией структурного состояния среды на различных временных, пространственных и скоростных интервалах ударно-волнового деформирования.
Работа выполняется в рамках гранта РФФИ (проект № 12-01-00340а).
Литература
1. Мещеряков Ю.И., Хантулева Т.А. Неравновесные процессы в конденсированных средах. Часть 1. Экспериментальные исследования в свете нелокальной теории переноса // Физ. мезомех. - 2014. -Т. 17. - № 5. - С. 21-37.
Meshcheryakov Yu.I., Khantuleva T.A. Nonequilibrium processes in condensed media. Part 1. Expérimental studies in light of nonlocal transport theory // Fiz. Mezomekh. - 2014. - V. 17. - No. 5. - P. 21-37.
2. Meshcheryakov Yu.I., Divakov A.K., Zhigacheva N.I., Makarevich I.P., Barakhtin B.K. Dynamic structures in shock-loaded copper // Phys. Rev. B. - 2008. - V. 78. - P. 64301-64316.
3. Мещеряков Ю.И., Жигачева НИ., Диваков А.К., Макаревич И.П., Барахтин Б.К. Диссипативные структуры в ударно-деформируемой меди // Физ. мезомех. - 2007. - Т. 10. - № 5. - C. 63-69. Mescheryakov Yu.I., Zhigacheva N.I., Divakov A.K., Makarevich I.P., Barakhtin B.K. Dissipative structures in copper under impact deformation // Phys. Mesomech. - 2007. - V. 10. - No. 5-6. - P. 275-280.
4. Хантулева Т.А. Нелокальная теория неравновесных процессов пе-
реноса. - СПб.: Изд-во СПбГУ, 2013. - 278 с.
Khantuleva T.A. The Nonlocal Theory of Nonequilibrium Transfer
Processes. - St. Petersburg: SPbU Publ., 2013. - 278 p.
5. Вуд Д. Продольные плоские волны упругопластических деформа-
ций в твердых телах // Механика: Сб. переводов. - 1953. -Т. 5(21). - С. 150-166.
Wood D.S. On longitudinal plane waves of elastic plastic strain in solids // J. Appl. Mech. - 1952. - P. 521-525.
6. Morland L.W. The propagation of plane irrotational waves through an
elastic-plastic medium // Philos. Mag. - 1959. - V. 251. - P. 341-383.
7. Fowles G.R. Shock-wave compression of hardened and annealed 2024
aluminum // J. Appl. Phys. - 1961. - V. 32. - No. 8. - P. 1475-1487.
8. Gilman J.J. Mechanical States of Solids // Shock Compression of Condensed Matter-2001: AIP Conf. Proc. / Ed. by M.D. Furnish, N.N. Thadhani, Y-Y. Horie. - Melville, New York: AIP Publishing LLC, 2002. - V. 620. - P. 36-41.
9. Gilman J.J. Response of Condensed Matter to Impact // High Pressure Shock Compression of Solids. VI. Old Paradigms and New Challenges / Ed. by Y-Y. Horie, L. Davison, N.N. Thadhani. - New York: Springer, 2002. - P. 279-296.
10. Глэнсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. - М.: Мир, 1973. - 280 с. Glansdorff P., Prigogine I. Thermodynamic Theory of Structure, Stability and Fluctuations. - London: Wiley-Interscience, 1971. - 306 p.
11. Фрадков А.Л. Кибернетическая физика. - СПб.: Наука, 2003. -283 c.
Fradkov A.L. Cybernetical Physics: From Control of Chaos to Quantum Control. - Berlin: Springer-Verlag, 2007. - 236 p.
12. Ravichandran G., Rosakis A.J., Hodovany J., Rosakis P. On the Convention of Plastic Work into Heat during High-Strain-Rate Deformation // Shock Compression of Condensed Matter-2001: AIP Conf. Proc. / Ed. by M.D. Furnish, N.N. Thadhani, Y-Y. Horie. - Melville, New York: AIP Publishing LLC, 2002. - V. 620. - P. 557-562.
13. ПанинВ.Е., ЕгорушкинВ.Е., Панин А.В. Физическая мезомеханика деформируемого твердого тела как многоуровневой системы. I. Физические основы многоуровневого подхода // Физ. мезомех. -2006. - Т. 9. - № 3. - C. 9-22.
Panin V.E., Egorushkin V.E., Panin A.V. Physical mesomechanics of a deformed solid as a multilevel system. I. Physical fundamentals of the multilevel approach // Phys. Mesomech. - 2006. - V. 9. - No. 34. - P. 9-20.
14. Макаров П.В. Об иерархической природе деформации и разрушения твердых тел и сред // Физ. мезомех. - 2004. - Т. 7. - № 4. -C. 25-34.
Makarov P. V. On the hierarchical nature of deformation and fracture of solids and media // Phys. Mesomech. - 2004. - V. 7. - No. 3-4. -P. 21-29.
15. Meshcheryakov Yu.I., Divakov А.К., Zhigacheva N.I., Barakhtin B.K. Regimes of interscale momentum exchange in shock deformed solids // Int. J. Impact Eng. - 2013. - V. 57. - P. 99-107.
16. Мещеряков Ю.И., Атрошенко С.А., Диваков А.К., Титовец Ю.Ф., Наумова Н.С. Откольная прочность вязких высокопрочных сталей в ротациoнном режиме пластичности // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - 2009. - Т. 83. - № 3. - C. 95-99. Meshcheryakov Yu.I., Atroshenko S.A., Divakov A.K, Titovets Yu.F., Naumova N.S. Spallation strength of viscous high-strength steels at rotational plasticity // S.-Peterb. State Polytech. Univ. J. Phys. Math. -2009. - V. 83. - No. 3. - P. 95-99.
Поступила в редакцию 14.07.2014 г.
Сведения об авжорах
Хантулева Татьяна Александровна, д.ф.-м.н., проф., проф. СПбГУ, [email protected] Мещеряков Юрий Иванович, д.ф.-м.н., проф., зав. лаб. ИПМаш РАН, [email protected]
