CC BY
97
Том XXXIX
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 200 8
№ 3
УДК 533.6.071.08:681.26
ТЕПЛОВАЯ МОДЕЛЬ ТЕНЗОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕСОВ
И. В. КЛЕЕВ
В статье дается описание тепловой модели тензометрических весов. Рассмотрены источники температурных градиентов в конструкции весов, а также метод мониторинга величины температурной динамической погрешности.
При проведении экспериментальных исследований в аэродинамических трубах большая часть измерений производится тензометрическими весами. Современные тензометрические весы в стационарном тепловом режиме обладают высокой точностью. При изменении тепловых режимов, при нагревании или охлаждении, резко возрастает температурная погрешность тензовесов, причем ее значение в сотни раз может превышать погрешность весов, работающих в стационарном тепловом режиме [1, 2].
Экспериментальные исследования показывают, что весы практически никогда не работают на стационарных тепловых режимах. Причиной тому являются изменения по времени температуры потока и режима испытаний, а также большая тепловая инерция весов.
Различают две составляющие температурной погрешности — статическую и динамическую.
Статические температурные погрешности появляются при стационарном тепловом режиме работы весов, когда температура всех элементов изменяется одновременно, без градиентов. Снижение данной составляющей температурной погрешности до приемлемого уровня обеспечивается схемной или алгоритмической компенсацией.
Причиной динамических температурных погрешностей являются пространственные градиенты температуры в конструкции, обусловленные нестационарным тепловым режимом работы весов, когда различные элементы весов обладают разной температурой. Именно этому типу температурных погрешностей и методам борьбы с ним посвящена данная статья.
Следует отметить, что предложенная ниже модель не описывает процесс возникновения температурной динамической погрешности в тензомосте (преобразователе деформации стоек тензовесов в электрический сигнал). Изучение подобного типа погрешности требует отдельного исследования.
Построение тепловой модели весов. Для описания возникновения температурных динамических погрешностей в тензовесах необходимо знать поля температур в их конструкции. Один из способов решения этой задачи — создание тепловой модели тензовесов, которая позволяла бы рассчитывать температуру в любой точке конструкции в любые моменты времени. Для создания подобной модели предлагается воспользоваться методом электротепловой аналогии, позволяющим создать простую и наглядную тепловую модель тензовесов, при этом обладающим хорошей точностью моделирования тепловых процессов.
Как известно, распространение электрического тока в непрерывных цепях и тепла по телу описывается одним и тем же уравнением — дифференциальным уравнением теплопроводности (или диффузии), которое записывается в следующем виде (для одномерного потока тепла):
дТ д 2т
■ = а-
дг дх2 ’
где г — время; х — координата, вдоль которой происходит распространение тепла; Т (х, г) —
м2/с
— коэффициент температуропровод-
температура тела в точке х и в момент времени г; а ности, который равен
=А
ср’
где X — коэффициент теплопроводности [Вт/мК], с [Дж/кгК] — удельная теплоемкость, а
Р
кг/м3
— плотность материала [5, 6].
В методе электротепловой аналогии температуре ставится в соответствие напряжение, тепловой энергии — заряд, теплопроводности — электропроводность и т. д.
Далее рассматриваемая конструкция разбивается на некоторое количество элементов (ячеек), каждый из которых обладает теплоемкостью и сопротивлением теплопередаче. Теплоемкость заменяется конденсатором, обладающим емкостью, а сопротивление теплопередаче — резистором. Эти элементы и составляют электрическую цепь, распределение напряжения по которой соответствует распределению температуры по исследуемой конструкции тензовесов, т. е. процесс распространения тепла по телу моделируется распространением заряда по ЯС-цепочке.
Далее на основе законов Кирхгофа строится система дифференциальных уравнений для этой ЯС-цепи, которая решается численно. Следует отметить, что эта система дифференциальных уравнений первого порядка и количество их в системе равно количеству элементов (ячеек), на которые разбивается конструкция.
В отличие от разностных схем, приемлемая точность которых в основном достигается за счет уменьшения шага сетки, предлагаемый в настоящей работе метод основан на схожести аналитического решения уравнения теплопроводности и решения задачи распространения заряда по ЯС-цепочке.
Следует отметить, что при контакте весов с окружающей средой реализуется граничное условие третьего рода, которое характеризует закон конвективного теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Если Тпов — температура поверхности, а Тс — температура среды, то количество тепла дп, передаваемого в единицу времени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду в процессе нагревания или охлаждения, прямо пропорционально разности температур между поверхностью тела и окружающей средой:
Яп = а(Тпов -Тс )
где а ~
Вт/м 2 К
— коэффициент теплообмена.
Важную роль при конвективном теплообмене играет критерий Био Б1 (I — толщина тела):
в,=!а.
X
При а^^ Б1 и граничные условия третьего рода переходят в граничные условия первого рода.
При моделировании сложной конструкции цепочкой элементов не учитывается динамика распределения тепла поперек тела, которая определяется критерием Био. В [6] на стр. 205 показано, что для того, чтобы скорость нагревания определялась скоростью переноса тепла из окружающей среды к телу и, следовательно, распространение тепла вдоль трехмерного тела можно было моделировать одномерной цепочкой, критерий Био должен быть меньше 0.1.
элемента
Рис. 1. Центральная часть тензовесов
Это условие ограничивает применение одномерной модели к реальным трехмерным телам при граничном условии третьего рода. При несоблюдении данного условия необходимо разбивать конструкцию на ячейки не только вдоль, но и поперек.
Целесообразно рассмотреть конструкцию половины центральной части внутримодельных тензометрических весов (рис. 1), измеряющую силу по оси х. Она состоит из двух цилиндрических частей, клиновидного элемента, четырех пакетов стоек и двух стоек чувствительного элемента. Клиновидный элемент необходим для обеспечения жесткости конструкции тензовесов, пакеты стоек связывают между собой две половины весов, на стойках чувствительного элемента устанавливаются тензорезисторы для измерения деформации, вызываемой силой по оси х.
Наибольшие температурные градиенты в тензовесах возникают в их центральной части из-за сложности ее конструкции, а также в связи с тем, что теплообмен между двумя ее симметричными частями осуществляется в основном через стойки и чувствительный элемент.
Для создания тепловой модели тензовесов необходимо разбить центральную часть их конструкции на ячейки. Из множества возможных вариантов для удобного построения эквивалентной схемы, а также оптимальной длины ячеек (большая длина привела бы к уменьшению точности моделирования, меньшая — к громоздкости модели) была выбрана схема разбиения, изобра-
_3
женная на рис. 2. Необходимо отметить, что указанная схема разбиения обеспечивает Ы < 10 .
Далее, рассчитав параметры ячеек, можно собрать эквивалентную электрическую схему, распределение напряжения в которой соответствует распределению температуры по конструкции тензовесов. Фрагменты схемы изображены на рис. 3.
Для моделирования прогрева тензовесов при наличии потока тепла от тензорезисторов, установленных на чувствительном элементе, необходимо задать дополнительный ток в ячейку № 64. Величина тока должна быть пропорциональна мощности источника тепла. При моделировании прогрева тензовесов с дополнительными потоками тепла от посторонних источников можно подводить ток подобным образом к любой ячейке эквивалентной схемы.
43 41 39 37 35 33 31 29 27 25 23 21 19 17 15 13 11 9 87 654321
42 40 38 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10
65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101 104 107
66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98100 103 106
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 102 105
Рис. 2. Разбиение центральной части тензовесов на ячейки
Ячейка №65 Ячейка №66 Ячейка № 86 Ячейка № 106 Ячейка №107 Ячейка № 117
Рис. 3. Фрагменты эквивалентной электрической схемы
Далее, после расчета для каждой ячейки ее объема, площади поверхности и площади поперечного сечения, записывается дифференциальное уравнение первого порядка, описывающее тепловой баланс ячейки. В итоге получается система дифференциальных уравнений первого порядка следующего вида:
Ф 2 =
ф 1
Ф1 -Ф2
Ф1 -Ф2 ,+ Т -Ф1
((1 + ^2 )^1 ^1^1
Ф2 -Ф3 Ф2 -Ф63 + Т -Ф2
((1 + Я2 )С2 ((2 + ^3 )) ^2^63 ^2О*’
Ф2 -Ф3
Ф3 =
Ф3-Ф2 + Т -Ф3
((2 + ^3 ))22 ((3 + ^4 ))3 ^Г3 С'.
ф _ ф105 ф106_____________ф106 ф107 ф106 ф63 + Tc ф106
(і?105 + ^106 )С106 (106 + ^107 )С106 С106^63 ^106 С106
ф _ ф116 ф117 + ^ ф117
((117 + ^116 )С117 RT117С117
Для получения распределения температуры по тензовесам необходимо решить эту систему дифференциальных уравнений. Поскольку ее аналитическое решение является довольно громоздким, задача решалась численным методом в программном комплексе Mat:hcad.
Для получения величины температурной динамической погрешности необходимо с помощью эквивалентной упругой схемы весов пересчитать значения температурных градиентов в значение температурной динамической погрешности. Методика пересчета требует отдельного описания.
Рис. 4. Экспериментальная кривая прогрева точки на весах в термостате Тэ (п) и график температуры аналогичной точки тензовесов Тм (п), полученный с помощью тепловой модели
Работа рассмотренной тепловой модели весов проверялась на простых телах (в сравнении с аналитическим решением уравнения теплопроводности), а также сравнивалась с экспериментальными данными прогрева тензовесов [2]. На рис. 4 изображены экспериментальная кривая Тэ (п) температуры фиксированной точки весов, соответствующей ячейке № 12, при их прогреве
в термостате и график температуры Тм (п) ячейки № 12, полученный с помощью тепловой модели весов. Как видно, совпадение удовлетворительное, позволяющее говорить о том, что картина прогрева тензовесов, полученная с помощью тепловой модели, хорошо совпадает с реальной зависимостью прогрева тензовесов.
Причины возникновения динамических температурных погрешностей в тензовесах. С помощью рассмотренной модели были изучены три основные причины возникновения динамической погрешности и методы борьбы с ними:
1. Прогрев тензовесов от окружающей среды. Прогрев конструкции весов от окружающей среды происходит неравномерно из-за наличия клиновидных элементов и стоек (рис. 5). «Острые» концы клиньев прогреваются быстрее «тупых». В результате в конструкции весов появляются температурные градиенты, которые являются причиной деформации тензовесов.
Наибольшие градиенты в конструкции тензовесов возникают между крайними ячейками № 1 и 53 (см. рис. 3). На рис. 6 изображены зависимости температуры ячеек хп1 и хп 53 при прогреве от окружающей среды для единичного перепада между температурами тензовесов и окружающей среды. Отчетливо виден температурный перепад между крайними ячейками (что иллюстрирует рис. 7), который подтверждается экспериментально: существенные температурные градиенты сохраняются в весах на протяжении 1.5—2 часов после начала испытаний или изменения их режима. Максимум градиента достигается на 180 секунде.
Рис. 5. Прогрев весов от окружающей среды (более темные области соответствуют более нагретым частям конструкции)
2п, 1 гп, 53
°с
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1 1 1 1 1
ж -
А
" /
//
/
//
- Р
//
к
//
V \ \ \ 1 1
1000
2000
3000
4000
5000
6000
Рис. 6. Зависимости прогрева крайних ячеек тензовесов от воздействия окружающей среды
Рис. 7. Кривая температурного перепада между крайними ячейками тензовесов при прогреве от окружающей среды
Кожух, в котором находится конструкция тензовесов, выполняет также и теплозащитные функции, уменьшая коэффициент теплообмена между весами и окружающей средой. Тепловая модель позволяет рассчитывать эффективность применения кожухов из различных материалов для снижения температурных градиентов и, следовательно, температурной динамической погрешности. Например, моделирование прогрева тензовесов показало, что при применении защитного кожуха из пеноплекса толщиной 3 см максимальное значение температурной динамической погрешности при измерении силы оси х оказалось в 17 раз меньше, чем без кожуха.
2. Прогрев весов от модели. При проведении аэрофизического эксперимента слева к весам присоединяется исследуемая модель, а справа весы прикреплены к державке. Если температуры этих трех тел не равны, то между ними возникает тепловой поток (рис. 8). Рассмотрим случай, когда температура модели больше температуры весов, а теплообмена между весами и державкой нет.
Рис. 8. Прогрев весов от модели (более темные области соответствуют более нагретым частям конструкции)
Тепло от модели перетекает вдоль конструкции весов, прогревая их несимметрично относительно оси симметрии весов. В силу большого термического сопротивления стоек одна из симметричных половинок тензовесов (ячейки 1—53) будет иметь большую температуру, чем вторая. Из-за возникших температурных градиентов в весах появляются температурные деформации. Случай, когда температура державки превышает температуру весов, идентичен рассмотренному, только температура будет больше у ячеек с 65 по 117.
В отличие от случая прогрева от окружающей среды при прогреве от модели картина распределения температуры по весам не будет симметричной относительно оси симметрии весов. Кривые прогрева крайних ячеек № 1, 65, 117 и 44 (zn 1, zn 65, zn 117 и zn 44 соответственно)
тензовесов при прогреве от модели при единичном перепаде между температурами модели и весов изображены на рис. 9. Пересечение кривых прогрева ячеек № 1 и 65 говорит о сложном и нестационарном характере прогрева тензовесов от модели.
На рис. 10 изображена кривая температурного градиента между ячейками № 1 и 53 в конструкции весов для этого случая. Видно, что его максимум достигается на 50 секунде.
Как показали расчеты с тепловой моделью весов, значение температурной динамической погрешности при измерении силы по оси х при прогреве от модели на порядок превышает анало-
Рис. 9. Кривые температуры крайних ячеек тензовесов при прогреве от модели
Рис. І0. Кривая температурного перепада между крайними ячейками тензовесов при прогреве от модели
гичное значение при прогреве от окружающей среды. Для уменьшения температурной динамической погрешности при прогреве от модели целесообразно установить теплозащитную прокладку с той стороны тензовесов, откуда идет распространение тепла. Моделирование показало, что применение прокладки из нержавеющей стали толщиной 5 мм уменьшает значение температурной динамической погрешности на 20%.
Чтобы устранить данный вид погрешности показаний тензовесов, необходимо контролировать температуры модели, весов и державки как до, так и во время эксперимента. Температурной динамической погрешности, вызванной прогревом от модели и державки, не будет только в двух случаях: если все три указанные температуры равны или температура весов равна среднему арифметическому температур державки и модели. В этом случае деформация тензовесов (ячейки с № 1 до 42) от прогрева от модели будет компенсирована деформацией весов (ячейки с № 65 до 106) от охлаждения от державки и сумма сил, приложенных к чувствительному элементу, будет равна нулю. Во всех остальных случаях нужно охладить или нагреть тензовесы до средней температуры между державкой и моделью.
3. Тепло от тензорезисторов, установленных на чувствительном элементе. Для измерения силы по оси х на чувствительном элементе тензовесов установлены тензорезисторы, находящиеся под напряжением. На них выделяется тепло, которое растекается по весам симметрично относительно чувствительного элемента. Из-за несовпадения оси симметрии весов и положения чувствительного элемента тепло неравномерно прогревает конструкцию весов, что ведет к появлению температурных градиентов в конструкции (рис. 11).
На рис. 12 изображена кривая температурного градиента между крайними ячейками № 1 и 53 тензовесов, максимум которой достигается на 200 секунде с начала прогрева.
Моделирование показало, что значение температурной динамической погрешности при прогреве от тензорезисторов сравнимо с аналогичным показателем при прогреве тензовесов от окружающей среды при перепаде между температурами весов и среды в 1 К.
Рис. 11. Прогрев весов от тензорезисторов гп, 1 _ 2п, 53 °С
200 400 600 800 1000
Рис. 12. Кривая температурного перепада между крайними ячейками тензовесов при прогреве от тензорезисторов
Если весы не защищены от прогревов от окружающей среды и модели/державки, то величина температурной динамической погрешности, вызванная прогревом от тензорезисторов, мала по сравнению с погрешностью, вызванной прогревом от модели и окружающей среды.
При установке защиты от указанных прогревов величина температурной динамической погрешности, вызванная прогревом от тензорезисторов, может сравняться с погрешностями от других источников.
Метод мониторинга величины температурной динамической погрешности тензовесов.
Несмотря на возможность применения различных видов защиты, в аэродинамических тензомет-рических весах все равно будут возникать существенные температурные нестационарные погрешности.
Тепловая модель позволила обосновать метод мониторинга величины температурной погрешности тензовесов в направлении оси х во время проведения эксперимента [2]. Метод предусматривает установку четырех термодатчиков на конструкции весов по схеме, изображенной на рис. 13. На схеме Т1, Т2, Т3, Т4 — термодатчики, установленные соответственно на 38, 70, 6 и 102 ячейках тензовесов.
Поскольку причиной возникновения температурной динамической погрешности являются температурные градиенты в конструкции тензовесов, деформирующие ее между пакетами стоек, то указанная погрешность должна быть пропорциональна двум разностям: (Т1 - Т3) и (Т4- Т2). Эти градиенты описывают деформацию весов между пакетами стоек и чувствительным элементом, которая является причиной возникновения температурной динамической погрешности в направлении оси х.
Рис. 13. Схема установки термодатчиков на конструкции весов
Рис. 14. Кривая погрешности тензовесов Пм (п), полученная с помощью модели, и аналогичная кривая Пд (п), полученная с помощью
термодатчиков
Таким образом, рассматриваемая погрешность будет иметь следующий вид:
k
Пд »—(1 -Т2-T3 + T4), (1)
X
где k — размерная константа; X — измеряемая сила; П д — температурная динамическая погрешность тензовесов при измерении силы X (в процентах от силы X).
Была произведена проверка данного метода при различных источниках температурной погрешности (прогрев от окружающей среды, прогрев от исследуемой модели, прогрев от тензорезисторов, установленных на чувствительном элементе).
Для примера на рис. 14 приведена погрешность тензовесов при прогреве от исследуемой модели, которую дала тепловая модель, Пм (n) и погрешность весов Пд (n), полученная с помощью формулы (1). По оси абсцисс отложено время с начала прогрева в секундах, по оси ординат — погрешность тензовесов в процентах от измеряемой ими величины.
Как видно из графиков, зависимости аналогичны, что подтверждает возможность оценивать температурную погрешность тензовесов при прогреве от исследуемой модели путем измерения температуры в четырех точках на весах.
Аналогичные результаты были получены для случаев прогрева тензовесов от окружающей среды и от тензорезисторов.
Основные выводы. 1. Картина прогрева тензовесов, полученная с помощью тепловой модели, хорошо совпадает с экспериментальными данными прогрева весов.
2. Тепловая модель подтверждает нестационарный характер тепловой динамики тензовесов.
3. Тепловая модель позволила изучить три основные причины возникновения нестационарной температурной погрешности в тензовесах, а также методы борьбы с ней.
4. С помощью тепловой модели обоснован метод мониторинга величины нестационарной температурной погрешности в тензовесах.
ЛИТЕРАТУРА
1. Богданов В. В., Волобуев В. С. Многокомпонентные тензометрические весы // Датчики и системы. 2004. № 3(58).
2. Богданов В. В., Волобуев В. С., Горбушин А. Р. Исследование тепловой динамики тензометрических весов и разработка методов снижения их температурных погрешностей / 4-й Международный симпозиум по тензометрическим весам. — Сан-Диего, Калифорния, США. 10—13 мая 2004.
3. Клеев И. В. Моделирование распространения тепла по тензометрическим весам / XLVIII научная конференция МФТИ. — Москва — Долгопрудный — Жуковский, 2005.
4. Клеев И. В. Температурные динамические погрешности в тензометрических аэродинамических шестикомпонентных весах // Датчики и системы. 2007. № 2.
5. Кутателадзе С. С. Теплопередача и гидродинамическое сопротивление:
Справочное пособие. — М.: Энергоатомиздат, 1990.
6. Лыков А. В. Теория теплопроводности. — М.: Высшая школа, 1967.
Рукопись поступила 3/XII2007 г.
