Анализ методов вывода уравнений неразрывности в механике жидкости и газа Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.533

АНАЛИЗ МЕТОДОВ ВЫВОДА УРАВНЕНИЙ НЕРАЗРЫВНОСТИ В МЕХАНИКЕ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

В.В. Рындин

Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова

Для расчёта параметров потока «обходимо иметь математическую модель принятой физической модели жидкости как сплошной среды. Математическая модель представляет собой совокупность уравнений, выражающих законы сохраняия вещества для закрытых систем и движения для замкнутых (изолированных) систем или их измеюшя соответственно для открытых систем и »изолированных систем, записываемых в виде балансовых соотношошй для соответствующих физических величин (массы, импульса, энергии и др.) примзштелъно к потоку жидкости (газа).

Физические закономерности, согласно которым численные значшияшкоторых физических величин не изменяются со времзем в любых процессах или в огтре-делином классе процессов, получили название физических законов сохранения. Физические законы сохранения являются количестввшыми (математическими) выражениями философского (качествшного) закона сохранения материи и движашя. Одним из таких физических законов сохранзшя (наряду с законами сохра^ния импульса и эжргии) является закон сохранения массы (ЗСМ), согласно которому измоитие массы подвижного элемента среды (закрыт® системы) равно нулю.

Наряду с этим в механике жидкости и газа (МЖГ) под законом сохранения массы часто понимают балансовое уравнмие для массы вещества, находящегося внутри так называемого контрольного пространства (КП), мыслшно выделшного в потоке жидкости проницаемей поверхностью - контрольной поверхностью. В случае нестационарного («установившегося) течения масса вещества внутри контрольного пространства измшяется, поэтому, строго говоря, в общем случае ЗСМ выполняется ж для КП, а для расширенной системы - контрольное пространство (открытая система) плюс окружающая среда (ОС). Балансовое уравнение изменения массы для КП принято называть уравнением неразрывности или сплошности. Данный термин примашот также и для выделенного эиЕмеета жидкости галечных размеров, что жльзя считать правильным, так как для жго (закрытой системы) закон сохрашшя массы выполняется и при наличии разрывов и пугтот внутри жидкости.

Рассмотрим особенности вывода различных видов уравнений, выражающих законы сохранения и изменения массы соответствзшо для подвижного элемента среды и для контрольной поверхности, и связь этих уравнений между собой.

Вначале выведем уравнение, выражающее закон сохранения массы для подвижного элгмента среды, взятого в форме параллелепипеда с рёбрами 5х, 5у, 8z и объёмом

5V = 5x5y5z (рисунок 1). При движении малого элемента жидкости его объём изменяется, но масса остаётся неизменной 5m = p5V = const, или, иначе, изменение массы равно нулю:

с!(5т) = с1(р5Г) = ф5Г + р(1(8К) = 0 (1)

Установим связь между объёмней деформацией $ 8 К) малого элемента подвижной среды (в МЖГ его принято называть макрочастицей, жидкой частицей, или просто

частицей) и его скоростью с с проекциями на оси координат сх,су,с2 . Изменение формы подвижного элемента среды происходит за счёт угловой деформации (искажения прямого угла), а изменение его объёма - за счёт линейной деформации Литейная деформация происходит из-за разности скоростей различных точек макрочастицы. Так,

если проекция скорости в направлении оси X для левой грани параллелепипеда равна сх , то для правой грани, с учётом.

приращения координаты X на 8х, она будет равна сх Н--—Ъх (см. рисунок 1).

дсх ~

При разности скоростей ~г— ох линейная деформация ребра параллелепипеда в

их

направлении оси X за время с1/ будет равна (см. рисунок 1)

<Ц&0=%5х<1л (2) ох

Аналогичным образом, определяется деформация рёбер в направлэшях осей у и 2 :

<1(5)0 = —5у<1/, = гИ. (3)

дх дг

С учётом найденных выражений для лингйных деформаций по осям деформация всего объёма макрочастицы определится следующим выражением:

<1(5 К) = ¿(8х8у&) = <1(5х)5>'52 + <1(8у)8*&: +

+ <1(52)8х5у = (—- + —- +—-)5Р<1г = <11ус5КС1/ 4 '

дх ду дг

.. _ дсх дсг дс, ~

где dive = — + — + - дивергенция вектора скорости с .

С развитием вычислений на ЭВМ векторные операции стали записывать в так называемой индексной форме [1, 2]. Вместо обычного обозначения декартовых координат X,у, z вводятся обозначения Xj.X2.X3, или сокращённо X, , где 1 = 1,2, 3. В индексной записи операция по вычислению дивергенции вектора скорости изображается

выражением dive = dCj/dXj, где с,- - / -я компонента вектора скорости с .

В соответствии с (4) дивергенция представляет собой относительную скорость объёмной деформации подвижного элемента среды:

А- ~ 1 d(5K)

dive =---—-. (5)

bV dt W

Замшяя 4 8F) в уравнении (1) с помощью выражения (4), и после нгсложных преобразований, получим уравнение, выражающее постоянство массы малого элемента подвижной среды в дифференциальном виде,

— + р(—+ + = 0, —+ р—= 0, или —+ pdivc = 0 (6) dt дх ду dz' d/ дх,- d t v

Поскольку dive в соответствии с (5) является относительной скоростью объёмной деформации подвижного элемента среды постоянной массы, тц елгдовательно, уравнение (6) констатирует факт изменения плотности этого элемента среды за счёт измщения его объёма.

Для любого движения (установившегося и неустановившегося) несжимаемой жидкости плотность р = const и, следовательно, уравнение ЗСМ (6) переходит в уравнение несжимаемости [3]

- дсх дСу дс7 _ dive = + —+ ^- = 0. дх ду dz

Физически это означает, что при движении »сжимаемой жидкости скорость её объёмной деформации равна нулю.

Уравнение ЗСМ (6) можно преобразовать к виду, когда площадь одной из грагей параллглепипеда входит в явном виде, что удобно при использовании такого уравнения для одномерных нестационарных потоков. Если обозначить элементарную площадь

грани, перпендикулярной оси х, через 8ЛХ , то элементарный объём параллелепипеда

определится в виде 6V = 5х 5АХ. Подставляя этот объём в выражение для дивергенции (5) и дифференцируя, получим.

. _ 1 d(ÔF) 1 d(&c5/U 5х d(5Ax) 5АХ d(5x) _ фАх) d(Sx)

ûiv с —----—--+--—----

5F dt 5F dt ÔV dt ÔF dt bAxdt bxdt

Подставляя полученное выражение для сНу с в (6) и деля на с1/ и Р, получим р 5Ах 5х

Выражая относительную линейную деформацию через скорость с помощью соотношения (3), получим

ар с1(6Л ) дс , Л

— +-— Н--— & = 0 (8)

р 5АХ дх '

ёр р<1(5^) дс „ или -£■ + х +р^-=0. (9)

с1/ 5АхсЬ к дх к '

Если площадь 6Ах выразить в виде произведения 82, то с учётом (3) второе слагаемое в (9) можно представить в таком виде:

р (1(5^) _ р <1(6у8г) р

¿(Ьу), <Ц8г) 5у &

(дсу аЛ р{ду + д2)

(10)

Следовательно^ уравнение (9), с учётом (10), тождественно уравнению (6), что и следовало ожидать. Таким образом, уравнения (8) и (9), содержащие площадь сечения элемшта в явном виде, являются новой записью ЗСМ для подвижного элемента среды.

В случае одномерного нестационарного течения в канале с равномерным распреде-лшием параметров по поперечному сечению канала уравнение (8) примет вид

(11)

р А дх

Приведённый вывод уравнений (6) - (8), содержащих площадь сечения элемента в явном виде и выражающих ЗСМ для подвижного элемента среды, даётся впервые.

Наряду с рассмотренным дифференциальным методом введения уравнения (6) используется интегральный метод, например [3]. В этом случае ЗСМ записывается для коренного объёма в виде

^(р6К = 0. (12)

Произведя в левей части диффершцирование, с учётом (4) получим, как и ранее,

откуда в силу произвольности области интегрирования V вновь найдём уравнение (6). Как видим, в данном интегральном методе так же, как и в диффереяциальном, требуется вывод соотношения (4) для дивергенции скорости.

Закон сохранения массы в интегральном виде (12), как уже отмечалось, часто называют уравнением нгразрывности, хотя это название нельзя считать удачным. Это связано с тем, что интегральная форма справедлива и в том случае, если величины, входящие под знак интеграла, претерпевают разрыв непрерывности внутри выделенного объёма.

Однако переход от равенства нулю интеграла (13) по всему конечному объёму V к равенству нулю подынтегральной функции (6) для произвольного элементарного объёма

8 V возможен только при условии непрерывности производных и подынтегральных функций. В связи с эпгим дифференциальные уравнения закона сохранения или изменения массы принято называть уравнениями неразрывности или сплошности.

Рассмотрим вывод уравнения нгразрывности для элементарного контрольного пространства (контрольного объёма), выделшного контрольной поверхностью в потоке жидкости. Контрольная поверхность - неподвижная в пространстве поверхность, через которую перетекает жидкость. Область пространства, ограниченная контрольной поверхностью, в термодинамике рассматривается как открытая система, параметры которой в случае нестационарных процессов не сохраняются. Поэтому, как уже отмечалось, правильше говорить нг о сохранении массы и энергии внутри такой системы, а об их изменении (законы сохраания будут выполняться для расширенной системы, включающей в свой состав как открытую систему, так и окружающую среду).

Если в пространстве выделить контрольную поверхность в форме параллелепипеда (рисунок 2), то закон изменения массы можно сформулировать так: масса жидкости,

которая накапливается в контрольном объёме за время (1/, равна разности масс втекающей и вытекающей жидкости (здесь принимается, что массы являются положительными величинами):

малости), так как масса Ьт и объём 8 V элемента среды, занимающего контрольное пространству уже элементарны.

д(Ьт) = 8 'т^ -81тюлек-

За время <1/ через левую грань параллелепипеда войдёт жидкость массой

(14)

<1х = Сх й!

О

X

•Х + &Х

Рисунок 2

Отношение массы жидкости, прошедшей через поперечное сечение канала за ж который промежуток времени, к этому промежутку времени называется потоком массы

(элементарным) 5 (5тгас_ Ш) = Ът„п = р сх 8АХ-

В общем случае поток массы - алгебраическая величина и для элгментарнсй площади

поверхности (площадки), рассматриваемой в виде векторной величины 6А = пбА, определяется выражением

5т = рс5А = рсЯ5А = рсп6А, (16)

где п - нормаль к площадке; Сп - проекция скорости на нормаль. Абсолютное значение потока массы называется массовым расходом. В случае одномерного течения с равномерным распределением скорости по сечшию трубы выражение

для массового расхода (16) имеет вид т, =| т |= рс А.

Огношшие потока массы к площади поперечного сечшия называется поверхностной

плотностью потока массы (плотностью потока массы)[ = 5тЪТек/8Ах = рсх .

В общем случае плотность потока массы - векторная величина j = рс . С учётом понятия плотности потока массы выражение (15) можно записать в виде

б2'"втскх = Рсх& 5Ах = Увтскх ■

Масса жидкости, вытекшей через правую грань параллелгпипеда при плотности потока массы в этом сечении увыхск = у'+~8х = рс + 5*, определится выражшием

х дх дх

52'"вьггскх = Увытскх = <Рсх +~-Ьх)ЬАх^ ■

Тогда масса накоплшней жидкости внутри контрольной поверхности за счёт потока в направлении оси X будет равна разности масс втекшей и вытекшей жидкости

§2тнакоплх =§2,ивтекх ~Ь2твытекх = = .

С учётом двух других направлений масса накопленной жидкости определится выражением

52Ш = 84 + 52ту + Ъ2тг = -+ ^ + *. (17)

3 дх ду дг

Поскольку рассматривается неподвижное контрольное пространство постоянного объёма, то накопление жидкости внутри него за некоторый промежуток времени может происходить только за счёт изменения плотности в данной точке пространства (локального приращатия плотности)

'Другие термины - удельный расход, массовая скорость, плотность тока, плотность потока - являются менее точными.

(1(6т) = с1(р8Г) = 8Гар = 6Ка/р^г (18)

Приравнивая выражения (17) и (18), получим уравнение, выражающее закон изменения массы для »подвижного контрольного пространства: приращение массы в контрольном пространстве за счёт изменения плотности равно притоку массы через контрольную поверхность,

от дх ду dz

После деления на время d/ и объём 8 V это уравнение примет окончательный вид

Эр дрсх Фсу Эре, Эр Эре,- Л Эр ,. , ~ Л

+ + + = — + -^ = 0 , —+ div(pc) = 0, или Э/ дх ду dz dt дхdt

^ + divj = 0. (19)

Дифференциальные уравнения (19) выражают закон изметения массы для элементарного контрольного пространства, и, следовательно являются различными видами записи уравнения неразрывности ж стационарного трёхмерного течения. При стационарном течении изменение массы внутри КП не происходит (^В = о) и> следовательно уравнение неразрывности принимает вид div(pc) = 0 и выражает ЗСМ для контрольного пространства: сколько жидкости втекает внутрь контрольного пространства, столько из него и вытекает.

Сравнивая уравнения (6) и (19), отметим их отличие. Уравнение (6) выражает закон неизменности массы подвижного элемента среды (закрытой системы), плотность которого изменяется за счёт деформации объёма, обусловленной неодинаковостью скоростей его

границ (учитывает dive ), уравнение (19) выражает закон изменения массы жидкости в контрольном пространстве (в открытой системе), плотность которой измамется за счёт неодинаковости плотностей потоков массы на контрольной поверхности (учитывает

div (рс) = div j).

С другой стороны, эти уравнения выводятся друг из друга, т. е. тождествягаы. Покажем эта Для сокращения вывода воспользуемся оператором Гамильтона (симво-

д т д -г д г

лическим вектором набла) V = — i + — / + — к, заменяющим символы градиента,

дх ду дх

дивергащии и ротации.

Заменяя в уравнении (19) дивергенцию выражением

div (рс) = V(pc) = с Vp + pVc = cx^ + cv^- + cz^- + p dive ,

дх J ду dz

получим уравнаше(6) = ^ +

где д( х дх У ду г£к й ¿1 ~ субстанциональная (инди-

видуальная) производная по времени от плотности.

Рассмотрим интегральный метод введения уравнения изменения массы для контрольного пространства конечных размеров (рисунок 3) [2, 4, 5]. Исходя из понятия потока массы (16) можно определить массу протекшей жидкости через произвольную

замкнутую поверхность за время ^

jpcnbAdt =<jp CjnfiAdt ^20)

А А

где п - единичный вектор (орт) нормали к площадке.

Чаще всего рассматривается внешняя нормаль, направленная наружу от поверхности (см. рисунок 3). В этом случае скалярное произведение векторов скорости и нормали

С п = С COS OL=Cn положительно для вытекающей жидкости (в этом случае угол а между направлением скорости и нормали острый и косинус угла положителен), а втекающей жидкости - отрицательно (в этом случае угол а тупой и косинус угла отрицателен). Следовательно интеграл (20) будет положительным, если жидкости вытекает больше, чем втекает, т. е. масса жидкости в контрольном пространстве уменьшается.

С"втек>0

п

с

Рисунок 3

Поскольку контрольное пространство »подвижно и его объём постоянен, то убыль (на это указывает знак минус) массы вещества будет определяться локальней убылью плотности

(21)

V

Приравняв интегралы (20) и (21) и сократив на ^ , получим уравнаше измеяния массы для контрольного пространства конечных размеров

- = <$рспЬА = <$рсЬА . (22)

VА А

Из этого выражения следует следующая формулировка закона изменения массы: скорость убыли массы внутри контрольной поверхности равна результирующему потоку массы через эту поверхность.

Согласно теореме Гаусса-Остро градского скалярный поток поля (в данном случае плотности потока массы ) через замкнутую поверхность равет интегралу от дивергенции этого потока, распространённому на объём внутри этой поверхности,

<!рс5А = [(Ку(рс)8К=

• ^ у дх, Подставляя правую часть этого выражения в (22),

получим

Л!+ШЧРС]8Г=([!+^]5К = 0. (23)

V V '

Если плотность р, скорость с и их производные непрерывны, то в силу произвольности объёма V, подынтегральное выражение в (23) должно равняться нулю, т. е. мы приходим к уравнению неразрывности (19).

Для расчета течений в прямолинейных или незначительно искривлённых участках трубопроводов ДВС широко применяют модель одномерного »стационарного потока газа [6]. Одномерную »стационарную модель можно использовать также для приближенных расчетов течения газа в трубопроводах с переменной площадью сечения. В рамках одномерного представлюия потока нюбходимо принять, что проекции скорости на координаты, расположенные в плоскости поперечного сечения, равны нулю. В случае течения жидкости при больших давлениях может происходить расширение трубок, следовательно в общем случае площадь поперечного сечения канала будет зависеть от

координаты и времени А = А(х, /).

Рассмотрим вывод уравжния »разрывности для трубы переменного сечения. Для этого возьмём плавно расширяющийся участок трубы переменного сечения, ограниченного сечениями 1-1 и 2-2 на дли» трубы Ъх (рисунок 4).

5твтск 2 5твытек

»»втек = РсА

й-

Ьх

• ____ , д(рсА)^

"»вытек = РсА + & О*

кг

х + 5х Рисунок 4

Предполагаем, что скорости направлены перпендикулярно сечениям и одинаковы по всему сечашю канала. Для данного участка трубы переменного во времени объёма

6 V = А дх закон изменения массы можно сформулировать так: скорость изменения массы на данном участке трубы равна разности входящего и выходящего потоков

массы. Если в сечении 1-1 с координатой X поток массы равен р(А , то в сечении 2-2

с ■ д(р<* ) к

за счёт приращения координаты X на ох он будет равен Ря + —V ох. Приравнивая разность этих потоков массы скорости изменния массы, получим балансовое уравнение изменения массы для эдгмапа трубы

(1/ д1 5/ к к дх дх

Здесь берётся частная производна по времени, так как выделенная область пространства неподвижна; отрезок 5х постояжн, поэтому он выжсен из под знака диф-ф еренциро вания.

Сократив все члены в этом уравшнии на 5х, получим новую запись уравнения неразрывности для трубы, площадь поперечного сечения которой является функцией

координат и времени А = А(х, Г), в виде

5(рЛ) + 5(рс/0 сН дх

Если труба жёсткая и площадь поперечного сечшия зависит только от координаты А = А(х), то уравнение неразрывности (24) примет известный вид [6]

др д(рсА) 1 др др дА 1 дс п

, — = 0, или + с —+ рс —--+ р—= 0/

а/ дх А д( дх У дх А У дх

Учитывая, что полная производная плотности р(х,/) повремени — = —+ с —

А(х) & д1 дх

и, что частная производная от площади 4 ' равна полней, а также ла 1 _ ам

. уравнение (25) можно преобразовать к часто используемому представ-

лшию в форме

ёр дс й\пА .

+ р —+ рс—— = 0. (26)

а/ дх ах

Если сделать замену ¿г = с & , то уравнение (26) можно преобразовать к виду (11), полученному для подвижного элемшта среды (закрытой системы) в случае одномерного нестационарного течения.

В случае установившегося (стационарного) течения скорость является функцией

только координаты с(х), следовательно её приращение ск = —<1х. С учётом этого

ах

и, делая в (11) замену <1/ = (Ьс/с, получим уравнение неразрывности для одномерного установившегося течения в дифференциальном виде:

Это уравнение можно записать и в таком виде: d[ln(pc/i)] = 0. Откуда следует ln(pcv4) = const и

рА = const. (28)

Если взять от выражения (27) определённый интеграл от первого сечения до второго то получим

рсА = const- (29)

Поскольку р<А является выражением для массового расхода, то уравияия неразрывности для одномерного стационарного потока (28) и (29) часто называют уравнениями постоянства расхода. Иногда эти уравнения называют уравнениями расхода [5, 6], что жльзя признать рациональным, так как уравгением расхода (массового), собственно

говоря, является уравгение связи mt = pd .

Приведённые выше уравшшя неразрывности носят весьма универсальный характер и выполняются при движении любой материальной среды, их вид ж зависит от свойств среды. В то же время эти уравжния ж учитывают случаи движения сплошной среды с жпрерывным по ходу движения среды возникновением (исчезновением) вещества данного сорта за счёт, например, химической реакции превращения одного из составляющих её веществ в другое или вследствие измежния фазового состояния вещества (испарение движущейся жидкости, сопровождающееся возникновением в жй пузырьков пара, или, наоборот, конденсация пара и появление в нём жидких капель и т. п.). Анализ методов вывода уравнений жразрывности на случай потока переменной массы за счёт наличия источников притока (стока) массы, а также для многокомпокнтных смесей и диффузии требует отдельного рассмотрения.

Литература

1 Седов А. И. Механика сплошной среды, т. 1. - М.: Наука, 1976,— 536 е.: ил.

2 Самойлович Г. С. Г ид ро газодинамика: Учебник для вузов. - М.: Машиностроение, 1990.-384 е.: ил.

3 Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. -М.: Наука, 1973.- 848 е.: ил

4 Дэйли Дж., Харлеман Д. Механика жидкости //Пер с англ. - М.: Энергия, 1971. - 480 е.: ил.

5 Емцсв Б. Т. Техническая гидромеханика -М.: Машиностроение, 1978. - 463 е.: ил.

6 Круглое М. Г., Меднов А. А. Газовая динамика комбинированных двигателей внутреннего сгорания. - М.: Машиностроение, 1988. - 360 е.: ил.

Тушндеме

Жылжымайтын бакрмау кещетшнщ жэне ортаныц жылжымалы элементi ушш массаныц сакрпалу зацы тецдеулерш кррыту эд1стертщ сыншыл шолуы 6epiredi. Ащын mypdi квлденец >щма ауданы бар ортаныц жылжымалы элементi ушш массаныц сакргалу зацыныц жаца жазбасы алынды. Уакрт жэне узындык, бойынша айнымалы квлденец Кцма ауданы кубыры ушш уз!КС1зд1К тецдеу алынды.

Resume

Gives the critical review of methods ofa deduction ofthe equations, expressing a law ofconservation of mass for a moving element of a medium and the law ofa modificationofamassfor fixed check space. The new entry of a law of conservation of mass for a moving element of a medium is obtained, containing sectional area of the element in a manifestative aspect, and also is obtained an equation of continuity for a tube, the sectional area by which one is Junction ofcoordinates and time.