Термодинамический метод вывода уравнений энергии для потока Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.1:532.533

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ МЕТОД ВЫВОДА УРАВНЕНИЙ ЭНЕРГИИ

ДЛЯ ПОТОКА

В.В. Рындин

Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова

Оршанъщ элементш ауысты[ушылъщмен деформация бойынша кещстжтж жэне ycmi^i куштердИ жумыстарын есептеу бертди Кейт осы жумыстар eсeбiнeн реттелген, ретЫз жэне абсолюттт орта ж^шжымалы элементтщ микробвлшектерт крзгалыс muicmi mYрлeрi ушт баланстыц энергияныц meцдeулeрi алынды. Агында жасалган жумыстардыц myрi бойынша энергия тецдеулерн третт шамалар айкртдаусыз вmкiзiлeдi.

The calculation of works of spatial and surface forces on strain and movement of an element of medium is given and then in view of these works the balance equations of energy for the corresponding types of motion of micro particles of a moving element of medium - chaotic, ranked and terrain clearance are received. The definition of various magnitudes belonging to equations of the energy is held by correlation of theirs with the corresponding aspects of works.

Введение. В термодинамике уравнение первого закона термодинамики принято записывать в двух видах через работы р ёб и (-бср) :

5д = ёи + 5^ = ёи + р ё б, 5д = ёИ -Ъwp = ёИ - б ёр . (1)

Если смысл и наименование работы р ё б (изменения объёма) более или менее однозначны, то работа (- б ёр) имеет различные наименования (располагаемая, техническая, полезная, работа потока и др.) и смысл её в учебниках трактуется по-разному, что создаёт определённые трудности при изучении термодинамики.

60

Аналогичные трудности возникают и в механике жидкости и газа (МЖГ) при трактовке величин, входящих в уравнения энергии. Например, при записи уравнений энергии в виде

Р*^ = Р/-С+<НУ(РС)+Л^ (2)

под величинами N и N понимаются соответственно «отнесённая к

т дис

единице объёма мощность внутренних сил» и «диссипируемая мощность, т. е. необратимая мощность внутренних сил с обратным знаком» [1]. Такие определения не позволяют понять смысл вводимых величин, так как не конкретизируют виды работ, из которых выводятся соответствующие мощности. Критический анализ этих и других уравнений энергии для потока и величин, входящих в эти уравнения, даётся в работе [2]. Уточнению смысла и наименований как величин, входящих в уравнения энергии, так и самих уравнений посвящена данная работа.

Основная часть. В связи с изложенными трудностями, обусловленными использованием гидромеханического метода, в основе которого лежит понятие мощности, ниже даётся термодинамический метод вывода уравнений энергии, когда вначале определяются все виды работ, а затем записываются балансовые соотношения для соответствующих видов энергии (внутренней, кинетической и полной), характеризующих соответствующие виды движения микрочастиц системы - хаотическое, упорядоченное, абсолютное (ХД, УД, АД).

Для расчёта работ необходимо знать силы, действующие на выделенный элемент подвижной среды. Все силы условно разделяют на пространственные (объёмные, или массовые)

всё вещество внутри выделенного пространства, и поверхностные ^с, действующие на поверхности (в тонком слое) выделенного тела. Пространственные силы (тяжести, инерции, эл ектромагнитных полей и др.) характеризуются удельными силами / = ЪЕ/Ъш . К пространственным можно также отнести и так называемые технические силы, которые возникают при взаимодействии потока с лопатками турбины или компрессора; эти силы направлением в пространстве не конкретизируются, а работа этих сил определяется из самих уравнений энергии или моментов импульса. Поверхностные же силы (силы давления, силы внутреннего трения) характеризуются своим напряжением, определяемым как предел отношения поверхностной силы, действующей на площадке, к площади этой площадки при устремлении последней к нулю.

61

Векторы напряжений поверхностных сил, действующих на площадках, перпендикулярных осям координат могут быть представлены в таком виде [1]

Рх = PJ + pj+PJ = -Pi + i>\;

Py = pJ+Pyyj + Py£ = ~Pj + P,y\- (4)

Pz = pJ + pJ + pJ = ~pk + p\-

Из (4) следует очевидное соотношение

dPx + ^ + ^ = -gradp + ^ + . (5)

д x dy dz д x dy dz

Девять проекций напряжений в (4) образуют тензор P с компонентами Pij (где i= 1,2,3 или х, y, z; j= 1,2,3, или x,y,z).

Связь компонент тензора напряжений p с давлением и скоростями деформаций устанавливается обобщённым законом Ньютона [1]

Pij = Рл = -рЬу + Р\) = -Pbij + (ц'-f dive + ц (dcjdxj + дс/дхД (6)

/»V. = Сц'— у ц) dive + 2ц (9с/сьс;) при 7 = 1,1

где „<..= „.. = ц (dcildxl + dcjdx,) при j Ф i, (7)

- компоненты (вязкостные) тензора напряжений, обусловленные вязкостью; <^=1- символ Кронекера, определяемый условиями: oij=1 при i = j и oij =1 при i * j;

д' - вторая вязкость, которая проявляется только при быстром изменении объёма, например, при взрывах, прохождении газа сквозь скачок уплотнения и др.

В выражениях (4) и (6), как и далее, под гидродинамическим давлением p, отождествляемым с термодинамическим давлением, понимается среднее арифметическое значение о нормальных напряжений на три взаимно-перпендикулярные площадки, взятое с обратным знаком1

P = PrK=-(P!a + Pyy+PJ/3 = -° .

Работа сил давления по перемещению элемента среды как целого. Выражение для этой работы легко получить в случае рассмотрения одномерного нестационарного потока. Выделим в канале (рис. 1) элемент потока толщиной 5x и площадью поперечного сечения A . Если в сечении x действует давление p, то в сечении x + 5x будет действовать давление

д Р с p + -¡-5 x

д x

1 В результате такого введения давления в выражениях для компонент напряжений появляется добавочный член (2/3) ЦdivС , а в выражении для расчёта изменения энтропии отрицательный член - 2

(-2/3)Ц^УС) , уменьшающий энтропию (последнее противоречит второму закону термодинамики). Исключить отрицательный член в формуле для расчёта изменения энтропии при диссипации позволяет введение давления по формуле р " р™р = + [3].

62

Тогда проекция результирующей сил давления на ось х, приложенная в центре инерции элемента потока, определится выражением

аР

д р,

д р,

дх

дх

дх

а составляющая вектора этой силы в направлении оси х будет равна

8У 7

д х

их — ох

р А 5 Ъш = |5?= рЪк| АЪх Ь хат* 1 1"- 1 р = р р+ы4

Ъх

Рисунок 1 - К расчёту работы перемещения сил давления

В случае трёхмерного течения вектор результирующей сил давления, действующих на всю поверхность элемента потока, определится выражением

о х ду &

В случае пространственного нестационарного течения внешняя2 работа результирующей внешних сил давления (работа перемещения) будет равна

5 х 5 у 8 г

(8)

где о = ЪУ/Ъш - удельный объём жидкой среды; С? = / бх + j с1у + кдг = с С - вектор элементарного перемещения центра инерции элемента среды.

Здесь символом обозначено конвективное приращение давления,

обусловленное приращением координат,

Ф,

дх ду дг

Конвективное приращение входит в состав полного приращения давления

01 ОХ О у 0 2

2 Знак внешней работы совпадает со знаком изменения энергии системы: = СЕ.

63

х

где дршк=—(11 - локальное приращение давления, обусловленное переменностью (нестационарностью) поля давления.

Полная работа сил давления в потоке. В общем случае элемент потока в форме параллелепипеда (рис. 2) под действием сил давления не только перемещается в пространстве, но и деформируется. Поэтому при определении полной работы сил давления нужно учесть то обстоятельство, что противоположные грани параллелепипеда перемещаются на различные расстояния, отличающиеся на длину деформации его рёбер: d (ох), d (оу) и d (ох) (см. рис. 2).

ёх = сх ^

Рисунок 2 - К расчёту работ деформации и перемещения сил давления

Так, если под действием сил давления р 8у &, действующих на левую грань параллелепипеда, она перемещается на расстояние ёх и

при этом совершается работа р 5у & ёх, то под действием сил давления

д р

(рх) 8у 82, действующих в тот же момент времени на правую грань, последняя перемещается на ёх + (I 8х) и при этом совершается работа - (р+|р 8 х) 8у х+(18х] (минус, так как сила и перемещение имеют противоположные направления).

Тогда полная работа сил давления в направлении оси х будет равна сумме этих работ 8= р8у8г6х-(р + ^8 х)[(Ь:+с1(&с)]8>'5г.

Раскрывая произведение и пренебрегая величиной высшего порядка малости (-дрё(8х)8У), а также учитывая, что 4 8Юх = 8у82<1 8х) , получим

1 ох

С учётом работ в других направлениях работа сил давления определится

так

= 82^'давдеф 2Ж'дав.жр = -р&\с&ЬУ-&аАрсА1ЬУ = -&ч{рс)й1ЬУ.

(9)

Здесь сделаны такие замены: 5К/&и=ю=1/р, д1ЬУ)1Ьт = д.(ЬПЬт) = йъ,

о

х

64

dive - р d-u/di - из уравнения неразрывности

dp/di + р dive =d(l/u)/di + р dive = 0.

Если все члены уравнения (9) разделить на массу Ъш, то получим выражение для удельных работ сил давления в случае нестационарного течения

8и/да, = Sw'aaB ilei +8и''дав11ер = -р d и - и 8ртвв -

л Sp, 5pJ4 j/ч 5PJ„. (10)

Sx 8 у 8 z 81

Таким образом, полная (суммарная) работа внешних сил давления складывается из внешних работ деформации элемента среды (работы изменения объёма) и его перемещения как целого (работы перемещения). Следовательно, более общей работой является полная работа сил давления, а не работа изменения объёма, как часто считают в термодинамике.

В случае стационарного (установившегося) течения изменение давления в элементе среды при его перемещении из одного сечения канала в другое происходит только в результате приращения координат и (10) принимает такой вид:

дав.сгап дав.деф давлер

= -р d и- и d х+ ^ d у+d г) = -(р d и+ и ф) = -й (р и) = -5>с о х о у о г ^

В случае стационарного течения (Фши= 0) полную работу внутренних сил (внутреннюю работу3) давления (получаемую в термодинамике при рассмотрении открытых систем), равную работе внешних (со штрихом) сил давления, взятой с противоположным знаком, принято называть удельной работой проталкивания [4]

Полная работа вязкостных сил. В общем случае элемент потока в форме параллелепипеда под действием вязкостных сил не только перемещается в пространстве, но и деформируется (рис. 3). При этом происходит не только деформация рёбер параллелепипеда, но и смещение его граней друг относительно друга (угловая деформация, или искажения прямого угла).

3 Знак внутренней работы противоположен знаку изменения энергии системы 5Ш=-5Ш'=-dE .

65

¿х + —^&&

у 5у&

Рисунок 3 - К расчёту работ деформации и перемещения сил вязкости

р

о

Определим полную работу вязкостных сил с напряжениями р^ (7) подобно тому, как была определена полная работа сил давления. Работа вязкостных сил в направлении оси х (величиной высшего порядка малости пренебрегаем)

дп' дс

82Ж' ~ -р'тгг ё/у8гйх+(р'хх+^ж&с)8у8г(дх+—-&сс1г)- ржЬх8гдос +

х дх дх у

дг дх ду дг ах ' ду дг

Первый трёхчлен, включающий проекцию результирующей сил вязкости на ось х ^.^^»г.&^иг,

выражает работу вязкостных сил по перемещению центра инерции элемента среды на расстояние ёх = сх

Подставляя вместо напряжений р'^- их выражения через скорости деформаций (7) для г = х и j = х,у, г и считая динамическую вязкость д постоянной, получим

г2пг, Г/ I 2 , ~ д2сх ,В2сх д2су я2с д2сх.-\~ ,

дх ду дг дх дх ду дг 3 дх

= [цАс, + 01'+ 1ц) ] ШАх = + + ¿с8У

1Г 1 3ас л к дх ду дг

С учётом двух других направлений работа вязкостных сил по перемещению элемента среды как целого определится выражением

(12)

8 х ду дг

где - вектор результирующей сил вязкости по

перемещению элемента среды как целого (по перемещению его центра инерции).

В общем случае для отдельной макрочастицы (жидкой частицы) эта работа может иметь любой знак, т. е. отдельная макрочастица может ускоряться соседними жидкими частицами (слоями жидкости) или замедляться. Однако в случае рассмотрения подвижного элемента среды, соприкасающегося со стенками канала, всегда происходит торможение

его силами вязкости, т. е. работа внешних сил вязкости отрицательна

а^ у, а^ ^ 1 а х ау &

Второй трёхчлен в (11) представляет собой сумму работ вязкостных сил (работу деформации) по относительному перемещению граней параллелепипеда вследствие разности их скоростей на dх (5х), dy (8х) и dz (5х) (см. рис. 3).

8 ^.деф, = р'ш 8у52 йх (8х) + РухЪхЬ7. Лу (5х) + р^&сдуй, (8х) = дс дс дс дс

3

Подставляя вместо напряжений р'л их выражения через скорости деформаций (7) и принимая вязкость не зависящей от координат = 0), получим

С учётом двух других направлений выражение для работы вязкостных сил по деформации элемента среды примет вид

ду ох 8г ду ох ог

где Б (отношение выражения в фигурных скобках к динамической вязкости д ) называется диссипативной функцией (функцией диссипации, рассеяния).

Работа сил вязкости при деформации элемента вызывает изменение энергии хаотического (теплового) движения, т. е. приводит к росту внутренней энергии данного элемента среды. Следовательно, внешняя работа сил вязкости по деформации элемента всегда положительна

67

Полная работа вязкостных сил с учётом (12) и (13) примет вид

= = + + (14)

Классификация уравнений энергии в зависимости от вида движения микрочастиц системы. В общем случае в потоке абсолютное движение микрочастиц вещества относительно неподвижных стенок канала можно представить в виде суммы хаотического (относительного) движения относительно подвижного их центра инерции и упорядоченного (направленного) движения этих частиц относительно системы координат, связанной с неподвижными стенками канала (переносного движения центра инерции системы).

Согласно закону сохранения энергии изменение энергии системы йЕ складывается из суммы внешней (индекс «е») теплоты 8Qe и внешних (штрих) работ 5 Ж/ (знак внешних работ, как уже отмечалось, совпадает со знаком йЕ )

N

йЕ = 5< + £5Щ' (15)

1=1

Учитывая независимость отдельных видов движения (хаотического, упорядоченного и абсолютного) для каждого из них, исходя из общего балансового уравнения изменения энергии системы (15), можно получить частные выражения - частные балансовые соотношения для изменений соответствующих энергий - внутренней; кинетической и полной.

Уравнение энергии для УД элемента среды как целого. В случае рассмотрения только одного УД под энергией Е в (15) следует понимать кинетическую энергию (КЭ) малого элемента среды 5Е£, изменение которой происходит только за счёт совершения работ по перемещению элемента среды как целого (при совершении работы деформации и в процессе теплообмена энергия УД не изменяется, т. е. теплота в (15) опускается и работа деформации не рассматривается).

Подставляя (8) и (12) в правую часть (15) с учётом (5), получим уравнение изменения кинетической энергии малого элемента среды в таком виде:

\ к У прос 1 'гпов.пер " прос дав.пер 1 " вяз.пер

= 5т /-Л? — + + = /• с1? — (16)

д р' д р' з й- _ _

- дгас! р Л?5 V + (—^ + —^ + ■ (3? 5 V = 5т / - Л? + 5^рез пов Л?,

8 х ду дг

68

Здесь вектор результирующей поверхностных сил по перемещению элемента среды как целого определяется по формуле (формула в таком виде приводится впервые)

- - - Зр' Эр' Зр,. Эру др*

Если все члены уравнения (16) разделить на объём 5 V и время &, то получим гидромеханический вид записи уравнения энергии для УД (для скорости изменения объёмной КЭ элемента потока, Вт/м3)

г2 -

о—— = Ы +Ы =Ы +Ы =оЛс-

г [1: 2 трос товлер трос гдавлер имзлер г ./ ^

- с • grad р + Гц Ас + (ц'+1 p)graddiv с ]• с = р / • с + (—^ + дРу + ). с, (17)

3 J д х ду &

- др' др'у др'

где NVapoc=p /-с, %Дав.пер = -с-8гаа/7 и ЛТКвтпер +

- объёмные мощности соответственно пространственных сил и поверхностных сил давления и вязкости по перемещению элемента потока как целого.

Сравнивая уравнения (2) и (17), заключаем, что сумма величин представляет собой объёмную мощность поверхностных сил по перемещению элемента среды как целого ^^ +~а,г+~аГ)'г (именно эта величина не конкретизируется в теории МЖГ, а рассматривается только сумма <^СРс) + ЛГ.и).

Если все члены уравнения (16) разделить на массу 5т и ввести выражения для удельных работ силы тяжести 51('ш=/™<3? = -£<к и внутренней (по знаку) технической работы

уравнение энергии для УД (в термодинамике его называют уравнением энергии в механическом виде)

или

где б™^ = -5т^'вя31]ер = -^[ц Ас + ц) ]-с1? - внутренняя (по знаку)

удельная работа трения, отождествляемая с работой внутренних сил вязкости по перемещению элемента среды как целого.

Уравнение энергии для абсолютного движения. В случае рассмотрения АД, представляющего собой сумму хаотического и упорядоченного движения, под энергией Е в (15) следует понимать полную энергию -сумму внутренней энергии (ВЭ) 5и и КЭ 5Е^ . Поскольку изменение ВЭ происходит в результате подвода тепла и деформации элемента среды, то в правую часть (15), наряду с работами по перемещению элемента,

(1с72 = <к- и 8ртия - - 5м>те

-X)6p = gдz+Ac2l2+?^wтp+ЬwTC¡í -иу^сй.

(18)

69

должны войти и работы по его деформации, а также внешняя теплота. Тогда с учётом (9) и (13) уравнение (15) примет вид

й(5Е) = (1(5 и +5 Ек) = с! (и + сЧ2) 5т = Ь1^ + 52^ос + 52^даф + + 82^ав.пч) +^2^вяз.пер + ^2^вяз.деф = ЦеЪт+/&Ьт-р&пЬт-

-0 Фконв 5"! + [ц дс + (ц'+ ^Ц) ЕП1<1 <1™ с ] • <3? 8Г + ц О 5 V <1/. (19)

Разделив все члены этого уравнения на объём 5V и время й и учитывая (9), получим гидромеханический вид записи уравнения энергии для АД (Вт/м3)

р^(и + с72)=р<7е+ + Ы^^ + Ытт ,даф = р<7е + р/-с-с-ёгас1р +

+ [ц Дс+ (ц'+1 ц) ^а<1<Нус ] • с + (~рдмс + ц Я) = р?" + ЛГ^ + ЛГ^ +

+ -^п»и = Р?е + Р/-с-сЦу(рс) + [цАс + (ц,+ 1ц)^аё(иус]-с + цД (20)

где ¿7е =5qe^ít - удельный внешний тепловой поток (массовая плотность суммарного внешнего теплового потока), Вт/кг.

Прибавляя к левой и правой частям уравнения (20) величину =

= ^ + с-%пАр + р&ус = |°+{Цу(/?с)и вводя энтальпию И = и + ро , получим ещё один гидромеханический вид записи уравнения энергии

р -й (И + c2/2) = £ + р / • с + [дАс + (д'+1 д)graddiv с ] • с + д.О + р7е .

Если все члены уравнения (19) разделить на массу 5т, а в качестве работ пространственных сил взять работу силы тяжести и техническую работу, то получим термодинамический вид записи уравнения энергии для АД (Дж/кг)

й(u + c2/2) = 8q°-gdz--рАх)-\)дртт -8wTt¡ + 5м>'в

>-Деф

или + + фрЩ &++ 8*^, (21)

где =8т<Мздеф=у /М? - удельная теплота трения ( V = д/р ).

В термодинамике уравнение энергии для нестационарного потока в виде (21) не приводится. В случае стационарного течения (дp/дt = 0) и пренебрежения отводом теплоты трения в окружающую среду =8*% или 8™'>и.даф+8™'вШ.шТ = 0) уравнение (21) принимает общеизвестный вид =£<Ъ+(1с72 + сУг+81*'ТН[ и называется уравнением первого закона термодинамики для потока (проточной системы) [5].

Вычитая из уравнений энергии для АД (20) и (21) соответственно уравнения энергии для УД (17) и (18), получим уравнения энергии для ХД соответственно в гидромеханическом и термодинамическом (1) виде:

70

Р РГ +^то,.деф = р?с +Яи„даф = РГ-РИяс + ц Д (22)

ём = 5<7е -рс!о + 8и''ВЯз деф =&7® + 5^ -/>(!«, или = (23)

Сравнивая полученное уравнение (22) с аналогичным уравнением (2), заключаем, что так называемая мощность внутренних сил равна и противоположна по знаку объёмной мощности поверхностных сил по деформации элемента среды (_^шовдеф), а мощность диссипации N равна объёмной мощности деформации элемента среды только под действием сил вязкости (^да = ^лвдф = И -О).

Заключение. Термодинамический метод вывода уравнений энергии для потока, основанный на расчёте четырёх видов работ поверхностных сил (^аапф' ^давдеф- ^вязлер- ^вяз.деф), дополняет гидромеханический метод, основанный на понятии объёмной мощности NV , и позволяет дать однозначный физический смысл величин, получаемых в гидромеханическом методе вывода уравнений энергии для потока, в виде различного рода работ соответствующих сил и их мощностей:

Шу(Рс)= ЛГшов = ЛГшотпер + Лгшовдгф - объёмная мощность поверхностных сил по перемещению и деформации элемента среды, Вт/м3;

=_^шов.Деф =-(-^м>.деф + - объёмная мощность поверхностных

сил (с обратным знаком) по деформации элемента среды под действием сил давления и вязкости, Вт/м3;

(Цу(Рс) + N1,,= Л^шовпер = + Л^^ - объёмная мощность поверхностных сил по перемещению элемента среды как целого, Вт/м3;

= ^„и. - объёмная мощность вязкостных сил по деформации элемента среды, Вт/м3;

-■иф = 5т^'давпер - удельная работа результирующей сил давления по перемещению элемента среды как целого (в стационарном потоке), а в общем случае (потока и цилиндра) - работа изменения давления 5^р (по аналогии с работой изменения объёма 5^ = 5wV = р ё о).

ЛИТЕРАТУРА

1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1987.

- 848 с. ил.

2. Рындин В. В. Анализ методов вывода уравнений энергии в механике жидкости и газа //Наука и техника Казахстана.- 2009.

- № 2. - С. 87-99.

3. Рындин В.В. Анализ методов введения давления вязкой жидкости в механике жидкости и газа //Наука и техника Казахстана.- 2009.

- № 2. - С. 75-86.

71

4. Кириллин В.А., Сычев В.В. и Шейндлин А.Е. Техническая термодинамика: Учеб. для вузов. - Изд. 4-е. - М.: Энергоатомиздат, 1983. - 448 с.: ил.

5. Техническая термодинамика: Учеб. для машин. спец. вузов /В. И. Крутов, С.И. Исаев, И.А. Кожинов и др.; Под ред. В.И. Крутова. - 3-е изд. - М.: Высш. шк., 1991. - 384 с.: ил.

72