CC BY
19
УДК 531:530.145:536.533
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГИДРОМЕХАНИЧЕСКОЙ АНАЛОГИИ ДЛЯ ПОЯСНЕНИЯ СМЫСЛА СИЛЫ И ЗАКОНОВ НЬЮТОНА
В.В. Рындин
Павлодарский государственный университет им. С.Торайгырова
Мацалада Ньютонныц eKimui зацымен жэне масса взгертулер1 зацымен, Ньютонныц yiuimui зацымен жэне уз1кслзд1к тецдеучмен, масса агынымен жэне импульс агынымен (кушпен), масса жэне импульс арадагы аналогия Kepcemiiedi.
В статье проводится аналогия между массой и импульсом, потоком массы и потоком импульса (силой), вторым законом Ньютона и законом изменения массы, третьим законом Ньютона и уравнением неразрывности (сплошности).
The analogy between mass and impulse, flow of mass and flow of a impulse (force), the second law of Newton and law of change ofmass, the third law of Newton and equation of indissolubility is given in this article.
В физике до настоящего времени сила вводится уравнением
F = d(mc)/dt = dK/dt = £, (it
которое отождествляется со вторым законом Ньютона (ВЗН): сила, действующая на тело, равна скорости изменения импульса тела К = тс
Формула F = та = dK dt, (2<
получаемая из (1) в случае т = const, может рассматриваться также = качестве динамического определения силы и служит для выбора её единицы - ньютона. 1Н = 1 кг-м / с2
В связи с такой трактовкой понятия силы возникает вопрос: являет:» ли уравнение (1) законом или это просто уравнение связи, вводящее физическую величину силу, подобно тому, как с помощью уравнения свя! я
'Нельзя признать рациональным использование символа р для обозначения импульса г л обозначение модуля импульса р совпадает с обозначением давления - основной величины т?:-логехники, гидромеханики и многих других дисциплин.
ä&: _--:тся плотность однородного вещества физическая велики : сношению его массы к объёму
гы -1:зода в пользу того, что уравнение (1) является законом, "I тазнением, определяющим силу, приводится утверждение, [ «¿ссу можно определить независимо друг от друга, т е. опре-: йствующую на тело, не зная его массы, и определить ■siiTis ситу Однако и в уравнении связи дтя плотности мож-"гглелить плотность из уравнения состояния газа, массу г* а объём по геометрическим формулам, но никто не Крвкние р = т/V каким-либо законом, г,- вопрос: является ли уравнение (1) объективным законом щ- ху : если законы Ньютона (второй и третий, так как пер-з.~лг. собой просто повторение принципа инерции Галилея) в& : : : сделано в [1], из закона сохранения импульса, являю-ж г фундаментальным законом как и любой закон сохранено ::-: сохранения импульса получают из законов Ньютона, | :_зая дань заслугам Ньютона), dl гл.:сте дтя интерпретации законов Ньютона и самой силы 3i; w "механическая аналогия. Объяснительная эксплика-аналогии существенна для развития науки. Так, в ка--Езс 5 : А'но привести «фундаментальную» аналогию раство-* ül "т Гоффа, аналогию между расгворами и взвесями Эйн-..Т: з: ванную им для объяснения броуновского движения; >: шарика в жилкости и электрона в элекгромагнитном »z-;:-:ия его электромагнитной массы, а также гидротср-г»ч: аналогию между термодинамической сисгемой и ре-■ предложенную Х.Б. Колленом и развитую в работе щщх механической аналогии лежит формальное сходство зь«=ь .равнений, описывающих изменение массы подвиж-•Вр-^ -сги. газа) внутри контрольной поверхности и изменена. ■: а при его взаимодействии с другими телами. В этой l. t . импульса является масса.
яр-j . -: величину, характеризующую запас материи (веще-ШШж - в системе, обозначим символом В, то балансовое 32. Ысжающее закон изменения этой величины в результа-gfc".. f системы с окружающей средой, можно записать в
ёв = 2бв, (3)
В соответствии с (3) для контрольной поверхности и отдельного тела законы изменения массы и импульса можно сформулировать гак: изменение массы внутри контрольной поверхности равно алгебраической сумме масс втекающей и вытекающей среды и изменение импульса тела равно векторной сумме импульсов подводимого и отводимого движения, что аналитически выражается уравнениями:
йт = ^ Ьт- = ЬтВТвк + бтвытек, (4)
¿К* - ^ ЬК{ = ЬКподъод + ЬКатвод (5)
Суть этих трёх уравнений состоит в том, что они устанавливают связь между «собственными» и «граничными» величинами. Под собственными величинами будем понимать величины, приращения которых (полные или частные) являются однозначными функциями параметров состояния системы. Приращения собственных величин определяют изменение количества субстанции (вещества или движения) в системе. Для обозначения полного и частного элементарных приращений собственных величин следует использовать символы полного <1 и частного дифференциалов, указывающие на то, что данное приращение однозначно определяется через параметры состояния системы. Примерами собственных величин являются масса и импульс однородного тела, полные приращения которых являются однозначными функциями соответствующих параметров состояния,
&т = й(рУ) = рёГ + Уйр, (61
¿К ш й(тс) я тйс+ сйт О
Под граничными величинами будем понимать величины, которые нг являются однозначными функциями параметров состояния системы :■ определяются в зависимости от условий протекания процессов на границе, отделяющей систему от окружающей среды. Граничные величина определяют количество субстанции, переданной через отдельные участки границы системы. Для обозначения элементарности этих величин используется символ 6, который одновременно указывает и на то, чт: величина, обозначенная символом 6В, не является приращением (полны* или частным) параметров состояния, т.е. не может быть однозначно ос-ределена через параметры состояния системы, а определяется через граничные параметры.
г
С
_ - :овые соотношения, претендующие на статус физических а :1нения при переносе субстанции через границы системы, :.:ваться в виде
гранич > (В)
■м -¿ста стоит приращение собственной величины, однозначно г * через частные приращения параметров состояния системы
яскнвается выбором символов элементарных приращений <1 и ста стоят граничные величины, которые не являются ка--- крашениями одних только параметров состояния системы, эес::я также через величины, характеризующие интенсивность г.: лгства и движения через границы системы (что подчёркива-
символа 6 для этих величин). ъ > символ б - символ элементарности - ещё не нашёл широ-*: : ния в научной литературе, отметим области его примене-Лаес: * широко применяется в механике жидкости и газа [3] и в и термодинамике [4] с целью использования методов рав-■ г: яодинамики к системам с неоднородным состоянием. Для : ¿зсивают на совокупность отдельных частей (подсистем, ло-жтем) достаточно малых размеров (элементарных). Линейке ь: таких подсистем бх, Ьу, бг должны быть малыми по срав-.-г¿верными размерами всей системы (например, диаметром с значительно больше длины свободного пробега микрочастиц, ахих малых систем обозначается б V, его деформация - с1(б V); = рбК, её изменение - 6(Ьт). Плотность определяется как •: ч1ссы однородной элементарной подсистемы к её объёму Такое определение плотности предпочтительнее общепри-
= пп так как при стягивании объёма в точку возникает
1 "-о дК
женостъ в определении плотности, связанная с тем, попала ли ы точка на какую-либо из молекул, ядро атома (в этом случае г -*ожет быть порядка 1016 кг / см3) или в промежуток между тем случае плотность равна нулю). Элементарный импульс ас_:системы обозначается ЬК = сЬт
енных примерах бх, б К и бт являются сугубо положитель-ами. Однако в процессах переноса вещества через грани-г: ••:: элементарная масса является алгебраической величиной, и г-¿дает со знаком изменения массы вещества в системе: масса
шшшш
■шнввннавшнншш
втекающей среды положительна Ьтвтек>0 (при втекании среды масса вещества в системе увеличивается <1т>0), а при вытекании - отрицательна Ьтеыте<0 (при вытекании масса вещества в системе уменьшается ёт<0).
Примером использования символа 5 дтя обозначения элементарных величин в физике является запись уравнения первого закона термодинамики в дифференциальном виде1 [5]
ЬО = Ш + ЫУ,
где и сМУ элементарные теплота и работа (алгебраические величины).
Разделив все члены уравнений (3)-(5) на элементарный промежуток времени ё/, за который произошло изменение величин, получим:
сШ Ж = (9)
АтШ = ЪткккШ + ЬттШ = £ Ьт/ЙГ, (10)
ж / а/ = 6А;|0ДВ0Д / & + ькт ь^ък./ь (11)
Левые части уравнений (10) и (11) в соответствии с (6) и (7) можно записать в виде:
Сап / ё(рГ) / ё* = р<1 V /& + Уйр / й!, (12)
йК/& = й(тс)/ди штйс/М + сбт/д! (13)
В частных случаях течения несжимаемой жидкости (с1р = 0) или жёсткого трубопровода (6У = 0), а также неизменности массы движущегося тела уравнения (12) и (13) примут вид:
6т йярйГ/&шрГ, (14)
<1т/й( = У<\р/& = Ур, (15)
дК/й( = т&с/ дЛ = та (16)
Поскольку уравнения (12)-(16), устанавливающие связь между полными и частными приращениями, являются лишь частью общего уравнения (8), то именно поэтому они не являются какими-либо законами сохранения. Для получения законов сохранения надо к этим уравнениям
1 Многие физики до настоящего времени используют для обозначения теплоты и работы символы dQ и не подозревая, что такие обозначения устарели. В строгом понимании символа дифференциала Л (понятие дифференциала ввёл Г Лейбниц в 1684 г. как бесконечно малой разности двух соседних значений величины) эти обозначения означают приращения теплоты и работы в системе, хотя известно, что теплота и работа не содержатся в системе, не характеризуют состояние системы и поэтому «прирастать» не могут. Иными словами, такие обозначения дезориентируют читателей.
— _ьые части, конкретизирующие особенности взаимодействия : : сружающими телами на её границе. В частном случае это ?::=ие может равняться нулю. Например, в гидромеханике в 1?ется его элемент (закрытая подвижная система), который зреете с потоком и поэтому через его границы не происходит к -*с:ва. Для такого подвижного элемента среды выполняется ражния массы т = const, который в дифференциальном виде жс-т.чигь из выражения (12), приравняв его нулю (путём прибав-части, равной нулю),
dm/dt s pdF/dt + Vdp/dt = 0. • движения в однородном (пустом) пространстве (т.е. оно не ует с окружающей средой), то дтя него выполняется закон импульса (ЗСИ) К = const, который в дифференциальном виде ■скучить из выражения (13), приравняв его нулю,
6К / dt = mdc/dt + cdm/dt = 0. шеение элементарной величины 65, определяющей количество : и субстанции через границы системы за некоторый проме-: ы: ни di, к этому промежутку времени принято называть «по->:сй физической величины» [3, 5]:
Bt=bB/dt (17)
*гр. физическая величина «поток массы» через i-e сечение гато-: -ределяется как отношение элементарной массы вещества :Лпего через i-e сечение за промежуток времени di, к этому тту времени:
m¡. = б/И; / dt = - Jp cñ Ь А .
ггичным образом, отношение элементарного импульса ЬК1 упо-вего движения (УД), переданного от ¡-го тела через границу сис-_ промежуток времени к этому промежутку времени есть не как поток импульса, или сила - количественная характеристи-: ¡ ученного движения, передаваемого через границу системы в времени,
(18)
;_:ельно, понятие силы, определяемое уравнением связи (18) как элементарного импульса упорядоченного движения, пере-: -грез границу системы за промежуток времени dr, к этому про-
межутку времени, эквивалентно понятию потока импульса, а термины «сила» и «поток импульса» являются синонимичными наименованиями одной и той же величины.
Часто силу (поток импульса) определяют как отношение полного приращения импульса тела к промежутку времени
F = dK /dt = та (19)
Поскольку понятие силы существует независимо от того, изменяются ли внутренние параметры системы или нет, то в общем случае неправильно вводить понятие силы через внутренние параметры системы (ускорение) по формуле (19). Как будет показано ниже, это справедтиво только для одной силы - «собственной» силы, или силы инерции. С другой стороны, такое определение силы снижает статус второго закона Ньютона до уровня уравнения связи, определяющего силу
На самом деле уравнением, выражающим ВЗН, является балансовое соотношение дтя скорости изменения импульса (11), которое с учётом выражения (18) дам силы запишется в виде (при т = const)
dk/dt^ma = ^Fl^bk[/dt, где левая часть (скорость изменения импульса тела) находится через собственные (внутренние) параметры состояния системы - массу и ускорение, а правая часть - силы (потоки импульсов) - через граничные величины (внешние параметры), характеризующие особенности взаимодействия данного тела с другими телами. Например, при движении тела в вязкой среде силы вязкости могут определяться не пропорционально ускорению, а пропорционально скорости в первой F = к f или во второй F = к2с2 степени, сила давления пружины на тело пропорционально её деформации F = крс. Как видим, в общем случае каждая отдельная сила определяется по собственной формуле, а не как произведение массы на ускорение.
Аналогичное уравнение можно записать даш скорости изменения массы внутри контрольной поверхности неизменного объёма:
dm/dt я Vp = ^ mt = ^
Различаю! следующие виды сил. Внешние силы Fe (индекс е от англ. external - внешний), направленные к телу снаружи (извне) и совпадающие по направлению с приращением его импульса ¿К, и внутренние силы F1 (индекс i от англ. internal — внутренний), направленные из тела и совпадающие по направлению с убылью его импульса -<1К. Внешние и
■ргоенние силы равны по модулю и противоположны по направлению
И»
: маку)
Ре = -Р{ (20)
С «му всех сил принято называть результирующей всех сил или ре-тд. пирующей (суммарной) силой /'ре:1. В соответствии с рассмотренны-цлми сил уравнение ВЗН (1) для тел постоянной массы можно запи-
:- зиле:
*
ák/átmma-^F? mF¿
(21)
рез '
-йК/йя-та-^шР^ (22)
I I: :лсно этим уравнениям ВЗН формулируется так: скорость при-■ импульса тела равна сумме всех внешних сил, действующих на
Ш *.ги результирующей внешних сил1, скорость убыли импульса тела с име всех внутренних сил или их результирующей. Отличие урав-il;) от (18) заключается в том, что уравнение (21) выражает закон
изменения импульса тела, не определяя при этом каждую силу
■
рЕК-3ности, входящую в состав результирующей силы, - для этого •равнение (18). Согласно уравнению (18), сила (поток импульса) гтся независимо от того, изменяется импульс тела или нет, т. е и щтс Ж =0 Следовательно, если есть перенос УД через границу си-* о), то, согласно уравнению связи (18), интенсивность тако-¡■pcsoca всегда можно охарактеризовать понятием силы (потока им-
тто нельзя сказать об уравнении (1). fc внутренних сил можно вьщелить силу, значение которой од-чес определяется через внутренние (собственные) параметры cois Эту силу можно назвать собственной силой (собственны.н по-« ямяульса), или силой инерции
F^f, ^ F„„ = -dК / dJ = -та
(23)
соб — •* ин
=:«; тзехствии с этим выражением, собственный поток импульса (соб-л :;1ла, сила инерции) характеризует интенсивность реального лвяхения из тела лишь при убыли импульса этого тела, т.е. при тела. При разгоне тела к нему подводится движение извне, гфизуется уже не убылью, а приращением импульса. Поэто-енная сила (сила инерции), определяемая при разгоне тела по ; были импульса тела (23), будет условной силой (условным
рмг-к- ~ 15 ую формулировку дал Ньютон своему закону, а не сила равна произведению - лг. как часто пишут и говорят.
потоком импульса), или псевдосилой, характеризующей интенсивность воображаемого потока движения из тела.
Если каждой внутренней силе в соответствии с (20) можно сопоставить внешнюю силу, то собственной силе (силе инерции) можно сопоставить лишь результирующую силу В соответствии с (23) ВЗН (21) часто записывают в виде
Р +у£е=о.
ИН 1
Исходя из понятия силы как потока импульса, можно дать логически более простую формулировку третьего закона Ньютона (ТЗН). В случае взаимодействия двух тел без диссипации УД (йК] = -сШ"2) ВЗН мож:: записать в виде [1]:
&к\ / ¿1 = /?12 = - ¿к2 / а? = Дс_!г;,
или
Г,е _ 5соб лД
1 1—2 1 2—1 '
Полученное соотношение и составляет содержание ТЗН. Согласи; (24), ТЗН можно сформулировать как закон сохранения потока импульса. внешний поток импульса к первому телу от второго тела рае . собственному потоку импульса из второго тела (короче поток и пульса к первому телу равен потоку импульса из второго тела) ;•: :< как закон равенства сил: внешняя сила, действующая на первое теле. . стороны второго тела, равна собственной силе второго тела (силе инерции второго тела).
Поскольку собственная сила является одной из внутренних сил. : : соответствии с (20) её можно заменить внешней силой, и тогда ТЗН , мет общеизвестный вид:
1 1—2 — 1 2—1
Согласно этому выражению, ТЗН формулируется так: сила, с к. рой второе тело действует на первое тело, равна и противополо по направлению силе, с которой первое тело действует на второе
Мало кто отдает себе отчёт в том, что внешняя сила (вне поток импульса), направленная от тела 1 к телу 2, не характеризует альный перенос движения от 1-го тела ко 2-му (перенос движения осу ствляегся из 2-го тела к 1-му) и поэтому будет мнимой, псевдосилон псевдопотоком импульса. Реальной же силой (реальным потоком иу . са) является собственная сила (сила инерции) = поскольку характеризует реальный поток движения из 2-го тела к 1-му О
еже. как раз наоборот, силу инерции (собственную силу) = Р1[2 чу - -01 псевдосилой, а силу р^ - реально действующей силой на тело вс ггороны тела 1
5 < ачестве аналога уравнения сохранения потоков импульса (24) мож-~ «вести уравнение сохранения потоков массы (сплошности) для двух
5ргу аров:
Ат, / дЛ = т1
А™ А, „.вытек „.втек .„вытек
''1< ш = = / = > или 2 = Щ2-М :асно этим уравнениям, расход жидкости, втекающей в 1-й ре-& из 2-го, равен расходу жидкости, вытекающей из 2-го резервуа-^ г^внению (26) можно придать вид (25), если ввести псевдопоток жидкости, втекающей во 2-й резервуар из 1-го,
„втек
(26)
С: -:но этому соотношению, закон сохранения массы для двух ре-"ров можно сформулировать и так: поток массы втекающей жид-■ -й резервуар из 2-го равен потоку массы, втекающему во 2-й из 1-го, но взятый с противоположным знаком. Надуманность : -ределения закона сохранения массы очевидна и, естественно, оеемлемо в механике жидкости.
тении или неупругом соударении (деформации) происходи! пре-е (диссипация) УД в хаотическое движение (ХД), что харак-г::.г нагревом взаимодействующих тел. Пусть при неупругом ?еензш двух тел, т е при деформации этих тел, первое тело полу-* ~ ~ьс от второго тела и его импульс увеличивается, а импульс ела уменьшается, мпульса 2-го тела -с1К2 будет складываться из импульса дви-- - данного к 1-му телу ЬК^2, и импульса диссипированного дви-егсобразованного в ХД, нагрев) в ходе деформации 2-го тела
<Ж2=ЬК^1+ЪКтс2 (27)
: отведённого движения к 1-му телу ЬК^2 будет складывать-¡¿пгния импульса этого тела ¿АТ, и импульса диссипированно-в х°Де Деформации 1-го тела.
ЪК^2-йК]+ЬКтс1 (28)
что вектор импульса диссипированного движения 6А?ДИС ха-часть отданного или полученного упорядоченного движе-его направление совпадаег с направлением импульса пере-
данного движения бЛ^Д преобразованного в хаотическое движение, а
не само ХД или его приращение в системе, которое не имеет направления в пространстве.
Складывая (27) и (28), получим:
- ¿К. - йК2 = -й(К: +К2 ) = -¿КСИС1 = ЬК.[ИС] + ЬКтс2, или - ¿Ксис, = ЬКЛИС (29)
В соответствии с (29) при деформационном взаимодействии двух тел закон сохранения импульса не выполняется: убыль импульса системы нескольких взаимодействующих тел равна суммарному импульсу дисси-пированного движения в этих телах (превращённого в хаотическое движение).
Если разделить все члены уравнений (27) и (28) на ёг, то получим: - йК2 / & = + /<дис2 = -/'2^, + Ртс2 ' или йК2/& = Р^-Ртс2 (30)
и Р}12 = <ЖХ/й! + (31)
Опуская индексы в уравнениях (30) и (31), их можно обобщить так:
Р = Ре =йК /¿г + Ртс, (32)
ак & = Р^-Ртс (33)
Уравнения (32) и (33) являются обобщением ВЗН (1) на случай диссипации УД в теле. Согласно уравнению (33) ВЗН в общем случае можно сформулировать так: скорость изменения импульса тела равна разности внешнего результирующего потока импульса и диссипированного потока импульса внутри тела (разности внешней результирующей силы и силы диссипаций). В общем случае в состав результирующей силы может входить и сила трения, направленная навстречу перемещению тела.
В качестве аналога диссипации УД внутри тела, уменьшающей импульс тела помимо отвода импульса в окружающую среду, можно привести конденсацию пара в резервуаре, дополнительно уменьшающую массу пара в резервуаре помимо его отвода через трубы. Балансовое соотношение для изменения массы пара внутри резервуара в этом случае имеет вид
с\т = 5твх + 5твых + 6тконд = бтвх + 6твых - \ 5тКОНД . Разделив все величины на время <1 г, перейдём от баланса масс к балансу массовых расходов
6т / ё/ = 5твх / + 5твых / <1/-1 5тКОНД / ё/1= - \ т^ \ (34.
5 равнение (34) аналогично уравнению (33) и его можно интерпрети-рсеагъ так: скорость изменения массы пара внутри резервуара равна - - >пи между результирующим (суммарным) потоком массы пара, ■III ■ чего в резервуар и выходящего из него по трубам, и потоком мас-иоь конденсирующегося в жидкость.
. Рыноин В. В. Новая интерпретация понятия силы и законов движения Ньютона \Я Зестник Павлодарского университета. - 2000. № 2. - С. 163-177
1 Рындин В. В. Использование гидротермодинамической аналогии дня пояснения теплоты, работы, энергии//Энергетика (Изв. высш. учеб. заведений). -1991.
Шт. С. 78-82.
; 1 Лойцянский Л.Г Механика жидкости и газа: Учеб. для вузов. - М.. Наука, ' - 848 е.. ил.
- Гуров К. П Феноменологическая термодинамика необратимых процессов (фи-ягчазене основы).- М.. Наука, 1978.- 128 с.
5 иепиаф A.A., Яворский Б.М Курс физики: Учеб. пособие для втузов. - М.: ■ысп. шк., 1989.- 608 е.. ил.
ЛИТЕРАТУРА
