Теория метода игольчатого зонда для одновременного определения теплои температуропроводности различных сред Текст научной статьи по специальности «Нанотехнологии»

ТЕОРИЯ МЕТОДА ИГОЛЬЧАТОГО ЗОНДА

ДЛЯ ОДНОВРЕМЕННОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕПЛО-

И ТЕМПЕРАТУРОПРОВОДНОСТИ РАЗЛИЧНЫХ СРЕД

Ирина Игоревна Фадеева

ФГБУН Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. А. А. Трофимука СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Ак. Коптюга, 3, аспирант, тел. 8953-763-95-28, e-mail: [email protected]

Антон Альбертович Дучков

ФГБУН Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. А. А. Трофимука СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 3, зав. лаб., кандидат физикоматематических наук, тел. (383)335-64-56, e-mail: [email protected]

Андрей Леонидович Карчевский

Институт математики им. А. А. Соболева СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Ак. Коптюга, 4, старший научный сотрудник, кандидат физико-математических наук, тел. (3832)332-987, e-mail: [email protected]

В работе рассматриваются теоретические основы двух методов измерения теплофизических параметров среды: классический метод игольчатого зонда, основанный на использовании источника постоянной мощности, и метод игольчатого зонда с импульсным источником тепла. Работа направлена на развитие метода одновременного определения, в реальных условиях, тепло-, температуропроводности и объемной теплоемкости среды. Планируется проведение лабораторных экспериментов, направленных на обоснование описанных методов.

Ключевые слова: определение тепло- и температуропроводности, теплоемкости.

THEORY OF NEEDLE PROBE METHOD FOR SIMULTANEOUS DETERMINATION OF THERMAL CONDUCTIVITY AND DIFFUSIVITY OF VARIOUS MEDIA

Irina I. Fadeeva

Trofimuk Institute of Petroleum Geology and Geophysics SB RAS, 630090, Russia,

Novosibirsk, pr. ac. Koptyuga, 3, PhD student, tel. 8953-763-95-28, e-mail: [email protected]

Anton A. Duchkov

Trofimuk Institute of Petroleum Geology and Geophysics SB RAS, 630090, Russia,

Novosibirsk, pr. ac. Koptyuga, 3, Head of research laboratory, PhD (geophysics), tel. (383)335-64-56, e-mail: [email protected]

Andrey L. Karchevsky

Sobolev Institute of Mathematics SB RAS, 630090, Russia, Novosibirsk, pr. ac. Koptyuga, 4, senior researcher, PhD, tel. (3832)332-987, e-mail: [email protected]

The paper discusses the theoretical basis of the two methods for measuring thermal parameters of the medium: the classic method of needle probe based on using a constant power source, and the method of needle probe with a pulsed heat source. The work is focused on the development of a method for simultaneous determination of thermal conductivity, thermal diffusivity and heat

capacity of various media in real condition. To verify the described methods the laboratory experiments are being planned.

Key words: determination of thermal conductivity and thermal diffusivity, heat capacity.

Проблема эффективного определения теплофизических свойств труднодоступных сред часто встает перед исследователями, например, с этой проблемой часто сталкиваются при изучении донных осадков акваторий. Существуют разные методы, но, как правило, они направлены на определение одного из теплофизических параметров среды. Например, теоретически обоснованный и широко используемый на практике метод игольчатого (цилиндрического) зонда постоянной мощности, предложенный еще в 1959 году [Von Herzen, R. and Maxwell, 1959], позволяет определить теплопроводность исследуемой среды. При этом метод обладает рядом преимуществ, во-первых, он является абсолютным, не требует дополнительного использования эталонных образцов, во-вторых, для измерения теплопроводности этим методом не требуется какая-либо специальная подготовка образца (среды). Суть метода состоит в интерпретации термограммы зонда на больших временах, при постоянной мощности источника тепла внутри зонда.

Усложнение математической модели, учитывающее геометрические размеры этого зонда и его теплофизические свойства, а также описание изменения температуры игольчатого зонда на малых временах (начало прогрева среды зондом), позволяет, помимо теплопроводности, определять и температуропроводность среды [Waite, 2007; Blackwell, 1954].

Постановка прямой задачи: решается радиальное уравнение теплопроводности для безграничной среды [Blackwell, 1954], в которую

помещен тонкий цилиндрический источник (зонд радиуса r0), с граничными и начальными условиями:

1 атср (r, t)_ а % (r, о + 1 атср (r, t)

a dt dr2 r dr

cp

_я dip(r.t) =Q(t)_dm = _m

dr 2 wQ 2 wqL dt (1)

T

cp

= 0,Tcp ^ 0

t=0 p r^<x>

я —— = H-(t -T )

Acp dr H ^3 Tcp)

где Тз(ї), Тср(т,ґ) [£] - температура внутри зонда (экспериментальная термограмма), температура среды в момент времени ї [сек] на расстоянии г

[м] от центра зонда, аср [м2/сек], Лср [Вт/м/К] - температуро-,

0

r=r

0

теплопроводность среды, соответственно, Q [Вт/м] - мощность нагревателя,

Y = 0,5772 - Эйлеровская константа, Н [Вт/м /К] - параметр, описывающий тепловой контакт между зондом и средой (коэффициент теплообмена), c1 [Дж/К] - теплоемкость зонда, L [м] - длина зонда.

Метод 1. Решение данной задачи, при постоянной мощности нагревателя ( Q(t) = Q0), получено с помощью преобразования Лапласа. Его асимптотическое приближение на больших временах [Blackwell, 1954],

t >> r02/a;

T3 (t)« A-ln (B-t)+ C где

A = Qo/4^Cp

B = exp(-^)-4ac/ >

2

cp / ' 0

(3)

C = A- 2ЛсР/>0 H

После обезразмеривания видно, что коэффициенты В и С не являются независимыми:

Т3(£) * Л- 1п(£)+ в

где

Л = 0„/4жЛср (4)

D = Qoj4n,Icp • [ln(4acp л/7^/>о2) -Y + \pl>оH ]

£ = , - приведенное время, t0 - время окончания измерений. При

аппроксимации экспериментальной термограммы теорией (4), из константы А определяется теплопроводность среды, температуропроводность определяется из константы В\

КР = 0о!4яЛ

>о2 D 1яг Я, Л

acp = ТГТ 'exP

4 л го

+ у

V 2 A Г >0 H ,

(5)

и известного значения коэффициента теплообмена Н, который находится при аппроксимации начала прогрева среды зондом (начального участка

термограммы) решением на малых временах [Waite, 2007], t << r02 /a;

T (t) ~ z^t — ^ zZ'Zit

h = Q0

z2 (6)

Zi

Метод 2 игольчатого зонда с импульсным источником тепла основан на решении аналогичной прямой задачи (1) - (2) [Blackwell, 1954], с тем отличием, что теперь на нагреватель подается не постоянная мощность, а короткий (порядка 1 сек) тепловой импульс:

Q(t) =

Qo,° <t < to

. (7)

0, t > t0

Решается данная задача с помощью преобразования Лапласа:

да

Т(г, р) = | Т(г,t) • е р Ж, Где р = а + / • w - параметр преобразования Лапласа

0

(комплексная переменная). И решение выглядит следующим образом:

Т (г р) = _ *(р) . К у!р1аср • Я

ср (), Кл^Ор К1 (л/р/аср • г0,

с • р 1 ~ (8)

^(Р) = С-— • Т 3 (р) - ----°р)

2пг0ь 2яг0

да

Функция Тз(р) = | Тз()'е Р Ж - определяется из экспериментальной

0

да ^ I \

термограммы, функция ОкР) = | Q(t)'е Р Ж = | Qo •е р Ж = Qo|р • (1- е Ро) из

0 0

(5).

Дополнительное условие в прямой задаче (2), соответствует тому, что разность температур на границе зонд-среда пропорциональна потоку тепла через эту границу, при этом коэффициент пропорциональности, так называемый коэффициент теплообмена Н, при истинных значениях

параметров температуропроводности аср и теплопроводности Яср не зависит

от времени t, и, следовательно, от параметра преобразования Лапласар:

Н(р) = Т„(р)(-Т,(Р) = Г(Кр,"^р ,р) = С0Ш' (9)

Составляем функционал невязки, измеряющий степень отклонения коэффициента Н(р) от постоянной функции (от среднего арифметического

__________ 1 N

/(ЛСр, аср ) = ^ Е ?(Хср, аср, Рк )):

к=1

х-' I-------- 2

1(\р, аср ) = Е (Яср, аср ) - f (Хср, аср, Рк )| (10)

<

k

Таким образом, коэффициенты тепло- и температуропроводности среды можно определить при минимизации функционала невязки (10).

Планируется, с использованием описанных методов произвести оценку теплофизических параметров некоторых сред: парафин, соль, лед, влажный песок (влажность 100%).

Работа была частично финансирована в рамках интеграционного проекта СО РАН № 14, МИП СО РАН №19 и РФФИ № 12-05-31370-мол_а.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Blackwell, J.H., 1954. A transient-flow method for determination of thermal constants of insulating materials in bulk, J. app. Phys., 25(2), 137-144.

2. Von Herzen, R. and Maxwell A.E. The measurement of thermal conductivity of deep

sea sediments by a needle probe method // Journal of Geophysical Research - 1959. V. 64, No.10. -

P. 1557-1563.

3. W.F. Waite et al. Sumultaneous determination of thermal conductivity, thermal diffusivity and specific heat in si methane hydrate // Gephys. J. Int (2007) 169, 767-774.

© И. И. Фадеева, А. А. Дучков, А. Л. Карчевский, 2014