CC BY
9Forest-Steppe of Ukraine]. Naukovyy visnyk Natsion-al'noho universytetu bioresursiv i pryrodokorys-tuvannya Ukrayiny. Ser.: Ahronomiya [Scientific Bulletin of the National University of Life and nature management of Ukraine. Ser.: Agronomy]. 2013, issue 183 (1), pp. 191-199. Available at: http ://nbuv. gov.ua/UJRN/nvnau_agr_2013_183(1)_39
7. Cherednichenko V.M. Yakist' vrozhayu kapusty brokoli ta dynamika yoho nadkhodzhennya za zastosuvannya vodoutrymuyuchykh hranul i mul'chu-vannya hruntu [The quality of broccoli harvest and the dynamics of its receipt for the use of water-retaining granules and mulching the soil]. Vegetable and melon growing. 2012, issue 58. pp. 391-401. Available at: http://nbuv.gov.ua/UJRN/Oib_2012_58_62.
8. Cherednichenko V.M. Korelyatsiyni zalezh-nosti etapiv orhanohenezu u roslyn kapusty brokoli za mul'chuvannya gruntu i zastosuvannya vodoutrymuyuchykh hranul v tunel'nykh ukryttyakh z ukryvnym materialom ahrovolokno v Lisostepu Ukrayiny [Correlation dependences of stages of organogenesis in broccoli plants for soil mulching and application of water-retaining granules in tunnel shelters with agrofiber covering material in the Forest-Steppe of Ukraine]. Vegetable growing and melon growing. 2011, issue 57, pp. 130-140. Available at: http://nbuv.gov.ua/UJRN/Oib_2011_57_23.
9. Chernetsky V.M. Vplyv pryrodnoyi vodozab-ezpechenosti na vrozhaynist' i yakist' produktsiyi kapusty biloholovoyi i plodiv kabachka v Lisostepu Pravoberezhnomu [The impact of natural water supply on the yield and quality of white cabbage and zucchini
in the Forest-Steppe Right Bank]. Agriculture and forestry. 2017, no. 5, pp. 99-107. Available at: http://nbuv.gov.ua/UJRN/agf_2017_5_15.
10. Chernets'kyy V.M. Kharakterystyka pryrodnoyi vodozabezpechenosti vehetatsiynoho period ta yiyi vplyv na urozhaynist 'kapusty biloholovoyi v tsen-tral'nomu Lisostepu Ukrayiny [Characteristics of natural water supply of the vegetation period and its influence on the yield of white cabbage in the central forest-steppe of Ukraine]. Zb. naukovykh prats' VDAU [Coll. scientific works of VSAU]. 2002, issue 12, pp. 57-63.
11. Grabar I.G., Romanchuk L.D., Stezhko O.V. Modelyuvannya kinetyky rostu roslyn tomativ v chasi [Modeling of growth kinetics of tomato plants in time]. Zb. nauk. pr. Podil's'koho derzh. ahrar.-tekhn. un-tu. Spets. vyp.: Suchasni problemy zbalansovanoho pryrodo-korystuvannya: materialy VII nauk.-prakt. konf., lystopad 2012 r [Coll. Science. Podolsky state ave. agrarian-technical un-tu. Special. issue: Modern problems of balanced nature use: materials of VII scientific-practical. Conf., November 2012]. 2012, pp. 154-158.
12. Kiryanov D.V. Mathcad 15 [Mathcad 15]. Petersburg, 2012. 432 p.
13. Dzis V.G., Levchuk O.V., Novitskaya L.I. Korelyatsiyno-rehresiynyy analiz v Mathcad: dovidnyk dlya studentiv spetsial'nostey - 201 «Ahronomiya», 101 «Ekolohiya», 205 «Lisove hospodarstvo», 206 «Sadovo-parkove hospodarstvo» [Correlation-regression analysis in Mathcad: a guide for students majoring in 201 «Agronomy», 101 «Ecology», 205 «Forestry», 206 «Horticulture»]. Vinnytsia, VNAU, 2016. 152 p.
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИ СОГЛАСОВАННАЯ МОДЕЛЬ ТЕОРИИ ПОРОУПРУГОСТИ ХИМИЧЕСКИ АКТИВНОГО ГЛИНСТОГО СЛАНЦА
Хайдаров И.К.
Чирчикский государственный педагогический институт Ташкентской области, проректор по учебной работе, Национальный Университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека, доцент кафедры «Механика и математическое моделирование» факультета Математики, Ташкент, Узбекистан Имомназаров Б.Х.
Новосибирский национальный исследовательский государственный университет, магистр, Новосибирск, Россия
A THERMODYNAMICALLY CONSISTENT MODEL OF THE POROELASTICITY THEORY OF
CHEMICALLY ACTIVE SHALE
Khaydarov I.,
Chirchiq State Pedagogical Institute of Tashkent Region, Vice Rector for academic affairs, National University of Uzbekistan named after Mirzo Ulugbek, Associate Professor of the Department of Mechanics and Mathematical Modeling, Faculty of Mathematics,
Tashkent, Uzbekistan Imomnazarov B.
Novosibirsk State University, Master degree, Novosibirsk, Russia
Аннотация
Получено фундаментальное решение системы уравнений теории пороупругости для бездиссипатив-ного случая. Показано, что при исчезновении пористости полученное фундаментальное решение переходит к фундаментальному решению системы уравнений теории упругости. Также рассмотрена обратная задача об определении распределенного источника из системы уравнений теорию пороупругости по режиму колебаний свободной поверхности. Используя метод сферических средних получена формула решений рассматриваемой обратной динамической задачи теории пороупругости.
Abstract
The fundamental solution of the system of equations of the theory of poroelasticity for the nondissipative case is established. It is shown that with the disappearance of porosity, the obtained fundamental solution goes over to the fundamental solution of the system of equations of the theory of elasticity. We will also consider the inverse problem of determining a distributed source from the system of equations of the theory of poroelasticity from the vibration mode of the free surface. Using the method of spherical means, we find a solution to the considered inverse dynamic problem of the theory of poroelasticity.
Ключевые слова: нелинейная математическая модель, прямая задача, пороупругость, линеаризованной модели, обратная задача, распределенный источник, динамическая задача, фундаментальное решение.
Keywords: direct problem, poroelasticity, distributed source, inverse problem, fundamental solution.
Дисперсное состояние является основным состоянием матери, так как большая часть вещества во Вселенной находится в виде пыли. В земных условиях человеку приходится сталкиваться с большим разнообразием дисперсных (аэрозольных) систем - атмосферные аэрозоли (облака, туманы), от которых зависит погода и климат на Земле, аэрозоли в различных сферах производства (порошковая металлургия, угольная промышленность, технология лакокрасочного производства и т.д.), а также бытовые аэрозоли, образующиеся при распы-ливании различных пестицидов, освежителей воздуха, парфюмерных жидкостей и т.д.
Многофазные (в простейшем случае двухфазные) течения играют важную роль в ряде технологии и в рабочих процессах энергетических и двигательных установок. В качестве примеров можно привести нанесение функциональных покрытий на конструкционные материалы, процессы барботажа, флотации, седиментации, получение порошков металлов распыливание и движение капель горючего в камерах сгорания жидкостных ракетных двигателей, движение частиц конденсированной фазы в сопловых блоках твердотопливных ракетных двигателей, процессы сжигания распыленного твердого топлива в котельных установках и т.д.
Многофазные течения подчиняются основным законам сохранения гидрогазодинамики. Однако при этом уравнения имеют более сложную структуру, чем в случае однофазных течений. В многофазных системах обязательно присутствуют поверхности раздела фаз, на которых свойства сплошной среды изменяются скачкообразно. Это принципиально отличает многофазные системы от однофазных (в том числе и многокомпонентных), где таких скачков нет [1].
Глина является одним из наиболее распространенных типов горных пород, слагающих до 11% всего объема земной коры. С ними часто приходится иметь дело при возведении фундаментов зданий и строительстве различных инженерных сооружений. Они повсеместно используются как сырье для производства керамики, кирпича, цемента, а также в качестве наполнителя при изготовлении ре-
зины, бумаги, буровых растворов и т.д. Глины обладают высокой адсорбционной способностью, и их успешно применяют для очистки масел, красок, вина, отбеливания тканей, а также как естественные экологические барьеры для борьбы с распространением техногенных загрязнений [2]. В частности, среди магматических месторождений имеются важные классы, образование которых связано с проявлением в силикатных расплавов при определенных условиях явления несмесимости, хотя в последнее время основное внимание в исследовании динамики формирования крупных месторождений магматических сульфидных руд уделяется расслоенным базитовым плутонам [4].
1. Термодинамика двухфазной среды с поверхностно - активным веществом.
Рассмотрим двухфазную среду с термодинамическим равновесием в объеме V , которая является жидкостью с каплями в ней, и эти капли могут быть, например, маслом. Обозначаем водную массу в пределах указанного объема как М1, масляную массу как М2 и массу поверхностно - активного вещества как Мс. Первый закон термодинамики,
приведенный ниже представляет собой гидродинамической системы [5], анализируемой здесь:
dËa = - pdV + + ¡л2dM2 + /исdMc + 5УЕ. (1)
Здесь Е0, $ - внутренняя энергия и энтропия системы в объеме V ; Т - температура; р - давление; & - поверхностное натяжение на границе раздела между водой и маслом; Е = - общая площадь поверхности границы раздела между водными и масляными каплями; J - количество капель
в объеме; химические потенциалы ком-
поненты 1, 2 и поверхностно - активного вещества. Падением давления в "жидкостных подсистемах" можно пренебречь в дальнейших рассуждениях. Уравнением (1) вводится химические потенциалы. Для гидродинамического описания нам необходимо ввести физические плотности:
(е0, М1, М 2, Мс, ~) = (Е0,5, р, р2, рс ,д1 )У. (2)
Подставляя соотношения из (2) в (1), приходим к первому принципу термодинамики для единицы объем среды:
йЕ0 = - рйУ + / йр + / йр2 + / йрс + -стси. Давление можно определить через термодинамическую формулу [7]:
р = -Ео + Т5 + /р + /2р2 + / Рс + Введем плотность среды, содержащей воду, масло и поверхностно - активное вещество:
Р = Р + Р2 + Рс.
В терминах новых переменных, формула (3) принимаем следующий вид:
йЕ0 = + /йр + (/ - /)ср2 + (/ - ¡^)йрс + -ссл.
Поскольку выполняется соотношение р2 = М/У = т N/V = т3, мы приходим к локальной форме первого принцип термодинамики четырех - параметрической термодинамической системы
(3)
(4)
(5)
(6)
dE0 = TdS + fa dp + ¿¡adJ + (fa - fa )pc = TdS + fa dp л--dp + (fa - fa )pc.
m
m,
° = + —{fa -fa
(7)
(8)
Р = -Е0 + Т5 + МхР + (Мс )Рс +-а3,
йр = + рй/ + рсй(/ -/)+-3йс.
/ = / + КТ 1п хгуг = / + КТ 1п аг,
Г ~
где / является химический потенциал вида
(9) (10)
здесь т - масса капли, / .
Формула (7) описывает локальное термодинамическое равновесие. Для относительного взаимного движения двух компонентов, следует обобщить теорию [9] для случая без локального равновесия. Разность скоростей w = и - V континуума воды - масла можно рассматривать как уменьшение степени свободы [10]:
йЕ0 = + /йр + -айИ + /- /У + (и -v)d/o =
(Г а
= + / йр+--йр2 + (/- / )йрс +(и - V Уу0,
т
Р = -Е0 + Т5 + /Р + {/с -/)Рс + (и - ^Уо, йр = +рй/ + Рсй(/ - //)+-1С& + (и - V).
Здесь у- плотность относительного импульса; и - скорость континуума капли; V - скорость континуума воды. Кинетическое слагаемое для двухскоростной среды был введен в соответствии с [7].
2. Соотношения деформации - напряжений с учетом химических потенциалов.
Пусть / свободная энергия Гельмгольца пористой системы (т.е. скелет + поровой жидкости) температуры Т и 5 энтропии отнесенную на единицу объема пористого тела. Имеем
К
С/ = с уС£ь + - 5СТ
г= 1
Здесь растворитель (обычно вода) и К -1 других видов в поровой жидкости. Масса тг каждого вида в единице объема пористого материала измеряется в молях.
Химические потенциалы компонентов в растворе запишем в виде [11]
г в равновесном состояния, х - частичное молярная доля видов г, у' является коэффициент актив-
г г г
ности и а = X у является активность г - го вида. К - газовая постоянная. В идеальном растворе уг = 1. Химический потенциал является функцией давления и удовлетворяет соотношение
dfa
= v =
1
8р р'
где V'' - объем моля вещества. Далее пренебрегаем влиянием температуры. Обычно в лабораторных условиях это выполняется.
Определим свободную энергию Гельмгольца /
связанную с твердой частицей в виде
С/о = С (/ - )= сцС£ч -^тГ .
г=1
Так как С/ является полным дифференциалом. Принимая £ и / в качестве независимых
У '
переменных состояния, получим
dfa
dmr
dm'
de.,
dm"
(11)
(12) д/ 8/
Таким образом, в этих переменных соотношения деформация - напряжений имеет вид
^у = С1]ы^ы -£ АЖ, (13)
г
dmr = Лг^ц*, (14)
где мы использовали (11), чтобы определить перекрестные коэффициенты А в (13) и (14), где
Лг = Л5Г, в силу (12). Кроме того, можем рассмотреть свободную энергию Гиббса
3. Однокомпонентная поровая жидкость
В однокомпонентной поровой жидкости,
аГ = ХГ = уг = 1, и, следовательно, согласно формуле Ц1 = dp|dpl . Отклик сланца будет зависеть только от порового давления жидкости в резервуаре и приложенного напряжения. Если система является изотропным, соотношения (16) и (17) упрощаются и принимают вид
dsу = $1 dау + $+ 8 у £ <<^цг, (18)
d
f-У»
Л
r r m -ajej
еda -Уmrdnr. dm = ö^a + ТBrS
tf У ^^^
(19)
Снова в силу полного дифференциала, и при-
Г
нимаяа.. и Ц , как переменных состояния, полу-
У '
dei}. dm'
, (15)
дцГ да у
и соотношения (12) имеет место, как и раньше. Следовательно
& у = $ у^а» +£ 0^ЦГ, (16)
Г
dmГ = О^а у +£ BГsdцs, (17)
где мы использовали (15), чтобы определить перекрестные коэффициенты < Гу в (16) и (17), и где
ВГ5 = В5Г
в силу (13).
Далее будем использовать напряжение ан и
у
Г
химические потенциалы Ц в качестве независимых переменных состояния. При этом входящие в эти соотношения коэффициенты , < , и В5
определяются из экспериментов. Эксперименты по уплотнению глины в контакте с большим резервуаром были выполнены в работах [12,13]. В каждом эксперименте состав пластового флюида поддерживался постоянным, а приложенное напряжение варьировались: результаты дают информацию о коэффициентах . Химический состав пластового
флюида варьировался в пределах одного эксперимента либо изменением раствора СаС12 на раствор ЫаС1, либо путем изменения концентрации соли. Наблюдение степени набухания глин в зависимости от концентрации соли могут также быть выполнены на микроскопическом уровне, с использованием рентгеновской дифракции для измерения расстояния между частицами глины (см., например, [14, 15]). Таким образом, эти информации позволяют определить перекрестные коэффициенты Ог
и мы видим, что для моделирования необходимы четыре материальных коэффициента. В изотропной пористой среде, соотношения (18) и (19) можно записать в виде [16]
V 3(у„ - у) 2це у = а у--Ки у
V +1
kk ij
B(V + 1)(v„ +1)
akkPs„,
m - m0 =
3Po (vu - v)
a
kk
+Bp)
2цВ(у + +1)
Здесь были выбраны четыре материальных коэффициента: модуль сдвига Ц, насыщенные и ненасыщенные коэффициенты Пуассона V и V , и
параметр Скемптона В, который связывает ненасыщенный отклик порового давления и приложенные напряжения.
4. Уравнения движения
Если отклонения от термодинамического рав-
^ Г
новесия невелики, то массовый поток q Г — го вида может быть представлено в виде
4 = —£ у Ц,
где Ь™ = Щ согласно принципу Онсагера.
Так как мы рассматриваем однокомпонентные по-ровые жидкости, насыщаемая пористая среда является изотропной и для таких сред в гидравлическом случае справедлив закон Дарси [9, 17]:
q =
1
XPP
Vp,
где р - парциальная плотность пористой жидкости (воды), р - полная плотность континуума, % - коэффициент межфазного трения.
Закон сохранения массы для каждого вида имеет место
дтГ
- + divqГ = 0,
dt
и следовательно
d ( ^ Qjda j +У Brsd»s
dt
_5_ dx,.
У j
v s
r
r
r
У
У
v
s
Электронейтральность подразумевает, чтобы не должно быть никаких наращиваний изменения в
любой точки. Если гГ - валентность г - го вида, то
5 Г Л
dx;
У ч,
r r
z
= 0.
V 5 У
Потенциалы течений будут созданы для того, чтобы сохранить электронейтральность. Удобно ввести потенциалы течения ¥ в химические потенциалы г - го вида следующим образом
ц. = цг + 2Г р¥, где ЦГ -химический потенциал ( г - го вида ), соответствующий локальной концентрации ионов, воды и глины. Ионные потоки принимают вид
г)
^ = —£ Ы
dx
(Иs + zsF¥\
и потенциал течения ¥ является решением уравнения Пуассона следующего вида
_8_ dx,.
у s + zsF¥)
dx
= 0.
с нулевым граничным условием Дирихле для контакта с высокой проводимостью жидкости или пористой породы.
Если заданы потоки, тогда выполняется условия непротекания и непроводящей границы. Если ион адсорбируется на стенках пор, он будет путешествовать только медленно, через скалы, и соответствующие коэффициенты переноса Lrj будут
малы. Если химические эффекты пренебрежимо малы (например, если пористость в пределах сланца является большим, из-за оттока), то будет доминировать конвективное течение, с дополнительной диффузией ионов по отношению к объемной жидкости.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 18-31-00120).
Список литературы
1. Архив В.А., Усанина А.С. Движение частиц дисперсной фазы в несущей среде: учеб. пособие. -Томск: Издательский Дом Томского государственного университета, 2014. - 252 с.
2. Соколов В.Н. Глинистые породы и их свойства // Соросовский образовательный журнал, 2000, т. 6, No. 9, c.59-65.
3. Бэрнэм У.К. Значение летучих компонент // Эволюция изверженных пород. М., 1983, с. 425467.
4. Доровский В.Н., Аверкин Ю.А. Гидродинамика трехфазной объемной кристаллизации многокомпонентных сред. Новосибирск, 1989, 26 с. (Препринт / ИГиГ СО АН СССР; No. 11).
5. Dorovsky V., Perepechko Yu., Sorokin K. Two - Velocity Flow Containing Surfactant // J. Engineering Thermophysics, 2017, Vol. 26, No. 2, pp. 160II182.
6. Landau, L.D. and Lifschitz, E.M., Statistical Physics, vol. 5, ButterworthIIHeinemann, 1980.
7. Landau, L.D. and Lifschitz, E.M., Fluid Me-chanics,vol. 6, ButterworthIIHeinemann, 1987.
8. Dorovsky, V.N., The Hydrodynamics of Particles Suspended in a Melt with the Self-Consistent Concentration Feildof an Admexture, I: Comp.Math. Appl., 1998, vol. 35, no. 11, pp. 27II37.
9. Blokhin, A.M. and Dorovsky, V.N., Mathematical Modeling in the Theory of Multivelocity Continuum, Nova Sci., 1995.
10. Леонтович М.А. - Введение в термодинамику. Статистическая физика. М., Наука, 1983,416 с.
11. Sherwood J.D. Biot poroelasticity of a chemically active shale // Proc. R. Soc. Lond.A, 1993, v. 440, pp. 365-377.
12. Mesri G., Olson R.E. Consolidation characteristics of Montmorillonite//, 1971, v. 21, pp.341-352.
13. Denis J.H. Compacition and swelling of Ca-smectite in water and in solutions: water activity measurements and matrix resistance to compaction // Clays Clay Miner., 1991, v. 39, pp. 35-42.
14. Slade P.G., Quirck J.P., Norrish K. Crystalline swelling of smectite samples in concentrated NaCl solutions in relation to layer charge // Clays Clay Miner., 1991, v. 39, pp. 234-238.
15. Denis J.H., Keall M.J., Hall P.L., Meeten G.H. Influence of Potassium concentration on the swelling and compaction of mixed (Na, K) ion-exchanged montmorillonite // Clay Miner., 1991, v. 26, pp. 255-268.
16. Имомназаров Х.Х. Аналог формул К. Терцаги и А. Скемптона для пористых сред, описываемыми тремя упругими параметрами // Интерэкспо ГЕ0-Сибирь-2016. XI Междунар. науч. конгр., апреля 2016. Т.1, с. 178-182.
17. Жабборов Н.М., Имомназаров Х.Х. Некоторые начально - краевые задачи механики двух-скоростных сред, Изд-во НУУз им. Мирзо Улуг-бека, 2012, 212с.
s
r
r
s
