Математическое моделирование процесса формирования отливки с учетом фазовых превращений и диффузионных явлений Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.746.628

М.В. Шубина, К.Н. Вдовин, Д.Х. Девятое, Р.Х. Гималетдинов

ФГБОУВПО «Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА

ФОРМИРОВАНИЯ ОТЛИВКИ С УЧЕТОМ ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ И ДИФФУЗИОННЫХ ЯВЛЕНИЙ

Математическое моделирование процессов на любой из стадий литейного производства обеспечивает возможность не только исследовать поведение объекта и его характеристик при изготовлении, но и разрабатывать параметры управления этим объектом или процессом. Внедрение новых технологий изготовления отливок, к которым относится литье по расплавляемой оснастке, требует адаптации математических методов описания процессов при формировании отливки к явлениям, возникающим при использовании активной в тепловом отношении формы с алюминиевыми вставками.

Поскольку изготовление отливки сопровождается двумя сложными физическими процессами - плавлением и кристаллизацией, то особое внимание исследователей занимают проблемы математического описания явлений, происходящих на границе раздела фаз при протекании этих процессов. Согласно кинетическому подходу, рассмотренному в работах Г.П.Иванцова и

A.И.Вейника, определяющим фактором процесса затвердевания является переохлаждение расплава, поэтому анализ формирования структуры отливок проводится с учетом скорости зарождения и роста кристаллов [1].

Закономерности роста кристаллов в переохлажденных зонах расплава учтены и в математической модели затвердевания Ю.А.Самойловича, при построении которой учитывается также нестационарное и неравномерное по сечению отливки поле температур [2]. Однако вследствие методических трудностей реализация модели на ЭВМ оказалась слишком сложной.

Наряду с этим, широкое распространение получили математические модели на основе квазиравновесной теории двухфазной зоны. Одна из них представлена в работах научной школы

B.Т.Борисова [3]. В этой теории не учитывается кинетическое и кон-

© Шубина М.В., Вдовин К.Н., Девятов Д.Х., Гималетдинов Р.Х., 2011

центрационное (или диффузионное) переохлаждение расплава, так как их величины для реальных условий малы (не превышают 1°С). Вместе с тем, выявленная высокая скорость роста твердой фазы при малых отклонениях от равновесных условий позволяет считать, что жидкость и твердая фаза находятся в равновесии в каждом элементарном объеме двухфазной области. Внутри двухфазной зоны в каждом физически малом элементе, содержащем обе фазы, концентрация жидкости и температура связаны условием равновесия. т.е. уравнением линии ликвидуса расплава

где Тп - температура ликвидуса;

р - концентрация растворенного элемента.

Это означает, что внутри двухфазной зоны отсутствует переохлажденная жидкость или перегретая твердая фаза.

В систему уравнений квазиравновесной теории двухфазной зоны входят уравнения теплопроводности и массопереноса в жидкой части двухфазной области. Решение этой системы с соответствующими начальными и граничными условиями позволяет определить температурное поле в слитке, поле концентраций и доли жидкой фазы. Однако практическое решение приведенной системы уравнений также встречает ряд методических трудностей.

Модель охлаждения и затвердевания сплава, изложенная в работах Ю.А.Самойловича, также разработана в рамках квазиравновесной теории двухфазной зоны [2]. В ней используется дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности с учетом выделяющейся теплоты кристаллизации qкp, а также соотношения твердой и жидкой фаз. Принимается, что выделение теплоты плавления происходит по линейному закону в соответствии с правилом рычага. При этом вводится величина относительного

V

количества твердой фазы щ = , которая по смыслу может

рассматриваться как относительное количество еще не выделившегося тепла кристаллизации. Vmв и Vo - соответственно объемы твердой фазы и всего расплава, I// = 0 для жидкой фазы, I// = 1 для полностью затвердевшей части слитка и для двухфазной зоны может изменяться от нуля до единицы.

Vo

С введением величины у для кристаллизующегося слоя величина плотности внутреннего источника тепла рассчитывается по формуле

Ь = Ч, . <1)

где qкp — скрытая теплота кристаллизации; р — плотность металла; т — время;

ёт

— скорость затвердевания сплава.

Тогда рС^= ) + qкp р^. <2)

Для упрощения методики решения задач затвердевания теплоту кристаллизации учитывают при помощи введения эффективной теплоемкости Сэф. С учетом подстановки

ёу (& Л

ёт ^ & А ёт у дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид

рС эф ^ = ), (4)

где величина эффективной теплоемкости задается в виде системы

Сж при t > 1л

(3)

сэ (t ) =

с( г) - qКР {ду / дт) при ХС < t < Iл . <5)

Ст при t < 1С

Таким образом, учет выделения теплоты кристаллизации в двухфазной зоне сводится к соответствующему заданию зависимости Сэ = Сэ ^).

Относительное количество твердой фазы, находящейся в равновесии с жидкостью при температуре t, может быть определено из диаграммы состояния слава Ре - С по правилу рычага. Если принять, что линии ликвидуса и солидуса - параллельные прямые, то

t л - t

t„ -t„

При постоянном темпе кристаллизации сплава внутри ин-

тервалатемператур tл -1 величина -

dy dt

1

(t.. - tc).

Различные способы задания функции Сэ(t) по сравнению с условием Cэ = const незначительно изменяют температурные

кривые, практически не отражаясь на общей продолжительности процесса затвердевания. Для решения многих практических задач можно с достаточной степенью точности принять для интервала кристаллизации величину теплоемкости постоянной, определяемой как средняя величина между Сж и CT . Тогда значение эффективной теплоемкости в интервале температур tп - tc определится как

\Ст + Сж)! + " Чкр "

_ 2 _ t -1 л с

С, (/ )=

Существенное влияние на ход процессов кристаллизации оказывает гидродинамика сплава. В работах многих авторов предлагается косвенный способ учета явлений гидродинамического перемешивания расплава в жидком ядре. Для учета явлений конвективного теплопереноса в жидкой фазе вводят понятие эффективного коэффициента теплопроводности Лэ, значение которого

принимают в несколько раз больше коэффициента теплопроводности в жидкой фазе. По количественной оценке эффективного коэффициента в литературе встречаются противоречивыеданные: одни авторы предлагают увеличивать величину Лэ в 5-10 раз, а другие - в 10-50 раз.

Выразив значение эффективной теплопроводности Лэ с

учетом соотношения фаз, можно окончательно записать дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности:

рС эф [ dt)=div^gradt ^, где Сэф - коэффициент эффективной теплоемкости

Сэ«)=\

с

ж

(Ст + Сж)/2+дкр /(Iл -tс)

при ^ > при 1С < t < 1Л , (8)

при t < tC

и коэффициент эффективной теплопроводности

Аэ -

Я

'Ж

Яу

при t > tл при tC

< t < t1

(9)

при t < tC

В зависимости от формулировки задачи исследований задаются условия однозначности. Начальные условия обычно характеризуют распределение температур в начальный момент времени. Например, при т = 0 t = t0, где t0 - начальное значение температуры металла. При решении различных задач теплопроводности могут задаваться граничные условия первого, второго или третьего рода. Кроме того, в условиях однозначности задаются форма и размеры отливки, физические свойства металла, охлаждающей воды и др. Вышеприведенная система уравнений (7)-(9) вместе с условиями однозначности представляет собой полную формулировку математической модели процесса затвердевания отливки.

Развитие и широкое использование вычислительной техники, стимулирующее теоретическое и практическое развитие представлений о затвердевании и кристаллизации металла на основе квазиравновесной теории двухфазной зоны, основной вклад в развитие которой внесен Ю.А.Самойловичем, В.Т.Борисовым и другими, позволило на основании математических моделей затвердевания рассчитывать динамику процесса кристаллизующегося сплава.

Основная идея квазиравновесной теории двухфазной зоны состоит в том, что теплота фазовых переходов из одного агрегатного состояния в другое учитывается при помощи функции источников тепла, распределенных в объеме металла в интервале температур [©к, 0н ], где ©м, 0к - температуры начала и конца затвердевания соответственно. Дифференциальное уравнение теплопроводности с учетом этого имеет вид

ср-^— = + рЬ

Л Л

где с - теплоемкость;

р - плотность; Л - теплопроводность; Ь - скрытая теплота фазового перехода; 0 - температурное поле;

у/ - функция распределения источников тепла. Функция в квазиравновесной теории двухфазной зоны определяется из диаграммы состояния сплава.

Учитывая зависимость I// от 0 с помощью преобразования

ёу _ ёщ ё0

ёt ё0 ёt

уравнение (10) преобразуется

с эф = ё1у(А^аё&), ёt

а эффективная теплоемкость сэф определяется следующим образом:

с(0),0<0,,0я <0,

(11)

с эф

с(0)-рЬ^-,0, <0<0Л ёt

Полученное уравнение теплопроводности функционально имеет стандартный вид, однако из-за зависимости (11) является существенно нелинейным.

В квазиравновесной теории двухфазной зоны получили распространение два вида моделей, в одной из которых принято, что вблизи границы двухфазной зоны и твердой корки диффузия примеси подавлена, что характерно для больших скоростей затвердевания, в другой модели, характерной для медленных скоростей, имеющих место при затвердевании больших объемов, примесь диффундирует до достижения равновесной концентрации.

Наряду с применением квазиравновесной теории в исследованиях процессов фазовых превращений при изменении агрегатного состояния вещества, широкое распространение получила Стефановская модель затвердевания (плавления), особенно в приближенных инженерных расчетах. Исследования в области фазовых превращений в металлах и сплавах направлены на уточнение параметров, определяющих динамику процесса, построение математических неравновесных моделей затвердевания.

Таким образом, корректная постановка теплофизических задач и получение их строгого математического решения возможны

на основе достижений в теории формирования отливки в отношении процессов, происходящих во время заполнения литейной формы расплавом, затвердевания и охлаждения отливки в форме. Разработка на этой основе математической модели для описания процесса формирования отливки в условиях литья по расплавляемой оснастке обеспечит возможность математически прогнозировать и устанавливать необходимые тепловые и гидродинамические режимы литья с требуемыми высокими скоростями затвердевания с целью достижения заданного кристаллического строения отливки при минимальном поражении её дефектами, снижающими служебные свойства литых изделий.

Список литературы

1. Вейник А.И. Теория затвердевания отливки М.: Машгиз, 1960. 436 с.

2. Самойлович Ю.А. Закономерности кристаллизации отливок // Теплофизика и теплотехника в металлургии: сб. тр. ВНИИМТ. № 19. Свердловск, 1969.

3. Борисов Б.Т. Теория двухфазной зоны металлического слитка. М.: Металлургия, 1987. 224 с.

УДК 621.771.014

М.И. Румянцев, И.Г. Шубин, B.C. Митасов

ФГБОУВПО «Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова» A.B. Горбунов, В.В. Насонов

ОАО «Магнитогорский металлургический комбинат»

ОСОБЕННОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ ДЛЯ РАЗРАБОТКИ РЕЖИМОВ ХОЛОДНОЙ ПРОКАТКИ

Автомобилестроение является крупнейшим потребителем конструкционных материалов в мире. Рост требований к качеству материалов формирует конкуренцию между производителями и

© Румянцев М.И., Шубин И.Г., Митасов B.C., Горбунов A.B., Насонов В.В., 2011