ТЕОРИЯ СВОБОДНОГО КРИВОЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА С КРУЧЕНИЕМ Текст научной статьи по специальности «Физика»

34

Sciences of Europe # 77, (2021)

PHYSICS AND MATHEMATICS

ТЕОРИЯ СВОБОДНОГО КРИВОЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА С КРУЧЕНИЕМ

Шарин Ю.А.

Уральский Государственный Университет

Екатеринбург

THE THEORY OF FREE CURVILINEAR SPACE WITH TORSION

Sharin Y.

Ural State University Ekaterinburg

АННОТАЦИЯ

Предложен новый вариант объединения гравитации и электромагнетизма на основе четырех мерного криволинейного пространства с кручением. Наиболее важным следствием предлагаемой теории является физическая интерпретация скалярной кривизны пространства как плотности массы материи. Это позволяет представить реальные материальные объекты в виде определенных состояний свободного криволинейного пространства и дать объяснение природе скрытой массы во Вселенной.

ABSTRACT

The alternate version of the gravitation and electromagnetism unification on the basis of four-dimensional curvilinear space with torsion is suggested. The most basic corollary of the offered theory is physical interpretation of the space scalar curvature as density of mass of the matter. It allows to present real material objects in the form of the certain states of free curvilinear space and to give an explanation to the nature of the missing mass in the Universe.

Ключевые слова: криволинейное пространство, кручение, скалярная кривизна, плотность массы, электрон, космологические решения, скрытая масса.

Keywords: curvilinear space, torsion, scalar curvature, density of mass, electron, cosmological solutions, missing mass.

Предлагаемая теория посвящена изучению конфигураций свободного от внешнего воздействия или, говоря по-другому, собственных состояний криволинейного пространства с кручением. В ней выявляется связь электромагнитного поля с кручением пространства, предлагается физическая интерпретация скалярной кривизны пространства как плотности массы материи. На основе этого получено решение для собственного состояния криволинейного пространства с кручением, соответствующее электрону. Найдены космологические решения для расширяющейся Вселенной, проведены оценки средней плотности массы во Вселенной и получены результаты, соответствующие данным астрономических наблюдений.

1. Геометрическая интерпретация электромагнитного поля.

Предложенный в [1] подход дает возможность в рамках классической теории поля включить гравитацию и электромагнетизм в единую геометрическую схему.

1.1. Уравнение движения.

Рассмотрим четырехмерное пространство сигнатуры (- + + +), со связностью

Цы =Г\ы + вш, (1)

где Тш - связность, согласованная с метрикой

1

1 =_ ( °ik +

1 ikl о ( n l +

ik | 6 li

2v oXl dxk dx1 а тензор Bikl имеет вид

a

Biki =— Hikui к

(2)

(3)

где Щ - вектор скорости пробной частицы, обладающий свойством им1 = —1, Н, - обобщен-

ный тензор электромагнитного поля

H ik ( ~ k n i )

a ox ox , w. = u, - aA,

(4)

А - вектор-потенциал электромагнитного

поля, 1 - коэффициент, обеспечивающий правильную физическую размерность, 1 - безразмерная константа. Отметим, что в силу антисимметричности тензора в по первой паре индексов связность

Ьм также согласована с метрикой. Введенная Кар-

таном [2] антисимметричная по второй паре индексов часть связности, называемая тензором кручения Сш, связана с тензором Вш соотношениями

gik

kl

)

Бсюп^ of Бигоре # 77, (2021)

35

С'к1 2 (В'к1 ВИк) Вгы = Сгы + Сш + Ст

(5)

Уравнение геодезической линии в пространстве со связностью (1)

ди , Т' к I А

— + Ьк,и и = 0 (6)

дs

с учетом (3-4) может быть приведено к виду

диг

дs

. к I

+ 1 ыи и =

а

Кки

к ■

т? дЛк где К = - к

дх1 дх ного поля. В случае К = 1 +

К — 1

дЛ

—— - тензор электромагнит-

атс

Ч

2

рость света, уравнение (7) совпадает с уравнением движения частицы с массой т и электрическим зарядом q в гравитационном и электромагнитном полях.

Таким образом, движение заряженной частицы в гравитационном и электромагнитном полях может быть представлено как движение по геодезической линии в криволинейном пространстве с кручением вида (5).

1.2. Уравнения поля.

Прежде чем перейти к уравнениям поля сделаем одно замечание. В уравнении движения и -вектор скорости пробной частицы. В уравнениях

R = ЯкМ,к

поля - это некий вспомогательный вектор, который нужен только для перехода к величинам, использу-

ющимся в теории Максвелла (Д. =

и,.

Ж

а

), а гео-

метрия пространства полностью определяется метрикой gik и вектором Ж •

Для построения уравнений, описывающих свободные состояния криволинейного пространства с кручением, выберем действие в виде

(7) °=1Ш (Жж'ЯМ -К- вЛ1в'к' Ш^ах 2ах3 ,(8)

4

g = g'к)

где ^ - тензор Риччи риманова пространства

где с - ско-

=

дГк дГ"

+ Гк 'Гтт 'Г1т Гкк • (9)

дх" дхк

I(х') - некоторая безразмерная скалярная функция, физический смысл которой будет ясен ниже.

Вариация действия (8) по компонентам вектора Wi и тензора gй приводит к уравнениям

я — = Т

гк ^ 4 гк

2 с

тт'к -г

Н ;к =-]

с

(10)

где

Т =

т гк

с а

1 (Н Н" — МтНтНкт ) + 0

8лу I — ж Ж

(т)с 2

к

— ж Ж

/ = р(с )сж'

(11)

р(т) =

4лу

я

Р(с) =

I

2жа

я

у - гравитационная постоянная, точка с запятой обозначает риманову производную со связностью (2).

Первое уравнение из (10) представляет собой обобщенное уравнение Эйнштейна для гравитационного поля, второе уравнение является обобщенным уравнением Максвелла, Гиграет роль плотности массы, а 1играет роль плотности электрического заряда. Закон сохранения энергии-импульса Тш выполняется благодаря тождеству Бьянки, а закон сохранения заряда обеспечивается в силу антисимметричности тензора И^.

Из (11) следует

р(с) 2у

— I,

(т)

Определим массу т и электрический заряд q свободного состояния криволинейного пространства с кручением

т =

1 с X

I ¿х0 Шр (т)4М¿х'ах 2 ах сх 0

1 сх

ч =11 ах0 |||р (с)^МаЛ 2ах3

(13)

(12)

р(т) ас2 то есть функция / - определяет отношение плотности заряда к плотности массы в каждой точке пространства. Определение вида этой функции выходит за рамки данной теории, что делает ее неполной. В данной статье будут рассмотрены только частные случаи / = 1 и / ^ 0 во всем пространстве.

где х - характерное для данного состояния "время жизни", которое должно определяться одновременно с поиском решения уравнений (10).

Из определения плотности массы следует, что физический смысл имеет только пространство с Я > 0, причем, при Я = 0 масса и электрический заряд одновременно обращаются в ноль, это означает то, что существование пространства с нулевой массой и отличным от нуля электрическим зарядом невозможно. В то же время, при Я>0 масса будет отлична от нуля, но в случае, если функция / является знакопеременной, суммарный электрический заряд может быть равен нулю и электрически

1

2

с

0

36

8аепсе8 of Бигоре # 77, (2021)

нейтральное состояние пространства с ненулевой массой возможно.

Уравнения (10) можно переписать в более удобном виде

1

Як ——Я = —

2 2 /шщ'

7 СА" —^КтН™ ) —-

к л 'пт' ) 1

4

Я

определен с точностью до произвольной константы.

2. Стационарное свободное пространство.

Рассмотрим свободное состояние криволинейного пространства с кручением, полагая метрику gik и вектор щ не зависящими от времени, тогда

'кк = 2 /Яш1 (14)

где К =

дщ дщ

1 ст

- Гах0 =1

ст:"

. . Таким образом, уравне-

дх дх1

ния поля не зависят от коэффициент а, но, поскольку, этот коэффициент входит в определение электрического заряда, то заряд в данной теории

= 1, а "время жизни" такого состояния

можно считать равным бесконечности.

2.1. Центрально-симметричное решение. Введем следующие обозначения (полагая остальные компоненты равными нулю)

§00 е

§11 = е

§ 22 = г2 ец

§зз = г ^п2 9

щ =

х' = (с£, г, ф) причем, функции V, X, ц, % - зависят только от г. Тогда уравнения (14) сводятся к системе

+ Т + | 2у'2 + 3ц '2 — 2Х '(V ' + ц ') + 4ц V %'2 _ еХ—ц — 1

(15)

4

4/ г2

V ' + ц ' 2у ' ц ' + ц '2 % ' 2 _ е Л-ц— 1

Х—ц

г

4

4 / г2

— У + 2ц' (V ' + ц ' )(v ' — X ') + ц '2 % ' 2_„

^ V + ц +---1----= о

ц г 2 2/

-[% ' + —+ % (2% ' — ^ — Х ' + 2ц')] + 2v '' + 4ц ' + — Х ' + 3ц ') + /г 2 г

+ V '2 + 3ц '2 — V ' X ' — 2ц 'X ' + 2ц 'V ' = 4

(16)

е Х—ц— 1

г

штрих обозначает производную по г. В случае / = 1 система (16) имеет решение

V = % = —X = —ц

еv =

(17)

г + г

о

г0 - константа интегрирования. Подставив решение (17) в (13), получаем

2ут

а = =

2ут с 2д

.(18)

с д

Тогда выражения для гравитационного и электрического потенциалов

с

У = ——(1 + § оо) = —

ут

г + г

о

(19)

А0 =- (1 — щ0) = ■

д

а

г + г

0

соответствуют закону всемирного тяготения Ньютона и закону Кулона. Отклонения от этих законов становятся заметны только вблизи центра симметрии на расстояниях порядка г0. Для элек-

трона, например, г0 ~ 10 55 см, что означает практическую невозможность экспериментальной проверки таких отклонений.

2.2. Аксиально-симметричное состояние.

К компонентам, рассмотренным в (15), добавим компоненты § и ш , полагая все функции

зависящими от координат г и 9.

Поиск точного решения уравнений (14) в аксиально-симметричном случае сталкивается с существенными математическими трудностями, поэтому попытаемся, по крайней мере, оценить асимптотическое поведение на бесконечности компонент go3 и считая, что остальные компоненты соответствуют решению центрально-симметричной задачи. Подъем и опускание индексов будем осуществлять, используя только диагональные элементы метрики. Тогда уравнение для компоненты тензора Риччи Я12 принимает вид

§03&03 = щ3щ3 > (20)

где штрих обозначает производную по г , а точка обозначает производную по 9. Уравнение (20) имеет решение

§03 =±Шз. (21)

Для оценки асимптотического поведения компоненты g03 воспользуемся известным аксиально-симметричным решением Керра [3] для первого уравнения из (14) с нулевой правой частью. Тогда мы можем записать

§ 03

• 2

81П2 9,

(22)

гс

к

V

г

г

го =

2

Беюп^ of Бигорс # 77, (2021)

37

где - полный момент импульса. Используя выражение асимптоты компоненты А3 через полный магнитный момент М

Л

М . 2 : —вт О

г

(23)

Ж

и учитывая, что Л3 =--, мы, выбрав ми-

а

нус в (21), получаем с учетом (18) гиромагнитное отношение

5 тс

и = ~ • (24)

М Ч

Поскольку, гиромагнитное отношение (24) характерно только для электрона, то в рамках развиваемой теории электрон может рассматриваться как стационарное, аксиально-симметричное свободное состояние криволинейного пространства с кручением при условии подобия распределения плотностей электрического заряда и массы (I = 1).

Необходимо отметить, что в силу инвариантности уравнений (10) относительно смены знака

компонент ^ для каждого состояния пространства существует зарядово-сопряженное состояние, обладающее такой же массой и гиромагнитным отношением, которое представляет собой соответствующую античастицу.

3. Космология свободного криволинейного пространства.

Рассмотрим свободное однородное изотропное состояние криволинейного пространства, пренебрегая электромагнитным полем, то есть, полагая, что Л и I с одинаковой скоростью стремятся

к нулю во всем пространстве. Тогда второе уравнение из (14) становится тривиальным, а первое принимает рассмотренный в [4-5] вид

Я

2

Я = игикЯ •

(25)

3.1. Закрытая модель

Воспользуемся стандартной заменой переменных (полагая остальные компоненты равными нулю)

сё/ = аёл а = а(л) г = аътх (0 <л< 2ж 0 <%<ж)

М 00 а

ёи = а

ё 22 = а в1П X

ё33 = а в1п х в1п2 О (0 < О < ж) ,(26)

щ = а

ёгк

2

выражения для компоненты и следует из

условия ищ' = — 1 •

Тогда уравнение (25) принимает вид

2а "а — а'2 + а2 = 0, (27)

где штрих обозначает производную по л^ Уравнение (27) имеет решение

(28)

где а - радиус кривизны пространства, а0 -

константа интегрирования. Решение (28) совпадает с решением для закрытой космологической модели в ОТО, однако, получено оно без каких бы то ни было дополнительных предположений относительно вида тензора плотности энергии-импульса. 3.2. Открытая модель В этом случае

а = а0 (1 — сое л), сё/ = аёл а = а(л) г = авЬх (0 <л<ю 0 <х<ю)

ё00 = —а2 ёи = а2 ё22 = а2вЬ2х ё33 = а2вЬ2хвт2 О (0 < О < ж), (29)

2_1_ 2 .

щ = а

а уравнение (25) принимает вид

о п 12 2 г\

2а а — а — а = 0, и имеет решение

а = а0 (сЬ л — 1) •

(30)

(31)

Таким образом, уравнение (25) включает в себя решение, как для закрытой, так и для открытой космологической модели. При этом понятие критической плотности массы отсутствует.

В качестве критерия отбора модели, которая соответствует действительности, можно взять величину Н, где / = — | аёл - время, прошедшее с

ТТ а'

начала расширения Вселенной, Н = с—г - пара-

Н = (вЬл - л)

вЬ л

(сЬ л —1)2

(33)

Поскольку

(л - в1п л) (вЬл - л)

в1п л

(1 — сов л)2 вЬ л

2

< —

3

2

- > — 2 > 3

(34)

метр Хаббла.

Для закрытой модели

Ш = (л - в1пл)

в1п л

(1 — сов л)

(32)

для открытой модели

(сЬ л — 1)2

ТТ 2

то в случае Н < — - реальности соответ-

2

ствует закрытая, в случае Н > — - открытая модель Вселенной.

Используя оценку «возраста» Вселенной / ~ 5 • 1017 сек, сделанную астрономами на основе времени, необходимого для формирования шаровых звездных скоплений, и «возраста» самых старых звезд и оценку параметра Хаббла

а

38

Sciences of Europe # 77, (2021)

Н ~2 -10—18 сек— получаем Н ~1, что соответствует открытой модели Вселенной.

3.3. Скрытая масса

Возникновение проблемы скрытой массы связано с обнаружением Ф. Цвикки избыточных скоростей галактик из скопления в созвездии Волосы Вероники. Впоследствии исследование орбитальных скоростей звезд плоской составляющей спиральных галактик, и так называемого «рентгеновского газа» в скоплениях галактик подтвердило наличие во Вселенной темной материи, не излучающей электромагнитных волн и не участвующей в формировании звезд, но обладающей массой, благодаря которой она и проявляет себя. По оценкам астрономов [6] суммарная плотность массы во Вселенной с учетом скрытой массы составляет

10—330<р< 10—229 ^. см см

В рамках развиваемой теории любое пространство положительной кривизны должно обладать массой, поэтому в качестве скрытой массы мы можем рассматривать массу искривленного пространства Вселенной. Скрытой эта масса является в силу того, что, рассмотренные в предыдущем разделе формы пространства не связаны с электромагнитным полем, то есть, «не видимы».

В соответствие с определениями (11) мы имеем с учетом (28) для закрытой модели плотность массы искривленного пространства

Используя

параметр

Хаббла

Р =

3с2

(1 - cos л) 3.

(35)

2луа 2

Используя время, прошедшее с начала расширения Вселенной t = — (л — sin л), мы можем c

переписать выражение (35) в виде

3 (л — sin л)2

Р = ^-177-77 • (36)

2rcyt (1 — cos л)

На этапе расширения Вселенной (0 < л < л) (л — sin л)2

мы имеем 0.2 <-— < 1.24, тогда, учи-

(1 — cos л)

тывая оценку «возраста» Вселенной t ~ 5 • 1017 сек получаем оценку плотности массы

искривленного пространства р ~ 10

3 •

см

В открытой модели с учетом (31) скалярная кривизна

R = ^(а" —а) = ■ а

6

a 0(chл-1)

(37)

также положительна и мы можем определить плотность массы искривленного пространства

Р =

3с2

0тсуа0

(ch л —1)—

(38)

с sh л

H =--—, мы можем переписать (38) в

a (ch л—i)

виде

р =

3H2 ch л — 1 0тсу sh0 л

(39)

сЬ л — 1

Поскольку 0 <-г-< 0,5, причем ноль

бЬ л

достигается только при л ^, для грубой оценки плотности массы мы можем считать сЬ л — 1

sh^

0,05. Тогда, учитывая оценку пара-

метра Хаббла H ~ 0 -10 18 сек 1,

получаем

р ~10

-09

см

Таким образом, грубые оценки плотности массы криволинейного пространства в обеих моделях совпадают и соответствуют астрономическим оценкам средней плотности массы во Вселенной с учетом скрытой массы.

4. Заключение.

В заключение, следует отметить, что предложенная теория свободного криволинейного пространства с кручением:

- выявляет связь между кручением пространства и электромагнитным полем;

- устанавливает соотношение между кривизной пространства и его массой;

- позволяет представить материальные объекты в виде собственных состояний пространства;

- дает объяснение природе скрытой массы во Вселенной.

Вид функции f определяющей отношение плотности заряда к плотности массы, может быть найден при расширении предложенной теории, включив в нее помимо гравитации и электромагнетизма другие известные взаимодействия.

Литература

1. Шарин Ю.А. Электрон - как собственное состояние криволинейного пространства с круче-нием//Журнал «Известия вузов. Физика» - 1998,-№5, - С. 56-60.

2. Cartan E.// Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris). -1922, Vol. 174, p. 437-593.

3. Керр Р.// Альберт Эйнштейн и теория гравитации. - М.: Мир, 1979. с. 208-211.

4. Шарин Ю.А. Космология криволинейного пространства с кручением // Журнал «Известия вузов. Физика» - 1999,- №11, - С. 72-74.

5. Шарин Ю.А. Скрытая масса во Вселенной и кривизна пространства// Журнал «Известия вузов. Физика» - 2002,- №11, - С. 85-87

6. Новиков И.Д. Эволюция Вселенной. - М.: Наука, 1990, - С. 52.

г

3