Теории «малых» и «больших» искривлений стержней в общем аналитическом представлении Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов европейского и американского типа. II. Непрерывное время // Теория вероятностей и ее применения. - 1994. - Т. 39. - № 1. - С. 80-129.

2. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. - М.: ГУ ВШЭ, 2001. - 260 с.

3. Скороход А.В., Гихман И.И. Введение в теорию случайных процессов. - М.: Наука, 1975.

4. Новиков А.А. Хеджирование опционов с заданной вероятностью // Теория вероятностей и ее применения. - 1998. - Т. 43.

- № 1. - С. 152-161.

Поступила 26.10.2006 г.

УДК 539.371

ТЕОРИИ «МАЛЫХ» И «БОЛЬШИХ» ИСКРИВЛЕНИЙ СТЕРЖНЕЙ В ОБЩЕМ АНАЛИТИЧЕСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ

А.В. Анфилофьев

Томский политехнический институт E-mail: zvm@tpu.ru

Анализируются теории «малых» и «больших» перемещений при изгибе стержней с оценкой и определением назначения их разделяющих допущений. Формируется общее математическое обеспечение на базе выражений кривизны линии в параметрической форме. Краевая задача определения геометрии искривления стержня представляется двумя задачами: «восстановление линии» по функции кривизны и начальным условиям, затем «спрямление линии» - определение длины дуги кривой по условиям на конце.

1. Введение

Механика деформируемых тел призвана устанавливать функциональные связи между параметрами, характеризующими их состояния, и внешними воздействиями. Её задачи сводятся, в основном, к установлению изменений геометрии тел.

Для большинства конструкций требование жесткости ограничивает величину изменений формы и размеров, образующих их элементов, и соответственно представлениям о «малом» и «большом» сформировано два подхода в определении геометрии деформирования. Различают короткие (жёсткие) стержни, у которых физический ресурс упругости материалов исчерпывается при «малых» изменениях форм и размеров, и длинные (гибкие), допускающие «большие» изменения в геометрии при том же ресурсе упругости.

Для определения «малых» изменений сформирован ряд «руководящих правил и принципов» (несущественное изменение формы, правило относительной жесткости, принцип неизменности начальных размеров), образующих понятийный аппарат теории «малых перемещений» или «малых деформаций», методы и приемы которой составляют основное содержание инженерного курса «Сопротивление материалов». В этой теории по виду функциональной связи между нагрузкой и «характерным перемещением» возникает деление систем на линейные и нелинейные, появляются и терминологические тонкости: слабо искривлённая ось стержней называется упругой линией или упругой кривой, «точная форма упругой оси» называется эластикой [1].

Подход к задаче определения геометрии деформирования систем с длинными (гибкими) стержнями характерен убеждением, что к решению её «нельзя применить обычную теорию сопротивления материалов. Необходимо построить совершенно иную прикладную теорию изгиба, справедливую для сколь угодно больших упругих перемещений и коренным образом отличающуюся от обычной теории, начиная с основных положений и понятий» [2].

Основные уравнения механики деформируемых тел любой формы «давно сведены к определяющим уравнениям» [3] и к настоящему времени «теория больших перемещений, отличающаяся от обычной теории» существует [2], имеются отдельные исследования [1, 4], которые отличает сложность преобразований, сводящих решение к специальным функциям без видимой физической связи их переменных с определяемыми параметрами эластики.

Замечено [3], что «механика деформируемых тел состоит не только из уравнений, а также из определений точного физического смысла всех входящих в эти уравнения параметров и функций и самих уравнений». Очевидно, по причине отсутствия этих определений специальная теория без общих основ и видимых связей с обычной теорией не стала инструментом инженера. В инженерном образовании доминирует приближённая «теория малых перемещений», а результаты решения отдельных задач по специальной теории используются для подтверждения результатов приближённой теории и демонстрации нелинейного поведения некоторых систем при «малых» изменениях [5].

Представление о коренном отличии теорий «коротких» и «длинных» стержней появилось не сразу [6]. Сложность решения задач в строгой постановке предопределили появление теории «малых» перемещений, а её результативность, отвечающая требованиям практики, отодвинули несколько в сторону от научных интересов и инженерных запросов и как бы устранили необходимость разработки их общей теории.

Развитие численных методов и вычислительной техники создало новое мышление с убеждением, что при машинном анализе «та нелинейность, с которой приходится встречаться при решении практических задач, связанных с расчётом конструкций, не порождает непреодолимых трудностей» [5]. Созданы программные комплексы, которые «могут с успехом использоваться и для нелинейных задач». Однако следует заметить, что современное машинное исследование есть многократное решение линейной задачи. Процесс без физического содержания не способствует установлению однозначных смысловых связей. Возможности такого анализа и его успехи следует, очевидно, оценивать с позиции значимости его результатов. Безусловно, требования к значимости промежуточных и конечных результатов различны. Для конечных результатов любая форма представления имеет несомненную ценность, для промежуточных результатов важна ещё, на наш взгляд, аналитичность (выражение в элементарных функциях) или возможность математического манипулирования ими. Это требование не является следствием приверженности к аналитическим выражениям, это есть естественное и необходимое условие физической интерпретируемости изучаемого явления.

В механике деформирования твёрдых тел, как и в любой науке, имеется немало белых пятен, которые, прикрытые создавшимися представлениями, длительное время остаются таковыми. С.П. Тимошенко указывал [6], что «время от времени необходимо обсуждать основные допущения, на которых основаны методы анализа». Л.И. Седов отмечал [7], что «явное установление общих основ и внутренних связей между различными теориями и наблюдаемыми эффектами способствует углублённому пониманию действительного состояния науки, правильной оценке известных и развивающихся научных достижений». Соответственно, целью работы является выявление общих основ и внутренних связей между двумя обсуждаемыми теориями.

Кривизна характеризует меру изогнутости линии и определяется как скорость изменения угла наклона касательной в в точке при её движении по кривой Ь.

(2)

Для линии заданной уравнением у=/(х) параметры кривизны (2), выраженные через соответствующие переменные, приводят к известной формуле математического анализа:

-,-3/2

к _

й у йх2

1 +

(3)

С выражениями (2) или (3) уравнение (1) образует нелинейное дифференциальное уравнение, которым корректно формулируется задача эластики.

В такой постановке этими задачами занимались Я. Бернулли, Л. Эйлер, Ж.Л. Лагранж, Ж.Р. Кирхгоф, А. Клебш, Б. Сен-Венан и многие другие. Ж.Р Кирхгоф к 1859 г. [6] установил тождественность уравнений вращения твёрдого тела относительно закреплённой точки и уравнений равновесия стержня деформированного силами, приложенными на его концах. «Динамическая аналогия Кирхгофа» в настоящее время составляет основу «теории больших перемещений», представленной методами [2], которые нашли некоторое применение [8], но не вписались в традиционные инженерные курсы.

Основу теории «малых перемещений» составляет «метод нахождения кривых линий, имеющих несущественное отклонение от прямых», предложенный Л. Эйлером. Метод заключается в замене точного выражения кривизны (3) упрощенным:

К* _й2у/Ас2. (4)

Л. Эйлер не дал своему предложению математической оценки. До настоящего времени считается [9], что «ограничиваясь рассмотрением весьма «малых деформаций», он счёл возможным принять приблизительно дифференциал дуги dL за дифференциал абсциссы dx и преобразовал таким образом точное выражение в приблизительное». Это утверждение в этой или иной форме до настоящего времени доказывается в учебной и технической литературе.

Ф.С. Ясинский [9], разложив (3) в ряд

К _

^У_ йх2

V

2!-22 ^йх)

3 - 5

2. Современное математическое обеспечение теорий оценивал (4) по остатку ряда

Для стержней, упруго изгибаемых по плоской кривой, задача её установления формулируется уравнением Я. Бернулли

К _ Ы/ЕЗ,

(1)

где К - кривизна линии, М - изгибающий момент, Е1 - жёсткость стержня.

к * - к * 3 ААхУ 1Е2в, 2 йх

чтобы показать, что предложенное им выражение кривизны

К* _ й2 у/йЬ2 является более точным.

Эта приближённая оценка и существующие объяснения замены (3) на (4) являются недостаточными для представления об ограничениях на величину определяемых перемещений и следствиях, которые обусловлены принятым упрощением. В названиях «метод нахождения кривых линий, имеющих несущественное отклонение от прямых» или «метод малых перемещений (деформаций)» молчаливо предполагается, что величина перемещений определяется в системе координат, связанной с начальным положением недеформированно-го стержня. Однако искривление не может быть характеризоваться величиной линейных перемещений. Так, например, для стержня, искривление которого определено углами поворотов поперечных сечений, «большие» перемещения в системе осей ху1 могут быть «малыми» в системе ху2 (рис. 1).

большое

перемещение

I

малое

перемещение

Перемещения в изгибаемом стержне

Очевидно, упрощенное выражение кривизны (4) позволяет исследовать геометрию деформирования стержней с «большими» перемещениями, если в иной системе координат её изменение не выходит за пределы «малости» искривления. «Малость деформации» также не связана с величиной перемещений, она определяется ресурсом упругости материала. О величине искривления можно судить только по углам поворота поперечных сечений: они одинаковы в любых системах координат.

3. Оценка упрощенного выражения кривизны

Введение в анализ геометрии деформирования стержней выражения (4) трактуется при очевидной эквивалентности для малых углов 1§0««т0«0 как допущение равенства йЬ=ёх в (2) или пренебрежение квадратом величины йу/йх по сравнению с единицей в (3). Так как дифференциал дуги кривой линии связан с дифференциалом абсциссы соотношением йх=йЬоо$,0, то равенство ёх=йЬ можно ассоциировать с допущениями

0080^1 или 1/ео80«1.

В действительности (4) следует из (3), если принять [1 + (ф/Л-)2]“3/2 «1.

Преобразуем правую часть, заменив производную по её определению

dy

dx

= tgd, [1 + tg 20] 3/2 = cos

cos3e=1 или 1/cos30=1. Эти допущения являются более грубыми, чем предполагается. Между выражениями кривизны существует строгое соотношение

K = K* cos3 в. (5)

Использование упрощенного выражения кривизны K приводит только к линеаризации дифференциальных уравнений (1), допущение dx=dL имеет другое назначение.

4. Возможные варианты упрощения

выражения кривизны

Упрощенное выражение кривизны K формально получено в результате деления её точного выражения K на функцию cos3 в. Эта математическая операция увеличивает кривизну и определяет некоторую линию, расположенную по отношению к реальной со стороны её вогнутости. С этой же функцией-допущением, применив операцию умножения, можно аналогично определить линию меньшей кривизны, расположенную с другой стороны реальной линии. Используя менее слабые по значимости функции cos2e, cose, не выходя за границы допущения, введённого Л. Эйлером, получаем спектр выражений кривизны:

1

K = K (-

cos

cos в).

(6)

В него входит «уточнённая» формула, предложенная Ф.С. Ясинским [9]

K, d 2 y d ( dy I

K■=nr=^^'=

d

dL ^dL j (dx/cose) dL

d (sine)

(dL ■ sine) =

= cos

dx

-= kcose.

Можно сказать, что Ф.С. Ясинский принял более строгое допущение и с операцией умножения получил своё выражение кривизны. Л. Эйлер до него выбрал операцию деления и использовал функцию 00830.

Представление оси стержня, изгибаемого сосредоточенным моментом (рис. 2), демонстрирует эффект использования разных выражений кривизны (6).

х ь

0,2

У

L

0,6

1

V s44_-S’ cos3£?

JC/ cos 36 \^=500

Приходим к заключению, что замена выражения (3) на (4) эквивалентна введению допущений

Рис. 2. Искривление стержня в зависимости от выражения кривизны

На рис. 3 показаны связи нагрузки с поворотом перемещаемого конца и указана граница между «малыми» и «большими» искривлениями, до кото-

рой выражения кривизны (6) определяют кривые близкие друг к другу. С уменьшением значимости упрощающей функции дифференциальное уравнение становится точнее, и эта граница (3 % в разности) смещается в сторону больших искривлений.

&0 (град)

_d (sin0) d (cose)

K = +-------:----= ±-

dx

dy

(7)

кривизна определяется в системе координат скоростью изменения тригонометрических функций угла наклона касательной в в точке при движении по линии. Угол наклона касательной здесь представлен как основной параметр. Аналогичный вид приобретает также упрощенное выражение (4)

К * =±

d (tg9) dx

= ±

tg2e

(8)

Так, с функцией кривизны /1(к)=рх (рис. 4) с выражениями кривизны (7) и (8) задача восстановления линии формулируется дифференциальными уравнениями

‘,(5Ш в) = рх, + = рх. (9)

dx d (tgd)

йх рХ’ 2 йу

При начальных условиях х=0, у=0, в=в0 из (9) следует уравнение линии для любых искривлений:

х^[р = ^2фп в0 - 8тв),

й (С08в)

dy d (tg20)

= px.

(10)

(11)

Рис. 3. Связь нагрузки с углом поворота концевого сечения стержня при разных выражениях кривизны

5. Параметрическая форма выражений кривизны

Если отвлечься от физического смысла задач эластики, который им придаёт уравнение Я. Бернулли (1), то это чисто математическая задача - «восстановление линии» по функции изменения кривизны /(к)=(И/Е1). Математика даёт определение кривизны (2) и её координатное выражение (3), назначение которого - установление кривизны функционально определённой линии. Для решения обратных задач формулы (2) и (3) не предназначены и такие задачи в курсах математики не рассматриваются.

Выражением (2) и (3) в параметрической форме [10]

( >/2(sin в0 - sin в)

Для «малых» искривлений из (10) её уравнение:

xJp =^в-т,

уГр = 3(2tgeo + tgeW2(tge0 -tge). (12)

Аналогично, с функцией кривизны f2(k)=py (рис. 4) устанавливаем уравнения другой кривой:

Уу[Р = 7 2(cose - coseo),

d (sin в)

xyjp = J

в0

у4р =V tg 2eo- tg2

.^2(cose - coseo)

,x^ = n - arcsin í Ц

(13)

. (14)

Как можно заметить, по функциям кривизны и начальным условиям можно определить только уравнение линии. Задачи эластики являются краевыми (граничными). Диапазон координат точек искривлённой линии конечной длины ограничен её проекциями на оси координат, и он остаётся неопределённым. Его необходимо определять, решая задачу установления длины дуги кривой при указанном положении конечной точки. В математике эту задачу называют «спрямлением» линии. При «больших» и «малых» её искривлениях она формулируется одинаковым образом:

dy

sine'

Рис. 4. Восстановление линии по кривизне

Кривизна в этих выражениях имеет знаки, и они устанавливается по изменению соответствующих функций, которые характеризует искривление линии. Структура точного и упрощенного выражений кривизны визуализирует связи и общность двух теорий.

В теории «малых» перемещений она не решается, неопределённость устраняется допущением dx=dL, что эквивалентно L=xL. Л.И. Седов [7] это допущение определил как «линеаризацию граничных условий».

Рис. 5 демонстрирует «эластику» по уравнениям (11, 13) и «упругие кривые» по (12, 14) стержня с жесткостью Е1 при изгибе сосредоточенной нагрузкой Р. Соответственно, в уравнениях кривых р=Р/Е1. Разные виды изгиба формируются указанием положения концевого сечения.

При определении геометрии деформирования стержней представление двух задач («восстановление» и «спрямление» линии) одной иногда затрудня-

Рис. 5. Виды изгибов, определяемые одной кривой

ет интерпретацию решения и может привести к некорректным выводам. Покажем это на решении «задачи Эйлера» (стержень с двумя опорами на рис. 5).

Выражениями (14) определена периодическая кривая. Указав положение концевого сечения x=x;, в=-в0, из них получаем у=0, ^¡^р=п. Приведя их к виду

У =

Гр

1 -

tgв ) tgв

^в0 ) tgв0

= С08( Ху[р),

определяем её уравнением в координатной форме: ^gвo ™п(х 1Р) (15)

У =

4р

5Ш( Х,/р )•

Кривая является синусоидой с амплитудой

г = у = ^в° = ,_в

] утах I— п Ъв°.

4р 71

При «малом» искривлении» в допущении L&xL из неё выделяется одна полуволна.

Решение этой задачи Л. Эйлером сформировало представление о возможности существования ряда критических нагрузок [5]. Уравнение (15) с неопределённой стрелой прогиба в его решении допускает интерпретировать sin(xVp)=0, как xVp=nп, и за

причину кратности принимается коэффициент р функции кривизны.

Вывод

В задачах эластики изгибаемых стержней функции изменения кривизны формируемой нагрузками обычно являются координатными. Вопросы согласования этих функций с выражениями кривизны обусловили появление двух теорий. Согласование её с выражением кривизны (2) ведёт через «динамическую аналогию Кирхгофа» к теории «больших» перемещений с соответствующей спецификой решения задач. Согласование её с выражением (3) упрощенным по (5) для «линеаризации дифференциальных уравнений» и допущением dL=dx для «линеаризации граничных условий» приводит к теории «малых» перемещений с «руководящими правилами и принципами», сущность которых выражают произведённые допущения. Нечёткая интерпретация их сформировала между теориями якобы строгое отличие. Параметрическое выражение кривизны (точное и упрощенное) в координатной форме снимает вопросы согласования с её функцией изменения и показывает условность и нецелесообразность представления о коренном различии двух теорий.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тимошенко С.П., Гере Дж. Механика материалов. - М.: Мир, 1976. - 669 с.

2. Попов Е.П. Теория и расчёт гибких упругих деталей. Плоский изгиб бруса малой жёсткости при больших перемещениях. -Л.: ЛКВВИА, 1947. - 303 с.

3. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. -М.: Наука, 1996. - 336 с.

4. Мартынов В.К. Задачи эластики в инженерных расчётах // Известия вузов. Машиностроение. - 1986. - № 8. - С. 13-18.

5. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. - М.: Наука, 1979.

- 560 с.

6. Тимошенко С.П. История науки о сопротивлении материалов. Пер. с англ. - М.: Гостехиздат, 1957. - 536 с.

7. Седов Л.И. Механика сплошной среды. - М.: Наука, 1970. -Т. 1. - 492 с.

8. Андреева Л.Е., Пономарёв С.Д. Расчёт упругих элементов машин и приборов. - М.: Машиностроение, 1980. - 326 с.

9. Ясинский Ф.С. Избранные задачи по устойчивости сжатых стержней. - М.-Л.: ГИИТЛ, 1962. - 427 с.

10. Анфилофьев А.В. Определение формы упругой линии гибкого стержня при заданном законе изменения ее кривизны // Известия вузов. Машиностроение. - 2000. - № 4. - С. 17-22.

Поступила 05.03.2007г.