ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ ДИНАМИКИ n-СОЛИТОНОВ В B- ФАЗЕ ЖИДКОГО He3 Текст научной статьи по специальности «Физика»

Ученые записки Таврического национального университета имени В.И. Вернадского Серия «Физико-математические науки». Том 24 (63). 2011 г. № 2. С. 22-26

УДК 539. 391+514. 764.2

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ ДИНАМИКИ п -СОЛИТОНОВ В В -

ФАЗЕ ЖИДКОГО НвЪ Рошупкин С.Н.

Таврический национальный университет имени В.И. Вернадского Е-mail: rsn@crimea. edu

3

Рассмотрена динамика п - солитонов в В-фазе жидкого Не . Показано, что поправка первого порядка по теории возмущений приводит к деформации солитона.

Ключевые слова: жидкий Не3, В-фаза, солитон, теория возмущений. ВВЕДЕНИЕ

3

Фазовые переходы нормального Не в А-фазу и А-фазы в фазу В были обнаружены на кривой плавления твердого Не при давлении р = 35атм. и температуре Тс = 2,6 мК, Т^в = 2,07 мК соответственно. С понижением давления температура перехода Тс между нормальным состоянием Не3 и сверхтекучим понижается до Тс = 0,9 мК при р = 0, а ТАВ -растет до Т^ = 2,4 мК при

р = 20 атм., т.е. имеет место поликритическая точка [1]. Теоретические и

3

экспериментальные исследования сверхтекучего Не показали, что в сверхтекучем 3

Не3 происходит триплетное куперовское спаривание с орбитальным моментом

I = 1.

3

Пожалуй, наиболее интересные свойства сверхтекучих фаз Не связаны с пространственно-неоднородными конфигурациями полей параметра порядка: дисклинациями, вихрями, солитонами и т.д. Все эти объекты играют существенную

роль в спиновой и орбитальной динамике сверхтекучего Не [2].

Предлагаемая вниманию работа посвящена исследованию динамики доменной

3

стенки в В-фазе сверхтекучего Не на основе солитонной теории возмущений [3].

ЭВОЛЮЦИЯ ДОМЕННОЙ СТЕНКИ В В-ФАЗЕ Не3 ПОД ДЕЙСТВИЕМ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

3

Наличие магнитного поля приводит в В-фазе Не к образованию п -текстур, аналогичных магнитным стенкам в нематиках. Рассмотрим рождение и распространение п -солитонов при выключении неоднородного магнитного поля. В

подобной ситуации в В-фазе Не наблюдались медленные магнитные возмущения,

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ ДИНАМИКИ n - СОЛИТОНОВ ...

скорость которых сложным образом зависела от возбуждающего магнитного поля [4]. Для отождествления обнаруженных магнитных возмущений с п -солитонами необходимо провести более детальные измерения зависимости скорости волны от магнитных полей, однако качественно результаты можно объяснить на языке солитонов.

Уравнение движения для вектора п , считая, что реализуется конфигурация Леггетта описывается уравнением [5]

_ 2 С д

^(tt 3 ^^XXX Г\ 9" "Л 2£H3 Фх дХ

2 / 2 2 2 \ sin ((1 + а £ щФх )

= 0, (1)

здесь

с,2 = 4 ^ к,, £н = - Í^-Т' Ki = — biKAl, а2 = 1 _ \ ' 5 хв ' H L а J г 64 г B b3'

„*/, nr(i\ ъ2„2 Í ,, Л

K = 3 N £2 N = m kF £2 = 7Z(3) h vF а = g K = 5Nf£0, NF =-^2' £0 = 2 2r2' а = gD 5 n h 48n kB Tc

2

(2)

VA в У

где m* -эффективная масса, £ -радиус пары, Nf -плотность состояний на

3

поверхности Ферми, Xa и Хв -восприимчивости А- и В-фаз He , V0 -магнитный

3

момент ядра атома He , A -щель в спектре квазичастиц, gD -константа диполь-дипольного взаимодействия, у o -гиромагнитное отношение ядер атомов He , Kt -«константы Франка», а bi = 13, b2 = 11, b3 = 16 .

Следует отметить, что если K1 = K3 (а2 = o) , статическое решение уравнения (1) представляет собой стенку, перпендикулярную магнитному полю [6], а анизотропия (K1 Ф K3 ) приводит к тому, что стенка становится несимметричной

относительно плоскости х = 0 .

Для удобства приведем уравнение (1) к стандартному виду

с 2

(tt _ С32Фхх + sin Ф cos (p = sR [(] , (3)

где

R [(] = _c32%H3 ^2 Фх2 sin 2Ф + Фхх sin2 (J , (4)

а s = а2 << 1 -малый параметр. Решение уравнения (3), описывающего эволюцию солитона под действием малых возмущений ищем в виде:

((х, t) = (s (z) + s( (x, t) +... (5)

Первое слагаемое

РОШУПКИН С.Н.

х-£

<ра (2) = 4агЩ (в2 ), 7 = --^, (6)

(. - V2 )

Соответствует адиабатическому приближению. Это приближение по форме совпадает с невозмущенным солитоном, однако его параметры £ и V зависят от времени.

Пользуясь схемой обратной задачи рассеяния, а также уравнениями эволюции данных рассеяния только дискретного спектра под действием возмущений, можно получить с точностью до 8 уравнения определяющие в адиабатическом приближении зависимость параметров £ и V от времени [7]

* = _£(.^)3'2Л(„), (7)

& 4

= VV (1 - V2 ) ад, (8)

где

г 2ПЯ [^ (2)] Jn (V) = [ сЬ-п = 0,1. (9)

Используя уравнения описывающие эволюцию данных рассеяния непрерывного спектра под влиянием возмущения, находим поправку первого порядка по 8 [8]

ф(х, I) = (р.(2) + ф2(2, 2) + w(z, 2 +, 2-) , (10)

где

^ 1 Iл+и ^ пп

4сП(2) I -» сП(у) { сП(у) I

Здесь

V2 2 2 V2 22

(2(2' 2) = J0(V) + J1(V). (12)

4сп(2) 2сп(2)

х-£р - ^ 2± х-£0 ±^ 2 =-тгт , 2 = ■

(1 - V2) (1 - V2) (13)

^(х, у) = в~2сП(у) + вусП(у) - 2 + у + V2(2 - у)2 -1.

Последнее слагаемое в (10) описывает излучаемые солитоном волны, которые распространяются со скоростями, существенно отличающимися от скорости солитона и по этой причине вклад этого члена не учитывается.

Подставляя (4), (6) в уравнения (7), (8), описывающие зависимость параметров V и £ от времени в адиабатическом приближении, находим

да

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ ДИНАМИКИ п - СОЛИТОНОВ ...

dv dE е(п + 2)/ 2\ — = 0, -£- = 1 + -Ц-(1 -3v2) . (14)

dt dt 12 Решения уравнений (14) тривиальны

^ (1 - 3^ ).

12

Здесь Vo, ^о -константы интегрирования, которые определяются начальными данными. Так же легко могут быть вычислены поправки г) и г)

V = £ = 1 -3v2). (15)

Ф (г) = —.-^-{е2г -8агсЖ (ег ) + пу1г + V

1 6 (1 + е2 г) с^г ^ 1 1 '

+2пег - 8агсМ (ег ) + (п + 2>2г + 2п + з},

+

Ф2(= -

(п + 2) V2 (х - Vоt)

6 (1 - Vо2 )1/2 sh |"(х ) Ц

\х-¿п) Л/1 - ^2

(16)

(17)

Решения (15) показывают, что в адиабатическом приближении скорость доменной стенки остается неизменной, а сама она сдвигается на постоянную величину, определяемую начальной скоростью. Однако такое поведение доменной стенки не подтверждается экспериментально [4]. Таким образом описание движения солитона под действием внешних возмущений в рамках адиабатического приближения основанного на рассмотрении эволюции только дискретного спектра задачи рассеяния, не является адекватным физической ситуации. В связи с этим необходимо учитывать поправки возникающие из-за эволюции непрерывного спектра задачи рассеяния под действие возмущений, которые так же дают вклад в динамику локализованной части решения и приводят к деформации солитона. Соответствующие поправки даются формулами (16) и (17) и достаточно неплохо описывают экспериментальные данные.

Учет высших приближений по анизотропии затруднен в силу громоздкости вычислений. Однако, оценки и численный эксперимент [9] показывают, что основной вклад в ряд теории возмущений дают найденные поправки (16) и (17).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе показано, что для рассматриваемого типа внешнего возмущения адиабатическое приближение при описании движения солитона плохо согласуется с экспериментальными данными. С этой целью рассмотрены поправки к адиабатическому приближению, которые определяются теорией возмущений, основанной на методе обратной задачи рассеяния. Показано, что поправки первого порядка по анизотропии дают вклад в динамику локализованной части решения и приводят к деформации доменной стенки. Полученное решение достаточно неплохо описывает экспериментальные данные.

РОШУПКИН С.Н.

Список литературы

1. Воловик Г.Е. Сверхтекучие свойства А-фазы гелия-3 / Воловик Г.Е. // УФН. - 1984. - т.143, вып. 1. - с.73-108.

2. Минеев В.П. Сверхтекучий гелий-3: введение в предмет / Минеев В.П. // УФН. - 1983. - т.139, вып.2. - с.303-330.

3. Карпман В.И. Теория возмущений для солитонов / Карпман В.И. , Маслов Е.М. // ЖЭТФ. -1977. - т.73, вып.2(8). - с.537-559.

4. Makhankov V.G. Dynamics of classical solitons (in nonintegrable systems) / Makhankov V.G. // Phys. Rep. - 1978. - vol.35, No.1. - p. 1-128.

5. Рожков С.С. Динамика параметра порядка сверхтекучих фаз гелия-3 / Рожков С.С. // УФН. -1986. - т. 148, вып.2. - с.325-345.

6. Keener I.P. Solitons under perturbations / Keener I.P., McLaughlin D.W. // Phys. Rev. - 1977. - vol. A16, No.1. - p.777-790.

7. Кившарь Ю.С. Об особенности эволюции солитонов под действием малых возмущений / Кившарь Ю.С., Косевич А.М. // Письма в ЖЭТФ. - 1983. - т.37, № 11. - с. 542-543.

8. Абдулаев Ф.Х. Динамика солитонов в неоднородных конденсированных средах / Абдулаев Ф.Х., Хабибулаев П.К. - Ташкент: изд-во «Фан» УзССР, 1986. - с.183.

9. Makhankov V.G. Computer experiments in soliton theory / Makhankov V.G. // Comp. Phys. Communs. - 1980. - vol.21. - p.1-49.

Рощупкш С.М. Теорiя збурень для п-солггошв у B^a3i рвдкого He3/ Рощупкш С.М. // Вчеш записки Тавршського нащонального ушверситету iменi В.1. Вернадського. Серiя: Фiзико-математичнi науки. - 2011. - Т. 24(63), №2. - С. 22-26.

Розглянута динамжа п-сол™шв у В-фазi рщкого He3. Показане, що поправка першого порядку по теорп збурень призводить до деформацп сол^она. Ключовi слова: рiдкий He3, В-фаза, сол™н, теорiя збурень.

Roshchupkin S.N. The perturbation theory for n-soliton dynamics in B-phase of liquid He3 / Roshchupkin S.N. // Scientific Notes of Taurida National V.I. Vernadsky University. - Series: Physics and Mathematics Sciences. - 2011 - Vol. 24(63), No.2 - P. 22-26.

Dynamics for n-soliton in B-phase of liquid He3 is considered. It is shown, that first order terms of perturbative theory gives rise to deformation of soliton. Keywords: liquid He3, B-phase, soliton, perturbation theory.

Поступила в редакцию 01.06.2011 г