CC BY
13УДК :621.1.016.7
ТЕРМИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОЙ
СРЕДЫ
Козинец Г.Л., Локтионова Е.А., Мусорина Т.А., Петриченко М.Р.
Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, 195251, Санкт-Петербург, Россия, ул.
Политехническая, 29
Аннотация.
Цель работы - определение термического сопротивления одномерной стеновой конструкции из однородной изотропной теплопроводной среды. Изучение составляющих термического сопротивления (активная и реактивная) Предмет исследования: исследование проводится в области строительной теплотехники. Рассматривается однородное изотропное стеновое ограждение различных габаритов (одномерная и двумерная задачи). Рассматривается распределения температурного поля по толщине стенового ограждения. Изучается как разные включения влияют на изменения температурное поля стены и термическое сопротивление.
Материалы и методы: Необходимо определить вопрос о существовании одномерного температурного поля в полосе стены. Используется банахова алгебра неограниченных операторов. Вводится оператор дробного дифференцирования, позволяющий представить решения предельных задач теплопроводности Фурье, первого-третьего рода Результаты: Термическое сопротивление одномерного ограждения определяется толщинами 5т (температурного) и 5д (теплового) пограничных слоев. Стеновое ограждение, обладающее большим активным термическим сопротивлением, как правило, термически неустойчиво и обладает малой тепловой емкостью.
Выводы: Максимальное увеличение температурного потока в установившемся температурном режиме для двумерной стены уменьшается на 41% по сравнению с одномерной стеной. Термическое сопротивление одномерного ограждения определяется мерами компактных носителей распределений температуры и теплового потока в одномерной теплопроводной среде. Стена позиционируется как термически толстая (двумерная), если 5т<ки как термически тонкая (одномерная), если 5т>к. В стене с «сопоставимыми» размерами термическое сопротивление, независимо от режима распространения тепла (стационарного или нестационарного) меньше термического сопротивления тонкой стены с таким же температурным напором.
Ключевые слова: энергоэффективность, термическое сопротивление, стеновое ограждение, математическая модель, перенос тепла, геометрические включения.
ВВЕДЕНИЕ
Любая ограждающая конструкция выполняет функцию теплового барьера (занавеса), блокирующего передачу тепла. Содержательная часть приводимых результатов разработана в РААСН А.М. Шкловером, Г.А. Селиверстовым, [15]. Так, А.М. Шкловер провел аналогию между неустановившимся распространением тепла и переменным электрическим током в линейной цепи. Работы В.В. Селиверстова, посвященные тепловым потерям через ограждающие конструкции, содержат определения реактивных эффектов - тепловой инерции и тепловой емкости ограждения. Являясь специалистом в теории функций, Г.А. Селиверстов пропагандировал методы Фурье-анализа в задачах строительной теплотехники.
Исследования В.Г. Гагарина [6-9] и его научной школы связывают одномерные схемы расчета температурного состояния стеновых ограждений с точными решениями путем введения корректирующих коэффициентов, учитывающих эффекты неодномерности температурного поля -включения, геометрические искажения формы стены и прочие факторы неоднородности. Введение фактор-множеств одномерных решений позволило создать нормативные методы теплового расчета сложных конструкций стен. Необходимо учитывать изменения параметров микроклимата помещений.
В работах [10-12] описывается проблема неправильного проектирования строительных ограждений. Одна из задач — это прогнозирование температурного и влажностного состояния стеновых ограждений еще на стадии проектирования. Также сделан вывод, что повышение требований по влагозащите ограждающих конструкций при использовании расчетных значений темрпературы и относительной влажности внутреннего воздуха не всегда целесообразно. С целью определения уровня теплозащиты выполняется математическое моделирование теплопередачи в стеновых ограждающих конструкциях. Наиболее точно добавочные потери теплоты, обусловленные влиянием краевых зон, могут быть определены по температурным полям. Приведенное сопротивление теплопередаче стеновых ограждающих
конструкций должны находится в интервале допустимых значений СП 50.13330.2012 «Тепловая защита зданий» и близко к экономически целесообразному сопротивлению теплопередаче.
Цель работы - определение термического сопротивления одномерной стеновой конструкции из однородной изотропной теплопроводной среды.Для этого доказываются следующие задачи: 1. Полное термическое сопротивление ЭТ не меньше активного термического
сопротивления
2. Термическое сопротивление ЭТ локализовано в пограничном слое температурного поля, определяемом как носитель интегрального распределения температуры и теплового потока
3. Активное термическое сопротивление тонкой стены, И/Ь<<1 такое же, как у двумерной стены, И/Ь>>1 (принцип Сен-Венана).
Доказаны теоремы, связанные с банаховойалгеброй, применимые в теории теплопроводности Фурье.
МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЙ
Необходимо определить вопрос о существовании одномерного температурного поля в
полосе-да<х<+да, 0<у<к предполагается, что координаты х, у уже нормированы, где Ь, Н-
продольные и поперечные размеры стенки, (значения либо одного порядка, либо несоизмеримы). На рисунке 1 показана схема одномерной стены, стилизованной под неограниченную полосу.С увеличением относительной толщины стены, ЬЪ=0(1), ее термическое сопротивление не возрастает. Принцип Сен-Венана для двумерной стены выполняется тогда и только тогда, когда вторые производные пограничных температур равны 0. тепловой поток рассчитывается по локальному перепаду граничных (предельных) температур То -Ть На рисунке 1 представлены схемы распространения теплового потока через одномерную (тонкую) стену неограниченного и ограниченного размеров.
Рис.1.Распределение теплового потока по стене неограниченного и ограниченного размеров Fig.l.Distribution of heat flow on the wall of unlimited and limited dimensions
Стена позиционируется как термически большой толщины (двумерная), если Ът<ки как термически тонкая (одномерная), если Ът>к. Например, для полубесконечной стены у>0, 60=сош^ получается:
1а( ч ^
4 ' ^ в моменты времени
полу бесконечной стены о,
дт = 2J — ,8=y[nat, и
V к
0 < t <
кН2
стена термически толстая.
4а
Предполагается, что стена выполнена из скалярной (однородной и изотропной) теплопроводной среды. Перепад температуры 0=0(/,у), t - время, у - поперечная координата, ВУ,у)<до(Г), 8о(t):=8(t,0), где 9о температура на поверхности стенового ограждения. Тепловой поток q=q(t,y)<q0(t):=q(t,0), д=-ХдТ/ду. Физические
константы среды, где Х- теплопроводность, р-плотность, ср- изобарная теплоемкость заданы.
На рисунке 2 представлены графики распределения по толщине стены скорости распространения уединенных волн. Где Wт -скорость распространения уединенной волны температурного возмущения, Wq- скорость распространения уединенной волны теплового потока. Существует полная аналогия с гидравликой: - скорость распространения длинной волны возмущения свободной поверхности. Тогда -скорость перемещения волны расхода, вызванной деформацией свободной поверхности. За счет инерции потока Жд<ЖТ. Возмущение свободной поверхности потока в любой момент времени занимает некоторую часть потока - область возмущения, аналог 8Т.
Рис.2.Скорости распространения уединенных волн Wти Wq Fig.2.DistributюnvelocitiesofsoHtarywavesWтandWq
Используется банахова алгебра неограниченных операторов. Вводится оператор дробного дифференцирования, позволяющий представить решения предельных задач теплопроводности Фурье, первого-третьего рода, в видедля первой предельной задачи:
в(г,у) = ехр(-уЭ)/2 )в (г),
в( г, у ) = ехр (-у512 (г)),
для третьей предельной задачи:
в(г,у) = ехр(-у51/2)(5/2 +р)~ рв,,
с коэффициентом теплоотдачи р и температурным напором внешнего источника ве;
для второй предельной задачи:
Представление оператора дробного дифференцирования по формуле Лиувилля:
1 '
5-пу (г) := (Л / Лг)- у (г) = / (г - т)пу ( т) Лт.
1 (п) о
При п=1/2 получается:
Следствие:
- 1 /2
5-1/2у (г) = -2. Г у (г - г2) dz.
о
(1) = 2^5-1/2 [г') = г*+1/2 Г(5 +1)
Г(' + 3/2)'
' >-3/2.
Пусть в0(/) аппроксимируется полиномом степени г:
тогда:
5;
-1/2
в (г ) = Ха/;
к=0
в0 (г) = Уак Г(к + 1)ч г 0 () ¿0 к Г (к + 3/2)
к+1/2
Пусть X - параметр, ReX>0. Тогда:
ш
(5г + Х)-1/2 у (г ) = | у (г - г2) ехр (-Хг2) Лг;
Теорема коммутации:
((5г +Х)(5г +Х)-1/2-(5г + ¿Г (5 + X))у(г)
Следствие: если Х=0, то формула коммутации принимает вид:
_ у (0) ехр (-хг)
5
1/2 д-1/2
) y ( ' )■ Î
РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ АНАЛИЗ
Рассмотрим случай, если к>>1 (стена большой толщины или двумерная стена). Тогда получается формула обращения с ядром Дирихле для распределения температуры в верхней полуплоскости у>0:
œ
T ( х, y ) = 1J
TT "
T0 ( х - ty ) dt
т ' 1 + г2
—го
Включается второй размер по х (длина или ширина здания по стене). Формулу Дирихле можно записать в следующем виде (в алгебре неограниченных операторов над кольцом Sk(El), к>1):
1 œ
T ( х, y ) = i J
Т J
Т 0
exp (-tydx) dt
1 +12
T0 (х) = eXP (-yÖх ) T0 (х) •
Эффект включений, провоцирующих неодномерность температурного поля теплового потока, обусловлен не только неоднородностью материала стенового ограждения, но и ее размерами. В тонкой стенке распределение температуры линейное, тепловой поток одномерен и распространяется поперек стены. Продольные составляющие теплового потока малы.
В стене с «сопоставимыми» размерами модуль теплового потока, как правило, больше чем в одномерной (тонкой) стене, а термическое сопротивление при нестационарном режиме меньше термического сопротивления тонкой стены.
Максимальное увеличение температурного потока в установившемся температурном режиме для двумерной стены составляет разницу 41% по сравнению с одномерной стеной.
Полученные результаты согласуются с существующей литературой [13-15]. Доказано, что высокая тепловая масса (тепловое сопротивление), которая отвечает за теплоустойчивость конструкции часто приводит к более высокому потреблению энергии в холодном климате. Ограждающая конструкция с высокой тепловой массой, будет эффективна в жарком климате. Этот результат имеет последствия для проектирования зданий в холодном климате и противоречит общепринятому предположению, что высокая тепловая масса коррелирует с низким энергопотреблением.
ВЫВОДЫ
1) Инвариантом термического сопротивления одномерной стены служит (неограниченный)
оператор г и температурный перепад на стеновой конструкции 6. Активное термическое сопротивление Эта, определяется как
* д—16 (г)
активному термическому сопротивлению ЭТа, составит:
(t )
полное термическое сопротивление
эт / я =
32 ( t )
(ö-1/23о (t))(ö 1 Ч (t))'
(t)■
ЭТ, определяется как ö 30 ^Отношение полного, ЭТ, термического сопротивления к
2). Термическое сопротивление одномерного ограждения определяется толщинами 5г(температурного) и 5?(теплового) пограничных слоев (мерами компактных носителей распределений температуры и теплового потока в одномерной теплопроводной среде). Стена позиционируется как термически толстая (двумерная), если 5г<йи как термически тонкая (одномерная), если dr>h.
3). Реактивное термическое сопротивление (тепловая емкость стены и ее тепловая инерция) при постоянном тепловом потоке возрастает одновременно с уменьшением активного термического сопротивления; иначе, стеновое ограждение, обладающее большим активным термическим сопротивлением, как правило, термически неустойчиво и обладает малой тепловой емкостью.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. КолмогоровА.Н., СеливерстовГ.А. Sur la connergence des series de Fourier // C.R. Acad. Sci. (Paris). 1924.№ 178.С. 303-307.
2. СеливерстовГ.А., Sur la connergence des series de Fourier // Atti Acad. LinceiRoma.1926. № 3. С.307-310.
3. СеливерстовГ.А.Математическая теория теплоустойчивости // Математический сборник.1931.№ 3-4 (38). С.70—73.
4. СеливерстовГ.А.К вопросу о тепловой инерции зданий. М.:Госстройиздат ОНТИ НКТП. 1933. 58 с.
5. Селиверстов Г.А.Теплоустойчивость зданий. М.: Госстройиздат НКТП. 1934. 52 с.
6. Гагарин В.Г., Козлов В.В., Лушин К.И., Плющенко Н.Ю. Учет теплопроводных включений и вентилируемой прослойки при расчетах сопротивления теплопередаче стены с навесной фасадной системой (НФС) // Строительные
материалы. 2016. № 6. С. 32-35. DOI10.31659/0585-430X-2016-738-6-32-35
7. Гагарин В.Г., Козлов В.В., Неклюдов А.Ю. Учет теплопроводных включений при определении тепловой нагрузки на систему отопления здания // БСТ: Бюллетень строительной техники. 2016. № 2 (978). С. 57-61.
8. Gagarin V., Akhmetov V., Zubarev K. Moisture behavior calculation of single-layer enclosing structure by means of discrete-continuous method // MATEC Web of Conferences. 2018. p. 03014. DOI10.1051/matecconf/201817003014
9. Гагарин В.Г., Неклюдов А.Ю. Учет теплотехнических неоднородностей ограждений при определении тепловой нагрузки на систему отопления здания. // Жилищное строительство. 2014. №6. С. 3-7.
10. Мусорина Т.А., Гамаюнова О.С., Петриченко М.Р. Обоснованиеконструктивныхмероприятийпоувели чениюэнергоэффективностистеновыхограждений // Вестник МГСУ. 2017. Т. 12. № 11 (110). С. 12691277. DOI: 10.22227/1997-0935.2017.11.1269-1277
11. Корниенко С.В. Уточнение расчетных параметров микроклимата помещений при оценке влагозащитных свойств ограждающих конструкций // Вестник МГСУ. 2016. № 11. С. 132-145. DOI 10.22227/1997-0935.2016.11.132-145
12. Корниенко С.В. Повышение теплозащиты стеновых конструкций зданий из объемных блоков // Строительство уникальных зданий и сооружений. 2016. № 8 (47). С. 17-30.
13. Petrichenko M.R., Kotov E.V., Nemova D.V., Tarasova D.S., Sergeev V.V. Numerical simulation of ventilated facades under extreme climate conditions // Инженерно-строительныйжурнал. 2018. № 1 (77). С. 130-140 doi: 10.18720/MCE.77.12.
14. Vatin N., Gamayunova O. Energy saving at home // Applied Mechanics and Materials. 2014. Т. 672674. pp. 550-553 DOI:10.4028/www.scientific.net/AMM.672-674.550
15. deGracia A., Castell A., Fernández C., Cabeza L.F. A simple model to predict the thermal performance of a ventilated facade with phase change materials // EnergyandBuildings. 2015.No. 93, pp. 137-142. DOI: 10.1016/j.enbuild.2015.01.069
REFERENCES
1. Kolmogorov A. N., Seliverstov G. A. Sur la connergence des series de Fourier // C.R. Acad. Sci. (Paris). 1924. N 178. pp. 303—307.
2. Seliverstov G. A. Sur la connergence des series de Fourier // Atti Acad. Lincei Roma. 1926. N 3. pp. 307—310.
3. Seliverstov, G. A., Mathematical theory of thermal stability // Mathematical collection. 1931. N. 34 (38). pp. 70-73. (In Russian)
4. Seliverstov G. A. On the question of thermal inertia of buildings. M.: ONTI NKTP Gosstroiizdat. 1933. 58 p. (In Russian)
5. Seliverstov, G. A., thermal stability of buildings. Moscow: NKTP Gosstroiizdat. 1934. 52 p. (In Russian)
6. Gagarin V. G., Kozlov V. V., Lushin K. I., Plushenko N. Yu. Accounting of heat-conducting inclusions and the ventilated interlayer at calculations of resistance to heat transfer of a wall with hinged facade system (NFS) // Building materials. 2016. N. 6. pp. 3235. DOI 10.31659/0585-430X-2016-738-6-32-35(In Russian)
7. Gagarin V. G., Kozlov V. V., Neklyudov A. Yu. Accounting for heat-conducting inclusions in determining the thermal load on the heating system of the building / / BST: Bulletin of construction equipment. 2016. N. 2 (978). pp. 57-61(In Russian)
8. Gagarin V., Akhmetov V., Zubarev K. Moisture behavior calculation of single-layer enclosing structure by means of discrete-continuous method // MATEC Web of Conferences. 2018. p. 03014. DOI10.1051/matecconf/201817003014
9. Gagarin V. G., Neklyudov A. Yu. Accounting for thermal inhomogeneities of fences in determining the thermal load on the heating system of the building. // Housing construction. 2014. N. 6. pp. 3-7.(In Russian)
10. Musorina T. A., gamayunova O. S., Petrichenko M. R. Justification of constructive measures to increase the energy efficiency of wall fences // Vestnik MGSU. 2017. T. 12. N. 11 (110). pp. 1269-1277. DOI: 10.22227/1997-0935.2017.11.1269-1277(In Russian)
11. Kornienko S. V. Refinement of the calculated parameters of the microclimate of premises in assessing the moisture-proof properties of enclosing structures // Vestnik MGSU. 2016. N. 11. pp. 132-145. DOI 10.22227/1997-0935. 2016. 11. 132-145 (In Russian)
12. Kornienko S. V. Increase of thermal protection of wall constructions of buildings from volume blocks // Construction of unique buildings and constructions. 2016. N. 8 (47). pp. 17-30 (In Russian)
13. Petrichenko M.R., Kotov E.V., Nemova D.V., Tarasova D.S., Sergeev V.V. Numerical simulation of ventilated facades under extreme climate conditions // Magazine of Civil Engineering. 2018. N 1 (77). pp. 130-140.doi: 10.18720/MCE.77.12.
14. Vatin N., Gamayunova O. Energy saving at home // Applied Mechanics and Materials. 2014. T. 672674. pp. 550-553. DOI:10.4028/www.scientific.net/AMM.672-674.550
15. deGracia A., Castell A., Fernández C., Cabeza L.F. A simple model to predict the thermal performance of a ventilated facade with phase change materials // EnergyandBuildings. 2015.N. 93, pp. 137-142. DOI: 10.1016/j.enbuild.2015.01.069
THERMAL RESISTANCE OF HOMOGENEOUS ISOTROPIC HEAT-CONDUCTING
MEDIUM
Kozinets G. L., Loktionova E. A., Musorina T. A., Petrichenko M. R. 1St. Petersburg Polytechnic University of Peter the Great, 195251, St. Petersburg, Russia, Polytechnicheskaya, 29
Summary. Determination of thermal resistance of a one-dimensional wall structure from a homogeneous isotropic heat-conducting medium. Study of thermal resistance components (active and reactive)
Subject: the research is carried out in the field of construction heat engineering. A homogeneous isotropic enclosing structure of different dimensions (one-dimensional and two-dimensional problems) is considered. The distribution of the temperature field over the thickness of the enclosing structure is considered. It is studied how different inclusions affect changes in the temperature field of the wall and thermal resistance.
Materials and methods: It is necessary to determine the question of the existence of a one-dimensional temperature field in the wall strip. The Banach algebra of unbounded operators is used. The fractional differentiation operator is introduced, which allows to present solutions of limit Fourier heat conduction problems of the first-third kind.
Results: The thermal resistance of a one-dimensional enclosing structure is determined by the thicknesses 8t (temperature) and 8q (thermal) of the boundary layers. Enclosing structure, which has a large active thermal resistance, as a rule, is thermally unstable and has a small thermal capacity.
Conclusions: The maximum increase in temperature flow in the steady-state temperature regime for a two-dimensional wall is reduced by 41% compared to a one-dimensional wall. The thermal resistance of a one-dimensional enclosing structureis determined by measures of compact carriers of temperature and heat flux distributions in a one-dimensional heat-conducting medium. The wall is positioned as thermally thick (two-dimensional) if 8r<h and as thermally thin (one-dimensional) if 8i>h. In a wall with "comparable" dimensions, the thermal resistance, regardless of the mode of heat distributions (stationary or non-stationary) is less than the thermal resistance of a thin wall with the same temperature head.
Key words: energy efficiency, thermal resistance, enclosing structure, mathematical model, heat transfer, geometric inclusions.
