CC BY
15
УДК 532.5:621.694
А.Я. Золотоносов - аспирант
Я.Д. Золотоносов - доктор технических наук, профессор
E-mail: zolotonosov@mail. ru
Казанский государственный архитектурно-строительный университет ТЕПЛООБМЕН В АППАРАТЕ ТИПА «ТРУБА В ТРУБЕ»
С ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ТЕПЛООБМЕННОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ «КОНФУЗОР- ДИФФУЗОР»
И ОРЕБРЕННОЙ ПРОТОЧНОЙ ЧАСТЬЮ АННОТАЦИЯ
Работа посвящена разработке математической модели сопряженного теплообмена в аппарате типа «труба в трубе» с вращающейся теплообменной поверхностью «конфузор-дифузор» и оребренной проточной частью. Это позволит уточнить методику инженерного расчета теплообменников с вращающейся теплообменной поверхностью типа «конфузор-диффузор», а также по-новому подойти к определению конструктивных и технологических характеристик современных гравитационных аппаратов.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: гидродинамика, сопряженный теплообмен, поле температур.
A.Ya. Zolotonosov - post-graduate student
Ya.D. Zolotonosov - doctor of technical sciences, professor
Kazan State University of Architecture and Engineering HEAT EXCHANGE IN THE TYPE DEVICE «THE PIPE IN THE PIPE»
WITH ROTATING HEAT-EXCHANGE THE SURFACE «KONFUZOR-DIFFUSOR»
AND RIBBED THE FLOWING PART
ABSTRACT
Work is devoted development of mathematical model of conjugate heat change in the type vehicle «a tube in a tube» with gyrated heat exchange surface "confuser-diffuzor" and ribbed the setting. It will heat, to update the method of application of engineering account of heat exchangers with gyrated heat exchange surface of type "confuser-diffuzor", and also in a new fashion to approach to definition constructional and operational characteristics on modern gravitational vehicles.
KEYWORDS: hydrodynamics, interfaced heat exchange, a field of temperatures.
Введение
Среди известных рекуперативных теплообменников особое место занимают теплообменные аппараты типа «труба в трубе» с вращающейся криволинейной поверхностью, выполненной в виде трубы из последовательно чередующихся каналов типа «конфузор-диффузор» [1]. Проточная часть таких труб выполнена оребренной [2] или неоребренной [1], а в поперечном сечении - круглой, эллиптической или овальной форм [1].
Конфигурация теплообменной поверхности для таких труб задается в процессе накатки или холодного обжатия круглых элементов трубы в разъемных штампах на гидравлическом прессе, или, в случае пружинновитых каналов, определяется самой технологией намотки [3]. Конструктивно конфузорно-диффузорная труба в теплообменном аппарате устанавливается коаксиально и в одном из вариантов вращается относительно неподвижной внешней трубы, в другом исполнении вращается совместно с внешней трубой от общего электродвигателя или, в более общем случае, от автономных электродвигателей соответственно для внешней и внутренней труб [1]. Среди всего многообразия рассматриваемых ротационных аппаратов наибольший научный и практический интерес представляют теплообменники с вращающейся теплообменной поверхностью, выполненные с внутренней оребренной проточной частью.
Оребрение в таких каналах вызвано требованиями интенсификации процесса теплообмена, поскольку с водной стороны среднее значение ав =1300 Вт/м2К, а со стороны пара, вследствие срыва конденсатной пленки с поверхности вращающегося канала и перехода с пленочного режима
конденсации в «пленочно-капельный», а п =21000Вт/м2К [4].
Внедрение таких теплообменников в промышленность сдерживается отсутствием теоретических и прикладных исследований в области гидродинамики и теплообмена в проточной части аппаратов с оребренной вращающейся теплообменной поверхностью «конфузор-дифузор» и надежных методов их инженерного расчета.
1. Математическая модель сопряженного теплообмена
Рассмотрим математическую модель стационарного ламинарного течения вязкой жидкости во вращающемся криволинейном конфузорно-диффузорном канале.
Рассматривается случай, когда перерабатываемая жидкость поступает во вращающуюся трубу длиной Ьтр (Ьтр ® ¥) из емкости большого размера. Сечение канала изменяется по длине канала в
соответствии с некоторым законом, описываемым функцией Я(2) = -(-а)2 + Ь , где (а, Ь) -
координаты центра окружности, по которой построен профиль твердой стенки канала, Я* - радиус окружности. Канал снабжен ребрами (см. рис.).
■Щ---------------------------------------------------------------------------
Рис. Конфузорно-диффузорный элемент
Учитывая геометрию объекта, течение вязкой жидкости во вращающейся волнистой трубе рассматриваем в цилиндрической системе координат (r, р, z ), где нулевое значение радиальной координаты r совпадает с осью трубы, координаты z - с входным сечением, а угловой координаты р - с вертикальным сечением трубы.
Тогда уравнения движения, неразрывности, энергии и теплопроводности стенок канала и ребра с учетом центробежной силы запишутся в виде [5]:
1 2
V (grad V) = v (div grad V) - p gradp + (Or ;
div V = 0; V (VT ) = a (div grad T); div gradT = 0; div gradT = —— ( -Тж) (1)
18
р
В качестве условий однозначности для системы (1) задаются начальные распределения
скорости, давления, температуры на входе в канал и граничные условия на стенках канала и ребра:
z = 0:
dV V dV ОТ
r=0: V = V =0; V =и ;P=P ; —r-=—^== ^ж =0; T =T ; T =T ;
r р z 0 0 dz dz 0z dz ж 0 p ср
dT P ot
r=r : V = or ; V =V = 0;T =T ; 1 ——=1 —ж;
p р р r z р ж P 0r ж 0r
ОТ ОТ
р=р : V =V =0; V =or; Т =Т ; 1 —P =1
0" r z
р ж р Or О-
(2)
ОТ ОТ
= R(z): Vr = Vz = 0; Vp = oR(z); Тж = Тр = Tc; 1ж ^ = 1с ^ (,р,R(z));
r = R(z) + 8 : 1
ОТ
-с э-
(т -Т )
' П с >
^ •
OVr V ОТж Op
r=0: V = V = 0; —- =—Y_=^^ = ^;
r Р Oz Oz Oz Or
ЭТ
ЭТ
- = - : V =o- ; V =V = 0; T =T ; 1 ..
p р р r z р ж р Or ж Or
OT
OT
p=p : V =V = 0; V =or; T =T ; 1 —-=1
0 r z р р ж р Or ж Or
дТ дТ
г = Я (2 ): V = V = 0; ) = )Я (2) ; Т = Т = Т ; Я -Ж = Я
ч/ Г 2 $ Ч/ Ж р с ж дг с дг
дТ , ч
г =Я( 2 )+8: Я —с=а (Т -Т ).
^ ' С дг п\ п с)
2 = ^тр^ 1тр ®¥
»'г <% »2 др дТж
Г=0: V =У =0; V = 2и ;—г =—^=—2 = — = =0;
г р 2 ср д2 д2 д2 дг дг
дТр дТ
г = гр : р = агр ; ^ = V2 = 0; Тр = ТЖ ; Яр дг = ЯЖ дг ’
Т дТ
р=р : V =К =0; V =аг; Т =Т ; Я —-=Я ;
0 г 2 р р ж р дг ж дг
дТ Т дТ
г=Я(2): V =V =0; V =аЯ(х); Т =Т ; Т =Т ; Я —ж=Я —р=Я —;
г 2 р Ч/Ж С Р С Ж дг р дг с дг
дТ I \
г=Я(2)+8: Я =а (Т -Т )
4 7 С дг п' п с '
Используя преобразования координат, отобразим физическую область течения с
криволинейными границами. Для этого произведем замену переменных:
_ г г - Я (2) _ 2
г =------; г =--------; 2 =-----.
Я (2 ) Я (2 ) 1уц
Введем в уравнения такие безразмерные переменные и параметры:
- _ а b _ b _ г R _ R(z)
a _ R*; b _ R*; z*_ R*; R _ T— >
г _ I-; u _ Uf- ’ p _ rp • p,. x _ ;
Ucp p 0 Хж
x _ . L _ ^. ( _^P R _Js . H __
L"' • rp . R _ d3 . H _ 5
^ ^ R(z) ’ R R^ ’ Rz) ,
где I - длина участка трубы (конфузор 1к или диффузор ld ). 5 - толщина стенки канала. d3 -
эквивалентный диаметр элементов канала, вычисляемый по известным уравнениям [6].
Решение систем будем искать в виде:
V _ и0 f (z j,r ). Vj _ ®щО (z j,r ).
Vz _ UoH (z j,r ). p - Po _ pu2Я (z j,r ).
Тж (z j,r ) _ Т0?ж (z j,r ). Tn (z j,r ) _ T0?n (z j,r ).
Tc (j,r ) _ Т0{с (j,r ). Tp (j,r) _ TJp (j,r).
Tcp (zj0,r ) _ TJ* (zj0,r ). Tp (z,j0,r ) _ Тж% (zj0,r ).
Тж (,j0,r ) = ТсT (MS).
Тогда краевая задача нахождения температуры в стенке канала для области W _{( jr)0<z<1, 0<j<j0, 0<r<H} и безразмерных компонент скоростей, поля температур в
жидкости для области W2 _ {(jr )0<z<1, 0< j<q>0, 1<r<l} примет вид:
df N G df H
f dr R Э (p
r (z*-a ) f -R f
a\2 dr dz
^1-(z*-a )
_ - ЭР
dr + Re
Э2 f 1 df _V1-(z*-a )2 |"(z*-a )2 +1 l“b
—4r^^^L+r--------------^-----^2—r—
(1-(z.--)2 )32
d r2 r d r
d+
r (z*-a ) -^1-(z*-a )2
d2f - 2rR(z*-a ) d2 f + R2 a2/-2N dG- f
d r
;t2
sdG NG dG tt
f----+----------H
d r R d j
+r
■^1-(z*-a )
.^1-(z* - a )2 (z*-a )2 +1 ^b
/ _ 2 ^^2 |\-(z*-a ) ^
•(z*-a ) dG —ЭG
—R
—\2 dr dz
^-(z*-a)2 drdz dz2 r d j r
r + 2 fG
-F2
+
N2 rG 2
_ 1 d Р i? r 2 | d 2 G 3 d G 1 d 2 G
r _ - ^ ^^ -о +-+ -о-т- +
d g +
d r
r(z* - a ) •^1-(z*-a )2
N dj Re 1 dr 2 r dr r 2 d j2
d2G - 2(R (z* a) d2G + R2 + 2 dG
d r
тт2
a .2 d r dz +R dz2 + r3N dj
f dH + N G dH H
dr + R d j
r (z*-a ) dH -dH
—R-
•^1-(z*-a )
_ч2 Эг dz
-(z*-a) dp -dP R Id2 H 1 dH 1 d2 H
- i----------------------—^ +
V1-(z*-a)2 r
Re I 9r2 r dr r2
r2
+r
(3)
f d r
^1-(*-a)2 ^(z*-a)2+1j-b dH ( \ ¥ (z* - a) 2 Э2H 2rR(z*-a) Э2H | ^2 Э2H
/ 2 4^2 dr + ^1-(z*-a ) J / J1-(z* - a )2 V ’ / \ э—2 ^-(z*-a)2 drdz dz2
r ( z * - a ) Э H — Э H 1 7 — \ 2 Э F Э F
-y/1 - ( z * - a )
N Э G f
+ -Д- -Л-- + ■=■ _ 0 .
R Э j r
(4)
f ' ж
N G Э (ж R “dj
- H
r ( z * a ) Э ? ж - r Э ^ ж [. ^ _ ч2 Э F Э T
-y/1 -(z* -a )
.[ Э 2 ? ж +1Э ? ж + 1 12 Э ж
Pe | эF2 ^ ЭF F2 Э j 2
(5)
(6)
(8)
-(z*— a )2 (z*—a)2+1^b Ъж + r (z*—a ) 2 Э%ж
(1— (z* —a )2 f2 dr 1 ( z* a )2 dr 2
^i-(z»-a)'
2 dr dz dz2
d 2tp , 1 dtp + 1
dr 2 r dr r"2
2 + d 2tp p dz 2 • 2a "_ /d~' p
3t„
1—(z*—a )2 0j
32 ~dr~
r (z*—a )
^1—(z*—a )2
d2tp 2rR(z*—a) d2tp dr2 1 t 072 dr dz
V1—(z*—a)
d 2 tc 1 d tc 1 d 2 /, ifr2 + r ^ + r2 dj
2 + (r +1 )
дУ 1 — ( z* — a )2 ( z* — a )2 +1 "j— b
? _ 2 \3/2 -
(1 —(z* — a ) 0
d tc d
(r +1)( z* — a )
^1 — ( z* — a )2
d 2 dr2
2 (r +1 )R (z* — a )d 2^ + _2 d2/^ _ o
д/1 —(z* — a )
_n2 d r d z
d z 2
с граничными условиями
z = о- — _ dG _ dH _dtЖ _ 0.
dz dz dz dz ’
*
r _ 0: / _ 0; G _ 0; H _ 1; P _ 0; Ж _ 1; tp _ t ;
dt
dt
r _ r- G _1; / _ 0; H _ 0; t _t *; _Я -Ж;
P dr ж dr
dtP Шж
f _ f - / _ H _ 0; G _ 1; t _ t ; -^=- _
y y0 J ’ ’ р ж dr dr
dt.
dt„
- dtc
r _ H: —c dr
z _ I :
(7)
dt
'Sty-
r _0: /_ 0; G _0; / _^ _dp _^ _0;
dz dz dr dr
* dt р
r _r - G _1 / _0;H _0; tp _t ; ^ = ^ dr •
* dtp ^ж
f _ f - / _ H _ 0; G _ 1; t _ t ; _ Я ;
Y Y0 J ’ ’ p ’ dr ж dr ’
dt _ dt dt
r _ 1, r _ 0- / _ H _ 0; G _ 1; t _ t; t _ 1; -Ж _ Я ^ ; r _ 1- %
’ J ’ ’ ж ^ p ’dr с dr dr
~ _ 1 -r _0-•
r _ r -
/ _ 0; G _ 0; H _ 2Й;d/ _dG _^ _dP _ _ 0;
dz dz dz dr dr
* dt n dt
G _ 1; / _ 0;H _ 0; tp _ t ;
f _ f : f _ Н _ 0 О = 1; tp _ ж;
г = 1, г _ 0: f = H _ 0; О = 1;
*р _ %
Эг Эг
1 = ; 1п =1;
ж //
ы &р Э/
ж — 7 — &&&
~дТ ~ 1 р ~ Ас ЦТ ’
г = Я: ^ = Е1 ( - г).
Эг с'
Система уравнений (3)-(7) с граничными условиями (8) составляет полную математическую модель сопряженной задачи теплообмена в оребренном канале, выполненном из конфузорно-диффузорных элементов и вращающемся с постоянной скоростью.
2. Алгоритм решения сопряженной задачи теплообмена в оребренном криволинейном канале типа «конфузор-диффузор»
При решении уравнений движения (3) для исключения безразмерного параметра давления Р из числа неизвестных используем метод штрафа [7]. Для этого нулевую правую часть уравнения
неразрывности (4) заменим произведением давления на малый штрафной параметр е (е®0, П1уУ ®0) [8]:
% (^- а)
df
Эг
-(*- а )2
Тогда выражение для давления будет иметь вид
ЭН -ЭН
—z— R —~ Эг dz
N ЭО f D +-~—+^_-Ре . R Э р г
( ( t \ \ \
1 f - rlz*- a) ЭН - R ЭН N ЭО f V— V —
e Эг 1 ( a) l Эг Эz R Эр г
A 1-lz*- a)
V V v v * 1 0 0
(9)
Для решения задачи применим метод конечных элементов на основе метода Галеркина. Согласно основной идее метода решение системы (3)-(7) будем искать в виде линейной комбинации базисных функций:
f (e)(z,р,г) _ L и(е)ф(е)^,р,г); О(e)(z,р,г) _ L г);
i _1
i_1
i i
H(е)(рг)_ L w(eWe)(z,p,г); рz)_ L tЖф(е)(р,г);
i _1
ii
i _1
Ж1 i
t(e )(z ,j, г )_ L t (е )ф(е )(z ,р, г )
P i_1 Pi i
или в матричной форме:
(10)
/(е) = [Ф]{м}; О(е) = [Ф]№; Я(е) = [Ф]М;
, Ж=[ф]{,ж }, «=[4, }
Здесь [ф]=|фе (г,р,%),Фе (г,р,г),...,Фе0 (г,р,г) - вектор-строка базисных функций,
*- 1 2 8 -*
Ы, М М, {ж }, {, }, {^ } - вектор-столбец неизвестных узловых значений функций:
u(e) j(e) w(e) [,(«) ] t(e)
u1 w1 ж1 C1
(e ) u2 •, {J = • <2» {w} = • (e ) w2 ■■ {}- Ж2 {}= LcJ t(e) c2
u(e) 4) w(e) , (e) t (e) c8
Г8 Г8 . ж8.
{и}
Нижние индексы означают локальную нумерацию узлов, верхний индекс е - номер элемента. Интегрируя уравнения (3)-(7) по объему конечного элемента, получим: уравнения движения
( / / \ 'Л
|[Ф]
V
,Э/ NG Э/ „ f—+-^~—-— H Эг R Э j
г (z*- a)
1-(- a)
-Ъ Эг dz
V
(Э 2 f Эг 2
//
(z*- a) ЭН 4*" a)
'-(z,-a)2 ЭГ \li-(z*-a)2 Эг2 ‘'Эж
Э 2 H R Э 2 H - R -
N Э2G f 1 Э/
+^~—--------
R ЭгЭ j r 2 г Эг
dV+
(11)
+ R f[F]
Re v
T
2f 1 Э/ 1 Э2f _^1-(z*-a) ((z*-a)2 +1)-b Э/
— +----------— +--------------— + г-!-----------------------------;--------------
Эг 2 г Эг г2 эя 2 /. I Ъ W2 Эг
(1-(z*- a )2)
1-
(z*- a )2
Э" f Эг 2
__________э/+R 2 э/ - 2N dG - f
1-(z*-a)2 dFdz dz2 г dj г2
>dV + + N~- {[ф]7 ^2, R 2 V
f ( I \ \ \ f (
{[f]t V 2G NGdG T1 гМ dG RdG +fG dV= — {[f]t Ne V J Э2/
Эг R dj \ l1~-[Z*~a} ) Э dz djd 1
V V * / V
R2 г ГфTi
^Лф]7 1
ReV
d2G 3dG 1 d2G f-z*~a, ' ^—^+г-
)2(«-a)2+1}-’ dG+
г dr2" (Of2 ff+
( I \ \ 2
d2G 2 G % -jZ? d2G + 2 dG
1 1~iz*~a} Эг2 Mz*-*) ЭЭ dz2 ^n dj
V 0 \ v * 7 J
dV,
nz*-a
r) d2H -d2H
1-(z*-a)2 Э<^ j
R
dV+
(12)
Э
+
+
1[Ф]-
V
Ш NGH Tll
/^-H
Э R dj N d2G / 1/
+?—----------^,+t—
R drdj r r сГ
W
r,z*^ dH -dH -R-
l-(z*-a)2
-12 Э dz
R
V f { d/ _ ЭЭ
V V
V=1 |[Ф]Т
e V
l_Z*-a) N d2G 1/
э2/
dr
(z*-a) ЭН r(z*-a) dH -d2H
=7=5=-------1-1 / T=----—--R----
r (Z*-a )
\2
1-(z*-a )2
d2 H
dr 2
T*-- d2H-Rd2H
1-jZ*^ ^ dz2
2rR (z*-a )d2H R2 d2H +R
V+— J[F]-
d2H 1dH 1 d2H _
Re
V I эг
.2 r эГ r2
—-+r
dH 2 Э
1-(z,-a )2 drdZ dZ2
(13)
уравнение энергии /
|[Ф]
V
dt ng dt
/ ж +NG ж
dr R d j
- H
r (z*- a)
dt
1-(z*- a )2
dt
Л//> ---- О//1
R t/rC
dt
+ —ж +
d2t
dr r2 dj2
ж + r
1-1 z*-a
J fc-- )2+1)_/
dr
dz
dV=R |[ф]
PeV
T
//
d 2t
b dt
1-(Z*-a )2
dr
r (z*-a )
1-(Z*-a )2
d2t 2rRlz -a )d2t „d2t
ж \* / ж+r2 ж
dr 2
1-[z,-a )2 drdZ dz
(14)
\
dV,
уравнение теплопроводности стенок канала
ДФ}
V
T
Э 2t
1 dt 1 Э 2t
с , 1 с , 1 С
Э? 2 (Ir +1) э~ z? + 1)2 dj2
+{r +1)
1-^Z*-af ^*-a)2 +1)-b dt, -)3/2
z?+1)z*- a) 2 Л Э 21 i(z+1)R {z - - )э 2t „ Э 2t С 4 ' V * / c , R 2 c
1-{z,- - )2 d?2 V 1-(z*- - )2 drdz dz2
1-(z- a )2
dV = 0,
c
dr
(15)
Уравнение теплопроводности ребра
Э 2?р 1 ъ 1 ы )2 ((л-а )2+1)
1[ф]
V
p 1 p 1 Р —
---£-+—+—-—-^—+r-
Эг 2 r dr r 2 df
dt
z^o*--)2)
3/2 dr
r Z*--)
2
2tp 2?rZ*--) d% —2 d2t
^/1-Z*-a)2 dr fz^-)
+R
2 drdz dz2
dV = 1 [Ф]T z -t )dV.
Я5 V L J V Р ж)
(16)
Так как в качестве базисных функций выбраны функции нулевого порядка непрерывности, то уравнения (11-16) должны содержать производные порядка не выше первого. В целях понижения порядка производных, учитывая граничные условия (8) и с учетом интеграла (17) [8, 9],
[[фГ Э-£^У = [[ф] — Ы8 -Г^®]- Эс^¥ , (17)
•I1 ] Эг2 Л1 ] Эг г ) Эг Эг
к Эг2 • Эг
уравнения (11)-( 16) преобразуются к виду: уравнения движения
+
2
J[®}
V
f f+NG df _H
dr R dj
d[F]L dH + N d[F]L dG dr dz R dr dj
r k~a)
df_Rdf dr dz
1-1 z*-a
IV+1J
e v
//
d[F]L df r(z*-a 2 d[F]L dH
dr dr
1-( z*-a
dr dr
L
+R
\ / (z "l
dV+1 J[F] L e V \z,_a) dH + f 1 df
1 1-(z - a j2 dr r2 r dr
/ lv \ , / /
dV+
+ R J
Re v
d[F]L df + 1 d[®]L df
----—-----— +-----------------
dr dr r 2 dj dj
\2
L 2rR (z -
d[F]r df
dr dr
(z*-a 2 9[F]7 (z*- a 2
________df_
dr dz
+ R2 ^f - R '[*]"
dz dz I Re v
1 df r dr
+r
1-(z, -a2 ((*.-“)+l)-t f + 2NdG + J_ (1-(z,-a)2) dF+ r" dj +r2
dV +
(18)
/ /
df
dr J
V lv
* " / dH =■ dH
-R -
-(z*- a 2
— \2 dr dz
N dG f
■— +4:
R dj r
fdV-N2 J[®]LrG2dV=0, R2 V
J[®L
V
,dG NGdG
f—------------H
dr R dj
4*-a)
/ y
\ A
J1-k-a I2
—R-
dr dz
rdV - — jEL^dV +
Ne v r dj
+ — J
Ne V
+ — J-
Re V
/ f
L
d[F]L df d j dr
/ 7
r (z,-a ) d[F]L dH-R9[F]L dH ^1-(z,-a )2 dj dr dj dz
N d[F]LdG
dV +
d[FL dG 1 d[FL dG
dr dr r2 dj dj
2 dtFt dG Idv-*! J[F]L
dz dz r Re V J
(z*-a)
1-z -a
R dj dj
d[®L dG 2rR(z*-a)[F]L
dr dr
1-1 z -a
I2
dG
dr dz
dz dz I Re v
3 dG r dr
1-(z--a 7 ((z,-a )+1)~^G + 2 dG
_) W2 dr r 3N dj
(1-(z*-a J2 f'
dV+
+ 2 J[F]L 2 V
( / df dr
V V
MZ -al dH-RdH 1-(z. -a)2 dr dz
N dG f
+-~---------+-
R d j r
3dV = 0,
(19)
J[fL
V
+1J
e V
m NG dH TT
f—+-^---------H
dr R dj
\\
, / dH j^dH
-R-
1-z,-a
I2
dr dz
dV +1 J[<&L
V
//
(z,-a №
1-z,-a
d[FL df.
dr dr
N d[®L dG R dr dj
- R
(z,-a) d[®L dH Ra[oL dH )2
1-z,-a
_ _ -R- _ _
dr dr dr dz
1-1 z,-a
+
dH+f -1 df
dr r 2 r dr
d[F]L df
dz dr
w(z,-a) d[F]LdH Ra[oLdH
1-z,-a
T
_ --R- _ _
dz dr dz dz
/
N d[F]LdG
R dz d j
dV -
//
dV +
_ 1 jJFf Гdv+RI f Э[ф]т oh i l Э[Ф]Т oh e v r ON Rev I Эг Эг r-2 Эр Эр
2 Э[Ф]Т ЭН
г (z:_a )
\2
l_(z:_a )2
\Т -лтг 2rR\z_ -
Э[Ф]Т ЭН Эг Эг
(z:_a )
l_(z:_a )2
Э [ Ф Т эн
Эг On
/
+ R
Oz Oz
К - Re '[Ф]
T
1 ЭН _
з——+r
r Эг
l-(z:-g)2 |z* _g)2 +l)-b
ЭН
V
Mz- g )2)
3/2
Эг
dv +
+2 і[фг
2 v
/ /
эг
Эг j
V и
^1 _(z: _a)
ЭН —ЭН
-- R
2 Эг az
N aG f
+—+R-
R Эр r
Hdv = 0,
(20)
уравнение энергии (
I[Ф]
v
ЭЛ NG ЭЛ
f ж + NG ж _ h
Эг R Эр
V
r (z:_g)
at
l-!^ Эг
Эл
з
dz
'ЛІГ' ----------- 'ЛІГ'
с/п.. R urL-
dv+A I^t ^
Pe v I Эг Эг
//
/ ( \ Л
r\z _g
V : >
l_(z _a} )
A V : /
V 0
Э[Ф]Т ЭЛж + 1 Э[Ф]Т ЭЛж _ 1Ш (z:_° )э[Ф]Т ЭЛж +R
2 Э[Ф]Т Эл
Эг Эг r2 Эр Эр
Эг az
az az
dv _
R
Pe
ЯФ]
T
v
Эл
+r
i_(z:_o І2 M_g )2+l)-b эл (z:_g I2 f
Эг
г дг / / \л^/2
, н-,-,, ,
уравнение теплопроводности стенок канала (
1Т д£ ^ 1 дКМ ] ^ С Т
dv = О,
Э[Ф]Т atc [Ф]Т atc 1 Э[Ф]Т Эл
I
Эг Эг г Эг г 2 Эр Эр
_[Ф]Т (г+1)
l_tz:-g)2 |z:_g )2 +l)- b atc
Чмg )2
32
Эг
(r +l)(z:_ g) 2 л Э[Ф]Т atc 2(г+1)R(z:_g )э[Ф]Т atc + R2 Э[Ф]Т atc
0 ) Эг Эг ■v l (z a) эг az az az
dv = О,
Уравнение теплопроводности ребра
ґ
v
Э[Ф]Т atp + Э[Ф]Т 0tp + Эг Эг г 2 Эр Эр
/
r (z:_ g)
Ці- g )2
Э[Ф]Т 0tp 2rR (z*_g) Э[Ф]Т dtp
Эг Эг
:
1~/ 012 Эг On
l-lz*_ g)
+R
2 Э[Ф]Т ^p аг ar
dv-ЦФ]
v
Т
1 dtp J 1-(z:-g)2 (Ы^1- ^
---—+rJ-------------------7----------
r Эг
M_g)2f'
аг
dv++2a ЛФ]Т(t - )dv=0.
Г ISy 'p жГ
(2l)
(22)
(23)
Заменим искомые функции в уравнениях (18)-(23) их пробными аппроксимациями, и, вычислив интегралы по области элементов с помощью квадратурной формулы Г аусса, получим систему алгебраических уравнений относительно неизвестных значений функций в узлах элемента: уравнения движения
I
J[®f [F]
V
+ [F]
T
{u}3|®]+a;Ws[f]_{„,}
dr R d j
(z*- a ) d[F] + r (z*- a )
r (z*- a )
W
_________MpLR d[F]
i-(z*-a)2 dr dz
V
^d[F]T d[F] dr dr
//
d[F]T d[F] -d[F]T d[F]
_____—-----—— R-------- ------
2 dr dr dr dz
T
1-(z*- a)
2 dr
1-(z*- a)
[w} +
+ N dl®]{S!_[<F]{u!+1 d[F]{u}
R dr dj 1 J r2 1 J r dr 1 1
dV +
R
+-----J'
Re V
d[F]T d[F]-[F]Td[F]+d[F]T d[F] _[F]T V1 lZ*
dr dr r dr r 2 dj dj
(z*-a )2 ((z*-a )2 +l)-b
d[F]
l-v
11-\z*- a
32
dr
+2[F]T r
(z*- a) d[F] 2[f]Tr (z*- a )d[F] r(*-a) \ d[F]T d[p]
]1-(z*- a y V v J dr f(-a)2 ^ J1-(z*- a) ) 0 dr dr
2rR (z*- a )
2 dr dz
1-(z*- a)
+ 1 J[F]T [F]
2 V
N2 T
— J[F]T [F]r [F]{J}dV,
R 2 V
d[F]T d[F] + R2 d[F]T d[F]
dz dz
{u}+ 2N[®f d[p]M+[®]>]{u}
r dj
dV +
f f ( \ \
d[p]{} d-{u} dr rlz*-a) d[p] R 3[F1 M+ N э[F]{J!+[F]{u! R d j r
.. 1 \z - a) z dr dz
V V\ v * > 0 0
{u}dV =
l[®f [F]
{u}«+N№M-h
1 J dr R 9 j 1 J
9[f] r9[f]
1-(z -a) 9r "
-{J}+2{u}[F]{J}
+—J Ne V
d[F]T 9[F] 9 j dr
{u}-
r(z* a) d[F]T 9[F] r9[F]T 9[F]
rdV +
1-1 z -a
_ -R- _
9j 9r 9j 9z
W+N9!^ 9!F]{u}
R 9 j 9j r 9 j 1 J
+— l-Re V
+ 2[F]T
9[f]T 9[f] 3[F]T 9[f] 1 9[f]T 9[f]
(z*-a )
1-1 z -a I
-r [F]T
9[F] 2[FfR (z*-a ) 9[F]
/
1-1 z -a
dV+
9r 9r r 9r r2 9j 9j
\ 2
d
9r
(1-(z*-a №
1-1 z -a
r iz*.-a) 2 9[F]T 9[F] 2
J 1-{z*-a} 9r 9r ^
2-R z -a
) 9z
) 9[F]
1- z - a
j2
9[F]+r29[F]t 9[F]-2[F]t 9[F]
9r 9z 9z 9z r 3n 9 j
+ 1 l[F]T [F]
2 V
dp] u}-
9r
r (z*-a)
r'z* a) 9[F] -9[F]
t=—z—R'
1-(z -a
9r 9z
№N d[p]{^}+Ipi{ui
11 ^ R 9j W r
{j}dV = 0,
(25)
(24)
r
V
+
[ [Ф]1 [Ф]
V
{„>эм+NWM-w
1 J Эг R Эф 1 1
r(z*-a) э[ф] RЭ[Ф]
1-(г, -a) Эг Эг
{w}dV +
+1J £ V
(z*-a) -(z*-a )2
V
э[ф]т э[ф] Эг Эг
{»}-
(z*-«)[ф]І э[ф] г(г*-°)
1-г
-\2 Эг
э[ф]т Э[Ф] -Э[Ф]Т э[ф]
==---—---——R--------—------
1-(г -a) Эг Эг Эг Эг
И-
_N Э[ф]Т [Ф] [ф]{и} + [ф]1 Э[ф]{г
r Эг Эф г2 г Эг
- R
э[ф] э[ф]
Эг Эг
{и}-
-a)
* /
1- г -a
э[ф] э[ф] б^э[ф]1 э[ф]
—R-
Эг Эг Эг Эг
И+
+n Э[ф]Т э[Ф]{^}|].ф]1 Э[Ф]{И}
R Эг Эф
Эг
dV + R [ [Э[ф]Т э[ф] + [ф]Т э[ф] + 1 Э[ф]Т э[ф]
^ - ' Лтт ^ ^ Эг r2 Эф Эф
Rev[ Эг Эг
(2б)
-г [ф]1
1- г - a
F ((г*- a )2+1)- ь э[ф]
(1-(г *- a} Г
1/2
Эг
+2[Ф] г
(г*- a)
1- г - a
2[f]Ir (г*- a )э[Ф]
1- г - a
+2 [[ф]1 [ф]
2 V
э[ф]
Эг
{и}-
I - a)
э[ф]
Эг
э[ф]т эн 2rR\z* V Э[Ф]Т эн -2 Э[Ф]Т эн
----z-----z----- ----—-----—+R --------—------—
Эг Эг I. ( _ Ъ Эг Эг Эг Эг
■ ч
1- г - a
dV +
1- г - a
|2 Эг Эг
}dV=О,
уравнение энергии
{и}э[ф] +
1 J Эг r Эф 1 J
г (г*- a)
1- г - a
э[ф]- R Э[ф]
2 Эг Эг
ж Pev I Эг Эг
э[ф]т э[ф] + Ґ Л г (г* - a) Э[ф]Т Э[ф] 2rR (г* - a) Э[ф] Э[ф] + r2 Э[ф]Т Э[ф]
Эф Эф J1 -(г* - a )2 V / Эг Эг I, / —\2 Эг Эг Эг Эг •у! - (г* - a)
{ж }dV
-1[Ф]1
V
1 Э[Ф]
г Эг
+2г
za)
2
1-(г - a )2
Э[ф]
Эг
2R
(г*- a)
э[ф] +
1- г - a
F((г*-a )2 +1)-ь Э[Ф]
1-(г -О]2 Эг
(1-(г*- a)2 Г
1/2
Эг
(27)
уравнение теплопроводности стенок канала
2
[Ф]1 Э[Ф] 1 Э[Ф]Т Э[Ф]
Э~ Э~ (~ґ+1)2 Эф Эф
(г +1)(г*-°)
1- г - a
Э[Ф]Т Э[Ф] 2(~ +1)R(z*-a)э[Ф]Т Э[Ф]
Эг Эг
1- г
+R
2 Э[Ф]Т Э[Ф]
Эг Эг
1 Э[Ф]
Эг
+(г +1)
1- г - a
I2 ((г*-a )2 +1)-ь Э[Ф]
|2 Эг Эг
1/2
Эг
2 R
(г *- a)
Э[ф]
-(г*- a]
2(г+1)
2
-(г *- a )2
э[ф ]
Эг
(28)
Уравнение теплопроводности ребра
Г
V
д[ф] д[ф] + 1 д[ф] д[ф] + / \ r (z* - a) 2 д[ф] д[ф] 2rR (z*-
dr dr r2 dj dj - z * - 2 dF dF д/l -(*-
\2 dr dz
+R'
З[Ф]Т З[Ф]
dr dr
tJdV - |[Ф}
I т
V
1 З[Ф]
r dr
+2r
(z*- a ) 1-(z*- a )2
з[ф]
dr
2R (z*- a )
dN
1-(z* - a )2 dZ
+r
1-(z*- a )2 ((z*- a )2 +1)b
(1-(z*- a )2
32
dr
2a
t \dV + ттЯФ] [Ф]
IS
V
V = 0.
(29)
Полученная система алгебраических уравнений является нелинейной. Для линеаризации этой системы предполагается использовать метод Ньютона, а для решения систем линейных уравнений, возникающих на каждом шаге метода Ньютона, - метод сопряженных градиентов. Предложенный алгоритм позволит определить параметры давления, компоненты скоростей и температур в стенках, ребре и проточной части каналов в зависимости от чисел закрутки, критериев Рейнольдса и Пекле.
Заключение
Разработана полная математическая модель задачи сопряженного теплообмена во вращающемся с постоянной скоростью оребренном криволинейном канале типа «конфузор-диффузор».
Численная реализация полученной математической модели позволит определить поле скоростей, давлений и температур в проточной части каналов конфузорно-диффузорного типа, оценить характер распространения тепла путем теплопроводности в ребрах и стенке, уточнить методику теплового расчета оребренных поверхностей в аппаратах типа «труба в трубе» с учетом трехмерной модели распространения тепла в ребре, построенной на уравнении Пуассона.
+
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Золотоносов А.Я. Конструкции теплообменных аппаратов типа «труба в трубе» с вращающейся поверхностью теплообмена «конфузор-диффузор» // Сборник научных трудов КазГАСУ. - Казань, 2009. - С. 19-23.
2. Золотоносов А.Я., Золотоносов Я.Д., Белавина Т.В. Математическая модель теплопроводности в длинном ребре переменной высоты с учетом изменения условий теплообмена // Известия КазГАСУ, 2009, № 2 (12). - С. 190-196.
3. Антонов С.Ю., Антонова А.В., Золотоносов Я.Д. Математическая модель конфигурации эллиптических пружинно-витых каналов теплообменных устройств // Известия КазГАСУ, 2009, № 2 (12). - С. 173-178.
4. Пантелеева Л.Р. Теплообмен при ламинарном течении вязкой жидкости в теплообменных устройствах типа «труба в трубе» с вращающейся поверхностью «конфузор-диффузор» // Дис. ... канд. техн. наук. - Казань, 2005. - 116 с.
5. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М: Наука, 1987. - 840 с.
6. Золотоносов А.Я., Золотоносов Я.Д. Сопряженная задача теплообмена при ламинарном течении вязкой жидкости во вращающемся осесимметричном криволинейном канале типа «конфузор-диффузор» // Сборник научных трудов КазГАСУ. - Казань, 2009. - С. 8-12.
7. Роже Пейре, Томас Д. Тейлор. Вычислительные методы в задачах механики жидкости. - Л.: Гидрометеоиздат, 1986. - 352 с.
8. Белавина Т.В. Теплообмен при ламинарном течении жидкости в роторе центробежного пароструйного подогревателя // Дис. канд. техн. наук. - Казань, 2009. - 141 с.
9. Багоутдинова А.Г. Модернизация узла подготовки горячей воды на базе вращающегося малоинерционного теплообменного аппарата в технологии приготовления суспензии стеарата кальция. - Казань, 2007. - 133 с.
