ТЕПЛОПЕРЕНОС В ТОНКОЙ ПЛЕНКЕ С ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ ТЕПЛОВЫМИ СВОЙСТВАМИ В УСЛОВИЯХ ПЕРИОДИЧЕСКОГО НАГРЕВА Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК: 530.1

Теплоперенос в тонкой пленке с изменяющимися тепловыми свойствами в условиях

периодического нагрева

Г.С. Асриянц, С.Н. Кравчун, О.Н. Третьякова

Одним из актуальных направлений в физике конденсированного состояния является исследование свойств наноструктур, включающих в себя тонкие пленки на подложке. Интерес к таким системам обусловлен развитием микроэлектроники и нанотехнологий. Эффективным методом исследования тепловых свойств тонких пленок на подложке является метод периодического нагрева. В данной статье проведены расчёты амплитуды и фазы колебаний температуры для плёнки с теплопроводностью, которая резко уменьшается при приближении к границе с подложкой (в слое толщиной 1 мкм). Рассмотрена ситуация, которая возникает при исследовании сегнетоэлектрического фазового перехода. Показано, что при уменьшении перепада температуры на плёнке заметного влияния неоднородности плёнки на результаты измерения можно избежать.

Данная работа направлена на дальнейшую разработку зондового метода периодического нагрева (МПН). В последние годы МПН интенсивно используется для исследования тепловых свойств тонких сегнетоэлектрических плёнок на подложке [2,3,4,5]. Одним из недостаточно изученных вопросов, возникающих при каждом конкретном исследовании, является вопрос об однородности плёнки и степени влияния неоднородности на результаты измерений.

Сущность метода состоит в нагреве тонкой металлической пленки (зонда), напыленной на исследуемый образец переменным током частоты СО, мощность которого ^ = W0cos2.юt. Исследуемая диэлектрическая пленка, в свою очередь, размещена на подложке, тепловые свойства которой известны рис.1. Радиотехническая регистрация амплитуды и фазы колебаний зонда позволяет измерять тепловые характеристики исследуемой пленки.

Рис.1. Структура образца, используемого для измерения тепловых свойств пленки

При обработке первичных экспериментальных данных используется теория метода, в которой заложено предположение о постоянстве тепловых свойств пленки и подложки. Вместе с тем есть основания считать, что свойства пленки зависят от координаты направленной по нормали к ее поверхности.

Нашей задачей является:

1. Разработать программу расчёта амплитуды и фазы колебаний поверхности неоднородной плёнки с подложкой, для случая плавного перехода теплопроводности от свойств плёнки, к свойствам подложки при уменьшении ширины зоны перехода.

2. Результаты расчёта сопоставить с данными для случая скачкообразного перехода. Рассчитать амплитуду и фазу колебаний для модели с убывающей, по мере приближения к границе с подложкой, теплопроводностью плёнки.

3. Рассчитать амплитуду и фазу колебаний для неоднородной плёнки вблизи сегнетоэлектрического фазового перехода.

Описание задачи о колебаниях температуры на поверхности образца с изменяющимися с глубиной тепловыми свойствами

Решение уравнения теплопроводности с соответствующими краевыми условиями позволяет найти связь между амплитудой и фазой колебания температуры с тепловыми свойствами пленки.

Рассмотрим полубесконечную среду. Одномерное уравнение теплопроводности имеет вид

Срр—Т (х, г) = Я—Т (X, г), (1)

где Т (х, г) = в( X) • е2'" (2)

Подставляем (2) в уравнение (1) и получаем

^ в(х) -—в(х) = 0 , (3)

дх а

где Я -теплопроводность, СР - удельная теплоемкость, р - плотность

Я

а =

СРР

температуропроводность.

Для решения дифференциального уравнения (3) записываем характеристическое уравнение

2 21а 0

к--= и з находим корни характеристического уравнения

I+1

■I+1

Решение дифференциального уравнения (3) имеет вид

-(1+0, —X (1+0Л —X

в( X) = А1 • е + В1 • е

(4)

Функция (4) отражает существование температурных волн в прямом и обратном направлениях оси X.

В полубесконечной среде, второе слагаемое соотношения (4) обращается в ноль и уравнение (4) примет вид

-(!+*), &

в( X) = А1 • е' (5)

Одним из граничных условий уравнения (1) является уравнение теплового баланса на поверхности пленки (при x=0), т.е. используем граничное условие второго рода

^ = -Я(в( X) x=0 5 (X К 7|x=0

(6)

В соотношении (6) теплоёмкостью металлической плёнки зонда считается пренебрежимо малой.

Подставляем выражение (5) в соотношение (6) и находим А1

А1 =

Wn

5 • я • (1 + /)

Распределение температуры тогда будет иметь вид

-(!+<■ X fаx

W е и в( X) -

5 Я (1 + ■)

(7)

Таким образом, при периодическом нагреве полубесконечной среды с постоянными тепловыми свойствами комплексная амплитуда колебания температуры на поверхности определяется соотношением

в(0)„ =

Wo

5 • ь • (1+от®

(8)

7 Л

где 7 = —(= - тепловая активность. Ыа

Рассмотрим численное решение задачи для неоднородной плёнки. Для расчета разобьем область перехода толщиной Н на т слоев, и будем считать, что в пределах каждого слоя толщиной

Н

тепловые свойства остаются неизменными.

т

Запишем условие равенства температур на границе между двумя слоями - слоем с номером п и с номером п+1

н и

-(1+') (1+') А е 1п + В е п = А е 1п+1 + В е '"+1

и

-(1+')- п

и

(1+'V п

(9)

где 1п = л — - длина затухания температурной волны в слое п. V с

Воспользуемся условием равенства тепловых потоков на границе слоёв

- АЛ

1 + ' -(1+гУ

н,.

1п

+ ВЛ

1 + ' (1+')-

Нп

1п

■АпЛ

1 +' -(1+' )7

Н„

п+1 п+1

+1 + Вп+1Лп+1

1 + ' (1+') 7

Н„

п+1

п+1

Решая совместно два последних уравнения, получаем

(10)

-(1+'') Н"

В =

2

-(1+' упи- (1+'

Ап + 1 (1 + 'Хп,п+1 )е + Вп+1 (1 'Х п,п+1 )е

(11)

Ап =

(1+') Нп

е 7п

2

-(1+')Нп

(1+')Нп-

Ап+1 (1 - X 1)е '»+1 + Ви+1(1 + X +> 7

(12)

Последний слой граничит с полубесконечной подложкой. В полубесконечной среде температурная волна распространяется только в одном направлении - в сторону от источника, в сторону увеличения координаты х. В силу этого коэффициенты А , В , характеризующие волну в

т-1 т-1

последнем слое определяются соотношениями

Вт-1 = Ат

(1 - х , ) -(1+')н^ -(1+')Нг1

У т-1,т У е 1т е 1т

2

(13)

(1 - X , ) (1+' ^ -(1+' )Н А = А -_' е 7т е

т-1 2

(14)

е

е

е

е

е

Полученная система равенств позволяет по схеме итераций от п+1 слоя к первому определить с учётом (6) все коэффициенты, включая А1, В1.

Таким образом, получается краевая задача, где заданны значения А„ и в„ (соответствуют слою подложки). Решая данную систему находим, соответственно, Ао и во (соответствуют исследуемому слою пленки).

Колебания температуры в /-ом промежуточном слое

- Ж ■ I.

в. (ю) = (А. + В.) 5 Х г '-—1, (15)

5 Х-[(1 + /)(Ао + Во)1

где 5 -площадь поверхности между плёнкой и подложкой, Ж - мощность переменного тока,

_ Хп

Х(/) - значение теплопроводности в /-ом слое, ап _ ^ррр ~ температуропроводность п-ого слоя.

Амплитуда и фаза колебания температуры на поверхности исследуемой пленки от частоты определяются соотношениями

в(ю) _ д/(Яе(в°(ю)))2 + (Ьш(в°(ю)))2

(16)

1ш(в0 (ю))

р (в ( ;; (17)

Яе(в° (ю))

На осонове созданной программы с целью её обработки и проверки работоспособности проведены расчёты амплитуды и фазы колебаний температуры и сопоставлены результаты расчётов для случая плавного изменения Х в соответствии с функцией ошибок с последовательным уменьшением ширины перехода рис. 2. Результаты расчёта сопоставлены с решением задачи для случая скачкообразного изменения Х.

5 О

Рис. 2: Зависимость теплопроводности от х задаваемое функцией ошибок с разной шириной перехода и скачкообразная функция теплопроводности.

Расчёты проведены для плёнки толщиной Н = 5 мкм. Очевидно, что уменьшение ширины плавного перехода Х в пределе приводит к скачкообразному переходу. Результаты расчёта амплитуды и фазы колебаний температуры в этом процессе, также должны приближаться к

решению для скачкообразного изменения Х. Рис. 3-4 демонстрируют, что расчёты на основе составленной программы соответствуют этому очевидному утверждению.

Важным дополнительным выводом из представленных результатов расчёта является вывод о согласии абсолютных значений амплитуды и фазы колебаний температуры, соответствующих предельному случаю, и вычислений в соответствии с аналитическим решением для скачкообразного перехода.

На рис. 3 результаты расчёта приведены в виде отношения амплитуды колебаний температуры на поверхности плёнки с подложкой к амплитуде колебаний температуры на поверхности полубесконечной среды со свойствами плёнки при х=0.

Каждой амплитуде и фазе колебаний температуры, заданной определённый цветом линий на рис. 3-4, соответствует функция теплопроводности, заданная таким же цветом линии на рис. 2.

|<80г1(ю)|

|«0г2(ю)|

|<80гЗ(ю)| 07

—

/ /

1 V

/

1 ч

/

/

Рис. 3: Результаты расчёта относительных амплитуд колебаний температуры в зависимости от л/ю на поверхности однородной и

Рис. 4: Результаты расчёта фаз колебаний температуры в зависимости от на поверхности однородной и неоднородной

неоднородной пленки с разной шириной перехода пленки с разной шириной перехода для

для теплопроводности.

теплопроводности.

Одна из важных составляющих работы программы является вычисление оптимального количества разбиений плёнки на слои, чтобы результат вычисления программы соответствовал нужной погрешности рис. 5.

0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01

Рис. 5: Результат расчёта погрешности вычисления относительно п = 1000 шагам разбиения (ось абсцисс - количество разбиений, ось ординат - доли процентов относительной погрешности).

Из рис. 5 следует, что разница в вычислениях между разбиениями на 40 и 80 частей примерно 1.5%, на 100 и 160 частей меньше 1%, следовательно, при расчёте наиболее хорошую точность можно получить при разбиении на 100 частей и более.

С использованием разработанной программы проведены расчёты амплитуды и фазы колебаний температуры для плёнки с теплопроводностью, которая резко уменьшается при приближении к границе с подложкой (в слое толщиной 1 мкм) рис. 6 а). Эта ситуация соответствует, по некоторым экспериментальным данным [5], случаю реального изменения Л на границе между плёнкой и подложкой. Л, Ср, р - плёнки и подложки взяты данные соответствующие сегнетоэлектрику (ВаТЮз) и сапфиру (АЬОз) рис. 7 а),б), что соответствует эксперименту представленному в работе [2].

\

а) б)

Рис. 6: Изменяющаяся, вблизи границы с подложкой, функция теплопроводности а) и скачкообразная функция теплопроводности б)

адо Р(ж)

а) б)

Рис. 7: Удельная теплоёмкость а) и плотность б).

Рис. 8: Результаты расчёта относительной амплитуды колебаний температуры в зависимости от -/а на поверхности пленки, с изменяющейся вблизи границы с подложкой теплопроводностью, и при изменении теплопроводности скачком.

Рис. 9: Результаты расчета фазы колебаний температуры в зависимости от на поверхности пленки, с изменяющейся вблизи границы с подложкой теплопроводностью и при изменении теплопроводности скачком.

Представленные на рис. 8-9 результаты расчёта демонстрируют существенное влияние неоднородности плёнки на амплитуду и фазу колебаний температуры в области низких и средних частот.

Рассмотрена ситуация, которая возникает при исследовании теплоёмкости плёнки BaTiO3 в области сегнетоэлектрического фазового перехода [2]. В области сегнетоэлектрического фазового перехода наблюдается резкое изменение Ср при увеличении температуры рис. 10, что приводит к неоднородности плёнки и зависимости её теплоёмкости от координаты х.

Рис. 10: Функция зависимости удельной теплоёмкости от температуры [2]

Показано, что при уменьшении мощности нагрева и, как следствие, перепада температуры на плёнке заметного влияния её неоднородности на результаты измерения амплитуды и фазы колебаний температуры можно избежать.

Литература

1. Филиппов Л.П. Измерение теплофизических свойств веществ методом периодического нагрева. М.: Энергоатомиздат, 1984. -104 с.

2. С.Т. Давитадзе. Исследование размерных эффектов в тонких сегнетоэлектрических плёнках зондовым методом периодического нагрева:Автореферат дисс. к.ф.-м.н// МГУ-М.:2004.-28 с.

3. Кравчун С.Н., Давитадзе С.Т., Мизина Н.С., Струков Б.А. Измерение тепловых свойств тонких диэлектрических пленок зондовым методом периодического нагрева.1. Теория метода// Физика твердого тела, 1997, т.39, №4, с.762-767.

4. Давитадзе С.Т., Кравчун С.Н., Струков Б.А., Гольцман Б.М., Леманов А.А., Шульман С.Г. Экспериментальное исследование тепловых свойств тонких пленок зондовым методом периодического нагрева.// Физика твердого тела.-1997, том 39, №7, с.1299-1302.

5. S.-M. Lee, D.G. Cahill Heat transport in thin dielectric films.// J. Appl. Phys. 1997, vol.81, №6, p. 2590-2595

СВЕДЕНИЯ О СОАВТОРАХ

Асриянц Георгий Сергеевич, аспирант кафедры физики Московского авиационного института (государственного технического университета); Телефон: 354-66-95, e-mail: xrun@land. ru

Кравчун Сергей Николаевич, доцент кафедры физики Московского авиационного института (государственного технического университета), к. ф.-м. н.; Телефон: 347-23-15

Третьякова Ольга Николаевна, профессор кафедры физики Московского авиационного института (государственного технического университета), к. ф.-м. н.; Телефон: 158-86-98, 8(916)542-03-18, e-mail: tretiyakova_olga@mail.ru