Каналовая модель продольно обдуваемой дуги постоянного тока Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.9:537.52

КАНАЛОВАЯ МОДЕЛЬ ПРОДОЛЬНО ОБДУВАЕМОЙ ДУГИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

А.В. ГЕРАСИМОВ, А.П. КИРПИЧНИКОВ, Л.А. РАЧЕВСКИЙ Казанский государственный технологический университет

В рамках каналовой модели дуги постоянного тока построена математическая модель, позволяющая однозначно описать зависимость основных характеристик дугового разряда в спутном потоке плазмообразующего газа от величины расхода газа, продуваемого через плазмотрон.

1. Специалистам в области физики и техники низкотемпературной плазмы хорошо известен парадокс фон Энгеля-Штеенбека [1, 2], заключающийся в том, что, чем больше мы отбираем тепла из дугового разряда (например путем его обдува холодным газом), то есть чем больше мы его охлаждаем, чтобы загасить, тем он, наоборот, становится горячее, но тоньше. Очевидно, дело здесь заключается в том, что увеличение отбора тепла из дуги приводит, в свою очередь, к увеличению эффективности механизма перекачки энергии, отбираемой дуговым разрядом у источника напряжения и рассеиваемой затем в окружающее пространство при его охлаждении потоком холодного газа. При этом возрастает скорость перекачки потока тепла Т

0 = |ЦТ )(1Т О

через границу электропроводящего канала в соответствии с соотношением [3]

й0

йг

W

(1)

2пгк

В этих соотношениях: Т - температура в разряде; 1 - коэффициент теплопроводности; гк - радиус токопроводящего канала; W - вкладываемая в разряд мощность на единицу его длины. Знак минус при этом означает, что поток тепла направлен в сторону возрастания радиальной координаты г.

Прямое численное моделирование процессов нагрева потоков газа, продуваемого через дуговой разряд, исключительно трудоёмкая проблема. Желание построить адекватную математическую модель упомянутых процессов приводит к необходимости численного решения уравнений магнитной гидродинамики, что, в свою очередь, ставит ряд дополнительных вопросов, связанных с нелинейностью системы, её замыканием, выбором конечноразностной схемы, граничных условий и так далее. К сожалению, пока не существует универсальных рекомендаций по разрешению данного круга вопросов. В многочисленных публикациях (например [4-6]) рассмотрены лишь различные частные случаи - способы решения этой проблемы.

Наиболее удачными среди них следует, по-видимому, считать те исследования, в которых с наименьшими математическими затратами (простота

© А. В. Герасимов, А. П. Кирпичников, Л.А. Рачевский Проблемы энергетики, 2004, № 9-10

г

к

модели и программной реализации) удалось адекватно описать данный процесс. Актуальность такого рода работ очевидна, поскольку они дают специалистам по энергетике и технологии инструмент для поиска оптимальных режимов эксплуатации соответствующих энергоустановок.

2. Парадокс фон Энгеля - Штеенбека можно достаточно адекватно описать с помощью каналовой модели дугового разряда следующим образом.

В интересующем нас случае газ, движущийся вдоль оси плазмотрона, обтекает дугу и поэтому представляется целесообразным рассматривать столб дуги (в нашем случае - токопроводящий канал с проводимостью с0) как неподвижный цилиндр с равномерно распределенными по оси и радиусу источниками тепла. Радиус токопроводящего канала гк определяется тогда из условий сшивания тепловых потоков и температур на границе проводящей и нецроводящей областей дугового разряда. Задача в данном случае ставится следующим образом.

Радиальный тепловой поток нагревает газ, движущийся со средней скоростью и в непроводящей области разряда. Газ охлаждается как из-за конвективного выноса тепла, так и путем обычной кондуктивной теплопроводности. Конвективный вынос тепла (в единицу времени), осуществляемый вдоль оси трубы, усреднённо можно описать слагаемым

и (Т - Твдува ) т

р Ср и----------------------------------^-» гДе Р - плотность газа; Твдува - температура вдуваемого через

торцевую часть разряда “холодного” плазмообразующего газа; Ср - теплоемкость;

Ь - длина дуги. Таким образом, уравнение переноса тепла для непроводящей зоны в обычных обозначениях примет вид

Здесь R - радиус ограничивающей разряд цилиндрического канала, поддерживаемого при некоторой постоянной, достаточно небольшой, температуре T (R) = const.

В силу линеаризации по осевой координате полагаем T = T(r).

В понятия “канал”, “граница канала” вкладываем тот же смысл, что и в работе [3], поэтому справедливо соотношение между температурой на оси Tq, и вкладываемой в единицу длины столба мощностью W, полученное в цитируемой работе,

где II - потенциал ионизации; к - постоянная Больцмана. Температура на границе канала Тк » То, поток тепла через границу определяется формулой (1).

Полагая Я » ЦТ)) =сопз1, считая (в соответствии с приближением каналовой модели) все коэффициенты переноса приближённо равными их средним по длине разряда значениям, а также учитывая граничные условия, то есть условия сшивания тепловых потоков и температур, получаем следующую краевую задачу: © Проблемы энергетики, 2004, № 9-10

r dr ^ dr у

й^г + _ = 0.

'У т т ' вдува / и 9

йт2 т йт В2

Т (Я) = еопзі; Т (тк) = Го5 ^

Т

~йГ

2птк

Здесь В = і і4РЄ, Ре = р е„иЬ / ^ - число Пекле. Общее решение

приведенного дифференциального уравнения имеет вид [7]

, \

Т (т ) = Твдува + с110

( т>

чВу

+ с 2 К 01 В

(3)

где I о, и К о - соответственно модифицированные функции Бесселя первого и второго рода. Подстановка граничных условий (2) в общее решение (3) даёт трансцендентную систему уравнений относительно сі, С2 и т£ :

и

вдува с2 К01 в

С1 =-

( Я )

V В у

с 2

( Ял

V В у

В

V В У

= _(Т0 _ Твдува ) +

[Т(Я)_ Твдува ]101 В

ҐЯЛ

В

с2

К0 В111 V В У 1 ( Тк 1 VВ У + К1 ( Тк 1 VВ 10 ( Я" V В, 4£Т02 в

10(В) іі тк

[Т(Я)_ Твдува ] 11

'О

+

V В У

( Я) В

откуда сразу же следует трансцендентное уравнение для Т£

В

К0

( Ял В

В

В 1_ К 01 -В-

Я

В

К 01ВВ

V В У

+ к 1

V В

V В у

= _ іі

і Я

(Т0 _ Твдува ) 101 В + [Т(Я) _ Твдува ] 10

V В У

4Т101Я1 + Тк іі [Т(я) _ Твдува ] 11

V В у В

V В У

и формулы для сі и С2:

Т = Т

К

0

т

10І^

к

0

0

0

0

0

0

т

к

1

к

к

С1 =-

1 Т - Гвдува ) ^01 -§ I /оI Б 1 + [Т(я)-ГВдуВа ] ^01 Б

/ я |

чБ

к о

к о

^Ял

чВ,

В

;(5)

(Т0 Твдува ) /0

С 2 =■

К»;

[Т(я) Твдува ] /0

V В у

к0

/ 01 Я

В

- к 0

г ял

кВ,

(6)

Поскольку в реальных условиях, как правило, температура плазмообразующего газа, подаваемого в разрядную камеру, невелика и по порядку величины совпадает с температурой стенки, то есть приближённо можно считать Т(я)» Твдува, то соотношения (4)-(6) можно упростить и тогда мы

получим

С1

я

Т0 - Т(я)] к 0| Б

к 01 Б

/ 01 В

- к 0

[Т0 - Т(я)] /0

С2 =•

/ я |

кВ,

г Ял

кВ,

/ 01 В

\ ’

к0

Я

кВ,

- к 0

г [К л V в у

в

к0

г я |

кВ,

V в у

к0

V в у

я_

кВ,

к0

я I /1

В 1 1

V в у

+ к1

V в у

я

чБу

[(Т0 - Т(я)] /0

- /;

г я |

чВу

4кТ(2 / 0

'я"4

чБу

Если теперь, в свою очередь, пренебречь ещё и значением температуры стенки Т(я) по сравнению с температурой внутренней части разряда Т(гк )» Т0, то формулы (4)-(6) ещё более упростятся:

Т0 к0| Б

С1 » - -

я

в у

Т0 /01 -

С2

я

/0| Б

в

(7)

В

к 0

я

чВу

- к 01 Б

г * \ ’

ГК_

V В у

0

к

0

0

0

г

к

0

0

0

и

к

к

0

0

г

г

г

к

к

к

0

0

ГС

/

0

0

D

ко

f Rл D

IDJ

f Rі D

ко

'R і

DJ

То DR

4kT0

(9)

Формулы (4)-(9) в рамках приближения каналовой модели дают исчерпывающее решение поставленной выше задачи.

Как и следовало ожидать, в пределе и^0 (то есть В ^ да )это соотношение переходит в известное решение Штеенбека для безрасходного дугового разряда

W г Т (г)=Твдува + ^1п —.

3. Соотношения (7)-(9) обладают особенной физической прозрачностью и удобством для исследований и оценок. Так, например, с помощью известных

я

асимптотик [8] для функций /0, /1, к0, к 1 легко показать в случае — <<1, что

равносильно и~0 (то есть основной механизм отвода тепла — кондуктивный), справедливость формулы

гк = R • e

4kTo

(10)

которая, как и ожидалось, совпадает с классическим результатом каналовой модели [3].

Рассмотрим теперь случай, когда конвективный теплоотвод существен, то есть тот случай, когда Я/В>>1. Как известно [3], на практике почти іі

всегда

4kT0

<< 1. После исследования левой части трансцендентного уравнения

о

(9) как функции гк / В заключаем, что для выполнения этого неравенства, в свою очередь, должно быть выполнено условие гк / В << 1 и тогда, используя асимптотики для функций /0, /1, к0, к 1 при гк / В << 1 и я/В>>1 в упомянутом уравнении, мы получим

гк = D • e

4kTo

(ll)

Как видим, из формул для гк следует, что радиус токопроводящего канала уменьшается при обдуве в R/D раз (R/D>>1) от своего значения при U=0 (то есть без обдува). Этот результат хорошо согласуется с наблюдаемым в экспериментах эффектом уменьшения радиуса токопроводящего канала при увеличении скорости обдува [1, 2].

На рисунке представлены профили температур, рассчитанные по формулам (3) - (6) для характерных значений T(R) =400 К, Твдува = 500 К, Тканала = 12000 К

r

к

о

о

r

к

Т

Т

З8

и различных значениях числа Пекле. Радиус стенки Я = 1,5 см. Здесь же представлены результаты расчета профиля температуры по формуле Штеенбека. Расчеты проведены для плазмы аргона атмосферного давления при различных скоростях обдува. Значения величин р, Ср и к взяты из работ [9, 10].

г, м

Рис. 1. Распределение температур в непроводящей зоне электрической дуги при различных скоростях обдува:

.........и = 1 м/с ;...и = 2,5 м/с;......и = 5 м/с;

---- - и = 0 м/с (профиль Штеенбека)

Как видим, кривые, описывающие температурные поля в непроводящей зоне дугового разряда, при уменьшении скорости обдува стремятся решению Штеенбека, которое, таким образом, является асимптотическим пределом для семейства кривых, описываемых формулами (3)-(9).

Усредняя полученный температурный профиль по радиальной координате, можно получить также и среднюю температуру ТСр струи на выходе из дугового

плазмотрона. При этом результаты численного решения трансцендентных уравнений (4), (9) относительно гк подтверждают справедливость оценок (10), (11) для радиуса токопроводящего канала.

В целом анализ приведённых графиков позволяет сделать вывод о хорошем согласовании аналитических оценок с точными численными решениями,

вследствие чего можно рекомендовать данную методику для использования как в модельных, так, возможно, и в ряде и инженерных расчётов.

Результаты, полученные в данной работе, могут быть полезны достаточно широкому кругу специалистов в области физики и техники низкотемпературной плазмы, а также различного рода энергетических установок, работа которых основана на использовании принципа дугового постоянного тока.

Summary

Within the framework of canal model of a direct-current arc it derivation of mathematical model allowing uniquely to describe dependence of the basic performances of an arc discharge in a cocurrent flow of plasma-forming gas from size of a gas rate, blowing through the plasma generator.

Литература

1. Энгель А. и Штеенбек М. Физика и техника электрического разряда в газах. Т. 2. Свойства газовых разрядов. Техническое применение. - М.-Л.: Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР. Главная редакция общетехнической литературы и номографии, 1936.-384 с.

2. Грановский В. Л. Электрический ток в газе. Установившийся ток. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1971.-544 с.

3. Райзер Ю.П. Физика газового разряда. - М.: Наука, 1987.-592 с.

4. Теория электрической дуги в условиях вынужденного теплообмена. /Под ред. чл.-корр. АН СССР Жукова М. Ф. - Новосибирск: Наука, 1977.-312 с.

5. Математическое моделирование электрической дуги/Пед ред. В. С. Энгельшта. - Фрунзе: Илим, 1983.-363 с.

6. Теория термической электродуговой плазмы/Под ред. М. Ф. Жукова, А. С. Коротеева. -Новосибирск: Наука, 1987. - Ч. 1.-287 с.

7. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Наука, 1976.-589 с.

8. Справочник по специальным функциям / Под. ред. М. Абрамовица и И. Стиган. - М.: Наука, 1977.-832 с.

9. Физика и техника низкотемпературной плазмы. / Под ред С.В. Дресвина -М.: Атомиздат.1972.-352 с.

10. Свойства низкотемпературной плазмы и методы ее диагностики / Под ред. чл.-корр. АН СССР М. Ф. Жукова - Новосибирск: Наука, 1977.-296 с.

Поступила 22.06.2004