CC BY
7ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2015
Серия: Физика
Вып. 3 (31)
УДК: 532; 532.72; 538.93
Тепловая конвекция коллоида на основе бинарной жидкости
В. А. Деминa, Е. А. Поповb
a Пермский государственный национальный исследовательский университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15, Россия email: demin@psu.ru
b ОАО «Авиадвигатель», 614990, Пермь, Комсомольский пр-т, 93, Россия evjeniy.p@gmail.com
Представлены результаты теоретического исследования тепловой конвекции трехкомпонент-ной суспензии в подогреваемом снизу тонком вертикальном слое. Рабочей жидкостью-носителем является бинарный молекулярный раствор с отрицательной термодиффузией, а в качестве коллоидного наполнителя выступают частицы размером от микро- до нанометров. Построена теоретическая модель и выполнено прямое трехмерное численное моделирование рассматриваемых конвективных процессов. Получено качественное согласие результатов расчетов и экспериментальных данных. Продемонстрировано влияние седиментации частиц на потерю лево-правой симметрии нестационарного конвективного четырехвихревого режима с перезамыканием угловых вихрей.
Ключевые слова: коллоидные растворы; частицы нано- и микронных размеров; седиментация; молекулярная термодиффузия
В этом уравнении V - скорость элемента жидкости, 7 - плотность потока примеси.
Эксперименты показывают, что конвективный перенос и диффузия - не единственные механизмы, отвечающие за перераспределение вещества. Если неоднородности температуры становятся существенными, начинает проявляться, так называемый, термодиффузионный механизм переноса. Поток вещества, обусловленный термодиффузией, в первом приближении пропорционален градиенту температуры:
Здесь С - массовая концентрация примеси в объе- В качестве константы пропорциональности высту-ме жидкости, D - коэффициент диффузии, р - пает термодиффузионное отношение кг , Т - абсо-плотность элемента жидкости. Перечисленным механизмам переноса отвечает уравнение в частных производных для изменения поля концентрации примеси в зависимости от времени [1]:
1. Введение
В подогреваемых сложным образом многокомпонентных жидких смесях неоднородности концентрации примесей могут возникать за счет различных факторов. Среди механизмов переноса можно выделить главные, практически всегда присутствующие в ходе рассматриваемых процессов -это диффузия и конвективный перенос. Применительно к бинарной жидкости диффузионный механизм переноса для концентрации примеси определяется известным законом Фика:
]с = -рПЧС .
р
dt у '
= -di\j.
лютная температура, а комбинация а = Окт / Т традиционно называется термодиффузионным коэффициентом. Термодиффузионный параметр может быть как положительным, так и отрицательным: а > 0 отвечает нормальной термодиффузии, а < 0 - аномальной.
© Демин В. А., Попов Е. А., 2015
В случае, когда роль добавочного компонента играют коллоидные частицы, на их перераспределение в среде может оказывать определенное влияние поле тяжести. Явление оседания частиц в физической химии называется седиментацией. Плотность седиментационного потока имеет следующий вид:
1и=рСи,
где и - скорость седиментации. Для сферических частиц эта скорость вычисляется по известной формуле Стокса:
и = ВАрУ0^к(Т>, (1.1)
где Др - разность плотностей материала частиц и несущей жидкости, g - ускорение силы тяжести, У0 - объем частицы, к - постоянная Больцмана.
В ходе теоретического анализа необходимо различать такие неодинаковые по своим свойствам многокомпонентные среды, как молекулярные смеси, коллоидные растворы и суспензии. Для описания перераспределения компонентов в этих средах необходимо применять различные подходы и учитывать в выражениях для потока вещества разные факторы. Тем не менее бывают ситуации, когда все перечисленные механизмы играют существенную роль в ходе определенных концентраци-онно-конвективных процессов. Так, в [2,3] была экспериментально и теоретически рассмотрена задача о движении магнитной жидкости на основе керосина в связанных каналах при подогреве снизу (в роли несущей жидкости могут выступать разные среды, но наиболее распространенной является керосин). Описанные в этих работах макроскопические эффекты объясняются совместным действием термодиффузии, конвекции и седиментации. Се-диментационные явления, связанные с наличием микрочастиц, характеризуются довольно большими временами. При сильном измельчении взвесь представляет собой фактически однодоменные магнетитовые частицы, которые обладают магнитными моментами. Чаще всего частицы покрываются поверхностно-активным веществом, которое предотвращает их слипание и препятствует дальнейшему выпадению кластеров в осадок. Однако существуют и другие методы стабилизации феррожидкостей. Большие значения магнитных моментов при относительно малых размерах частиц и возможность длительного нахождения во взвешенном состоянии в жидкости-носителе приводят к тому, что феррожидкость ведет себя во внешнем магнитном поле как суперпарамагнетик и характеризуется аномально большими значениями магнитной восприимчивости.
Таким образом, для магнитной жидкости определяющим является взаимодействие феррочастиц с магнитным полем, которое может оказывать на ее
движение колоссальное влияние. Однако в отсутствие магнитного поля на передний план начинают выступать другие более тонкие эффекты, не связанные с внешними факторами [4].
Магнетитовые частицы обсуждаемой феррожидкости имеют характерный размер порядка 10 нм. Для коэффициента диффузии частиц с хорошей степенью точности справедлива формула Эйнштейна. При указанном радиусе частицы получается весьма малое значение этого параметра
-7 2
D = 2-10 см/с. Эта оценка подтверждается прямыми экспериментами [5]. Скорость оседания частиц такого диаметра в воде можно оценить с помощью формулы (1.1) и ~ 10-7 см/с. Как показывает опыт, хотя ее значение мало, эффектом седиментации нельзя полностью пренебрегать.
Для суспензий эволюция распределения концентрации частиц в отсутствие конвективного переноса подчиняется уравнению
^О = ОДО + иус-у , (1.2)
от
где у - единичный вектор, направленный вертикально вверх. В уравнении учтены два механизма перераспределения частиц в жидкости-носителе: диффузия и седиментация, иными словами, поток вещества здесь определяется формулой
3=~рпчс+рси.
Изотермическая задача об оседании частиц феррожидкости в вертикальном канале без учета термодиффузии экспериментально и теоретически была рассмотрена в [5]. Эксперименты проводились в соответствии с методикой, изложенной в работе [6].
В [7] эта задача была теоретически рассмотрена в неизотермической постановке. Были проанализированы случаи подогрева сверху и снизу. Помимо седиментационного эффекта учитывался термодиффузионный механизм перераспределения частиц. Для одномерного случая, когда температура зависит только от вертикальной координаты, было получено точное решение уравнения (2) с учетом термодиффузии в виде ряда, удовлетворяющее граничным и начальным условиям. Оказалось, что даже при весьма малых значениях термодиффузионного параметра на больших временах разделение смеси вполне может быть зафиксировано экспериментально.
При наличии конвекции получить аналитическое решение задачи становится весьма затруднительно. В [2,3] численно показано, что в конвективной петле при подогреве снизу феррожидкость ведет себя подобно молекулярным бинарным смесям с положительной термодиффузией. В чистом керосине без феррочастиц и дизельном топливе наблюдаются специфические перебросовые колебания, характерные для бинарных жидких смесей с
положительной термодиффузией. Период перебросов в магнитной жидкости значительно превышает таковой в молекулярных бинарных смесях, а форма колебаний имеет прямоугольную форму. Объяснение опытных данных оказывается возможным на основе расширенных уравнений тепловой конвекции многокомпонентных смесей с учетом в уравнениях различных механизмов переноса: для молекулярной смеси - термодиффузии, для ферро-частиц - седиментации.
Однако не до конца решенным остается вопрос о влиянии термодиффузии на перераспределение частиц в неоднородно нагретой несущей жидкости. Необходимость учета этого эффекта часто подчеркивается при рассмотрении конвективных процессов в наносуспензиях [8-10]. В [8] проведены эксперименты, в [9,10] получены оценки и выполнено численное моделирование влияния термодиффузии частиц на скорость седиментации.
Проанализируем процесс оседания полистироловых шариков микронных размеров или частиц алюминиевой пудры в неоднородно нагретой жидкости. Эти порошкообразные среды часто применяются в конвективных экспериментах для визуализации течений. В отличие от обсуждавшихся выше феррожидкостей более крупные размеры взвешенных частиц позволяют называть данные среды суспензиями.
2. Постановка задачи
задача. Рабочая жидкость представляет собой молекулярный бинарный раствор, наполненный взвешенными частицами. Полость нагревается снизу и находится в статическом поле тяжести.
3. Основные уравнения
Конвективные течения коллоида в прямоугольной полости будем описывать системой уравнений термоконцентрационной конвекции в форме, аналогичной приближению Буссинеска [11]:
ди
+ (иУ)и = -Ур + \-Аи + +У • г((V О и) + (V О г))т | +
дТ
— + (иУ)Т = %АТ, <Цуг) = 0, ^ + (уV) С = БС (АС + ссАТ) , ^ + (ОУ)ф = Оф(Аф + иУф-г).
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
Рис. 1. Тонкий вертикальный слой при подогреве снизу. Система координат
Рассмотрим полость с твердыми гранями в форме прямоугольного параллелепипеда (рис. 1). Введем обозначения: высота ячейки - Н, длина -Ь, толщина - 1. Данную полость принято называть ячейкой Хеле - Шоу, если выполняется условие Н, Ь >> 1. В нашем случае Ни Ь превышают 1, но сопоставимы по величине, поэтому в дальнейшем будет решаться полная трехмерная конвективная
Здесь V, р и Т - размерные поля скорости, давления и температуры; С и ф - концентрации легкого компонента молекулярной смеси в жидкости-носителе и микрочастиц, соответственно. В уравнении (3.1) учитывается экспоненциальная зависимость кинематической вязкости от температуры ИТ); х и а - коэффициенты температуропроводности и термодиффузии, соответственно. Плотность элемента жидкости зависит от температуры и концентрации обоих компонентов, в результате в уравнении Навье - Стокса в подъемной силе имеем три разных параметра: /Зт , рс и рф - коэффициент теплового расширения и коэффициенты, определяющие зависимость плотности от концентрации соответствующих компонентов. Сила Бассе ввиду ее малости в рассматриваемой задаче не принималась в расчет [12].
Неоднородность нагрева полости обеспечивается путем задания разности температур между верхней и нижней гранями. Для компонент вектора скорости на твердых границах справедливо условие прилипания:
у|г =0.
В уравнениях (3.3) и (3.4) параметры Бс и Оф -
коэффициенты диффузии легкого компонента смеси и микрочастиц, соответственно. Еще один параметр и в уравнении (3.4) - это по-прежнему скорость оседания частиц. Введем вспомогательную функцию Е = С + аТ для молекулярной примеси. Запишем граничные условия для оставшихся неизвестных величин в уравнениях (3.1)-(3.4). На
функцию Р накладывается ограничение, вытекающее из условия отсутствия потока легкого компонента в жидкости-носителе через твердые границы полости (УЕ)п| = 0. Для концентрации частиц на
боковых стенках справедливо условие непроницаемости (УфЦ = 0.
На верхней и нижней гранях необходимо наложить граничное условие третьего рода, чтобы скомпенсировать седиментационный поток и обеспечить неизменность средней концентрации частиц в полости
y = 0, H: дф + иф=0. дУ Da
(3.5)
Температура на боковых гранях также удовлетворяет условию третьего рода
х = 0, L:
К,
дТ — дх
<Т - То) = 0,
_ , дТ к— z = 0, d : — + —— dz lid-,,,
(Т -Т0) = 0 .
(3.6)
(3.7)
Здесь йю , кт - соответственно, толщина и теплопроводность стенки, к - теплопроводность смеси, ТО - температура окружающей среды. Расчеты проводились для значений параметров, которые указаны в таблице.
Параметры жидкости [14]. Значения приводятся под соответствующим обозначением
v(20°C) , м2/с X, м2/с DT, м2/с Da , м2/с
1.004 10-6 1.25 •lO-7 1.0240-9 10-11
Рт , К-1 Рс Рф аТ, К 1
2.1-10"4 0.1 0.5 -0.7540-3
К, Вт/(м • К) К—, Вт/(м • К) d—, м Т0, С°
0.598 0.162 0.04 20
4. Численный эксперимент
Краевая задача решалась посредством прямого численного моделирования в размерном виде с использованием программного пакета Оре^ОЛМ на суперкомпьютере Пермского университета «ПГУ-Тесла». Система (3.1)-(3.4) формировалась путем модификации заложенных в пакете базовых уравнений математической физики, описывающих раз-
нообразные явления механики сплошных сред. Для реализации условий третьего рода в программной среде ОреиРОЛМ использовалась дополнительная библиотека swak4Foam. Согласно заложенной там численной схеме производные в (3.5)-(3.7) заменяются конечно-разностными формулами первого порядка точности [13]. Начальное распределение концентраций молекулярной примеси и частиц полагалось однородным и равнялось С \г =0 = 0.115, ф \г =0 = 0.01. Начальное распределение температуры также предполагалось одинаковым во всем массиве и соответствовало комнатной температуре 20 °С . Температура нагревателя равнялась 28 °С, а верхней охлаждающей стенки полагалась равной 20 °С. Скорость оседания частиц в расчетах была управляемым параметром.
Размеры полости в расчетах принимались равными Ь = 20 мм, Н = 40 мм, й = 2 мм. Количество ячеек в расчетной сетке 45:71:11, что соответствует координатным осям х, у, z.
5. Результаты расчета
В ходе расчетов было обнаружено и описано нарушение симметрии относительно вертикальной оси известного автоколебательного четырехвихре-вого режима с переменным перезамыканием угловых вихрей ([15], рис. 2).
Рис. 2. Форма четырехвихревого колебательного течения при U = 10~6 м/с (поля скорости и температуры в вертикальном сечении)
Для количественного описания этого нарушения симметрии вводился параметр порядка
Р = X Т [ у = )+3 Т - То)- То - X Т [ у = + |(Т - То )-То
>■-«/9^1 V 4 / 4
i =N/ 2+1
N/ 2
-22 i=1
T\y = H - T
N
+ 22
i = N/ 2+1
T\y=H 1+^ - T
В этой формуле Тн - температура нагревателя.
Из расчетного каталога данных выбирались значения температуры в точках на высоте четверти и трех четвертей высоты полости и вычиталось равновесное распределение температуры.
Рис. 3. Форма четырехвихревого колебательного течения при U = 10-8 м/с (поля скорости и температуры в вертикальном сечении)
Наборы точек были поделены на две части и взяты с разными знаками. Положительное значение параметра порядка соответствует большим левым вихрям, т.е. тем, которые ближе к началу координат; отрицательное значение, наоборот, свидетельствует о смещении границы между вихрями вправо.
Проведенные расчеты параметра порядка в зависимости от времени показали, что для разных значений скорости оседания в ходе автоколебательного четырехвихревого режима с перезамыканием угловых вихрей имеет место разная степень нарушения лево-правой симметрии. Оказалось, что с наличием микрочастиц в бинарной смеси можно связать нарушение симметрии этого течения, так как в отсутствие частиц в расчетах четырехвихре-вой режим является симметричным. В том числе, нарушение симметрии в статистически среднем смысле не наблюдается при малой скорости оседания и = 10-8 м/с (рис. 3), которая характерна для наночастиц. Визуально небольшой разброс параметра порядка (как на рис. 4, а) не идентифицируется как нарушение лево-правой симметрии. Лишь при относительно больших скоростях оседания ~ 10-6 м/с, характерных для микрочастиц современных порошкообразных визуализаторов (рис. 4, б), течение становится в статистически среднем смысле несимметричным.
Рис. 4. Значения параметра порядка в разные моменты времени для скорости оседания: а - 10-8 м/с; б - 1045м/с.
Нарушение лево-правой симметрии четы-рехвихревого течения с перезамыканием угловых вихрей было открыто теоретически в случае высокочастотного вибрационного воздействия на полость [16]. Позднее подобное нарушение симметрии было зафиксировано в эксперименте, однако в отсутствие вибраций и при наличии визуализирующих частиц. В ходе численного моделирования свободной тепловой конвекции без учета эффекта
+
седиментации визуализирующих частиц рассматриваемый режим всегда оставался симметричным.
6. Заключение
Результаты численного моделирования показывают возможность объяснения экспериментально наблюдавшегося ранее спонтанного нарушения лево-правой симметрии автоколебательного четы-рехвихревого течения с перезамыканием угловых вихрей в тонком вертикальном слое при подогреве снизу. Расчет параметра порядка на основе анализа температурного поля продемонстрировал усиление лево-правой асимметрии данного конвективного режима при увеличении параметра, отвечающего за скорость седиментации частиц.
Работа поддержана грантом РФФИ «Колебательные конвективные процессы в нано- и микрожидкостях в микрофлюидических системах: анализ и контроль» в рамках регионального конкурса инициативных проектов «Урал-а». Код проекта 1301-96010.
Авторы благодарят сотрудников суперкомпьютера "ПГУ-Тесла" Научно-образовательного центра ПГНИУ "Параллельные и распределенные вычисления" за содействие в работе.
Список литературы
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 6: Гидродинамика. М.: Физматлит, 2001. 736 с.
2. Глухов А. Ф., Путин Г. Ф. Конвекция магнитных жидкостей в связанных каналах при подогреве снизу // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. 2010. № 5. С. 41-48.
3. Глухов А. Ф., Демин В. А., Попов Е. А. Тепловая конвекция магнитной наносуспензии в узких каналах // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. 2013. № 1. С. 41-51.
4. Глухов А. Ф. Экспериментальное исследование тепловой конвекции в условиях гравитационного расслоения: дис. на соиск. учен. степ. к.ф.-м.н. / Перм. гос. ун-т. Пермь, 1995. 140 с.
5. Глухов А. Ф., Путин Г. Ф. Установление равновесного барометрического распределения частиц в магнитной жидкости // Гидродинамика / Перм. гос. ун-т. / Пермь, 1999. Вып. 12. С. 92103.
6. Peterson E. A., Kruger D. A. Field induced agglomeration in magnetic colloids // Journal of Colloid and Interface Science. 1977. Vol. 62. № 1. P. 24-33.
7. Демин В. А. Оседание наночастиц в однородной несущей жидкости при наличии термодиффу-
зии // Вестник Пермского университета. Серия: Физика. 2013. Вып. 1 (23). С. 20-24.
8. Donzelli G., Cerbino R., Vailati A. Bistable heat transfer in a nanofluid // Physical Review Letters. 2009. Vol. 102. 104503.
9. ShliomisM. I., Smorodin B. L. Onset of convection in colloids stratified by gravity // Physical Review E. 2005. Vol. 71. 036312.
10. Smorodin B. L., Cherepanov I. N., Myzniko-va B. I., ShliomisM. I. Traveling-wave convection in colloids stratified by gravity // Physical Review E. 2011. Vol. 84. 026305.
11. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.
12. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. 336 с.
13. Ferziger J. H., Peric M.Computational methods for fluid dynamics. New York: Springer, 2002. 423 p.
14. Варгафтик Н. Б. Справочник по теплофизиче-ским свойствам газов и жидкостей. М.: Изд-во физ.-мат. литературы, 1963. 708 с.
15. Гаврилов К. А., Демин В. А., Попов Е. А. Моделирование трехмерных конвективных течений с помощью пакета OpenFOAM // Вестник Пермского университета. Серия: Математика, Механика, Информатика. 2012. Вып. 3( 11). С. 2328.
16. Бабушкин И. А., Глазкин И. В., Демин В. А., Платонова А. Н., Путин Г. Ф. Об изменчивости одного типичного течения в ячейке Хеле-Шоу // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. 2009. № 5. С. 3-14.
References
1. Landau L. D., Lifshitz E. M. Course of theoretical physics. Fluid mechanics. V. 6. UK: Pergamon Press, 1966. 536 p.
2. Glukhov A. F., Putin G. F. Convection of magnetic fluids in connected channels heated from below. Fluid Dynamics, 2010, vol. 45, no. 5, pp. 713-718.
3. Glukhov A. F., Demin V. A., Popov E. A. Thermal magnetic nanosuspension convection in narrow channels. Fluid Dynamics, 2013, vol. 48, no. 1, pp. 36-45.
4. Glukhov A. F. Eksperimental'noe issledovanie teplovoy konvektsii v usloviyah gravitatsionnogo rassloeniya (Experimental study of thermal convection under gravitational sedimentation). PhD Thesis. Perm: Perm State University, 1995. 140 p. (In Russian)
5. Glukhov A. F., Putin G. F. Ustanovlenie ravnovesnogo barometricheskogo raspredeleniya chastits magnitnoy zhidkosti (Establishing of barometric equilibrium distribution of the particles in a magnetic fluid). Gidrodinamika (Hydrodynam-
80
B. A. ffeMUH, E. A. nonoe
ics). Perm: Perm State University, 1999, vol. 12, pp. 92-103 (In Russian).
6. Peterson E.A., Kruger D.A. Field induced agglomeration in magnetic colloids. Journal of Colloid and Interface Science, 1977, vol. 62, no. 1, pp. 2433.
7. Demin V. A. Sedimentation of nanoparticles in a homogeneous carrying fluid in the presence of thermodiffusion. Bulletin of Perm University. Series: Physics, 2013. no. 1 (23), pp. 20-24 (In Russian).
8. Donzelli G., Cerbino R., Vailati A. Bistable heat transfer in a nanofluid. Physical Review Letters, 2009, vol. 102, 104503.
9. Shliomis M. I., Smorodin B. L. Onset of convection in colloids stratified by gravity. Physical Review E, 2005, vol. 71, 036312.
10. Smorodin B. L., Cherepanov I. N., Myzniko-va B. I., Shliomis M. I. Traveling-wave convection in colloids stratified by gravity. Physical Review E, 2011, vol. 84, 026305.
11. Gershuni G. Z., Zhukhovitskii E. M. Convective stability of incompressible fluids. Jerusalem: Keter Publishing House, 1976. 330 p.
12. Nigmatulin R. I. Osnovy mehaniki geterogennyh sred (The fundamentals of mechanics of heterogeneous media). Moscow: Nauka, 1978, 336 p (In Russian)
13. Ferziger J. H., Peric M. Computational methods for fluid dynamics. New York: Springer, 2002. 423 p.
14. Vargaftik N. B. Tables on the thermophysical properties of liquids and gases. Washington DC: Hemisphere. 1975. 758 p.
15. Gavrilov K.A., Demin V.A., Popov E.A. Modeling of 3D-convective flows by means of package OpenFOAM. Bulletin of Perm University. Mathematics. Mechanics. Computer Science, 2012, no. 3 (11), p. 23-28 (In Russian).
16. Babushkin I. A., Glazkin I. V., Demin V. A., Pla-tonova A. N., Putin G. F. Variability of a typical flow in a Hele-Shaw cell. Fluid Dynamics, 2009, vol. 44, no. 5, pp. 631-640.
Thermal convection of colloid on the basis of a binary fluid
V. A. Demin, E. A. Popov*
Perm State University, 614990, Perm, Bukirev str., 15, Russia email: demin@psu.ru
*Perm Engine Company, 614990, Perm, Komsomol'skii av., 93, Russia evjeniy.p@gmail.com
The results of theoretical investigation of the three component suspension thermal convection in a thin vertical layer heated from below have been presented in this paper. The binary molecular solution which is characterized by the negative thermodiffusion has been chosen as working liquid. Furthermore there are particles with diameter from nano- to micro meters in the carrier liquid. Theoretical model of considered phenomena is constructed and direct numerical simulation of convective processes is fulfilled. The qualitative confirmation of numerical results to experimental data takes place as a result. The influence of particles sedimentation on the breakdown of the left-right symmetry of the non-stationary convective four-vortex flow with reunification of corner vortices has been demonstrated.
Keywords: suspensions; nano- and microparticles; sedimentation; molecular thermodiffusion
