CC BY
12
ak'(t) -J WT (x,, x, t)vk (x)dx, b^ (t) - J W,x (x,, x, t) J (x, t)dx + (x, t)
a a
b
hT)(t) = JW(x1,x,t){g(x,t)J(x, t,g) - S(x, t)}dx, y«(t) = [W(x,,x)J(x,t)J
x-b
k (x ' )Jx=a •
Итоговая система уравнений теперь имеет вид:
С — — А~1ВС + Л~1Н , где операторы А-1 и В являются операторозначимыми функциями параметра т , выбор которого ставится в прямую зависимость от величины с : т(<) ^ 0 при с ^ 0. Решением системы
С — —А1ВС + А гк является вектор С(т), определяющий согласно (4) последовательность приближенных решений {и(т)(х, I)} по параметру т .
Список литературы:
1. Наац В.И., Наац И.Э. Математические модели и численные методы в задачах экологического мониторинга атмосферы: монография. М.: Физматлит, 2010. - 328 с.
2. Рыскаленко Р.А., Чемеригина М.С. Операторы обобщенного дифференцирования в численных методах решения нелинейного уравнения переноса с приближенными данными // Вестник Северо-Кавказского Федерального Университета (СКФУ). -2013 - №1. - [электронный ресурс] - режим доступа. - URL:[http://www.ncfu.ru]
3. Рыскаленко Р.А., Черкасова И.В. Интегральные представления функций в численных методах решения нестационарных задач переноса // Вестник Северо-Кавказского Федерального Университета (СКФУ) - 2013. - №1. - [электронный ресурс] - режим доступа. - URL:[http://www.ncfu.ru]
b
b
a
ГРАВИТАЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ БЕЗ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ ПОСТОЯННОЙ
И ТЕМНАЯ ЭНЕРГИЯ
Попов Николай Николаевич
Кандидат физ-мат наук, старший науч. сотр. ВЦ РАН, Москва
АННОТАЦИЯ
На основе постулата о зависимости скалярной кривизны пространства от плотности распределения массы материи и принципа наименьшего действия выводится уравнение гравитационного поля без космологической постоянной, позволяющее описывать динамику неоднородной материальной гравитирующей среды, заполняющей пространство и содержащую темную энергию. В качестве примера рассматривается космологическая модель Фридмана, содержащая темную энергию.
Ключевые слова: гравитационные поля, гравитационные уравнения,закон Хаббла, темная энергия.
ABSTRACT
The equations of gravitation fields which describe the dynamics of non-homogeneous matter environment are obtained by the principle of lesser action. The cosmologic Fredman, model containing the dark energy are considered.
Key words: gravitation fields, gravitation equations, Babble law, dark energy.
Введение
Целесообразность введения космологической постоянной X в основное уравнение общей теории относительности
часто подвергалось критике из за невозможности придать дополнительному слагаемому физическую интерпретацию. Однако ситуация резко изменилась, в связи с открытием в конце девяностых годов прошлого столетия, материальной субстанции, равномерно заполняющей все пространство с неизменной плотностью распределения массы материи, получившей название темной энергии. Космологическую постоянную X удалось интерпретировать как плотность распределения массы темной энергии. Однако возникает вопрос: нельзя ли предсказать существование темной энергии, со столь необычными, с физической точки зрения, свойствами, исходя из основного уравнения, не содержащего космологической постоянной.
В предлагаемой заметке выводится основное уравнение теории гравитации, уточняющее конкретный вид тензора энергии-импульса, и на основе этого уравнения исследуется модель расширяющегося пространства. Одно из решений основного уравнения предсказывает существование темной энергии.
1. Вывод основного уравнения теории гравитационных полей
Пусть задано четырехмерное псевдориманово пространство М13 сигнатуры (н----), определяемое полем ко-
вариантного метрического тензора (х),
/1 4\ 1 * 1 4
х — (х х ) еМ13, где х х - некоторая система
12 3
криволинейных координат, причем х , х , х - собственно пространственные координаты, а х - временная координата. Пусть gjj, 1,у —1,...,4, дважды непрерывно
дифференцируемы по каждой координате х1,...,х4 во всей области, где эта система определена. Пусть Гк -симметрическая по индексам 1, j псевдориманова связность, согласованная с метрикой g ij и задаваемая формулой
Гк = - Нке
V 2ё
Г ■
\
- + -
^ дх1 дх1 дхе J
дхк дх1
рк 11 Р1 1к
g1]. Функционал действия поля выберем в виде
— 0.
Принимая во внимание соотношение
^^Н = _ — ^/Hgj^gj [-], а также учитывая, что вариация от скалярной функции х) , не зависящей от мет-
рики н1, , обращается в нуль,
получаем
х
X
= — — н 1. Отсюда следует, что
где по повторяющимся верхним и нижним индексам здесь
~ке
и в дальнейшем подразумевается суммирование, Н -
контравариантный метрический тензор. Введем тензор
Риччи, определяемый соотношением
дГк г)ук — __1__ 1к | ^к ^р _ ^к ^р
— X
Н — — — -На На .
(2)
Скалярная кривизна пространства —(х) в каждой точке х е М13 определяется как — = — . Из определения
скалярной кривизны следует, что она является сложной функцией, зависящей от метрики пространства. Введем на
М13 некоторую скалярную функцию х(х) , зависящую от плотности массы материи р(х) в четырехмерном многообразии М13. Характер зависимости X от р пока не уточняется.
Уравнения гравитационного поля можно получить как уравнения Эйлера-Лагранжа при варьировании действия $ этого поля относительно контравариантной метрики
Н1 1 2°у 2 1 Теорема доказана.
Итак, основное уравнение гравитационного поля имеет вид
-Дх) — 2 —(х)Ну(х ) + 2 х(х)Нц(х) — 0,
1,1 — 1,...,4. (5)
Найдем связь между функциями —(х) и х(х) . Умножая левую часть уравнения (5) на метрической тензор и сворачивая полученное выражение по индексам 1,1, по-
г — 1 X г лучаем Н1^ — — Н1 + — — —— + 2х. Здесь учтено, что
Н1^а — 4 . Отсюда следует соотношение
Х =
— 2
(6)
(3)
— — Х)^ 4 х,
п
где ёП — ё 4 х - стандартная 4-форма объема в псев-
доримановом пространстве, Н — (н у ), интеграл бе/ 1 2 3ч
рется по всему трехмерному пространству (х , х , х ) и
4 4 ^ 4 ^ 4
по временной координате х в пределах х1 ^ х ^ х2 . Потребуем, чтобы вариационная производная от действия (3) по метрике Н1 обращалась в нуль, т.е.
(4)
Постулируем, что уравнение (4) есть искомое уравнение
гравитационного поля.
Теорема 1. Имеет место тождество
п — X —- — —--Н +—Н .
дн" 11 2 1 2 1
Итак, основное уравнение (5) можно представить в виде
—г]— — gv, ', 1 — 1,...,4. (7)
Скалярная кривизна — , согласно соотношению (6), также оказывается зависящей от плотности массы материи р . Найдем эту зависимость явно. Для этого воспользуемся следующим принципом соответствия: в предельном случае при переходе к плоскому пространству, когда Н'1 ^ , где - метрика Минковского, уравнение (7)
должно переходить в уравнение Пуассона ньютоновой теории тяготения
Ар — 4лОр, (8)
где А - оператор Лапласа, р - гравитационный потенциал, G - гравитационная постоянная. Если величина р мала (слабое гравитационное поле), то можно показать [1], что
Н 44 — 1 + 2Р + 0( 7 ,
—44 — 1
Доказательство. Учитывая, что
■= —--Н
Н 11 2Н
есть вариационная производная Гильберта [1], остается найти вариационную производную
остальные компоненты , 1Ф1, имеют порядок д{—(Ни \J\g\d4х — 0| —1, где С - скорость света. Сравнивая уравнение (7),
^х)№ + X(х)дД)/
С
если 1,1 — 4, и (8), получаем следующее соотношение
— 8лОр У 1 1
— —-2--+ О — I. Пренебрегая членами порядка
х
4 с
д(Х
с
можно положить, по определению,
е
V
'1
с
Р = -
c
R.
(9)
32лО
Итак, уравнение (7) представляет собой основное уравнение полностью геометризированной теории гравитации, в которой связь между скалярной кривизной пространства и плотностью распределения массы физической материи задается линейным соотношением (9). Систему уравнений (7), (9) можно представить в виде одного соотношения
т? К SnG щ- 2 Rgij =—- PSij
2 c
(10)
Если в правой части уравнения (10) ввести обозначения
Tj = Р2 g,,, к = -
8яG
4
то формально получаем гра-
c
ds 2 = dx 4 - r 2 (x4 )(o^12 + sin 2x1 (dx
2 + sin 2x (dx2 + sin 2x2o^2
11 1 22
g =--2 , g =
r
1
22 r Sin x
g33=
1
g44=1.
2-2 -2 r Sin xxSin x2
(14)
Теорема 2. Система уравнений (7) относительно ковари-антного метрического тензора (12) сводится к единственному дифференциальному нелинейному уравнению второго порядка относительно неизвестной функции г( х4 )
d2 r
f dr ^
dx
V {лл>4 j
-1 = 0.
Это уравнение имеет действительное решение
г — г0ек —- , где г0 - некоторая постоянная. Скалярная
Г0
кривизна пространства всюду постоянна и имеет вид *—
г,
0
витационное уравнение Эйнштейна без космологической постоянной
*—2 ^—кту ,
где Ту - тензор энергии-импульса физической системы.
Рассматриваемая в следующем пункте модель расширяющейся Вселенной, на основе использования уравнения (10), дает положительный ответ на вопрос о существовании темной энергии.
2. Модель расширяющегося гиперсферического пространства
Эта модель характеризуется тем же выбором общего вида метрики четырехмерного псевдориманова пространства, что и в работе Фридмана [2]. Поэтому формально будем называть ее моделью Фридмана, несмотря на то, что результаты, получаемые в рамках рассматриваемой модели на основе использования уравнений (7), (9), отличаются от тех, которые были получены Фридманом на основе использования уравнений Эйнштейна с космологической постоянной.
Обычно метрику вводят с помощью инвариантно интервала ds 2 — gijd—1d—^ . Зададим интервал в том же виде как это сделано в работе [2]
Доказательство. Компоненты ковариантного и контрава-риантного метрических тензоров задаются соотношениями (13) и (14). Тогда из формулы (1) можно найти все эле-
(11) менты псевдоримановой связности Г<ё. отличные от нуля:
г>1 г->1 • 2 „i 1 dr Г 22 = -sinx1cosx1, Г 33 = -sinx1cosx1sin x2, Г;4 =--
Г 12 ctgx 1, Г 3з — Sinx2cOSx2 , Г24 —
1 dr
r dx4
Г133 = c&*1 , Г23 = ctgx2 , Г334 =
r dx4
т-г4 dr .2 Г 22 = r-sin xl,
r dx.
(15)
Г11 = r
dr dx.
dx
Г33 = r
dr
dx.
4
• 2 -2
sin xl sin x2.
По компонентам связности (15), используя соотношение (2), найдем все компоненты тензора Риччи * отличные
от нуля
2dx32 )) (12)
где r - радиус кривизны трехмерной гиперсферы, зависящий от параметра x4, xl е (0,2ж), x2 е (0, ж), x3 е (0,2ж) , x4 е (0, да).
Из (12) следует, что отличные от нуля компоненты ковариантного метрического тензора gi, имеют вид
2 2-2 2-2-2 gjj = —r , g22 = -r sin x:, g33 = -r sin xYsm x2,
g 44 = 1. (13)
Компоненты контравариантного метрического тензора g i, будут иметь вид
R11 =-
Г ^dr V
V
dx
уМЛ4 j
d2r „ + r—- + 2 dx -
Л
, R22 = sin xR
j
n 2 • 2 n n 3 d r
R33 = sin x1sin x2Rn, R44 = —
r dx
2 • 4
(16)
Из формул (14) и (16) следует, что скалярная кривизна определяется как
6 d2r 6 Г dr ^
R = —т+~г
r dx2 r
dx
V^X4 j
6
+ 72.
(17)
Подставляя соотношения (13), (16), (17) в систему уравнений (7), приходим к заключению, что эта система эквивалентна единственному уравнению
d2 r Г dr ^
dx2
V dx4 j
-1 = 0.
(18)
Будем искать решение уравнения (18) в виде г = ахвДх4 + а21в~ДгХ4, где а1,а2, Д, Д2 - некоторые постоянные. Тогда уравнение (18) преобразуется в соот-
а1а2 (Д + Д )2 — в^—Д )х4. Отсюда следует, что
ношение
1 4Д2
Р\ = P2, Сха2 =~—2 • Из условия r > 0 следует
С1 > 0, если P > 0, и можно положить а1 =
2P
а2 —-. Без ущерба для общности результата можно
г
выбрать а — 0, тогда, полагая а1 — —, окончательно
получаем r = r0 ch — . Существует ещё одно чисто
ком-
r0
плексное решение уравнения (18) г — 1х 4, однако нас интересуют только действительные значения функции
г(х4) . Подставляя полученное решение г — г0 скх4 в
го
формулу (17), получаем следующее выражение для скалярной кривизны — — —2 . Теорема доказана.
Го2
Из результата теоремы 2 следует, что гиперсферическое пространство расширяется почти по экспоненциальному закону, т.е. радиус кривизны пространства возрастает, как
г — г0 ск — . Однако сама скалярная кривизна — не за-
Г
висит от параметра х4 и остается всюду постоянной. Согласно соотношению (9) это означает, что плотность массы материи, заполняющей расширяющееся пространство, также остается постоянной.
В настоящее время в космологии надежно установлены два эмпирических факта: это закон Хаббла о разбегании галактик почти по экспоненциальному закону и существование в нашей вселенной нового вида материи, так называемой «темной энергии», составляющей приблизительно 70%-80% от всей массы вещества во вселенной и характеризующейся постоянной плотностью массы во всем пространстве, не зависящей от времени [3]. Таким образом, полученные результаты приводят к заключению, что рассматриваемая математическая модель гиперсферического пространства с физической точки зрения может описывать расширяющуюся по закону Хаббла вселенную, равномерно заполненную темной энергией
[4].
Список литературы:
1. Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко, Современная геометрия. М., Наука, 1979, с.760.
2. А.А. Фридман, Избранные труды. М., Наука, 1966, с.229.
3. А.Д. Чернин, Темная энергия и всемирное антитяготение. УФН, т.178, №3, 2008, с.267-298.
4. Н.Н. Попов, И.И. Мороз, Введение в геометрическую теорию гравитации. LAP LAMBERT Academic Publishing ISBN: 978-3-659-46571-0, 2013.
С
e
С
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ И НЕОБРАТИМЫЕ ПОТЕРИ
Придубков Павел Яковлевич
Канд. техн. наук, доцент кафедры электротехники и эл. маш. г. Харьков
Вступление. Определение электрических и магнитных полей, необходимое для расчёта параметров электрических цепей электротехнических устройств, базируется на основных уравнениях электродинамики - уравнениях Максвелла. Электромагнитное поле описывается четырьмя векторами: напряжённостью электрического поля E, напряжённостью магнитного поля H, индукцией электрического поля D и индукцией магнитного поля B [5, с. 558].
В однородной изотропной среде число векторов поля, необходимых для описания электромагнитных явлений, уменьшается до двух, так как векторы поля в этом случае пропорциональны друг другу:
й — £aE , Б — ^ . (1)
Коэффициенты £а и в выражениях (1) являются соответственно диэлектрической и магнитной про-ницаемостями среды. Вакуум рассматривается как однородная изотропная среда, характеризуемая электрической £0 — 8,86 • 10—12 Ф/м и магнитной р0 — 4п • 10—7 Гн/м
постоянными.
Изменение абсолютной диэлектрической проницаемости (£а — £0£г) может быть обусловлено, в том числе
и движением связанных зарядов 05р, то есть изменением
вектора поляризации Р среды:
дР д dQ
sp
д{ д СБ
Данное изменение связанно с необратимыми тепловыми потерями, которые оказывают существенное влияние на режимы работы электротехнических устройств [4, с. 246]. Эффективность работы этих устройств во многом зависит и от того, насколько учтены и оптимизированы необратимые преобразования энергии при поляризации среды распространения электромагнитного поля. Процесс описания преобразования диэлектрической проницаемости среды (поляризации) значительно упрощается, а значит, повышается его точность при использовании электромагнитных потенциалов.
Стало быть, уточнение системы уравнений, описывающих основные уравнения Максвелла с помощью двух отдельных неоднородных уравнений для составляющих четырёхмерного электромагнитного потенциала, учитывающих необратимые потери при поляризации среды, является актуальной проблемой. Решение данной проблемы обеспечивает повышение точности расчёта электромагнитного поля и надёжности функционирования электротехнических систем.
Основная часть. Основными уравнениями электродинамики являются уравнения Максвелла:
rot H = — + 5, div D = pQ
(2)
