Двумерное уравнение плазмы и слоя для положительного столба газового разряда Текст научной статьи по специальности «Физика»

РАДИОФИЗИКА

УДК 537.52

ДВУМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЛАЗМЫ И СЛОЯ ДЛЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО СТОЛБА ГАЗОВОГО РАЗРЯДА

С. А. Двинин, А. А. Кузовников

(кафедра физической электроники) E-mail: dvinin@ph-elec.phys.msu.su

Получено уравнение плазмы и слоя пространственного заряда, обобщающее уравнение Ленгмюра-Тонкса на двумерно неоднородную плазму. Данное уравнение может быть основой для расчета пространственных характеристик плазмы положительного столба в режиме свободного пробега ионов при произвольной форме границы положительного столба разряда. Приведенные результаты интересны для расчета процессов в ионных источниках и плазменных химических реакторах низкого давления.

Положительный столб газового разряда в режиме свободного пробега ионов впервые рассмотрен Ленг-мюром и Тонксом в 1929 г. ([1]; см. также обзор [2]). Решение полученного ими уравнения плазмы и слоя позволяет рассчитать пространственные распределения электростатического потенциала и плотности заряженных частиц, а также время жизни последних, если плазма одномерно неоднородна. В то же время рабочие камеры плазменных реакторов или ионных источников обычно имеют цилиндрическую (или более сложную) форму, причем радиус и высота камеры близки по величине, поэтому условие одномерной неоднородности не выполняется.

В настоящей работе мы получим одну из простейших форм уравнения плазмы и слоя, описывающую двумерно неоднородный плазменный столб в режиме свободного побега ионов. Поскольку мы не рассматриваем механизмы передачи энергии электронам, полученные результаты могут быть применены как к разряду постоянного тока, так и к ВЧ- и СВЧ-раз-рядам низкого давления.

1. Исходные предположения и общий вид уравнения плазмы и слоя

Рассмотрим положительный столб газового разряда, находящийся в области пространства, ограниченной поверхностью . Исходные предположения модели положительного столба такие же, как и в одномерной модели.

1. Положительный столб состоит из нейтральных частиц, электронов и ионов одного сорта.

2. Распределение электронов по энергиям соответствует распределению Максвелла с температурой Те, не зависящей от координат. Электроны находятся в равновесии с электростатическим полем.

3. Механизм ионизации - прямая ионизация нейтральных частиц электронным ударом из основного состояния, рекомбинации — рекомбинация на стенке, которая расположена на заданной поверхно-

сти Q. В силу предположения 2 частота ионизации, которую мы будем обозначать щ, не зависит от координат.

4. Ионы при ионизации рождаются с нулевой энергией и достигают стенок в режиме свободного пробега.

5. Мы предположим также, что существует точка, где электростатический потенциал максимален, а распределение потенциала вдоль траектории каждого отдельного иона монотонно. Выполнение последнего условия должно быть проверено после проведения решения.

Повторяя вычисления Ленгмюра и Тонкса, будем исходить из уравнения Пуассона

Aip = ^4же(п — пе). (1)

Здесь и далее <р — амбиполярный потенциал, пе, п — плотности электронов и ионов, е >0 — элементарный электрический заряд. Так как электроны находятся в равновесии с электрическим полем,

пе = щехр(е(р/кТе), (2)

где по — плотность электронов в центре положительного столба, к — постоянная Больцмана.

Для замыкания системы уравнений (1)-(2) необходимо рассчитать плотность ионов в точке г. Для решения этой задачи будем исходить из балансовых соотношений, аналогичных используемым в [1-3] при решении одномерных задач. Пусть гs(t) — координаты точки рождения иона, который в момент времени t после рождения попадает в точку наблюдения го*^. Множество всех точек г$(t) представляет собой параметрически заданную кривую. В симметричной системе кривая гs(t) начинается в начале координат (где потенциал максимален, t = оо) и заканчивается в точке наблюдения (t = 0).

*•' В дальнейшем все величины, относящиеся к точке рождения иона, будем отмечать индексом S, а к точке наблюдения — индексом 0.

Траектория иона l(t, ti), рожденного в точке г${i) в момент времени t\ = t, проходит через точку Го. Таким образом, кривая г${t) и траектория иона имеют две общие точки (рис. 1). В окрестности кривых гs(t) и l(t, ti) введем систему координат (u,v,w) с базисными векторами (eu,ev,ew)*K такую, чтобы выполнялись условия (те„) и (i?e„) ф 0, где т = drs/dt, г) = dl/dti — касательные векторы к кривым гs(t) и l(t, ti). В этом случае координату и можно будет использовать для параметрического задания обеих кривых, которые мы будем обозначать rs(u) И l(«s,«)**).

rs(t)

Рис. 1. Взаимное расположение траекторий ионов I и множества начальных точек траекторий г s, попадающих в точку наблюдения го

Рассмотрим поток ионов, рожденных в окрестности (Aus, Avs, Aws) точки гs(u), протекающий через окрестность точки наблюдения (Avq, Awq)***'1 в единицу времени. Число ионов в потоке AN = An(V(us,us)[eUQ x evo])AvQAwo, где An — плотность этих ионов в окрестности точки наблюдения. С другой стороны, AN = щпе(из)(еиз[еРз х х ews])AusAvsAws ■ Приравнивая оба выражения для А N, получим:

д , ч ne{us)vi{eus[evs X ewS])AusAvsAws S (V(«5,«5)[euo x ev0})Av0Aw0 Устремляя Aus, Avs, Aws к нулю, учитывая функциональную связь (Avq,Awq) и (Avs, Aws) и интегрируя по dus > получим:

п(и0) =

г S

d ne(us)vi(eus[evs x ewg]) ^ (V(us,u0)[eu0 x e„0])

x / d(v0,w0) \d(vs,ws)

(3)

*•' Если система координат задана зависимостью r(u,v,w), то е„ = дг/ди, et, = dr/dv, ew = dr/dw.

**-) В качестве координаты и, в частности, можно использовать любую из переменных t или 11.

«о, ио + Аио и iuo + Aiuo представляют собой координаты точки в окрестности точки наблюдения «о, через которые проходит траектория ионов, рожденных в точке (ms,i;s + Ads,ius + Aius), т.е. являются функциями (us, Ans, Aws) ■

Скорость в точке наблюдения «о иона, рожденного в точке — V(«5,«о)> и функциональная связь координат (д(уо,юо)/д(уз,шз)), а также кривая интегрирования г5(^5) должны быть найдены из уравнений движения ионов в потенциале Подставляя (2) и (3) в уравнение Пуассона (1), а также опуская индекс 0 у величин, относящихся к точке наблюдения, получим многомерное уравнение плазмы и слоя:

Aip = 4тгще l^exp

еф) кТР_

Л Л ^ (eusfe^s x ews]) / d(vQ,wQ) V J S(V(«s,«o)[euo x e„0]) \d(vs,ws) J

Г S

x exp

kTe J

Введем безразмерный потенциал г] = е^р/кТе, и обозначения Г£>е = ^/кТе/Аже2щ, Т^ = у/кТе/М, М — масса ионов, при этом искомое уравнение упростится:

г2ПеАг] = ех р(?7(г))-

- V [Х ^^ (^ь^у1 х 7 8 (У(ив, щ)[^и0 х е„о])

гя

х ехр(?7(«5)). (4)

Результат Ленгмюра и Тонкса может быть легко получен из (4) при учете функциональной связи А у = {х/х$)ц'Ау$, прямолинейности кривых и ¿1) и введении прямоугольной системы координат в их окрестности (рис. 2, а, б). Здесь ¡л = 0 для плоской геометрии, ¡л = 1 для цилиндрической и ¡л = 2 для сферической. При этом из (4) следует, что

г2ВеАг) = ех р(??(г))

L

Vi

dus

V2VS J x» y/r)(us) - r](u)

exp(?7 (us))-

(5)

В отличие от одномерной задачи, где получаемое уравнение является математически точным (в рамках сделанных приближений (1)-(5)) при записи двумерного уравнения на определенном этапе приходится использовать теорию возмущений. По существу необходимо указать явный вид кривой гз(и) и траекторий ионов. Положение точки на траектории будет функционалом от потенциала, т.е. будет зависеть от всех производных потенциала в окрестности кривой. В простейшей модели при построении приближенного решения будем учитывать производные низшего порядка, используя в качестве малого параметра отношение длины траектории к ее радиусу кривизны. Направление движения иона зависит от отношения Еу/Ех. Кривизна появляется тогда, когда это отношение начинает зависеть от координаты. Следует отметить, что кривизна как

а 0

• г X г.

О <-►

О +ло

О 1 до

Рис. 2. Взаимное положение соседних траекторий ионов: (а) — плоская геометрия, (б) — цилиндрическая геометрия,

(в) — произвольная геометрия

а.+де

таковая влияет только на форму траектории ионов. Ионизационный баланс, а следовательно, и распределение потенциала вдоль траектории зависит от скорости разбегания соседних траекторий, определяемой пространственным распределением потенциала. Таким образом, параметром малости будет вели-

чина /х = (^Ь^Ы^) , где Ь

Ех }

длина траектории.

Само выражение для малого параметра свидетельствует о сложном виде приближений даже низших порядков. Поскольку возможны различные варианты построения теории возмущений, могут существовать и разные формы уравнения плазмы и слоя.

Граничные условия на поверхности для уравнения (5) могут быть сформулированы следующим образом*). Для положительного столба (ПС), ограниченного диэлектриком, граничное условие имеет смысл локального равенства электронного и ионного токов [1-4] в каждой точке д граничной поверхности. Для расчета электронного тока на стенку можно использовать уравнение стандартной теории тока для зонда [8] (А — константа порядка единицы, зависящая, например, от вида функции распределения электронов по энергиям, т — масса электрона):

С(д) = ^А\(ещ[ещ х ешд])|у^^ехр(?7(г)) -

^^ !(^[е^ х еш5])ехр(?7(и5))х гя

*•' Точки, относящиеся к граничной поверхности, будут отмечаться индексом ц.

х ( 9(Уд,У>д)

= 0.

(6)

г=д

В случае проводящей границы условие равенства токов должно быть поставлено для поверхности в целом:

0(д) йд = 0.

(7)

Я

Наконец, в квазинейтральном приближении (где <С <С Ь), не рассматривающем процессы в слое пространственного заряда, когда в (7) полагают Г£>е = 0, граничное условие имеет смысл нарушения взаимно однозначной связи преобразования координат [5]:

9(х,у,г)

= 0.

(8)

2. Приближенный вариант уравнения

плазмы и слоя

В этом разделе получим один из простейших вариантов уравнения плазмы и слоя, ограничившись двумерной задачей.

Упростим уравнение (4), введя цилиндрическую систему координат (рис. 2, в). Здесь и — параметрически заданная координата на кривой г$(и), го, во — координаты точки наблюдения, гз(и,га,9а), Оз(и,го,во) — координаты точки на кривой г$(и), в которой рождается ион, У(и, ?*о,0о) скорость иона, рожденного в этой точке, при достижении им точки наблюдения, 0у — угол, определяющий направление скорости. При расчете траектории иона будем использовать также прямоугольную декартову

систему координат ху, ось х которой направлена вдоль радиуса (рис. 2, в).

В простейшей модели, которая будет описана ниже, движение иона вдоль оси х будет описываться таким образом, как будто движения вдоль оси у нет. Кроме того, мы ограничимся первым порядком по теории возмущений. Тогда г](г3,вз) = г](г3,во) - ^Ау + ..., где (-Ау) -у-координата точки (г$,вз) в системе координат ху (рис. 1),

('drj

1 - + • • •

vr = V(u, и0) cos(ev(u0, Г0, во) - во) = = Vsy/2(r)(rs,6o)-ri(ro,6o))-

(9)

Для расчета А у воспользуемся уравнением Ньютона для ионов. Считая, что

ду ' ду2° • 2дуза • " (10)

где все производные вычисляются на луче в = во = = const и являются функциями ОТ Г И во , получим: t

V(rs,es,r) = -Vg J dt'^ =

о

= -Vs

dr'

rs

drj

Г о

y(rs, г) =J у dt' -ys =

0

dr'

2\/r](rs,e o)-r](r', i

dr" drj

rs

(и)

Из сравнения траекторий ионов, родившихся в двух соседних точках во и во + Ав, следует (см. рис. 2, в):

г о

г I dr'

Ау(г3,во,г) = —Ауо+ / —======

dr"

д2г]

rs

Ау(г3,в0,г"). (12)

Соотношение (12) представляет собой интегральное уравнение относительно Ау. Из (15) в пределе А у —> 0 следует уравнение для скорости разбега-ния траекторий

го

dy(rs,вo,r) г [ ¿г'

(13)

rs

dyo го J 2^г](г3,во)^г](г',вс

г

dr" д2г\ dy(rs,eo,r")

Vv(rs,eo)^v(r",eo) ду2 dyo

Здесь первое слагаемое учитывает поворот системы координат при изменении угла во- Принимая во внимание связь координат ж, у и г, в, получим, решая (13) методом теории возмущений:

dys (rs

г о

dr'

dyo \ro J 2Jr](rs,e0) -ri(r'

rs

dr"

d2v

rs

y/v(rs,e0)-v(r",eQ) П'годв2

Полученное соотношение при использовании формулы (9) позволяет рассчитать плотность ионов в точке наблюдения (3):

г о

drs

п = * / еФз,во)Л х_

V2VS J rQ ^/г](г3,во)-г](го,

Го

. 1 . dr

X 1+ / ---X

rs

2\/v(rS,e0) — r](r',

dr'1

rs

f drj drj д2г\

VvirsM-vi^o^ V^ ^дв + V^ae2

а уравнение плазмы и слоя имеет вид (мы опустили индекс 0 для точки наблюдения)

ехр(-т/(г))г|,еДт/ = 1 - -д^- J е^'^М) II х

о

drs

dr"

dr'

rs

2^3,6) ^ф', в)

rs

f drj drj д2г\

Vv(rs,e)-1A^W) \rsde ^дв + T^dff2

(14)

Если азимутальные производные равны нулю, то из (14) следует результат Тонкса и Ленгмюра (5) [1]. Дополнительные слагаемые описывают азимутальное выравнивание потенциала и рост плотности ионов за счет азимутального дрейфа (ионы приходят из области более высокой плотности электронов), причем оба эффекта оказываются нелокальными, так как зависят от свойств потенциала во всех точках, в которых побывал ион. Частота ионизации является собственным значением уравнения (14). На тех траекториях, где расстояние до границы Я(во) минимально, азимутальное поле уменьшает, а вблизи максимума Я(во), напротив, увеличивает разбегание траекторий, благодаря чему на каждой из траекторий выполняется условие баланса частиц при одном и том же значении частоты ионизации. Способы решения уравнений типа (14) будут рассмотрены в последующих работах.

Выводы

В работе проведен вывод интегро-дифференци-ального уравнения, описывающего распределение потенциала в двумерно неоднородной плазме, аналогичного уравнению плазмы и слоя Ленгмюра и Тонк-са для цилиндрического положительного столба газового разряда. В отличие от одномерной задачи полученное уравнение оказывается приближенным, причем в качестве малого параметра используется отношение характерного размера плазменного столба к радиусу кривизны траектории иона. Приведенные в статье результаты интересны для анализа процессов в плазменных химических реакторах низкого давления.

Литература

1. Langmuir /., Tonks L. 11 Phys. Rev. 1929. 34. P. 876.

2. Грановский В.Л. Электрический ток в газе. Установившийся ток. М., 1971. С. 235-291.

3. Двинин С.А., Довженко В.А., Кузовников A.A. // Физика плазмы. 1999. 25, №11. С. 957.

4. Двинин С.А., Довженко В.А., Кузовников A.A. // Физика плазмы. 2000. 26, №2. С. 179.

5. Берлин Е.В., Двинин СЛ., Михеев В.В. и др. // Вести. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2004. №3. С. 43.

6. Каган Ю.М., Перель В.И. // УФН. 1963. 81, № 3. С. 409.

Поступила в редакцию 19.07.04