Теплоперенос в однородной среде при наличии фазового перехода Текст научной статьи по специальности «Физика»

ТЕПЛОСНАБЖЕНИЕ, ВЕНТИЛЯЦИЯ, КОНДИЦИОНИРОВАНИЕ ВОЗДУХА, ГАЗОСНАБЖЕНИЕ И ОСВЕЩЕНИЕ

УДК 536.2

БОРОДИН АЛЕКСАНДР ИВАНОВИЧ, докт. физ.-мат. наук, BorAleksIv@yandex. ru

Томский государственный архитектурно-строительный университет, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2

ТЕПЛОПЕРЕНОС В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ ПРИ НАЛИЧИИ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА

Предложена новая модель теплопереноса с фазовым переходом в протяженной области.

Ключевые слова: гетерогенная двухфазная зона, фазовый переход, состав смеси, задача Стефана.

BORODIN, ALEKSANDERIVANOVICH, Dr. of phys.-math. sc., BorAleksIv@yandex. ru

Tomsk State University of Architecture and Building,

2 Solyanaya sq., Tomsk; 634003, Russia

HEAT TRANSFER IN THE HOMOGENEOUS SUBSTANCE WITH PHASE TRANSITION

The new model of a heat transfer with phase transition in a zone of a nonzero measure is offered in the article.

Keywords: heterogeneous two-phase zone, phase transition, mix structure, problem of Stefan.

Введение

Многие процессы теплообмена связаны с изменением агрегатного состояния вещества. Широко распространенным подходом к определению поля температуры и границы фазового перехода в подобных случаях является решение задачи Стефана. Классическая формулировка ее основана на предположении о существовании четкой границы между двумя фазами одного вещества, которая проходит по изотерме плавления (затвердевания) этого вещест-

© А.И. Бородин, 2011

ва. На этом фронте (нулевой толщины) выполняются условия непрерывности температуры с одновременным равенством ее температуре фазового перехода, а также условие теплового баланса - условие Стефана.

Однако многими экспериментаторами неоднократно было отмечено, что процесс кристаллизации приводит к образованию зоны гетерогенной смеси твердой и жидкой фаз [1, 2] (протяженной области промежуточного состояния вещества). Да и сам автор этой статьи в экспериментах, проводимых под его руководством, заметил тот факт, что в охлаждаемом теле довольно длительное время присутствует область ненулевой меры, температура которой равна температуре плавления вещества.

В связи с этим в литературе появились модели, описывающие процессы кристаллизации и плавления с учетом существования двухфазной зоны (см. обзор в [2]). В таких моделях, по сравнению с классической задачей Стефана, необходимо было определить уже не одну подвижную границу фазового перехода, а две, между которыми заключена двухфазная зона (речь идет пока об одномерной постановке). Параметров, входящих в задачу Стефана, теперь оказывается недостаточно, необходимо ввести дополнительные - характеризующие наличие нового объекта, т. е. двухфазной зоны. Такой характеристикой двухфазной зоны может служить ее состав. Вопрос заключается в том, как увязать эту вводимую характеристику двухфазной зоны с ее границами. Ниже предлагается авторское решение этой проблемы.

Постановка задачи

Рассмотрим задачу о кристаллизации однородного жидкого тела при помещении его в среду с температурой Tc, значительно меньшей температуры

*

его отвердевания Т .

На начальном этапе вещество, занимающее всю область О, остывает. В момент времени т = т* температура поверхности Е, ограничивающей об*

ласть О, достигает температуры отвердевания Т . Начинается второй этап -кристаллизация вещества. Со стороны поверхности Е по направлению вглубь области О нарастает слой твердой фазы вещества. Второй этап заканчивается, когда все вещество переходит в свое твердое состояние. Последний (третий) этап - охлаждение кристаллизованного вещества до температуры окружающей среды Tc.

Примем следующие упрощающие задачу (но не меняющие сути вводимой ниже модели) положения:

1) температура отвердевания (плавления) считается известной постоян-

*

ной величиной Т ;

2) параметры, описывающие теплофизические свойства вещества в твердом и жидком агрегатных состояниях (а это плотность р, температуропроводность a, теплопроводность X), - постоянные (не зависящие от температуры) величины;

3) конвекция в жидкой среде отсутствует, т. е. теплопередача всюду осуществляется только за счет теплопроводности;

4) внутренние источники теплоты отсутствуют;

5) жидкая фаза не может существовать при температурах ниже температуры плавления, т. е. не допускается переохлаждение жидкой фазы;

6) температурное поле - одномерное, т. е. теплоперенос осуществляется в одном направлении г, а объект представляет собой либо пластину, либо бесконечный цилиндр, либо шар.

Тогда теплообмен в жидкой и твердой фазах описывается нестационарным одномерным уравнением теплопроводности

дТ. а. д ( п дТ. Л

— = ——I г —- I, . = 1,2, (1)

дт гп дг | дг )

где нижние индексы 1 и 2 относятся к твердой и жидкой фазам соответственно, параметр п принимает значение 0 для плоского случая, 1 - для цилиндра, 2 - для шара.

Теплообмен с внешней средой (при г = Я) зададим в виде условия Ньютона - Рихмана

д = а(4=я -Тс). (2)

На противоположном конце (при г = 0) - условие симметрии

1Г = 0. (3)

дг

Начальным условием (при т = 0) служит начальная равновесная температура тела в жидком состоянии, т. е. Т2(г, 0) = Т0, естественно, Т0 > Т.

Особенностью второго этапа является обязательное присутствие переходной зоны, в которой обе фазы находятся в термодинамическом равновесии

*

при температуре Т . Положение этой зоны заранее неизвестно, оно находится по ходу определения температурного поля всей области О. Сама область О в этот второй период состоит из трех подобластей: О2 - область, занятая жидким веществом, О1 - область, занятая этим же веществом в твердом состоянии, и О0 - промежуточная переходная зона, занимаемая жидкой и твердой фазами одновременно (рис. 1). Температура в областях О1, О2 определяется из решения уравнения (1). Но, помимо граничных условий (2) и (3), в этом случае необходимо задать еще условие на неизвестной границе зоны фазового перехода О0.

Температура во всей переходной области постоянна и равна Т , вопрос заключается в определении перемещения самой переходной зоны.

Зона фазового перехода

*

Рассмотрим произвольный момент времени т > т , когда зона фазового перехода уже сформировалась, рис. 1, а, интервал (ЛИ). Распределение температуры в этот момент т на всем отрезке (0Л) известно и имеет вид, представленный на рис. 1, а.

Рис. 1. Температурное поле в расчетной области при наличии в ней протяженной зоны фазового перехода

По известному температурному полю можно определить и плотность теплового потока в любой точке, в частности, плотность теплового потока в точке А со стороны жидкой фазы вещества равна

дг

(4)

Двухфазная смесь в интервале (АВ) находится в термодинамическом равновесии, причем известна доля твердой фазы в этой смеси - п.

Решая краевую задачу (1), (3), (4) для жидкой фазы, получим в следующий момент времени т + Ат распределение температуры Т = Т2 (г,т + Ах), представленное на рис. 1, б. Так как переохлаждение жидкой фазы по вышеприведенным условиям недопустимо, изменение энтальпии той жидкой части вещества, у которой Т < Т (на рис. 1, б это изменение пропорционально заштрихованной области) потратилось на изменение своего агрегатного состояния, произошла частичная кристаллизация жидкости:

А А

АН = | р2с2 [Т2(г, т + Ат) - Т* ] 5(г)ёг = -уп { р(По )5(г)ёг . (5)

А А

Здесь у - удельная массовая теплота плавления вещества; 5 (г) - площадь изотермической поверхности (в плоском случае 5(г) = 1, для цилиндра -5 (г) = 2пг • 1, для шара - 5 (г) = 4пг2; абсцисса точки А1 - решение уравнения

а

б

в

Г2(г, х + Ах) = Т *; (6)

р - плотность двухфазной смеси на интервале (А .А), которая зависит от доли твердой фазы этой смеси п0 следующим образом:

Р(По) =----------------Т. (7)

Р2П0 +Рі(1 -По)

Зная распределение температуры в твердой фазе Т = Т1 (г, т), вычислим плотность теплового потока на правой границе переходной области:

д( в, т) = -Хі дг-

дг

За тот же промежуток времени Ат за счет отвода теплоты от правой границы (точка В) происходит окончательная кристаллизация жидкой фазы в противоположной части переходной зоны. При этом уравнение теплового баланса запишется в виде:

в

-д(в, т)5(В) Ат = -у(1 - п) | р(п)^(г)^ . (8)

в.

Таким образом, вся переходная зона за время Ат перемещается из интервала (АВ) в интервал (А.В.). Новое положение левой границы (начало процесса кристаллизации - ликвидус) определяется из уравнения (6):

Т2 (А., т + Ат) = Т *; (9)

правой границы (конец процесса кристаллизации - солидус) - из уравнения (8):

і

В =

Ви+1 —4(В Т)АТ (п +1)Вп 1Я+1. (10)

у (1 -п) р( п) )

Расчет температуры на момент времени т+Ат в твердой фазе, на интервале (ВхЯ) состоит в решении краевой задачи (1), (2) и граничного условия

Т| =Т*.

1г = В

Для определения доли твердой фазы П1 в новом положении переходной зоны, интервал (А1.В1), воспользуемся очевидным равенством:

| р(П1)5(г)ёг = | р(По)5(г)ёг +1 р(п)5(г)ёг .

Ах Ах А

Подставляя в это равенство зависимости плотности двухфазной смеси от доли твердой компоненты (7) и выражения для вычисления площади изотермической поверхности как функции г, интегрируя и производя несложные алгебраические действия, получим:

п, = эд+а- у) п+^о, (ц)

х [ +(1 - у) По ] +1

где х = (р2-*)/*, .у = |S(r)dr/ |S(r)dr = (Ап+1 -А^1)/^1 -АП+1), а По

А / А!

находится из уравнения (5), которое можно представить в явном виде относительно п0:

=--------^е?2 - т )— ,

р1У + (р2 -р^т -Т) ' '

А ¡А А !

где Т2 = |Т2(т,r)S(r)dr |S(r)dr = (п +1)|Т2(т,т)гпёг (Ая+1 -А1Я+1) - средне-

А1 / А1 А1 /

интегральная температура переохлажденной жидкости на (А1А).

Температурное распределение в момент времени т + Ат на всем отрезке [0Я] представлено на рис. 1, в.

В итоге получено температурное поле во всей области ^, местоположение переходной зоны и доля твердой фазы в этой зоне в момент времени т + Ат.

Зарождение зоны фазового перехода

Зарождение зоны фазового перехода происходит с момента времени т*, когда температура поверхности Е, ограничивающей область ^, достигает температуры отвердевания Т. При т = т* протяженность переходной зоны равна нулю, из чего следует:

А = В = Я, п = 0, д(А,т*) = д(В,т*) = а(Т|=я -Тс).

С такими начальными условиями переходим к определению температурного поля, местоположения переходной зоны и состава двухфазной смеси в ней в последующий момент времени по алгоритму, описанному в предыдущем пункте.

Сравнение предлагаемой модели с классической задачей Стефана

В качестве примера рассмотрим задачу охлаждения шара радиусом Я = 1 м, заполненного водой. Исходными данными являются параметры воды: р2 = 1000 кг/м3; с2 = 4212 Дж/(кг-град); ^2 = 0,56 Вт/(м-град); температура и теплота фазового перехода: Т = 0 °С; у = 333700 Дж/кг; параметры льда: Р1 = 920 кг/м ; с = 2120 Дж/(кг-град); = 2,21 Вт/(м-град); начальная темпе-

ратура Т0 = 20 °С; температура внешней среды Тс = -20 °С; коэффициент теплообмена а = 25 Вт/(м2-град).

Подробности вычислительного характера в данной работе не рассматриваются.

Отсчет времени ведется с момента погружения шара во внешнюю среду. Естественно, что распределение температуры в конце первого периода, когда температура поверхности шара достигает температуры плавления Т*, в обоих случаях (в новой модели и в задаче Стефана) одинаково и служит начальным распределением для второго этапа (т = 2150 с).

На рис. 2 приведены типичные для двух моделей распределения температуры по радиусу шара, относящиеся ко второму этапу режима охлаждения (т = 5,1-105 с).

Рис. 2. Распределения температур:

1 - температура в начале второго этапа (начальная температура для обеих моделей); 2 - температура по новой модели; 3 - температура в задаче Стефана

Видны принципиальные отличия в распределении температуры по предлагаемой модели от классического решения задачи Стефана: во-первых, существует множество ненулевой меры (отрезок), где Т = Т = 0 (это обстоятельство закладывается уже при построении модели), во-вторых, температура на поверхности шара (г = Я) существенно выше, в-третьих, вторая производная (кривизна) в твердой фазе - всюду отрицательная величина. Подробнее отмеченные отличия представлены на рис. 3, 4.

Рис. 3. Развитие зоны фазового перехода:

1 - положение левой границы зоны кристаллизации (ликвидус); 2 - правая граница этой же зоны (солидус); 3 - граница фазового перехода в задаче Стефана

Рис. 4. Зависимость температуры поверхности шара от времени во втором этапе теплового режима:

1 - расчет по предлагаемой в работе модели; 2 - расчет задачи Стефана

Из анализа рис. 3 видно, что заявляемая модель и задача Стефана не являются противоречивыми: фронт фазового перехода в задаче Стефана располагается примерно в середине двухфазной зоны. Предлагаемая модель является термодинамическим подходом к развитию теории теплопереноса в веществах при наличии перехода его из одного агрегатного состояния в другое.

Плавное падение температуры на поверхности шара (рис. 4) в предлагаемой модели по сравнению с поведением ее в задаче Стефана объясняется тем, что основные тепловые процессы связаны не с охлаждением твердой фазы, а с формированием гетерогенной зоны фазового перехода.

На рис. 5 представлена зависимость доли твердой фазы в гетерогенной зоне фазового перехода от времени, т. е. п = п(т) . Видно, что эта доля в данном примере стремится к некоторому пределу. Это объясняется тем, что формирование переходной зоны происходит в условиях полного термодинамического равновесия, когда не только температура двухфазной смеси одинакова, но и состав этой смеси не меняется. Это стабильное состояние продолжится до того момента, пока левая граница области не достигнет своего крайнего положения (г = 0).

0.018 -1 ^

0.016 0.014 0.012 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 о

Рис. 5. Доля твердой фазы в гетерогенной зоне фазового перехода

Заключение

В настоящей работе предлагается новая модель, описывающая теплопе-ренос в однородной среде, претерпевающей изменение своего агрегатного состояния, и отражающая необходимость более точного моделирования в переходной фазе, которая наблюдается в реальных процессах. Ключевым условием модели является возможность появления и дальнейшего развития зоны фазового перехода, которая представляет собой неразрывную область, занятую гетерогенной смесью. Эта смесь представляет собой вещество в различных (жидком и твердом) агрегатных состояниях и находится в термодинамическом равновесии, которое проявляется как равенство температуры смеси температуре плавления вещества.

К достоинствам предлагаемой модели, по мнению автора, можно отнести следующее:

- искомыми функциями являются привычные температура и массовая доля, в отличие от других моделей здесь не вводится энтальпия, внутренняя энергия или другие тепловые потенциалы, для которых осуществляется переход к так называемому обобщенному решению задачи;

- для уяснения сути модели достаточно базовых знаний по термодинамике и теории теплопроводности;

- модель свободна от всяких технических приемов, направленных на сглаживание разрывов параметров на границах зоны фазового перехода (например, сглаживание коэффициентов теплопроводности, теплоемкости);

- алгоритм решения достаточно простой и сводится к решению алгебраических соотношений (в модели лишь одно дифференциальное уравнение теплопроводности).

Библиографический список

1. Флеминге, М. Процессы затвердевания / М. Флемингс. - М. : Мир, 1977. - 425 с.

2. Авдонин, Н.А. Математическое описание процессов кристаллизации / Н.А. Авдонин. -

Рига : Зинатне, 1980. - 180 с.