Теория возбуждения электромагнитных колебаний в коаксиальном отражательном триоде с радиально расходящимся пучком Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.385.69

ТЕОРИЯ ВОЗБУЖДЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КОЛЕБАНИЙ В КОАКСИАЛЬНОМ ОТРАЖАТЕЛЬНОМ ТРИОДЕ С РАДИАЛЬНО РАСХОДЯЩИМСЯ ПУЧКОМ

В.П. Григорьев, А.А. Тимофеев, А.В. Григорьев

Томский политехнический университет E-mail: grig@am.tpu.ru

Методом кинетического уравнения исследуется механизм излучения электромагнитных колебаний в цилиндрическом триоде с виртуальным катодом с расходящимся электронным пучком. Определены спектр и инкремент возбуждаемых колебаний, и получено выражение для эффективности излучения. Проведен анализ эффективности излучения от типа возбуждаемых колебаний и параметров системы. Показано, что в коаксиальном триоде преимущественно возбуждаются низшие типы колебаний. При этом наиболее эффективное возбуждение электромагнитных колебаний имеет место на ТЕМ-моде.

Ключевые слова:

Коаксиальный триод, виртуальный катод, резонатор, собственная частота, собственные функции, возбуждение колебаний, эффективность излучения.

Key words:

Coaxial triode, virtual cathode, resonator, eigenfrequency, eigenfunctions, oscillation excitation, emission efficiency.

Генераторы электромагнитного излучения на основе систем с виртуальным катодом (ВК) привлекают к себе внимание в связи с отсутствием ограничения на ток из-за пространственного заряда, что обеспечивает достижение высокого уровня мощности излучения. Наиболее перспективны в этом плане триоды с виртуальным катодом, отличительными особенностями которых являются конструктивная простота, возможность использования всего тока пучка, компактность и отсутствие внешнего магнитного поля [1]. Наиболее полно последние преимущества могут быть реализованы в цилиндрических триодах коаксиального типа.

На возможность генерации электронно-магнитного излучения в таких системах с радиально сходящимся пучком было указано в теоретических [2, 3] и экспериментальных [4] работах. Однако, как показывают исследования стационарных состояний коаксиальных триодов различной геометрии [3], более предпочтительно использовать триоды с расходящимся электронным пучком.

Кроме того, в таких приборах весьма привлекательной представляется возможность генерации бездисперсионной ТЕМ-моды, для которой можно эффективно использовать согласующие элементы, рассчитанные на узкую полосу частот. Для полного использования всех преимуществ таких коаксиальных триодов на высоком уровне мощности необходимо провести детальное исследование и установить закономерности механизма взаимодействия радиально расходящимся электронных потоков с собственными полями при формировании виртуального катода.

В данной работе исследуется устойчивость радиально расходящегося электронного потока и возбуждение электромагнитных колебаний в коаксиальном отражательном триоде с виртуальным катодом.

Схема триода в цилиндрической системе координат (г,в,£), соответствующая реальным установкам, представлена нарис. 1. В такой геометрии объемы 1 и 2, образованные разделением внутрен-

Рис. 1. Схема коаксиального триода: (г,В,і) - цилиндрические координаты; Нк, НА, Нек - радиусы соответственно катода, анода, виртуального катода

бо

него пространства сеточным анодом на радиусе RA, представляют резонаторы с различными собственными частотами и типами колебаний. Радиусы катода и ВК обозначим через ґ1 и RBK, радиус цилиндрической камеры - г2, размеры резонансной системы по z - через h, а расстояние катод-анод и анод-ВК, соответственно, через ЛД и ЛR2. Считаем, что по координате z размеры катода Lz и электронного пучка совпадают.

Основные уравнения

В стационарных радиально расходящихся электронных потоках движение электронов складывается из доминирующего радиального движения и поперечного движения по координатам г, z, которое в отсутствие внешнего магнитного поля можно учесть в виде разброса по скоростям, обеспечивающего поперечную температуру пучка в стационарном распределении.

Радиальное движение представляет нелинейные колебания в потенциальной яме Щ(ґ), образованной внешним ускоряющим полем и полем пространственного заряда пучка, которая в отличие от плоских систем в коаксиальных триодах из-за кривизны является несимметричной [3]. Для описания радиального движения введем переменные -квадрат амплитуды колебаний электронов в стационарном состоянии х=а2 и фазу (р=Ш+у0, где (р0 - начальная фаза, а частота нелинейных колебаний П(х) при известном распределении потенциала Щ(г)=(у-у1)т0с2/е по областям /=1-(-я<^<0) и 7=2—(0<ф<п) [3] определяется соответствующим временем пролета электронов от анода до точек поворота:

dr

dy

ydy

c(Y -1)1'

j = 1,2,

(1)

где у(г) - относительная энергия электронов, Уо=У(Яа), е, т0 - элементарный заряд и масса покоя электрона соответственно.

Учитывая связь переменных (^,х) с координатой г и импульсом Рг, г—ЯА=а$,тф, Рг=т0уаО.со$,у, кинетическое уравнение, описывающее эволюцию функции распределения электронов в промежутке катод - виртуальный катод под действием радиальных возмущений

Р (г, р, г) =

= N р( г)[ Ах/(0) (х) g(р1) + /(1) (x, ^ в, р±, г)] (2)

запишется в виде дt

= -{ F"’)

■ дf(1)

+ (р——+ др дв

2NAx f(o)

КтЯ)2 дх

(1)

(З)

где N - полное число электронов в области катод-виртуальный катод; Р(х), g(pi), р0(г) - стационарные распределения по соответствующим переменным, /0)(х^(рв,р^ёрвёрг1, 1ро(г№=1 и интегри-

рование проводится по области, занятой пучком; /(1)~/(1) ехр(//^-/ю/+ш0) - функция распределения электронов, связанная с возмущением; () - усреднение силы возмущения по координате г, что справедливо при Ь <Я, р=р1+р\; Ах=А/2Пт0у0О,0ЯА,

A J]Y(xo,P) Ґ

2nYo

11 vxo •

1 + —— sin m

R

dm І

(4)

Сила возмущений, действующая на электроны Er(1)=-eEr{1), в общем случае определяется суммарным полем, связанным как с возмущением плотностей тока и заряда пучка, так и с искажением формы потенциальной ямы, обусловленной колебаниями виртуального катода. Однако при возбуждении электромагнитных колебаний, как показано в [1, 2], доминирующим оказывается взаимодействие на собственных модах резонансной системы, обусловленное возмущениями плотности тока электронов. Принимая это во внимание для вычисления E/1*, используем метод разложения по собственным функциям резонатора Ev(p) [5],

Er(1)=-D^x(r) sink1z,ei"e, A=E, H. При этом следует учитывать, что в такого типа системах резонансное взаимодействие на собственных модах может происходить как для Е-волн:

YEr) = J'„(V)-[Jn(kLRA)/N(Ma)Ш*±Г), (5) Я-волн:

Y^ = Jn (KLr) - [ J'n (k 1 Ra ) / N '(k iRa )]Nn (k ir), (6)

так и для ТЕМ-волны Y^RA где Jn(x) и N„(x) -функции Бесселя и Неймана порядка n; /Дх) и Nn (x) - их производные по аргументу; ki и ki -поперечные волновые числа Е- и Я-волн, определяемые из уравнений YE(kir1,2)=0 и YH(kir12)=0 в соответствующих областях.

Проводя разложение поля по гармоникам exp (Иф-Ш) и учитывая несимметричность системы (1), из (2)-(4) можно получить дисперсионное уравнение, описывающее возбуждение электромагнитных колебаний в рассматриваемом триоде

1 = 2^ЛАс2 [

2 ^^Zl(m, х)

А/

g(p,)

дf (o) дf( x) дх

d Г І

(7)

где

dr = dxdpedpz, Л =

2 4ne ne

me =--------------, ne =■

me

4П^А

N

mo

пА( R2) Lz

~ x 2~2 2 ^2а(r2)l t Z!(m, x) =-i8n p, — J! =

c2 Ra

■m+a=Z,(o, x)

A2

A2

(8)

Ая ^я

- импеданс, зависящий от типа возбуждаемых колебаний и параметров резонансной системы (1 или 2).

2

D2 =

2Smd 2 nh^l

1/2 при m = 0 1 при m Ф 0

Ф e = j-RT [^E (k,r)]

5=4 •fAA(iZ (0 xo))-^

2 [ 2Q0xo

-£Q0 -—Ave- kzAvz -

R

(11)

Фн "Ш

1 —

k ,r

Ф

ТЕМ

ln

'1,2

R„

Ji =

4n R

j— у cos (r)ellmd(p

I ^^(r )e-ilmdm Y

(9)

2,

min?

фE области 1 или 2 соответственно, A(R2)=rmiax-r1 rmin и r- наименьший и наибольший радиусы в областях 1 или 2.

h

p1 = J sin kzzp0( z)dz, Al = ш- /Q( x) - n$ - kzvz.

0

A2 = m2 -m2 - ima,

a

= (1 - i)4mm / Qi, mi = ck = c(kz2 + k,,i)1/2

I(0)( x) g(p,) =

1

Ax

A_pe

Apz

П x2 +Ax2 p +Ap2 p + Ap

-, (10)

^ 'cQ'\ x0

где K = I — I —- - параметр нелинейности;

- разбросы по скоро-

- собственная частота резонансного объема (1 или 2); <2Х - добротность; кz=mж/h, т=1,2,3,...,к1Б=

=к^р^ДА., д=ди д£=д - корни

уравнений Т£(ґ;)=0 и Тн(ґ;)=0 соответственно.

Анализ дисперсионного уравнения.

Эффективность излучения

Из общего анализа дисперсионного уравнения (7) следует, что возбуждение когерентных колебаний электронного потока происходит на частотах, близких к частотам колебаний электронов в потенциальной яме или их гармоникам т=Ю.+8ш, ^«/Ц. На этих же частотах возбуждаются электромагнитные колебания и колебания виртуального катода. При этом, как показано экспериментально и теоретически [1, 2], основное излучение генерируется в области, содержащей виртуальный катод. Учитывая последнее, достаточно рассмотреть резонансную область - 2.

Исследование возбуждения электромагнитных колебаний в коаксиальном триоде проведем для стационарного распределения вида:

дх Л О 0

г п I Ах Л АРв, г г =11КI—, Ауе =--------

хо тг

стям, усредненные в промежутке 0<ф<п/2.

Из (11) и анализа выражения импеданса (8) следует, что наиболее быстрый рост электромагнитных колебаний происходит на низших типах колебаний резонатора по поперечным волновым числам. Кроме того, как и для плоских триодов [1], здесь сохраняется вывод о преимущественном возбуждении когерентных колебаний на первой гармонике /=1.

Выражение для эффективности излучения получим из условия выхода возбуждения электромагнитных колебаний на стационарный режим.

В рассматриваемом случае выход на стационарный режим возбуждаемых колебаний и уровень излучения связаны с нелинейностью движения электронов А0=(30/3х)0(х-^) и выходом их из резонанса с возбуждаемой электромагнитной волной. Условие нарушения резонанса имеет вид:

|По -О> 21ЯДН 2^/Д (12)

где а, - амплитуда и частота колебаний осцил-

лятора в момент насыщения.

Учитывая изменение энергии слаборелятивистского нелинейного осциллятора за счет изменения его амплитуды в процессе излучения

^ОСЦ =

2

^ xQ2 +7Q2 + 2yx —Q дx дx

(x - xs ) (13)

и определяя эффективность излучения п соотношением п=54сц/4сц из (11), (12), (13), получим:

п =

2 Я 1

Тз lQ0 IK

1 + Yo—1 + 2K

Yo

(14)

где х=х-х - отклонение квадрата амплитуды колебаний электронов от среднего значения; Ах, Ар9г -разбросы по соответствующим переменным.

В пределе Ах, Ар0,г—>0 распределение (10) описывает поток моноэнергетических осцилляторов.

Проводя интегрирование в уравнении (7) при малых разбросах, получим, что возбуждение электромагнитных колебаний на собственных частотах резонатора (ю«юЯ«О2) происходит с инкрементом

Из соотношений (8), (9), (11), (14) следует, что эффективность излучения зависит от геометрии диода, внешнего напряжения энергетического разброса электронов и типа возбуждаемых колебаний. Поэтому для получения максимальной эффективности излучения необходимо провести исследование импеданса и инкремента от типа колебаний.

В рассматриваемой резонансной системе возможно возбуждение как Е- и Я-волн, так и ТЕМ-волны. Однако прежде чем проводить сравнительный анализ эффективности возбуждения этих типов колебаний, заметим, что достаточно проанализировать низшие типы. Это обусловлено зависимостью импеданса от функций Бесселя, которые, как известно, достаточно быстро спадают с ростом порядка и увеличением аргумента. Кроме того, как

2

5x

а б

Рис. 2. Зависимость импеданса Z(0,x) отдлины катода Lz. 1 - ТЕМ, т=9; 2 - Е019; 3 - Н019; 4 - ЕП9; 5 - Н1110. Расстояние центра катода открая камеры: а) L=14,8 см, б) L=13,0 см

следует из выражений (11) и (14), для более высоких мод возрастает роль разбросов по импульсам электронов р, рг в подавлении возбуждения этих колебаний, что также ведет к снижению эффективности излучения на высоких модах. С учетом этого расчет и анализ импедансов проведем на низших типах колебаний для параметров экспериментальной установки [3]: г1=5,5 см; г2=15,5 см; ЯА=6,7 см; Л=52см; ускоряющее напряжение 500...600 кВ и частота излучения ю=00=1,812-1010 с-1.

Для приведенных параметров наиболее близкими по собственным частотам оу к частоте О0 будут колебания ТЕМ, т=9, £019, Е119, И019 и И1110. Зависимость импедансов 1(0,х) для указанных типов колебаний и однородного пучка по координате г приведены на рис. 2.

Из сравнения графиков нетрудно заметить, что наиболее высокий импеданс для однородного по г пучка достигается при помещении катода в максимум волны. Кроме того, из поведения кривых на рис. 2 и выражений (11), (14) следует, что в коаксиальном триоде с расходящимся пучком наиболее эффективно возбуждается ТЕМ-мода. Этот вывод подтверждается еще тем, что с ТЕМ-модой наиболее просто осуществить резонанс одновременно в объемах 2-1. Что касается возбуждения других типов колебаний, то для согласования их резонансных условий в объемах 2 и 1 требуются дополнительные технические решения.

Используя выражение (14) и зависимость параметра нелинейности К от диодного напряжения [2], можно получить, что при возбуждении ТЕМ-моды в триоде с моноэнергетическим пучком д(Ах=Арвг=0)=д0,

7о~2,0.. .2,5 при Я~ 10 см и £0/ 00~0,15.0,22 теоретическая эффективность равна п~35...50 %. Для повышения эффективности излучения в реальных установках необходимо оптимизировать параметры установки и согласование вывода электромагнитной энергии из резонансной системы.

Выводы

Проведенные исследования позволяют сделать следующие выводы:

1. Возбуждение электромагнитных колебаний в коаксиальном отражательном триоде с радиально расходящимся пучком происходит на частоте когерентных колебаний о, близкой к частоте осциллирующих электронов, которая определяется распределением потенциала и(г). Зависимость частоты когерентных колебаний от резонансного контура слабая и определяется величиной ReАs^0(^0/|ю|<<1). При этом о>О0.

2. Наибольший рост возбуждаемых колебаний и эффективность излучения соответствуют колебаниям на первой гармонике /=1, приводящим к колебаниям центра тяжести электронного облака осциллирующих электронов (и ВК).

3. В таких системах преимущественно возбуждаются низшие типы электромагнитных колебаний. При этом наиболее высокая эффективность излучения достигается при настройке резонансной системы на возбуждение ТЕМ-моды. Работа выполнена по теме Государственного задания

«Исследование механизма СВЧ излучения и методов повышения эффективности коаксиального виркатора и релятивистского магнетона». № НИР 0.58.2012.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Диденко А.Н., Григорьев В.П., Жерлицын А.Г. Генерация электромагнитных колебаний в системах с виртуальным катодом // Плазменная электроника / под ред. В.И. Курилко. - Киев: Наукова думка, 1989. - С. П2-131.

2. Григорьев В.П. Электромагнитное излучение в коаксиальном триоде с виртуальным катодом // Журнал технической физики. - 1994. - T. 64. - № 7. - С. 122-129.

3. Григорьев В.П., Коваль ТВ., Мельников Г.В., Рахматуллин P.P. Коаксиальный отражательный триод с радиально расходя-

щимся пучком // Известия Томского политехнического университета. - 2009. - Т. 314. - № 4. - С. 123-127.

4. Жерлицын А.Г., Коваль ТВ., Канаев Г.Г., Нгуен М.Т. Исследование генерации электромагнитного излучения в коаксиальном виркаторе с расходящимся пучком // Известия Томского политехнического университета. - 2012. - Т. 321. - № 2. - С. 81-85.

5. Кисунько Г.В. Электродинамика полых систем. - Л.: ВКАС, 1949. - 426 с.

Поступила 14.Q2.2Q13 г.