Теория поля BFKL и реджеонная теория поля Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 539.1

ТЕОРИЯ ПОЛЯ BFKL И РЕДЖЕОННАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ Н.В.Приходько

THE BFKL FIELD THEORY AND THE REGGEON FIELD THEORY

N.V.Prikhod'ko

Институт электронных и информационных систем НовГУ, niko2004x@mail.ru

Рассматривается вопрос размерной редукции теории поля BFKL (Балицкий—Фадин—Кураев—Липатов) к реджеонной теории поля, основанной на иерархии уравнений Балицкого—Ковчегова для пространственно однородной мишени. Разработанный метод редукции для теории поля BFKL без слияния померонов упрощает такое преобразование и позволяет провести его без промежуточного использования бесконечной иерархии корреляторов. Ключевые слова: теория поля BFKL, реджеонная теория поля, рассеяние при высоких энергиях

This article considers dimensional reduction of the BFKL (Balitsky—Fadin—Kuraev—Lipatov) field theory in regards to the reggeon field theory based on hierarchy of the Balitsky—Kovchegov equations for a spatially homogeneous target. The developed method for reduction of the BFKL field theory without pomeron merging simplifies such transformation and allows it without intermediate use of the correlators infinite hierarchy.

Keywords: BFKL field theory, reggeon field theory, high-energy scattering

1. Введение

Теория поля BFKL [1-4] описывает процессы протонного и ядерного рассеяния с обменом померо-нами в высокоэнергетичном пределе. В работе [5] рассматривался вопрос о получении теории поля BFKL на основе стохастического уравнения Балицкого—Ковчегова [6,7] посредством использования функционала действия.

Поскольку в связи с высокой структурной сложностью практическое использование теории поля BFKL существенно затруднено, ранее [8] нами была рассмотрена возможность построения реджеон-ной теории поля на основе стохастического уравнения Балицкого—Ковчегова в предположении пространственно однородной мишени. Экспериментально данное приближение соответствует высокоэнерге-тичному рассеянию сверхтяжелых ядер.

При построении на основе стохастического уравнения Балицкого—Ковчегова реджеонной теории за рамками остался вопрос о соотношении построенной реджеонной теории поля и теории поля BFKL. Хотя соответствие различных слагаемых в функционалах действия для построенной реджеонной теории поля и теории поля ВБКЬ прослеживается, возможность прямого преобразования теории поля ВБКЬ в данную ред-жеонную теорию поля является открытым вопросом.

Особенно это касается компонент функционала действия, ответственных за взаимодействие поме-ронов и являющихся нелинейными по полевым переменным. Целью данной работы является исследование возможности такой редукции при минимальном количестве допущений.

2. Стохастическая формулировка иерархии уравнений БК

Существует несколько эквивалентных формулировок теория поля BFKL [9]. Мы будем использо-

вать формулировку в форме производящего функционала [10]:

ZBFKL [/, Jt ]= ^DФDФtesBFIK. (1)

В теория поля ВБКЬ померона функционал действия SBFKL представляет из себя сумму трех слагаемых 8Ш1^=80+81+8е, соответствующих распространению, делению и слиянию померонов и взаимодействию померонов с мишенью и рассеивателем. Свободный функционал действия S0 определяется в виде:

S0[ф,Фt]=JdydV2x2Фt(xpх^у^У^+я]^,х2,у) (2)

Полевые переменные Ф и Ф' соответствуют амплитудам рассеяния кварк-антикваркового диполя на мишени и рассеивателя соответственно и зависят от поперечных пространственных координат х1, х2 кварка и антикварка и характерной быстроты диполя у. Оператор Я, так называемый BFKL гамильтониан, является линейным интегральным оператором сложного вида [9].

Слагаемое S], ответственное за взаимодействие померонов, локально по быстроте и обычно определяется в виде:

s м 1=^ j dy

d Xj d x 2 d X3

2 2 2 ' xxx

12 23 31

хЦ^ф' (хр Х2, у))ф(х2, Х3, у)ф(хз, хр у)+

ФпФХ х2, У))Ф (х2, х3, У)Ф' (хз, хр у) (3)

где L12 является дифференциальным оператором

L =х4 У2У2

П2 12 12*

Поскольку второе слагаемое в S], формально ответственное за слияние померонов, включается в S]

в основном из соображений симметрии, а не следует из основных принципов, в рамках данной работы мы исключим из рассмотрения процесс слияния померонов и будем определять SI в виде:

г 2ла2 г d2хЛ2х^2х.

^ М1= I ^ 2 2 2 2 3 х

1\ V V V

С

Х[(Х12Ф^ (Х1, *2, У))®(Х2, Х3, У)°(Х3, Х1, У)] (4) Член, содержащий взаимодействие BFKL поме-рона с мишенью и рассеивателем, определяется в виде:

SE [ф, Ф' ]= I ёуё 2х,й 2х2Ф(х1, х2, ур (х1, х2, у)+

+&(х1,х2,у)1*(х1,х2,у). (5)

В практически интересных случаях токи Р(х1, х2,у) и (х1, х2, у), отвечающие за взаимодействие с мишенью и рассеивателем, являются сингулярными по быстроте у функциями и определяются граничными условиями эволюции:

(х1, х2, у=0)= -У^У 2ф(х1, х2, у=0),

Р (Xl, X2, у=7 )= 2ф^ (Xl, X2, у = 7 ) В функционале действия (1) граничные условия для функционального интегрирования обычно принимаются в виде:

(6)

ф(х,, х,,-го)= 0,

tí \ (7)

Ф' (х1, х2,+ж)= 0.

Производящий функционал построенной в [7] реджеонной теории поля в то же время имеет более простой вид.

ZRT [', ' ]= | ЭиЭи'е^.

(8)

Аналогично $

<ВШЬ гЛТ

$ имеет вид $ =s0+sI+sE, где

слагаемые соответствуют распространению, делению и слиянию реджеонов и взаимодействию их с мишенью и рассеивателем:

s0[u,ut 1= /У (ри - х(- ^ )u)dtdL, (9)

SI [иу' 1= /(иУ +ип^Ь, (10)

sE[u,ut 1= /(¡и+/У )dtdL (11)

Здесь и , и' соответствуют амплитудам рассеяния кварк-антикваркового диполя на пространственно однородной мишени и рассеивателе соответственно. L и / определяются относительным поперечным импульсом кварк-антикварковой пары k и характерной быстротой у соотношениями:

Ь = 1п-

k 2

Л2

(12)

1= а у.

Оператор ) определяется характеристи-

ческой функцией ядра BFKL [1,2] как преобразование Меллина от ядра BFKL в импульсном пространстве (точное определения ) дано в [11]):

(13)

где у(у)=

■ Г' (у)

Г(у)

х(у)= 2v(1)-v(у)-v(1-у),

— дигамма-функция.

Каким образом может быть осуществлен переход от (1) к (8)? Если рассматривать формулировку теории поля BFKL в виде иерархии уравнений Ба-лицкого—Ковчегова, а построенной реджеонной теории поля — в виде иерархии уравнений Балицкого— Ковчегова с однородными начальными условиями, то переход осуществляется посредством задания начальных условий вида:

Ф(х1, х2,0)=х22 / ^еЛх'2и(^0)=х122 /ыЩх^и^Хи)

При рассмотрении функционала действия (1) наложение данного условия напрямую невозможно, поскольку Ф(х1,х2,у) не является свободной переменной. Однако в связи с тем, что в функционал действия входит только первая производная по быстроте, наложение начальных условий для Ф(х1, х2,у) возможно через (6). Предположительно фиксация также тока Р(х1, х2, у) позволит осуществить переход от (1) к (8).

Введем следующие дифференциальные операторы:

РФ(х1,х2,у)=/ d2х^2х2 — Ф(х1,х2,у) /0(х124 V х12 /

(15)

Г 1

Р'ФXх2,у)=/ d2х1с12х2 — 1Л2Ф'Xх2,у) .^(х^),

V х12 /

где интегралы берутся в смысле усреднения с целью избежать возможных расходимостей. Для удобства обозначим:

РФ(х1, х2, y)=u(k, у),

Р'ф' (х1, х2, у)=У (k, у).

Функции Ф(х1, х2,у), Ф'(х1, х2,у) тогда могут быть представлены в виде:

Ф(х1,х2,у)=Ф0(х1,х2,у)+Ф1(х1,х2,у^ (17)

Ф' X х2, у)= Ф0(*1, х2, у)+Ф X х2, у),

где Ф(х1, х2, у) и Ф'(х1, х2,у) принадлежат ядрам операторов Р и Р' соответственно, а Ф0(х1,х2,у) и Ф^(х1,х2,у) удовлетворяет соотношениям (16). Поскольку выбор Ф0(х1, х2, у) и Ф;0(х1, х2, у) произволен с

точностью до функций из ядер Р и Р', положим их в виде:

Ф0 (х1, х2, у)= х^ / ЫЫ() (х^ )и(k, у), Ф0(х1, х2, у)=Ц12х^2 / k -1dk/0(x12k У (к, у),

что соответствует по структуре (14).

Дополнительно фиксируем токи (х1, Р (х1, х2, у) в виде:

(18)

, у)

РXх2,у)=-т- fk 1dk/0(x12k)'(k,у),

X *

12

(х1, *2, у)=У2У2 (х122 / kdЫ0(Xl2k )](К у)).

Рассмотрим различные слагаемые в функцио- ^2xd2х d2х

нале действия SBFKL . Функционал SF с учетом опре- '^]= ] 2 2 2 (А2Ф(х1,х2,у))Ф(х2,хз,у)ф(хз,х1,у)=

х12 х23х31

делений токов J и Jt может быть приведен к следующему виду:

^[ф,ф ]=

Г Г 1

= 1 d 2x1d 2 x2d 2x3 —2- (xj, x2, y) J x.

X

fdV 2х2(ф(х1, x2, y)j(xj, x2, у)+Ф* fo, x2, yJf (xj, x2, y))= X-4-ф(x2, ^ уУ^Т ф(x3, X1, y) ;

J X,

^ууф^х^уу^х^у)^ х-^ф(х2,хЗ,у)^ф(хЗ,х1,у) ; (26)

X23 X31

представление (17) дает нам 8 различных слагаемых

xj2 ■ - / - -- Si]k вида:

л

=Jd2xjd2xJ -2-ф(х1,x2,y) |jkdk/0(x12k)/(k,y)

Jd 2xjd 2xJ4- L1^* (xj, x2, y)|JkdkJ0(x12k)j* (k, y)= Sjjk = J d 2 xjd 2x2d 2 x3 -2- (xj, x2, y) x

V "Ч ) V X12 )

= y)u(k,у)+/уУ(k,у))=5о[и,и'] (20) х-^Ф ,(х2,х3,у^Фк(х3,хру) . (27)

х ^ х

Определение токов в такой форме позволяет 23 31

получить средние от и(к,у), используя функциональ- Используя представления для Ф0 и Ф0 и со-

ные производные ZBFKL по у , что эквивалентно ис- отношения (28) и (29), можно показать что слагаемые

r7Rт вида ^,, ^ „, тождественно равны нулю, то-

пользованию Z . 001 010 100 ^ :

Рассмотрим слагаемое S0, ответственное за гда как S000 = s0\u,u*]. Слагаемые Sm, Sjj0, Sj распространение померонов: S0jj тождественно в 0 не обращаются.

S0b^ ]= Jd2 xd 2х9ф^ (x, x2, y)V2v2Î5 +н]ф(х, x2, y)= r , s , s 1 ,

01 JJ 1 2 21 y J xdxJ0(xk1)J0(xk2 )=15(kj -k2 ) (28)

= Jd2xld2x2(v12v2ф^(xl,x2,y))[5y+Я]ф(xl,x2,y;) (21) 2 1 ^

Или с учетом (17): d x3 = 2™13x23dx13dx23] kdkJ0(x12k>J0(x13k>J0(x32k) (29)

S0f®^b Jd2x1d^^^ф^рx2,y))[dy +H]ф0(x1,x2,y)+ Таким образом, для действия SBFKL можно

получить следующее представление:

+р ^^(^ф^ Х2, y))[5y+я]ф1(x1, Х2, у)+ SBFKL [ф,Ф ^ [и,и' ]+S0[ф1,Ф1t]+

+jd 2Хld ^(у^ф (х1, х2, у)\ду+яф{Х1, х2, у)+ + ^ [фРф ]+5^011+^^и0 (30)

г,2 ,2 4,2^ 1 ( \ пъ Поскольку слагаемые 5^011, ^10, «101 содер-

Ч d xld х2 (У1У2Ф1 (xl,Х2,уЖду+Я]ф1(xl,Х2,у) (22) 1 1

. . жат и , и1 и Ф1, Ф|, в таком виде полевые пере-Известно, что оператор [д +Я] действует диа-

у менные и , и1 очевидно не расщепляются от пере-

гонально на ф как: *

0 менных ф , ф .

[дy+я]фо(xl,x2,y)=xl22jkdkJо(xl2k)(дy-адК))и(к,у).(23) Выделим, однако, из SBFKL [ф,ф1] совокуп-

С учетом определения (18) и того факта, что ность слагаемых, содержащих ф[ : ф и ф принадлежат соответственно ядрам опера- г .т г .т г ,

1 1 S'=S0[ф1,фf ]+S] [ф1,ф1 ]+2| d 2x1d2 х^ 2Х3Х

торов Р и Р1 перекрестные слагаемые в (22) тожде- ^

1 1 1 1

—^"112(Хl,Х2,у) — Ф0(Х2,Хз,у)— Фl(Хз,Хру) . (31)

х х х

12 23 А31

Легко видеть, что S' является линейным по

ственно равны 0 . Поскольку:

J d 2 x1d 2 x2(V2v2^(xp X2, y))[5 y+H K(xp X2, y)=

✓ 1 ч лег ко в^1де id, что s являе т ся л

=Jd x1d ^x-L12ф0(x1,x2,y)Jx12x ф[ функционалом. Поскольку поле Ф*

х 12 и-. 1 2-*/ I 12 Ф[ функционалом. Поскольку поле Ф1 играет роль

вспомогательного поля в смысле формализма Мар-] kdkJо(xl2k)(дy-аД(-^))и(к,у)= тина-Сиггии-Росэ, то функциональный интеграл по

Ф1 может быть упрощен:

-1

(

=Jk-ldku* (k, у)(д y -Œsx(-5l ))u(k, y), (24)

для SBFKL[ф,ф*] имеем: JDФfleS'=5 -2-[д^н'ф^,x2z,y)

Si [ф, ф* ]= S0 U, u* ]+ S0 [фр ф* ]. (25) Vx12 ,

Рассмотрим член взаимодействия померонов +Jd^^рф^,x3,y^рpФ01(x3,x1,y)

Si. Легко видеть, что он может быть преобразован к x23 x31

следующему виду: ф01 (xз, xr У)= фl(xз, xl, У)+2Фo(xз, ^ У) . (32)

x

Так как выражение в аргументе 5 функции содержит только дифференциальные операторы первого порядка по у, то с учетом граничных условий (7) данное выражение равно 5(Ф1(х1, х2, у)).

Это, в свою очередь, дает для (1): ZBFKLJ ]=/ ЭиЭг/е/гТЭФ/0115(Ф1)=]ЬиЭ/е$?гТ ,(33)

что при условии связи токов Р, Р и ' в виде (19) совпадает с (8).

3. Обсуждение результатов

В работе показано, что при использовании формулировки теории поля BFKL в форме производящего функционала использование токов рассеива-теля и мишени специального вида (19) позволяет свести данную теорию поля к разработанной ранее ред-жеонной теории поля [8] при условии отсутствия членов, ответственных за слияние померонов в функционале действия.

Данная редукция в принципе эквивалентна переходу от общей иерархии уравнений Балицко-го—Ковчегова к иерархии уравнений Балицкого— Ковчегова для пространственно однородной мишени. Однако полученная формулировка позволяет осуществить такой переход без использования бесконечной иерархии корреляторов.

Тем не менее, остается ряд нерешенных вопросов:

1. При рассмотрении функционала действия $шкъ из него было исключено слагаемое, ответственное за слияние померонов. Необходимость наличия данного слагаемого в функционале действия в настоящий момент не может быть показана из основных принципов в связи с техническими сложностями. Несмотря на это, кажется обоснованным, что функционал действия должен быть симметричен к обмену мишени и рассеивателя. Возможность редукции теории поля BFKL с восстановленным членом слияния померонов является, однако, существенно более сложной задачей в связи с большим количеством возникающих перекрестных слагаемых.

2. Стоит отметить, что, вообще говоря, теория поля BFKL сама по себе является редукцией, поскольку она описывает поведение синглетного бесцветного состояния, построенного из кварк-антикваркового диполя в пределе количества кварко-вых цветов Ыс ^го . Данный переход вносит существенную сложность в полевое рассмотрение, поскольку приводит к функционалу действия, в который входят достаточно сложные дифференциальные и интегральные операторы. Интересно произвести анализ до перехода к дипольным переменным. Полная формулировка цветного аналога теории поля BFKL для кварков и антикварков в настоящий момент отсутствует, однако существенный прогресс был достигнут в [12].

1. Балицкий Я.Я., Липатов Л.Н. Сингулярность Померанчу-ка в квантовой хромодинамике // Ядерная физика. 1978. Т.28. С.1597-1611.

2. Кураев К.А., Липатов Л.Н., Фадин В.С. Сингулярность Померанчука в неабелевых калибровочных теориях // ЖЭТФ. 1977. Т.72. С.377-389.

3. Kuraev E.A., Lipatov L.N., and Fadin V.S. The Pomeranchuk Singularity in Nonabelian Gauge Theories // Sov. Phys. JETP. 1977. V.45. P.199-204.

4. Balitsky I.I. and Lipatov L.N. The Pomeranchuk Singularity in Quantum Chromodynamics // Sov. J. Nucl. Phys. 1978. V28. P.822-829.

5. Kozlov M., Levin E., and Prygarin A. The BFKL Pomeron Calculus in the dipole approach // Nucl. Phys. A. 2007. V.792. P.122-151.

6. Kovchegov Y.V. Unitarization of the BFKL pomeron on a nucleus // Phys. Rev. D. 2000. V.61. P.074018.

7. Balitsky I. Operator expansion for high-energy scattering // Nucl. Phys. B. 1996. V.463. P.99-160.

8. Приходько Н.В. Иерархия однородных уравнений Балиц-кого-Ковчегова и реджеонная теория поля // Вестник НовГУ. Сер.: Техн. науки. 2012. №68. С.20-22.

9. Braun M. Conformal invariant equations for nucleus-nucleus scattering in perturbative QCD with N(c) to infinity // arXiv:hep-ph/0504002.

10. Contreras C., Levin E., and Miller J.S. BFKL Pomeron calculus: nucleus-nucleus scattering // Nucl.Phys. A. 2012. V.880. P.29-47.

11. Mueller A.H. Soft gluons in the infinite momentum wave function and the BFKL pomeron // Nucl. Phys. B. 1994. V.415. P.373-385.

12. Popov A.V. Invariant color calculus and generalized Balitsky-Kovchegov hierarchy // Phys.Rev. D. 2009. V.79. P.014020.

1.

References

Balitskii Ia.Ia., Lipatov L.N. Singuliarnost' Pomeranchuka v kvantovoi khromodinamike [The Pomeranchuk singularity in quantum chromodynamics]. Iadernaia fizika - Nuclear Physics, 1978, vol. 28, pp. 1597-1611.

2. Kuraev K.A., Lipatov L.N., Fadin V.S. Singuliarnost' Pomeranchuka v neabelevykh kalibrovochnykh teoriiakh [The Pomeranchuk singularity in nonabelian gauge theories]. ^T® - JETP, 1977, vol. 72, pp. 377-389.

3. Kuraev E. A., Lipatov L. N., and Fadin V. S., "The Pomeranchuk Singularity in Nonabelian Gauge Theories", Sov. Phys. JETP, 1977, vol. 45, pp. 199-204.

4. Balitsky I. I. and Lipatov L. N, "The Pomeranchuk Singularity in Quantum Chromodynamics", Sov. J. Nucl. Phys., 1978, vol. 28, pp. 822-829.

5. Kozlov M., Levin E., and Prygarin A., "The BFKL Pomeron Calculus in the dipole approach", Nucl. Phys. A, 2007, vol. 792, pp. 122-151.

6. Kovchegov Y.V., "Unitarization of the BFKL pomeron on a nucleus", Phys. Rev. D, 2000, vol. 61, p. 074018.

7. Balitsky I., "Operator expansion for high-energy scattering", Nucl. Phys. B, (1996), vol. 463, pp. 99-160.

8. Prikhod'ko N.V., Ierarkhiia odnorodnykh uravnenii Balit-skogo-Kovchegova i redzheonnaia teoriia polia [Homogenous Balitsky-Kovchegov equations hierarchy and reggeon field theory]. Vestnik Novgorodskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser.: Tekhnicheskie nauki - Vestnik of Yaroslav the Wise Novgorod State University, issue "Engineering Sciences", 2012, no. 68, pp. 20-22.

9. Braun M., "Conformal invariant equations for nucleus-nucleus scattering in perturbative QCD with N(c) to infinity". Available at: arXiv:hep-ph/0504002.

10. Contreras C., Levin E., and Miller J. S., "BFKL Pomeron calculus: nucleus-nucleus scattering", Nucl.Phys. A, 2012, vol. 880, pp. 29-47.

11. Mueller A.H., "Soft gluons in the infinite momentum wave function and the BFKL pomeron", Nucl. Phys. B, 1994, vol. 415, pp. 373-385.

12. Popov, A.V., "Invariant color calculus and generalized Balit-sky-Kovchegov hierarchy", Phys.Rev. D, 2009, vol. 79, p. 014020.