CC BY
70
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 1. С. 190-201
ФизикА
УДК 539.4.669.017
Кинетика накопления микроповреждений в нагруженных конструкционных сталях повышенной и высокой прочности
В. П. Баранов, Н. Н. Сергеев, В. Э. Степанова, М. В. Пузикова
Аннотация. Исследована эволюция плотности субмикротрещин в процессе деструкции нагруженных конструкционных сталей повышенной и высокой прочности на основе модели Лоренца, кинетической термодинамики и экспериментальных кривых релаксации напряжений. Установлены для марки стали 30ХГСА предельные значения плотности субмикротрещин в зависимости от уровня растягивающего напряжения, достижение которых приводит к перколяци-онному процессу образования дефектов мезоуровня (микротрещин).
Ключевые слова: кинетика накопления повреждений, модель Лоренца, кинетическая термодинамика, конструкционные стали.
Сложные условия эксплуатации современного промышленного оборудования, особенно в чрезвычайных ситуациях, приводят к повышенным рискам, снижение которых требует активизации исследований процессов повреждаемости нагруженных материалов в реальных условиях эксплуатации.
Согласно современным представлениям твердые материалы, находящиеся под нагрузкой, превышающей предел упругости, представляют собой многоуровневую иерархическую систему дефектов структуры, эволюция которой направлена на минимизацию внешнего воздействия на всех масштабных уровнях [1]. При переходе с одного масштабного уровня на другой, дефектная структура проходит через состояния самоорганизованной критичности, которые характеризуются пространственно-временной масштабной инвариантностью на всех иерархических уровнях. Такой подход следует считать основополагающим при описании поведения в полях внешних воздействий всех систем живой и неживой природы. Сложноорганизованные биологические объекты всегда описывались как открытые иерархически организованные системы, непрерывно обменивающиеся с окружающей средой массой, энергией и информацией. В геофизике широкое распространение получили представления о блочной структуре горных пород. В современном материаловедении, включая наноструктурные материалы, многоуровневый подход
является основным стратегическим направлением, позволяющим разработать синергетическую модель зарождения и накопления микроповреждений.
В деформируемом твердом теле можно выделить следующие иерархически связанные подсистемы:
— электронная подсистема;
— кристаллическая решетка, структура которой определяется электронной подсистемой;
— подсистема дефектов кристаллической решетки;
— поверхностные слои;
— отдельные фазовые подсистемы в сложных гетерогенных средах.
На современном этапе построение многоуровневой модели деформируемого твердого тела находится на начальной стадии своего развития, несмотря на значительное число публикаций, посвященных иерархическому моделированию. Модели взаимодействия отдельных подсистем, их функциональные взаимосвязи и закономерности их самосогласованного изменения в различных полях внешних воздействий (механических, тепловых, электрических, радиационных и др.), разрабатываются на основе молекулярной динамики, клеточных автоматов различного типа, синергетических подходов неравновесной термодинамики.
Самоорганизация, которая присуща открытым системам (физическим, химическим, биологическим, социологическим), значительно удаленным от состояния равновесия, приводит к уменьшению производства энтропии, вследствие чего возникает метастабильное упорядоченное состояние, отвечающее минимуму синергетического потенциала. В физике твердого тела такое состояние соответствует переходу процесса деградации нагруженного материала с микро- на мезоуровень, связанного с накоплением в нем микроповреждений. Критическая плотность последних переводит дефектную структура материала в неравновесное состояние, которое запускает процесс деструкции и представляет промежуточную между микро- и мезоуровнями стадию предельной поврежденности. На этой стадии происходит самоорга-низованная перестройка материала на новый механизм диссипации энергии путем слияния микроповреждений, вследствие чего возникает геометрический фазовый переход к образованию дефектов мезоуровня (микротрещин).
В процессе нагружения в твердых телах возникают локальные нарушения трансляционной инвариантности кристаллической структуры, которые проявляются в виде дефектов различного типа: вакансий и межузельных атомов, атом-вакансионных нанокластеров различных конфигураций, дислокаций, дисклинаций, двойников, мезо- и макрополос локализованной деформации, трещин и др. На ранних стадиях деформации, соответствующих процессам деградации материала на микроуровне, максимальную концентрацию имеют несплошности субмикроскопического размера. Установлено в целом ряде работ, что в различных металлических материалах (сталях, титановых сплавах, чистых поликристаллических металлах — алюминии, никеле, серебре и др.) наибольшую плотность имеют повреждения в виде
субмикротрещин, размер которых значительно меньше размера зерна (~10-5 см).
Изучение механического поведения нагружаемого материала как системы в рамках иерархического моделирования неразрывно связано с нелинейной динамикой, позволяющей описать эволюцию динамических систем вне зависимости от их физического содержания. К отличительным чертам поведения таких систем относятся свойства универсальности и самоподобия, наличие параметров порядка и их смена при самоорганизации системы. Последняя приводит к образованию новых структур (неоднородностей), возникающих вследствие потери системой устойчивости в некоторых локальных областях. Дальнейшая эволюция системы в этих областях развивается по бифуркационному сценарию, обеспечивая переход системы через динамический хаос к возникновению неоднородности и самоорганизации ее частей на следующих масштабных уровнях.
Так как пластическая деформация и накопление повреждений в нагруженном материале являются диссипативными процессами, то определяющие эволюционные уравнения для их описания должны быть записаны в релаксационной форме с учетом положительных и отрицательных обратных связей, которые обеспечивают конкуренцию между стабилизирующим воздействием диссипативных процессов и стремлением системы к равновесию и дестабилизацией вследствие внешнего воздействия, приводящей к развитию неустойчивостей.
Для описания деструкции сплошных сред с учетом процессов самоорганизации используют стохастическое моделирование, основанное на уравнениях Ланжевена, Фоккера-Планка, Гинзбурга-Ландау, Шредингера, Ландау-Халатникова, Кортевега-де Фриза, системе Лоренца.
В рамках использования схемы Лоренца эволюция системы представляется тремя гидродинамическими модами (степенями свободы): параметром порядка, сопряженным ему полем и управляющим параметром. Согласно теореме Рюэля-Таккенса [2], нетривиальная картина самоорганизации достигается лишь в том случае, если число степеней свободы, параметризующих эволюцию системы, составляет не менее трех.
Рассмотрим кинетику накопления и самоорганизации повреждений на микроуровне, возникающих при нагружении материала на начальной стадии процесса разрушения. Термодинамический процесс самоорганизации, представляющий кинетику фазового перехода с несохраняющимся параметром порядка, параметризуется следующими величинами: внутренним параметром (параметром порядка), который представляет плотность дефектов р; сопряженным полем, сводящимся к энтропии 5; управляющим параметром и, определяющим внешнее воздействие. В качестве последнего примем удельную энергию, равную текущему напряжению в материале: и(Ь) = а(Ь) = (Г0 — Да{Ь). Здесь а0 — приложенное напряжение (параметр накачки), Да(Ь) — текущая релаксация напряжений. Тогда систему Лоренца
можно представить в виде [2]
Трр = —р + АрБ, (1)
ТЯБ = — Б + Ав ра, (2)
Тп<т = Да — Аа рБ. (3)
Здесь точка означает дифференцирование по времени ¿; тр, тз, ти — характерные времена релаксации гидродинамических мод р, Б и а; Ар, А3, Аа — положительные константы связи.
Характерная особенность системы (1)-(3) состоит в линейности уравнения (1) и нелинейности (2), (3). Первые слагаемые описывают релаксацию к стационарным значениям р = 0, Б = 0, а = <о, вторые — связь между
гидродинамическими модами р, Б и а. Отрицательный знак перед нели-
нейным слагаемым (3) отражает действие принципа Ле-Шателье (принципа наименьшего принуждения), согласно которому всякое изменение параметра, выводящее систему из равновесия, сопровождается такими изменениями, которые стремятся свести на нет возмущающее воздействие параметра. Плюс перед ра в (2) отражает положительную обратную связь между плотностью р и напряжением а, которая является причиной самоорганизации.
В материалах повышенной и высокой прочности единственным механизмом релаксации на микроуровне является рост плотности субмикротрещин в условиях их сильного взаимодействия. Воспользуемся адиабатическим приближением, согласно которому сопряженное поле и управляющий параметр изменяются настолько быстро, что успевают следовать за медленным изменением параметра порядка. Применительно к процессам дисперсного разрушения и развития макроразрушения это означает, что образование микроповреждений происходит медленнее, чем последующие за ним релаксация напряжений и изменение энтропии. Тогда для времен релаксации выполняется соотношение ТЗ', ти ^ Тр. Это позволяет пренебречь левыми частями уравнений (2) и (3). В результате получаем равенства
Б = -а° —р— (4)
Б Аст 1+ р2, (4)
ао
а = г+р ■ (5)
где р = р/рт, рт = (АА)-1/2.
Постоянная рт имеет смысл максимального значения параметра порядка. Равенства (4), (5) описывают рост энтропии и снижение напряжения с увеличением плотности дефектов. Последнее уравнение можно записать через релаксацию напряжений в виде
р2
Да = ао Г+рг. (6)
Подставляя (4) в (1), получим для безразмерного параметра порядка р уравнение эволюции типа Ландау-Халатникова, которое является частным случаем уравнения Гинзбурга-Ландау. В безразмерном виде это уравнение можно записать следующим образом:
¿р
¿а
др 1
где г = г/Тр, ¥ = ¥/¥о, ¥ = рт.
Здесь
¥ =2 [р2 — <о 1п (1 + р2)]
(7)
(8)
представляет синергетический потенциал, который играет роль свободной энергии, а о = ао /ас — параметр внешнего воздействия (степень неравновес-ности материала), ас = (АрА3)-1 — критическое (пороговое) напряжение.
На рис.1 представлена зависимость ¥ = /(р) при различных значениях ао. При а о < 1 зависимость ¥ (р) имеет монотонно возрастающий вид с минимумом в точке р0 = 0. При этом плотность повреждений не достигает значений, при которых происходит упорядочивание дефектной структуры путем образования перколяционных кластеров. В области а о > 1 из условия равновесия упругой среды с микродефектами Щ =0 имеем минимум синергетического потенциала при ненулевом значении параметра порядка
ро = V ао — 1 •
(9)
Рис. 1. Зависимость ¥ = /(р) при различных значениях а0: 1 — а0 = 1, 2;
2 — а0 = 1, 5; 3 — а0 =2
Представим уравнение (7) с учетом (8) в виде
(р _ (И Р \ 1 + р
р( ї+р2 - 0 ■ (10)
В последнем уравнении разделим переменные и проинтегрируем левую часть по р, а правую — по I:
Р о
?й+^= (и)
] Р(Ро — р )
0
Разложим подынтегральную функцию в формуле (11) на простые дроби и выделим сингулярную часть. Тогда после преобразований получим
р(1) = р0 {1 - е(2/^°)[/(р)/2-(-°-1)*] } , (12)
где _
р - - -2 1 (р> = / * (13)
0
Выражение (13) представляет интеграл с переменным верхним пределом, подынтегральная функция которого терпит разрыв в точках р = 0 и р = ро. Учитывая положительность подынтегральной функции, выполним оценку этого интеграла сверху: I(р) ^ I(р0). Здесь I(р0) — несобственный интеграл второго рода, для вычисления которого используем теорию вычетов. Точки
г = 0 и г = ^0 являются простыми полюсами для функции 2°—0---)°), полученной в результате аналитического продолжения подынтегральной функции в выражении (13) на комплексную плоскость. По основной теореме о вычетах получим I(р) ^ 2п(2 — <70). Тогда зависимость плотности дефектов от времени деформирования представится по формуле
р(1) ^ р0 { 1 — е^М^И2-^)-^0-1)*] | , (14)
в которой I ^ п(2 — 70)/(70 — 1) = Т0. Здесь т0 — относительная временная задержка (инкубационный период) процесса зарождения дефектов, которая зависит от уровня приложенного напряжения.
При 70 = 2 из уравнения (14) получим зависимость дебаевского типа для описания эволюции плотности дефектов в процессе нагружения материала
р(1) = р0 [1 — ехр(—г/тр)] . (15)
На рис.2 представлен безразмерный график зависимости (14) при различных значениях 70, который позволяет определить время достижения предельной плотности дефектов в зависимости от продолжительности деформирования. При этом, как следует из уравнений (14) и (15), отношение
времени релаксации тр при максимальном значении параметра внешнего воздействия к времени релаксации при произвольном значении ао (1 ^ ао ^ 2) определяется соотношением
гр _ 2(ао - 1)
-¡¡0 2п (2 - ао) + а о ’
(16)
По формуле (16) построен график (рис.3), который позволяет определить время релаксации т°° в зависимости от приложенного напряжения при известном значении тр (т р = тр/т£0).
Экспериментальные исследования кинетики накопления микронесплош-ностей проводили на высокопрочной среднелегированной конструкционной стали марки 30ХГСА при различных уровнях растягивающего напряжения на точеных образцах (I = 200 мм, d = 8 мм), вырезанных из арматурных стержней периодического профиля диаметром 10 мм, прошедших высокотемпературную механическую обработку (ВТМО). Механические свойства стали устанавливали на универсальной испытательной машине 2-20: Е = 2,1 • 105 МПа, в = 0, 79 • 105 МПа, ав = 1450 МПа, ао,2 = 1270 МПа, $56 = 7 %, ф = 19 %. Одним из наиболее перспективных методов изучения кинетики замедленного разрушения сталей повышенной и высокой прочности является метод их испытания на релаксацию напряжений. Исследование релаксационной стойкости сухих образцов стали марки 30ХГСА при одноосном напряженном состоянии проводилось на рычажной установке, работающей по компенсационному принципу сброса нагрузки. Результаты испытаний представлены на рис.4.
Рис. 2. Зависимость р/р0 = /(£) при различных значениях а0: 1 — а0 = 2;
2 — а0 = 1, 8; 3 — а0 = 1, 6; 4 — а о = 1, 4; 5 — а о = 1, 2
Для практического использования зависимости, представленной на рис.2, необходимо определить для данного материала параметры модели ас, три ро.
1,3
Рис. 3. Зависимость относительного времени релаксации параметра порядка тр от параметра внешнего воздействия а о
Рис. 4. Зависимость релаксационного эффекта от уровня напряжения для стали 30ХГСА: 1 — а0 =0, 95а0,2; 2 — а0 =0, 9а0,2; 3 — а0 =0, 8а0,2;
4 — а0 =0, 7^0,2; 5 — а0 =0, 6^0,2
Пороговое напряжение ас найдем, используя уравнение Холла-Петча, по формуле [3]
ас = ао,2 + МтС - куй-1/2, (17)
где М — фактор Шмида для поликристаллов (для ОЦК металлов М ~ 2, 9), тСС — эффективное пороговое напряжение сдвига (тС ~ 0, 06С/п, п — мощность дислокационного скопления), ку — «параметр блокировки», характеризующий вклад границ зерен в упрочнение (торможение дислокаций), dз
— размер зерна. Приняв п = 30 [4], ку = 3, 5 Кг/мм3/2 [5], dз = 10-4 см, из уравнения (17) получим ас = 621, 4 МПа.
Параметр тр в соответствии с дебаевским законом равен характерному время релаксации, в течение которого начальное напряжение уменьшается в
0,63 раза. Из экспериментальной кривой (рис.4) при ао = 0, 95ао,2, которая
соответствует значению параметра накачки äo = 2 (с погрешностью 3 %), найдем Тр ~ 5 мин.
Равновесную плотность ро найдем на основе кинетической термодинамики [6]. Процесс накопления повреждений сопровождается изменением во времени свободной энергии материала (функции Гиббса):
ДОД = ДЯ (t) - T ■ ДS(t), (18)
где ДЯ(t) и ДS(t) — соответственно изменение удельных энтальпии и энтропии, T — абсолютная температура.
Введение времени в термодинамику оказывается оправданным, если изучаемые системы и процессы близки к равновесию, так что функции состояния исследуемых систем в любой момент времени имеют реальный физический смысл. В этом случае дифференциалы указанных функций можно с приемлемым приближением считать полными. В уравнении (18) предполагается непрерывность изменения во времени функций состояния ДО, ДЯ и ДS. Тогда для функции Гиббса при Дt ^ 0 имеем ДО(t + Д^ — ДО^) = ДДО^) & ^G(t). Это позволяет исследовать производную dДО(t)/dt, то есть скорость изменения степени завершенности процесса на определенном иерархическом уровне и, соответственно, переход системы в состояние неустойчивости, связанный с достижением предельной повреждаемости материала на данном уровне разрушения и дальнейшей перестройкой дефектной структуры материала.
Зависимость удельной функции Гиббса от плотности дефектов имеет вид
[7]:
ДО(^ = p(t) ■ ud — k ■ T ■ p(t) ■ {1 — \n[p(t)/na]}, (19)
где Ud — энергия образования субмикротрещины, k — постоянная Больцмана (k = 1, 38 ■ 10_16 эрг/°К), T — абсолютная температура, па — число атомов в области концентрации напряжений. Тогда о степени завершенности процесса накопления повреждений на микроуровне можно судить по минимуму производной
йДО/dt = [ud + k ■ T ■ ln(p/na)] ■ (dp/dt). (20)
В точке p = p0 производная dp/dt = 0. Тогда из выражения (20) получим
уравнение аррениусовского типа
ро = na exp(—Ud/kT). (21)
Энергию Ud можно определить, зная силу взаимодействия между ведущими дислокациями скопления, прижатого к барьеру. Величина ud равна работе, которую нужно затратить для слияния этих дислокаций, определяется по формуле [3]
ud = [Db2 Lm/(Lo/Lm)](Lo/Lm — 1)3 [1 — (hc/Lo)2 ], (22)
где D = G/[2 ■ n ■ (1 — v)], v — коэффициент Пуассона; b — вектор Бюргерса;
Lo — расстояние между ведущими дислокациями скопления, на котором
Таблица
Плотность субмикротрещин в зависимости от уровня приложенного напряжения для стали марки 30ХГСА
^0/^0,2 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95
мин 110 48 35 28 22
Ро • 10“10, мм 3 0,5 0,9 1,5 2,9 4,8
их взаимодействием можно пренебречь; Ьт — расстояние между ведущими дислокациями скопления, на котором сила их взаимодействия максимальна; Нс — максимальная протяженность ядер ведущих дислокаций скопления.
Примем типичные для сталей значения параметров: V = 0, 28; Ь = 2, 88 • 10-7 мм; Нс = 1, 2Ь; Ьо = 10Ь; Ьт = 1, 4Ь. Тогда для стали марки 30ХГСА энергия образования одной субмикротрещины составит щ 0, 35 • 10-17 Дж.
Практическое использование уравнения (20) для определения р0 затруднительно, так как оно представляет зависимость типа то • 0 в силу больших значений па и показателя п^/кТ. Область концентрации напряжений является недостаточно точно определяемой величиной, поэтому незначительные ее изменения позволяют получить практически любое значение ро.
Используем результаты работы [8], в которой описана эволюция плотности субмикротрещин в процессе деструкции материала на основе использования начального участка машинной кривой релаксации приложенного к образцу напряжения и предположения, что этот участок кривой соответствует процессу накопления повреждений на микроуровне. Изменение во времени свободной энергии нагруженного материала происходит вследствие затраченной на образование дефектов текущей работы пластической деформации. Исходя из этого утверждения получено уравнение эволюции в виде
р(г) = Да2 (г)/(па7РЕ), (23)
где тр — относительная податливость образца (^р ~ 1).
Время ¿т, необходимое для достижения плотности ро, представляет длительность процесса деструкции на микроуровне и может быть определено в зависимости от уровня приложенного напряжения из рис. 2. Значения Ьт соответствуют моментам времени на экспериментальных кривых, в которых скорость релаксации близка к нулю (рис.4). Тогда предельные плотности субмикротрещин, достигаемые в процессе нагружения материала, определятся по формуле
ро (ао) = Да2(1т)/(паЪ Е). (24)
В табл. приведены значения ро в зависимости от ао для стали марки 30ХГСА, вычисленные по формуле (24) с использованием экспериментальных кривых релаксации напряжений.
Значения ро для стали марки 30ХГСА, представленные в табл., соответствуют по порядку величины экспериментальным данным для других
материалов. Согласно рентгеновским данным и данным сканирующей микроскопии, в приповерхностных слоях деформированных образцов алюминия и никеля плотность субмикротрещин составила 1011-1012 см 3 при их
размерах (1-2) -10“5 см [9].
Представленные в данной статье результаты могут быть использованы для построения синергетической модели, связывающую физико-механические свойства и кинетику накопления повреждений с критическими значениями параметров порядка в точках бифуркаций. В частности, предельные плотности субмикротрещин являются порогами в перколяционной модели образования микротрещин. Последние представляют дефекты мезоуровня — предвестника необратимого разрушения.
Список литературы
1. Макаров П.В. Самоорганизованная критичность деформационных процессов и перспективы прогноза разрушения // Физ. мезомех. 2010. Т.13. №5. С.97-112.
2. Олемской А.И. , Кацнельсон А.А. Синергетика конденсированной среды. М.: Едиториал УРСС, 2003. 316 с.
3. Баранов В.П. Прогнозирование длительности зарождения субмикронесплош-ностей в высокопрочных сталях // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т.9. Вып.3. С.21-29.
4. Чуканов А.Н. Физико-механические закономерности вормирования предельного состояния и развития локального разрушения в металлических материалах: дисс. ... докт. техн. наук. Тула: ТулГУ, 2001. 381 с.
5. Коттрелл А.Ч. Прерывистая текучесть. Структура и механические свойства металлов. М.: Металлургия, 1967. С.210-224.
6. Гладышев Г.П. Кинетическая термодинамика как физико-химическая основа получения материалов в условиях самосборки // Металловедение и термическая обработка металлов. 2006. №9. С.8-12.
7. Баранов В.П., Афанасьев О.А., Крыкин Н.С. Термодинамический подход к проблеме накопления микроповреждений в нагруженных металлических материалах // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2010. Вып.2. С.222-230.
8. Баранов В.П., Сергеев Н.Н. Фрактальная кинетика накопления повреждаемости на микроуровне в процессе замедленного разрушения высокопрочных сталей // Изв. ТулГУ. Сер. Строительные материалы, конструкции и сооружения. 2005. Вып.8. С.3-9.
9. Иванова В.С. Разрушение металлов. М.: Металлургия, 1979. 168 с.
Баранов Виктор Павлович (Baranov_1955@mail.ru), д.т.н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Сергеев Николай Николаевич (Prorector_NIR@tspu.tula.ru), д.т.н., профессор, кафедра технологии, Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого.
Степанова Валентина Эдуардовна (valentina_step@mail.ru), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Пузикова Майя Владимировна (Vitalik_tula@mail.ru), аспирант, кафедра технологии, Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого.
Kinetics of accumulation microdamages in loaded hagh and increased strength structural steel
V. P. Baranov, N.N. Sergeev, V. E. Stepanova, M.V. Puzikova
Abstract. The density evolution of submicrocraks has been investigated in the process of destruction loaded high increased strength structural steel on the basis of Lorenz’s model, kinetic thermodynamics and experimental curves of a stress relaction. Limit values density of submicrocraks has been established for steel grade 30 HGSA depending on level of the tensile stress. Reaching of such limit state leads to percolation process of formation of mesolevel’s defects (microcracs).
Keywords: kinetics of accumulation damages, Lorenz’s model, kinetic thermodynamics, structural steel.
Baranov Viktor (Baranov_1955@mail.ru), doctor of technical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Sergeev Nikolai (Prorector_NIR@tspu.tula.ru), doctor of technical sciences, professor, technology department, Leo Tolstoy Tula State Pedagogical University.
Stepanova Valentina (valentina_step@mail.ru), postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Puzikova Maya (Vitalik_tula@mail.ru), postgraduate student, technology department, Leo Tolstoy Tula State Pedagogical University.
Поступила 14-01.2013
