Геометрические свойства эластики стержня в разновидностях плоского изгиба (сосредоточенная нагрузка Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 539.37

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЭЛАСТИКИ СТЕРЖНЯ В РАЗНОВИДНОСТЯХ ПЛОСКОГО ИЗГИБА (СОСРЕДОТОЧЕННАЯ НАГРУЗКА)

А.В. Анфилофьев

Томский политехнический университет E-mail: zvm@tpu.ru

Упругий стержень в продольном изгибе сосредоточенной нагрузкой при больших искривлениях представлен как совокупность стержней, находящихся в различных видах изгиба. Сформирована общая расчётная схема для исследования влияния ориентации нагрузки на геометрию упругих кривых. Установлено, что в некоторых пределах форма кривых практически не зависят от направления нагрузки. Это позволяет определить границыI, в которых имеет место понятие «малости» в положениях традиционной теории изгиба. Установленыi свойства линии с линейно изменяемой кривизной и дано её соответствующее геометрическое представление. Сформирована диаграмма состояний стерня в диапазоне искривлений от центрального сжатия до центрального растяжения.

Ключевые слова:

Кривизна, функция кривизны, эластика, стержень, сосредоточенная нагрузка, разновидности изгибов.

1. Введение

В теории изгиба задача определения геометрии оси деформируемого стержня (задача эластики) формулируется как «восстановление линии по заданной функции изменения кривизны». Кривизна, по определению, характеризуется скоростью изменения угла наклона касательной в при движении по длине Ь искомой линии у(х) и выражается аналитически в естественной и координатной форме:

Г -V2

йв й2 у '

К = — = ■ 2 dL dx

dx

(1)

dO ^ — = K * или

dL

d2 y dx2

i+(dy

I dx

-3/2

= K*. (3)

координатной форме (1), с которым ур. (3) прини мает вид

d2 y

dx2

>K *.

(4)

Функцию изменения кривизны даёт теория изгиба уравнением Я. Бернулли:

К * = М/Ы. (2)

Здесь М - функция изгибающих моментов, обусловленная нагрузкой, - изгибная жесткость стержня.

Согласно (1) и (2) задача восстановления линии формируется уравнением:

Искривление прямого стержня может явиться результатом нагрузки разного направления по отношению к нему и, очевидным образом, сформировано представление о разных видах его изгиба, рис. 1.

Стержни, для которых требование жёсткости ставит ограничения на величину искривления, являются объектом исследования теории изгиба «малых» перемещений. Используется упрощенное Л. Эйлером аналитическое выражение кривизны в

В этой теории систему координатных осей всегда связывают с осью стержня в начальном неде-формированном состоянии. Функция кривизны К* устанавливается без учёта искривления оси или с его учётом при наличии продольных сил. Соответственно, различают теории продольного, поперечного, продольно-поперечного изгиба.

Искривление длинных и гибких стержней устанавливается по (3) и они являются объектом исследований теории «больших» перемещений [1, 2]. Основная её сложность состоит в согласовании функции К* с выражениями кривизны [3].

Для искривлённых стержней в системе осей, связанной с направлением нагрузки, представление о разных изгибах исчезает, и становится очевидной общность между ними. Она имеет визуализацию в эластике стержня в продольном изгибе возрастающей сосредоточенной нагрузкой при разных углах поворота концевого сечения, рис. 2.

Одна из кривых, рис. 2, приведена на рис. 3. На этой линии указаны отрезки, которые представляют стержни в разных изгибах. Из совокупности кривых, рис. 2, можно выделить короткие (жёсткие) и длинные (гибкие) стержни при любом направлении нагрузки к их первоначальной оси.

Если в системе осей, связанных с начальной осью стержня, функции кривизны (2) для выделенных отрезков определяются разными уравнениями, то в системе осей х, у, связанных с направлени-

ем нагрузки, она одинакова для любого из них и упругие кривые их есть отрезки эластики стержня в продольном изгибе. Концы стержней определяют граничные условия его в соответствующем изгибе и, следовательно, все разновидности изгибов можно определить одной расчётной схемой.

Рис. 2. Эластика стержня в продольном изгибе

2. Расчётная схема разновидностей изгиба стержня

На рис. 4 состояние стержня определяется нагрузкой неизменного направления к его оси указанного углом а. Изменением этого угла в диапазоне 0...180° реализуются все возможные изгибы от центрального сжатия до центрального растяжения.

Рис. 4. Изгиб стержня нагрузкой произвольного направления. Система осей связана: а) с начальной осью стержня, Ь) с направлением нагрузки

В системе осей Х1, У1 (рис. 4, а) стержень от нагрузки с направлением а^=0 искривляется. При этом «малые» перемещения точек упругой кривой можно устанавливать по ур. (4). Если перемещения являются «большими» они должны определяться по ур. (3). В системе осей X, У (рис. 4, Ь), связанной с направлением нагрузки, даже «малые» перемещения становятся «большими».

Для решения поставленной задачи используем точные выражения кривизны в параметрической форме [4]:

d (sin в) _d (cos в)

K = ±-;-= +-

dx

dy

(5)

Задача восстановления линии Ь с функцией изменения кривизны К*=ру, где коэффициент р=Р/Е1 (Е/=сош1) формулируется уравнениями:

d(cose)

= РУ,

d(sin в) „ dx

v - = py, dL = -

(6)

dy dx cos

Граничные условия: в начале координат x=0, y=0, в=в0=а+вь на конце линии x=xL, y=yL, в=а. Здесь в; - поворот концевого сечения относительно своего исходного положения.

Из первого дифференциального уравнения (6) получаем уравнение ординат точек кривой:

y = 4| p (cose- cose0).

(7)

Рис. 3. Разновидности изгибов стержня в кривой продольного изгиба: 1) с растяжением, 2) поперечный, 3) со сжатием

Цель работы - установление особенностей геометрии искривления оси стержня в отмеченном едином представлении разновидностей его изгиба.

Из второго дифференциального уравнения (6) при подстановке (7) находим уравнение абсцисс:

cos в de

_L_ f_

•ДР { (cos в — cos{0}/2

(8)

По третьему уравнению (6) определяется длина кривой от её начала до точки с координатами х, у, в:

x = —

L =

1 вг d

лДр eJ (cose-

(9)

cose0)/

1 в

= "Т Í" I-:

^sin2^) - sin2 (в2) i 0

=-2 ítt

(10)

de

(11)

где

(рв = arc sin

(pa = arc sin

sinee 2) sin(e^2)

sin(e 2)

%0 =■

Fo Fa

x L

F - Fa

[(Fe- Feo) - 2( Ee- E„)].

LfP = [Feo - Fa ].

(12)

(13)

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Полная длина кривой L и её проекции на оси устанавливается по координатам её конца.

С преобразованием cose=1-2sin2(e/2) ур. (8), (9) принимают вид:

0_ [i - sin2(e/ 2)] de

2

0,2

0,4

0,6

Д = 0...160°

120° \\«=0° \эо°\ ,Я=О..Л20° 01=30°

"е1= 50°

,фш\в0/2) - БШ2 (в/2)

При замене Бт(в0/2)=к, $,ту=$,т(в/2)/к ур. (10) и (11) выражаются нормальными эллиптическими интегралами первого и второго рода:

= [Р ф,к) - Р (Фв0,к)] - 2[ Е (ф,к) - Ефо,к)]' = [ Р (Фв0) - Р Ф к)],

_ 5Ш(во/2)_

Полные интегралы Дф^к) и Е(ф0,к) определяются углом поворота сечения стержня в начале координат в0, неполные Дфв,к) и Е(фв,к) зависят от в0 и переменного угла в в диапазоне в0...а. Для краткости приняты обозначения:

Рф к) = Рв0. РФ.к) = Рв.

Ефк) = Ев0. Е(Фв.к) = Ев-Ур. (7), (8) в относительных величинах имеют вид: у д/2(СОБв -соб в0) Ь ~

Рис. 5. Искривления стержня при изменении направления сосредоточенной нагрузки в системе осей, связанной с начальной осью стержня

Геометрически упругие линии в широком диапазоне изменения направления нагрузки одинаковы и приобретают отличие в количественных оценках только при значительных искривлениях. Искривление линий практически не зависит от направления нагрузки в диапазоне изменения угла а=0...160° при взаимном повороте её концов до в0-а=в1«10°. Все линии близки в смысле близости нулевого порядка и, по этому признаку, такие искривления можно определить как «малые» в очевидных допущениях.

Так, если Бт(в/2)«в/2, то интегралы (10) и (11) выражаются элементарными функциями:

х4Р =

(„

--arcsin—

2 e0

v e2\ i

4

(14)

Lx4~p =п -

arcsin-

0„

(15)

3. Геометрия упругих кривых изгибаемого стержня

Координаты точек кривых (12) устанавливаются по углу наклона касательных e. В системе координат, связанной с начальной осью стержня (рис. 4, а), они находятся поворотом осей на угол a:

x1 = x cosa+ y sin a, y1 = y cosa- x sin a.

На рис. 5 представлены линии разной искривлённости при разных углах направления нагрузки a к первоначальной оси стержня для разных углов поворота его концевого сечения 1.

При а=0 угол в0=в и функции (7), (14), (15) определяют кривую продольного изгиба стержня и, согласно рис. 5, этой кривой можно определить линии «малой» искривлённости стержня в разных изгибах.

В системе координат, связанных с осью стержня, его свободный конец имеет самые большие перемещения: поперечное/, продольное Д и угловое Эти перемещения в совокупности определяют геометрию деформирования. На рис. 6 показаны их связи.

Можно отметить, что линейные перемещения до значительных искривлений практически не зависят от направления нагрузки. Для «малых» искривлений из (7), (14), (15) следуют соответствующие элементарные выражения этих связей:

e2.

(16)

£«-Ч Д«I

Ь п Ь 4

Формулы (16) позволяют по углу поворота концевого сечения определить его линейные перемещения для стержня в разных изгибах в системе координат, связанных с осью стержня.

Так, при в1=10° из (16) следуют значения: //£=0,1111, Д/£=0,0076 с погрешностью относительно точных значений, определяемых по уравне-

ниям (12) и (13), для продольного изгиба стержня -0,065 %, -0,124 %, для поперечного изгиба -4,02%, -0,128 %.

Обратим внимание на сформированное теорией «малых» перемещений представление о незначительности продольных смещений конца стержня Д при разных изгибах. Допущением ёх&ёЬ они исключаются из анализа, как величины второго порядка малости. Реальное представление об этих величинах даёт соотношение между линейными перемещениями, рис. 7. Отношение их практически линейно связано с углом поворота сечения и, согласно (16), для «малых» искривлений определяется формулой

Г 8 1

0,75

А /

0,50

0,25

0

90°// /уа= 0°

<2 = 120°/

<2=150°^

ЗО"

60е

в

90е

щейся кривизной. Согласно представлениям рис. 3, эта линия имеет определяющее значение в геометрии деформирования стержня в разновидностях изгиба, однако свойства её практически не изучены. Она изображается по вычисленным точкам; в эксперименте наблюдается её форма, но она не имеет образа, которые создают линии, выраженные в элементарных функциях.

Существует единственная интерпретация этой кривой - «аналогия Кирхгофа», основанная на схожести упрощенного дифференциального уравнения кривой для продольного изгиба (4) и уравнения колебаний маятника. Угол наклона касательной к линии, когда точка касания движется по ней с постоянной скоростью, меняется точно так же, как и угол отклонения маятника при движении от одной крайней точки к другой.

Формулы кривизны (5) позволяют установить её некоторые геометрические свойства, рис. 8.

Так, из второго ур. (6) при начальных условиях х=0, у=0, в=в0 непосредственно следует:

8тв0 -= р|удх = рс

Рис. 7. Соотношение между линейными перемещениями концевого сечения стержня в зависимости от его углового перемещения

4. Геометрические свойства кривой с линейно изменяемой кривизной

Как следует из уравнений (6) кривая продольного изгиба является линией с линейно изменяю-

Здесь уйх=й® есть элемент площади фигуры, образуемой кривой и её проекцией на ось координат, юх - площадь фигуры от начала координат до её произвольной точки.

81п0 = 81п0о -рах. (17)

Ур. (18) позволяет отметить одно геометрическое свойство кривой: синус угла наклона касательной к линии изменяется пропорционально изменению площади, заключённой между линией и её проекцией на ось абсцисс.

Из ур. (7) следует:

2

со$,6 -со$,60 = р—.

(18)

Осуществим координатное представление ур. (17) и (18), для чего возведём их в квадрат и сложим

Согласно (21) и (22) такая линия обладает следующим геометрическим свойством:

В координатах //2 и тх ур. (19) определяет дугу окружности радиусом 1/р с центральным углом (00-0). Длина её при этом равна статическому моменту длины кривой Ьх относительно оси Х. Действительно, по определению, её статический момент есть:

Ь, 0 л

У^У

Slx =J y di = J 4

sin в

где из ур. (6) следует

ydy = d (C0Sg) =

Р

и, следовательно,

sin в de ydy p ' sine

de Р

Si, = -

1J de = ± (

,-e).

(20)

В геометрическом представлении, рис. 8, стержни в разных изгибах сосредоточенной нагрузкой изображены на рис. 9.

Рис. 9. Разновидности изгибов стержня

Для линии конечной длины, определяемой углами 0О и а, площадь фигуры ограниченной искривлённой линией и её проекцией на ось абсцисс по (17) выражается как:

sine0 - sin а

(21)

Статический момент линии относительно этой оси по (20)

в0-а

Si =- 0

(22)

®i Si

sineo -sina

eo-a

При «малых» искривлениях, когда sin в« в, ®L~SL.

По (21) можно установить нагрузку для упругой кривой, определённой экспериментально:

Р = -

sineo - sina

В эксперименте необходимо

ю1

определять в системе осей, связанных с направлением нагрузки, углы поворота концевых сечений и площадь, ограниченную линией и её проекциями.

5. Диаграмма состояний стержня

в разновидностях изгиба

За основную зависимость, определяющей состояние деформируемых тел, обычно принимается связь нагрузки с перемещением, которое считается «характерным». Для деформируемых стержней им является самое большое линейное перемещение.

Поперечный изгиб стержня и его теория «малых» перемещений, как основная теория плоского изгиба, сформировали представление, что и при любом изгибе таким перемещением является самое большое поперечное смещение (стрела прогиба).

Пропорциональность роста стрелы прогиба с увеличением нагрузки стала признаком геометрической линейности. В других видах изгиба поведение стержня, оцениваемое по такой зависимости, нарушает это представление. Продольный изгиб традиционно ассоциируется с потерей устойчивости.

Аналитическим решением устанавливается искривленная линия конечной длины по функционально заданной кривизне стержня, и только уравнение Я. Бернулли (2) придаёт физический смысл задаче. Очевидно, необходимо различать решение математической задачи и его физические интерпретации.

Структура ур. задачи (6) определяет основную переменную - угол наклона касательной к линии (угловая координата). Искривление определяется взаимным поворотом концов 0О-а=01. Коэффици-

0

в

®i =

ент «р» функции изменения кривизны К*=ру получает значение при заданной длине линии по угловым координатам концов в системе осей, связанной с нагрузкой. Эта связь определена (13) и представлена на рис. 10 диаграммой, которую можно трактовать как диаграмму состояний стержня, рис. 4.

« - 0° / 1 >

IÍ? /15° / ¡/i

II/ Тзо" / 0!=1O° /60° /90° /120°. ,'7150°|í / 170 °¡

В 30° 60° 90° 120° 150° 180°

во=а+01

Рис. 10. Диаграмма состояний стержня в плоском изгибе: - - - - граница 6Ц10°, разделяющая «малые» и «большие» искривления

Диаграмма включает все виды изгиба стержня от центрального сжатия до центрального растяжения. Сверху все состояния ограничены зависимостью (13) для продольного изгиба. Штриховая линия разделяет в соответствии с рис. 5 «малые» перемещения от «больших». Она же указывает значения нагрузок разных направлений к оси стержня практически одинаковой искривлённости при взаимном повороте концов на угол 0о-а=01. Графически представленная связь «нагрузка - угол поворота» позволяет судить о геометрической линейности или нелинейности поведения стержня и устойчи-

вости или неустойчивости при соответствующих

нагрузках.

Выводы

1. В системе координатных осей, связанных с направлением нагрузки, «малые» и «большие» искривления стержня с линейной функцией кривизны во всех разновидностях изгиба имеют единое аналитическое и графическое представление.

2. Искривление стержня при повороте одного концевого сечения относительно другого на угол <10° практически не зависят от направления нагрузки. Линии этой искривлённости являются близкими в смысле близости нулевого порядка, и по этому признаку такое искривление определяет понятие «малости» традиционной теории изгиба.

3. Параметрическое выражение кривизны плоских линий позволяет установить их геометрические свойства и признаки, а также дать геометрическую иллюстрацию эластики стержня в разновидностях изгиба дугой окружности в соответствующих координатах.

4. Основной переменной в анализе геометрии деформирования изгибаемых стержней является поворот поперечных сечений. Соответственно, основной функциональной зависимостью, характеризующей искривление стержня конечной длины, является связь коэффициента функции кривизны (параметр нагрузки) с углами поворота его концевых сечений. Диаграммное представление этой связи даёт полную информацию для заключения о состоянии стержня и его поведении под нагрузкой.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Попов Е.П. Теория и расчёт гибких упругих стержней. - М.: Наука, 1986. - 294 с.

2. Светлицкий В.А. Механика стержней. Ч. 1. Статика. - М.: Высшая школа, 1987. - 320 с.

3. Анфилофьев А.В. Определение формы упругой линии гибкого стержня при заданном законе изменения её кривизны // Известия вузов. Машиностроение. - 2000. - № 4. - С. 17-22.

4. Анфилофьев А.В. Теории «малых» и «больших» искривлений стержней в общем аналитическом представлении // Известия Томского политехнического университета. - 2007. - Т. 310. -№ 2. - С. 55-59.

Поступила 15.05.2008 г.