Теория положительного столба дугового разряда Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Масленников А. М. Расчёт строительных конструкций численными методами. - Л. : ЛГУ, 1987. - 225 с.

2. Чернов С. А. Математические модели и пакет программ для численного анализа тонкостенных стержневых систем и подкреплённых конструкций: дисс... канд. техн. наук / Мордовский государственный университет имени Н. П. Огарева. - Саранск, 2010.

3. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2006611072. Свободные колебания произвольной плоской стержневой системы / Чернов С. А., Черный А. Н. Заявитель и правообладатель Ульян. гос. техн. ун-т. №2005613264; заявл. 9.12.2005; зарегистр. 21.03.2006.

4. Чернов С. А. Автоматизация вычисления геометрических характеристик тонкостенного сечения // Автоматизация и современные технологии. - 2011. - №8. - С. 10-13.

5. Чернов С. А. Эксцентриситеты осей стержней в узле соединения // Автоматизация и современные технологии. - 2014. - №7. - С. 10-12.

Чернов Сергей Анатольевич, кандидат технических наук, преподаватель Ульяновского строительного колледжа; УлГТУ.

Поступила 13.04.2015 г.

УДК 537.52 А. В. ПАРФЁНОВ

ТЕОРИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО СТОЛБА ДУГОВОГО РАЗРЯДА

Предлагается теория положительного столба дугового разряда, в основу которой положена известная в электродинамике закономерность: распределение стационарного тока в проводящей среде отвечает минимуму диссипации энергии. Показано, как применять данную теорию на примере однородного цилиндрически симметричного положительного столба дугового разряда. Приводятся экспериментальные данные, подтверждающие полученные теоретические результаты.

Ключевые слова: дуговой разряд, вольт-амперная характеристика (ВАХ).

ВВЕДЕНИЕ

Важнейшим моментом в построении теории положительного столба дугового разряда является вывод его вольт-амперной характеристики.

Как известно, ВАХ связывает ток и напряжение, но в отличие от твёрдых проводников, чья геометрия неизменна и не зависит от тока и напряжения, геометрия поверхности положительного столба дугового разряда является ещё одним неизвестным параметром, который связан с двумя другими параметрами разряда: током дугового разряда и напряжением на положительном столбе дугового разряда. Поэтому для отыскания ВАХ положительного столба необходимо иметь два уравнения, связывающих эти три параметра.

Первым уравнением, которое связывает эти параметры, является закон сохранения энергии, записанный для положительного столба. Таким образом, задача по отысканию ВАХ столба сводится к отысканию второго уравнения, связывающего указанные выше три параметра.

Второе уравнение должно быть основано на реально существующей закономерности, которой подчиняется стационарный ток, мы рассматриваем стационарный дуговой разряд. Но единственной

© Парфёнов А. В., 2015

такой закономерностью, которой подчиняется стационарным ток и которую можно использовать для отыскания второго уравнения, является известная в электродинамике закономерность, формулируемая так: распределение стационарного тока в проводящей среде отвечает минимуму диссипации энергии [1]. Данная закономерность записывается в виде вариационной задачи. Решая эту вариационную задачу для положительного столба, как и положено, получаем уравнение Эйлера и естественные граничные условия, которые и позволяют найти второе уравнение.

1. ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО СТОЛБА

Чтобы применить к положительному столбу дугового разряда указанную выше закономерность, означающую наличие минимума у интеграла

йУ, (1)

а

где ] — вектор плотности тока; а — проводимость; йУ — элемент объёма (интегрирование ведётся по всему трёхмерному пространству), достаточно учесть, что данная закономерность может быть применена и к отдельному участку стационарного тока, которым является положительный столб дугового разряда.

Доказательство применимости закономерности к отдельному участку стационарного тока мы не приводим, так как оно не содержит никаких трудностей.

Таким образом, получаем вариационную задачу только для столба, означающую, что распределение тока в положительном столбе отвечает минимуму диссипации энергии.

Закон сохранения энергии для положительного столба стационарного дугового разряда позволяет записать данную вариационную задачу и в ином виде.

Будем считать, что разряд происходит при атмосферном давлении, а его параметры принимают такие значения, при которых потери на излучение так малы, что их можно не учитывать. В отсутствии излучения закон сохранения энергии для столба сводится к равенству энергии, которая выделяется в столбе в единицу времени, и энергии, равной количеству тепла, уходящему из столба через его поверхность в единицу времени:

Ш = | ЯЙБ, (2)

где I — ток разряда; и — напряжение на столбе; Я — вектор плотности потока тепла на поверхности столба; йБ — векторный элемент поверхности; 5 — поверхность столба.

Величина, стоящая в левой части уравнения (2), определяется интегралом (1), в котором интегрирование ведётся уже не по всему пространству, а по объёму, который занимает положительный столб, но и этот интеграл, как было сказано выше, тоже подчиняется указанной выше закономерности, т. е. его вариация равна нулю. Следовательно, и вариация интеграла, стоящего в правой части уравнения (2), также должна быть равна нулю:

яйБ = 0. (3)

5

Это означает, что положительный столб должен иметь такую форму поверхности при которой количество тепла, проходящее через его поверхность будет минимальным.

Заметим, что интеграл в уравнении (2) должен быть записан по замкнутой поверхности. Но, как будет видно из дальнейших выкладок, всегда можем рассмотреть положительный столб достаточной длины, чтобы потери энергии через две поверхности сечения столба, которые отделяют столб от при-электродных областей неоднородности, были так малы по сравнению с мощностью столба, чтобы их можно было не учитывать. В отсутствии этих двух поверхностей от замкнутой поверхности остаётся только поверхность столба 5 .

Следует ещё сказать, что рассматриваем столб дугового разряда имеющий неоднородности, возникающие в результате внешнего воздействия, например, конвекции.

У стационарного разряда физические свойства газа определяются его температурой. Очевидно, что в любой точке поверхности 5 газ должен иметь одинаковые физические свойства, а значит, одну и ту же температуру. Зададим поверхность 5 в прямоугольной декартовой системе координат в виде системы уравнений

w0 = const.

r = r(u, v, w0),

где u, v, w - параметры, которые в дальнейших выкладках будем рассматривать как криволинейные координаты. При этом координаты u и v одновременно являются и криволинейными координатами на поверхности S. Для температуры газа на поверхности S можно записать

T0 = T (r) = const, а для дифференциала температуры

dT (r) = gradT ■ dr = 0. (4)

Учитывая, что плотность потока тепла определяется формулой

q = -Л ■ gradT, (5)

где Л есть теплопроводность газа, умножая формулу (4) на Л, получаем qdr = 0. Отсюда следует, что вектор плотности потока тепла q ортогонален к поверхности столба.

Выберем направления координатных осей u и v на поверхности столба так, чтобы направление векторного элемента поверхности dS совпадало с направлением внешней нормали к поверхности S . Тогда qdS = qdS, где q = |q| есть модуль вектора плотности потока тепла, а dS = |dS| есть модуль векторного элемента поверхности, равный

dr dr

— х —

du dv

Используя формулу a 2b2 = (a х b)2 + (a ■ b)2 и обозначая

dr dr

— = r ■ — = r

^ u ' ^ v

du dv

перепишем (6) в следующем виде:

dS = -Jr

dS =

dudv.

(6)

22

rr

uv

-(ru rv )2 dudv .

Учитывая изложенное, выражение (3) можно записать так

8ЦF (r, ru, rv )dudv = 0,

(7)

где

F = q(r)Vги2гу2 - (гвг„)2 . (8)

Получили известную в вариационном исчислении задачу о минимальных поверхностях. Её решением является функция г(и, у) . Она сообщает интегралу, входящему в выражение (7), минимальное значение и удовлетворяет уравнению Эйлера

dF d2 F d2 F

dr dudru dvdrv

=0

и естественным граничным условиям

ii

d

du

dF

8r

\dru J

+ -

d dv

dF

-8r

vdrv J

dudv = 0.

(9)

(10)

2. УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА

Уравнение Эйлера - векторное уравнение. Рассмотрим его составляющие в произвольной точке (экстремальной) поверхности г(и, у) как проекции на направления, которые задаются векторами ги,

Гу и п. Векторы ги и гу - это касательные векторы к координатным линиям и и V, проходящим

через рассматриваемую точку поверхности. Вектор п есть единичный вектор внешней нормали к поверхности столба.

Векторное уравнение (9) в проекциях на направления ги, гу с помощью равенств

dF

dr„

dF

rv-= F .

dr.,

(11)

S

r

u

дГ дГ п г.-= ги-= 0, (12)

V ^ и 7 4 '

дги дгV

которым удовлетворяет функция (8), легко преобразовать в выражения для полных производных от функции Г (г, ги, г. ) по координатам и и V .

Умножая левую часть уравнения (9) скалярно на единичный вектор п, выполняя дифференцирование и обозначая

2Н = + = П1Г 2Г"» ~ 2(ги ГУ Уит + ги2^ ] (13)

Я Я2 г2 г2 -(г г)2 , ( )

1 2 и V \ и V /

где Н есть средняя кривизна поверхности в рассматриваемой точке, а и Я2 есть главные радиусы кривизны поверхности в рассматриваемой точке, получаем для проекции уравнения Эйлера на нормаль следующее уравнение:

п^-аёц - 2Нц = 0. (14)

В выражении (13) были введены обозначения

д2г д 2г д 2г -= г ■ -= г ■ -= г

ии ' ^ ^ иV ' <-,2 ^ '

ди дид\ ду

Можно заметить, что левая часть уравнения (14) есть ни что иное, как дивергенция вектора плотности потока тепла, записанная в криволинейных координатах:

дЧ' + г д 1П

ди1 ди1

где 1 =1, 2, 3; g — детерминант метрического тензора системы криволинейных координат и, V, w .

Так как координатную линию и3 = w мы направляем вдоль нормали к поверхности столба, поэтому вектор п равен вектору локального базиса

= • = 1 дг = (дг I2 = 2

п = • w = I ~ , gww = I I = г-л/g дw lдw)

V о ww 4 '

w '

Поэтому в криволинейных координатах вектор плотности потока тепла представлен только одной

проекцией q3, которая будет связана с q следующим равенством:

Л

подставим

ных координатах. Далее учтём, что

q = V gwwq3.

Найдём из этого равенства q3 и подставим результат в определение дивергенции в криволиней-

2Н ' (.5)

л/g дW

V " ww

Эту формулу можно получить, дифференцируя скалярные произведения касательных векторов к координатным линиям

г г = 0, г г = 0, (16)

и W ' V w ' V /

по криволинейным координатам и1 = и и и2 = V, и подставляя результат в (13). В формуле (15) было использовано сокращённое обозначение

о = гиЧ2 - (г г )2

для детерминанта метрического тензора поверхности положительного столба дугового разряда. Корень из детерминанта л/О — это и есть третий параметр разряда, который характеризует геометрию поверхности неоднородного положительного столба.

Из (16) следует, что детерминант g связан с детерминантом О равенством

g = g

ww '

Подставляя и это значение в определение дивергенции в криволинейных координатах, получаем после преобразований

dq - 2 Hq.

Jg dw

\ о ww

Данное выражение, если вспомнить определение градиента в криволинейных координатах, полностью совпадает с левой частью уравнения (14). Что и требовалось доказать.

Переходя от криволинейных координат обратно к прямоугольным декартовым координатам, очевидно, вместо (14) получим

divq = 0.

Отсюда следует, что на поверхности столба, где рассматривается уравнение (14), отсутствуют источники тепла. Действительно, применяя этот результат к уравнению Эленбааса-Геллера

divq = оЕ2, (17)

где E есть вектор напряжённости электрического поля, приходим к выводу, что на поверхности столба проводимость газа равна нулю: о = 0 . Принимая этот результат как граничные условия для рассматриваемой задачи, получаем, что уравнение (14) выполняется автоматический. Следовательно, вариационная задача (7) будет выполняться, если будут выполняться естественные граничные условия (10).

3. ЕСТЕСТВЕННЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Представим вариацию радиус-вектора в виде суммы проекций на направления, которые задаются уже известными нам векторами ru, rv и n

8r = a^ru rv +/■ n, (18)

где

g= r; rft - (r... Mr , r;r> - (r... К» , y = n8r. (,9)

r. rv - (r, fv ) Г„Ч - (r,Г, )2

Записанную в таком виде вариацию подставим в естественные граничные условия (10). После чего, учитывая (11), (12) и равенства

dF dF л n-= n-= 0,

dru drv

получаем

„Г d , , d ,

dudv = 0. (20)

ii

А (Fa)+d (Ffi)

du ov

Из этого выражения видно, что естественные граничные условия накладывают ограничения на произвольные смещения а и Р, направленные вдоль поверхности столба. Эти ограничения объясняются тем, что вариация не должна разрушать саму поверхность. Поэтому условия, накладываемые на а и Р, можно рассматривать как условия, позволяющие поверхности столба оставаться поверхностью при её вариации.

Рассмотрим произвольный бесконечно малый элемент поверхности столба АБ . Применяя к интегралу (20), у которого вместо Б стоит АБ формулу Грина, получаем

| F а - Рйи )= 0,

АС

где АС есть граница бесконечно малого элемента поверхности АБ . Подставляя в этот интеграл вместо а и Р выражения (19), получаем после преобразований, что данный интеграл равен нулю при условии

п хбг = 0 .

Это равенство будет выполняться, если 8г = у • п, сравнивая его с (18), получаем

а = Р = 0. (21)

Из (19) следует, чтобы условия (21) выполнялись, должны быть равны нулю проекции 8г на координатные оси и и V . Равенство нулю этих смещений означает, что при вариации расстояние между любыми двумя соседними точками поверхности не меняется. В дифференциальной геометрии такие

1

S

изменения поверхности называются изгибаниями. При изгибании поверхность ведёт себя как несжимаемая и нерастяжимая плёнка. При вариации поверхности столба каждая точка поверхности смещается вдоль нормали n, восстановленной в этой точке. Это следует из условий (21).

4. УСЛОВИЕ НА ПОВЕРХНОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО СТОЛБА

Умножим левую часть уравнения (14) на у и учитывая, что Sr = пу, а также равенство 5q = gradq • Sr, перепишем результат умножения в следующем виде:

5q = 2Hqy . (22)

Это выражение показывает, что при смещении точки поверхности столба вдоль нормали к поверхности на величину у, модуль вектора плотности потока тепла меняется на величину Sq. Докажем, что по такому же закону меняются и главные радиусы кривизны поверхности столба при её изгибании. Для этого нам достаточно доказать это, рассмотрев какой-либо один главный радиус кривизны поверхности. Ведь в каждой точке рассматриваемой нами поверхности можно всегда указать два ортогональных между собой главных направления, через которые проходят главные сечения, определяющие главные радиусы кривизны [2]. Поэтому мы всегда можем рассмотреть изменения одного из главных радиусов кривизны поверхности независимо от другого. Такое рассмотрение позволяет осуществить поверхность прямого круглого цилиндра. Чтобы упростить выкладки, рассмотрим два самых простейших изгибания его направляющей окружности. Первое изгибание — окружность переходит в эллипс, т. е. когда происходят изменения вдоль главных осей эллипса. Второе изгибание - когда окружность в результате изгибания приобретает форму яйца, т. е. когда происходит изменение вдоль одной оси эллипса, точнее, вдоль оси фигуры, имеющей форму яйца.

Выберем для описания второе изгибание, ведь это будет сделать проще. Но так как и в этом случае в точках окружности, где с ней происходят изменения, дуга окружности будет переходить в эллипсо-образную кривую, поэтому начнём рассмотрение второго изгибания с перехода окружности в эллипс.

Переход окружности в эллипс начинается с бесконечно малого смещения отдельной точки окружности вдоль радиуса. Данная точка будет вершиной этого эллипса, а удвоенное расстояние от центра окружности, точнее, теперь уже от центра эллипса, до нашей точки будет осью эллипса. Пусть наша точка удаляется от центра, тогда это будет большая ось эллипса, и в нашей точке, теперь вершине эллипса, лежащей на большой оси, величина радиуса кривизны по определению будет равна

b2

R = —, (23)

a

где a и b — половины длин большой и малой осей нашего эллипса. Чтобы при этом изменении длина окружности не менялась, диаметрально противоположная точка окружности должна приближаться к центру на бесконечно малую величину. Таким образом, две точки окружности, лежащие на одном диаметре, смещаются в одну сторону. При таком смещении окружность приобретает форму яйца. Так как при втором изгибании изменения происходят вдоль одной оси, поэтому b = const, а величина a будет меняться.

Учитывая это, найдём дифференциал от левой и правой частей формулы (23), получаем

dR = - -b— da . a2

Мы рассматриваем бесконечно малое смещение, поэтому a « b и, следовательно,

dR « -da. (24)

Теперь опишем только что рассмотренный нами случай с помощью формулы (22).

Для прямого круглого цилиндра величина R1 равна радиусу его направляющей окружности, который равен цилиндрической координате р (если в качестве криволинейных координат выбрать цилиндрические координаты), а R2 = да, поэтому, используя определение (13), получаем

2H = -L, R

отсюда формула (22) для главного радиуса R1 будет такой

SR1 =y = Sp. (25)

Сравнивая (24) и (25), следует учесть, что главный радиус кривизны поверхности может быть как положительной, так и отрицательной величиной [2]. Главный радиус будет положительной величиной, если для него выполняется условие: нормаль к кривой, с помощью которой определяется этот радиус, направлена в ту же сторону, что и нормаль к поверхности. В рассматриваемом нами случае R1 < 0, так как нормаль к определяющей его кривой направлена к центру окружности (эллипса), лежащему на оси столба, т. е. в противоположную сторону относительно внешней нормали к поверхности столба. Поэтому, используя знак модуля, формулу (25) можно переписать так

5\Щ = -8р,

это равенство полностью совпадает с (24), где R — тоже модуль радиуса кривизны. Что и требовалось доказать.

Запишем уравнение Эленбааса-Геллера, используя криволинейные координаты

- 2Hq = оЕ2. (26)

V о ww

В области теплопроводности, где о = 0 , криволинейная координата w меняется от значения на поверхности столба w0 до значения на границе области теплопроводности с областью, например конвекции wC , уравнение (26) будет выглядеть так

- 2Щ = 0. (27)

V о ww

Левая часть уравнения (27) остаётся неизменной (равной нулю), хотя криволинейная координата w меняется в пределах w0 < w < wC . Таким образом, левая часть уравнения (27) не зависит от w .

Дифференцируя её по w и приравнивая результат нулю, рассмотрим его при w = w0, т. е. на поверхности столба. Будем считать, что столб находится в состоянии, которое можно изобразить некоторой точкой на его ВАХ. Но в таком состоянии с поверхностью столба могут происходить изменения, являющиеся изгибаниями. Мы доказали, что при изгибании поверхности столба главные радиусы кривизны поверхности будут меняться по закону (22), следующему из уравнения (14), которое в криволинейных координатах совпадает с уравнением (27). Поэтому для главных радиусов кривизны поверхности можно записать такие же уравнения

1 8R,

* - 2HRk = 0, k =1, 2. (28)

8ч1

Уравнение (27), рассмотренное при w = w0, и уравнения (28) позволяют в указанном выше результате дифференцирования уравнения (27) по w , который рассматриваем при w = w0, производ-11

ные от q и 2Н =--1--по w заменить на сами эти величины. Что приводит после сокращения к

равенству

( , „ Л

8

8q

= 0. (29)

/g 8w 8w

Это и есть условие на поверхности положительного столба, где w = w0. Условие означает, что поверхность столба ведёт себя как несжимаемая и нерастяжимая плёнка.

5. ВОЛЬТ-АМПЕРНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СТОЛБА

Условие (29) мы получили, рассматривая изгибания поверхности положительного столба, имеющего произвольные параметры. При таких параметрах положительный столб будет находится в состоянии, которое можно изобразить произвольной точкой на его ВАХ. Поэтому условие (29) должно выполняться в каждой точке ВАХ столба.

Рассмотрим теперь изменения поверхности столба, которые не являются изгибаниями. К таким изменениям приводят изменения состояния столба, соответствующие переходу между двумя

бесконечно близкими точками его ВАХ. При таких изменениях расстояние между любыми двумя соседними точками поверхности столба уже нельзя считать неизменными. При этом будет меняться и баланс энергии в тонком поверхностном слое. Учесть все эти изменения позволяет уравнение Элен-бааса-Геллера.

Найдём производную по г от левой и правой частей уравнения (26) и рассмотрим результат при г = w0. При переходе вдоль ВАХ изменения, происходящие с поверхностью столба уже не являются

изгибаниями, поэтому здесь формулы (28) будут неприменимы. Но так как в результате этого перехода вдоль ВАХ положительный столб переходит в состояние, которое соответствует бесконечно близкой точке относительно исходной и эта вторая точка так же принадлежит ВАХ, следовательно, в ней, как и в любой другой точке ВАХ, должно выполняться условие (29). Применяя к результату дифференцирования уравнения (26) условие (29), формулу (27), учитывая, что проводимость - сложная функция <у\Г(г)] и, используя формулу (5), записанную в криволинейных координатах:

» = —Г-7Г • (30)

\ о гг

получаем после сокращения ц следующее уравнение:

1 +(2Я ) = — (31)

A/g ôw Л dT

V о ww

Это и есть второе уравнение. Оно связывает два параметра положительного столба дугового разряда: модуль вектора напряжённости электрического поля E = |e| и корень квадратный из детерминанта метрического тензора поверхности столба -Je , который входит в это уравнение через формулу (15).

Теперь можно найти ВАХ столба. Для этого перепишем (30) в следующем виде:

qJgZ = .

ôw

Найдем интеграл по w вдоль координатной линии w от w0 до wC от правой и левой частей этого выражения. Вдоль координатной линии w температура газа будет являться функцией только от одной криволинейной координаты w , поэтому справа под интегралом мы получим ЛТ, отсюда

wC __TC

{ qJgZdw = -\МТ, (32)

w0 Т0

где TC - температура на границе области теплопроводности и, например, области конвекции. Подставляя (15) в (27) и записывая полученное в левой части выражение в виде производной от q"JG по w , приходим к выводу, что ^VG в области от w0 до wC не зависит от w . Умножив и разделив на 4G подынтегральное выражение интеграла, стоящего в левой части равенства (32), и вынося q4G за знак интеграла, получаем

¡Щ^ = \МГ . (33)

Го чв тс

Найдём отсюда и подставим в уравнение (2), которое в криволинейных координатах будет

выглядеть так:

Ш = | q^fGdudv , (34)

а затем в полученное выражение подставим значение , найденное в результате решения второго уравнения (31). Это и будет ВАХ неоднородного положительного столба дугового разряда. Мы не приводим её в окончательном виде, так как решение уравнения (31) требует отдельного рассмотрения. Заметим, что для данного решения нам потребуется связь между напряжением на столбе и напряжённостью электрического поля, которую можно найти, интегрируя вдоль поверхности столба

Т.

w

левую и правую части формулы Е = — gradф . Следует ещё сказать, что граничные условия задаются на поверхности, разделяющей область теплопроводности и область конвекции. Это позволяет учесть влияние конвекции через граничные условия, исключив её из непосредственного рассмотрения.

Чтобы наглядно показать, как работает изложенная теория и сравнить её результаты с экспериментом, найдём ВАХ однородного цилиндрически симметричного столба дугового разряда, горящего в узкой трубке. Для такого разряда имеем Я1 = —р, а Я2 = да, поэтому

2 Н = —

1 Р

(35)

где р есть цилиндрическая координата, в качестве криволинейных координат мы взяли цилиндрические координаты. Подставляя (35) в уравнение (31) и учитывая, что вдоль координатной оси р

имеем dр = ^gww dw, получаем после дифференцирования

А = 1 < 2

р2 X dT '

Отсюда находим р . Так как р есть ни что иное, как радиус поверхности однородного цилиндрически симметричного столба, обозначим его р0. Таким образом, получаем

1

ро =ТТ

Е0

2Х(То)

^(Тоо)

(36)

dT

где Е0 = Е0 есть модуль вектора напряжённости однородного электрического поля. Формула

(36) и есть решение второго уравнения (31), так как для однородного цилиндрически симметричного

положительного столба у[0 = р0.

Подставим (36) в (33), затем (33) в (34), получим ВАХ однородного цилиндрически симметричного столба единичной длины, горящего в узкой трубке:

I Е 1 0^0

1п

рсЕ0

1 da(Tо)

2Х(Т0) dT

2п\МТ,

(37)

где 10 - ток дугового разряда; рс - внутренний радиус трубки; Тс = Т(рс ) - температура на внутренней поверхности трубки. Функции <г(Т) и Х(Т) считаются заданными. Так как проводимость — известная функция, значит, температура Т0 тоже известная величина.

Температура на поверхности однородного цилиндрически симметричного столба Т0 = Т (р0)

определяется из условия <(Т0) = 0 .

Для однородного цилиндрически симметричного столба дугового разряда, горящего в узкой трубке, можно ввести безразмерные параметры:

( Т0 V'

Х = рсЕ0

1 da(Tо)

2Х(Т0) dT

У = ■

А

рс

2Л00)

<Т0)

2ж\МТ

dT

Используя их, формулу (37) можно переписать так

ух ■ 1пх = 1. (38)

На рис.1 показан график ВАХ однородного цилиндрически симметричного положительного столба дугового разряда, горящего в узкой трубке (38).

6. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ТЕОРЕТИЧЕСКИХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Из двух уравнений, используемых для вывода ВАХ столба, проверке следует подвергнуть второе уравнение, так как первое уравнение - это закон сохранения энергии, записанный для столба. Перепишем второе уравнение в следующем виде:

с

с

Ро Ео =

2Л(Т0)

V (39)

dT

При неизменных условиях разряда, т. е. когда не меняются давление и состав газа, температура Т0

будет неизменной. Это означает, что при неизменных условиях разряда правая часть формулы (39), а с ней и левая часть, будут постоянными.

Проверим это, воспользовавшись экспериментальной работой [3], в которой дуговой разряд зажигался в проточной камере между вертикально расположенными электродами. В этой работе [3, рис. 4] приводятся радиальные распределения плотности тока в столбе дуги, полученные экспериментально. По этим распределениям можно оценить значения Р0 при которых плотность тока обращается в ноль у(р0) = 0 . Так, для значений тока дугового разряда: 4А, 10А, 40А и 200А получаем следующие значения для радиуса поверхности положительного столба дугового разряда р0: 1,5 • 10 3 м, 2,6 • 10"3 м, 4,0 • 103 м и 6,7 • 103 м, соответственно.

На рис. 2 приводятся значения величины р0Е0, найденные экспериментально [3]. Из рисунка видно, что для первых трёх значений силы тока величину Р0 Е0 можно считать постоянной. Ведь среднее значение величины р0 Е0, посчитанное для первых трёх значений силы тока, равно р0Е0) = 2,44В. А максимальное отклонение величины р0Е0 от среднего значения равно 0,19В. Это составляет 7,7% от среднего значения, что меньше погрешности эксперимента, которую авторы определили равной 10-15%. При силе тока, равной 200А, величина р0 Е0 превышает среднее значение почти в два раза и, естественно, её уже нельзя считать постоянной и определять по формуле (39).

Мы определили величину р0Е0 экспериментально. Теперь определим её, воспользовавшись результатами предлагаемой теории. Для этого нам следует найти величину выражения, стоящего в правой части формулы (39). В работе [3] дуговой разряд горел в смеси аргона (94%) и водорода (5%). На рис. 3 показана проводимость аргоновой плазмы при атмосферном давлении [4]. На рис. 3 размерность величин оставлена такой же, как у первоисточника. Из зависимости, приведённой на рисунке, можно оценить температуру на поверхности столба дугового разряда в аргоне величиной Т0 < 6150К. Для водорода Т0 < 7240К [4]. Малый процент водорода и большая по сравнению с

аргоном величина Т0 позволяют оценить величину производной от электропроводности газа по температуре на поверхности столба, горящего в смеси аргона и водорода, по электропроводности чистого аргона:

dn■(T) Ап- ,

= 0,08(Ом • м • К)"1.

dT АТ

Теплопроводность смеси аргона и водорода при температуре Т0 < 6150^ оценим по теплопро-

водностям чистого аргона и чистого водорода [4] по формуле

Л(Т0) = 0,949 • ЛАг + 0,051 • Лн2 - 0,27 Вт/(м • К) .

Отсюда находим

2Л(70) - 2,60В.

. dT

Данная величина отличается от среднего значения, равного 2,44 В на 0,16 В. Это составляет 6,6%, что меньше погрешности эксперимента. Таким образом, мы доказали, что для однородного цилиндрически симметричного столба произведение р0Е0 является постоянной величиной, а её экспериментальное значение хорошо согласуется со значением, полученным с использованием предлагаемой теории. Изложенное позволяет утверждать, что второе уравнение (36) имеет экспериментальное подтверждение.

х 5

4

2 1 0

0 1

у

Р0Е

5 ■

4

3

—I-14 1

4

20

I, А

Рис.1. Вольт-амперная характеристика однородного Рис.2. Экспериментальные значения величины

цилиндрически симметричного положительного столба р0Е0 в зависимости от тока дугового разряда [3]. дугового разряда единичной длины, горящего в узкой

трубке, формула (38) Прямая - среднее значение, найденное

для первых трёх точек

3

1

о,(Ом см)-1

Рис. 3. Электропроводность аргона при атмосферном давлении [4]. Квадраты на графике - экспериментальные точки. Кривая построена по экспериментальным точкам. Прямые - вспомогательные линии

При силе тока 200А положительный столб неоднороден, поэтому формулу (36) нельзя использовать для теоретического описания этой точки. Для её описания нужно использовать решение уравнения (31) для неоднородного столба. Но, как уже было сказано выше, решение уравнения (31) для неоднородного столба требует отдельного рассмотрения. К тому же в работе [3] отсутствуют данные о форме поверхности столба, без которых невозможно проверить уравнение (31).

ВЫВОДЫ

Изложены основы теории положительного столба дугового разряда как проводящей среды, через которую протекает стационарный ток. Как и положено для основ теории, автором рассмотрены только главные механизмы, определяющие потери энергии из положительного столба - это теплопроводность газа и геометрия поверхности столба. Дальнейшее развитие теории может происходить, например, при учёте излучения из столба.

Центральным моментом построения теории является вывод ВАХ неоднородного положительного столба. В основе этого вывода, а значит и теории, лежит реальная физическая закономерность, которая имеет не только теоретическое доказательство, но теперь и экспериментальное. Построенная с её помощью теория открыла ряд новых закономерностей присущих дуговому разряду. Например, автором найдено условие на поверхности положительного столба дугового разряда, которое позволило получить уравнение, связывающее основные параметры разряда. Это уравнение прошло экспериментальную проверку для случая, когда положительный столб дугового разряда является однородным цилиндрически симметричным. Именно данное уравнение позволило впервые решить задачу по отысканию ВАХ положительного столба в общем виде и впервые учесть влияние геометрии поверхности положительного столба на потери из столба. Отсутствие этого уравнения заставляло исследователей, решавших данную задачу, вводить самые разные условия, соотношения и даже принципы, не имеющие такой серьёзной доказательной базы и такой общности, как известная в электродинамике закономерность, применённая в данной статье.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред // Теоретическая физика. -Т. VIII. - М. : Физматлит, 2001. - С. 140.

2. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. - М. : ГИТТЛ, 1956. - 246 с.

3. Китаева В. Ф., Колесников В. Н., Обухов-Денисов В. В., Соболев Н. Н. Структура столба дугового разряда в аргоне. I. Локальные электрические характеристики столоба // Журнал технической физики. - 1962. - Т. XXXII. Вып. 9. - С. 1084-1089.

4. Физика и техника низкотемпературной плазмы / под ред. С. В. Дресвина. - М. : Атомиздат, 1972. - С.34. С.220.

Парфёнов Анатолий Вениаминович, ведущий электронщик кафедры «Металлорежущие станки и инструменты» УлГТУ.

Поступила 22.04.2015 г.