Научная статья на тему 'Геометрические свойства эластики стержня в разновидностях плоского изгиба (сосредоточенная нагрузка'

Геометрические свойства эластики стержня в разновидностях плоского изгиба (сосредоточенная нагрузка Текст научной статьи по специальности «Пластичность»

CC BY
125
29
Поделиться
Ключевые слова
КРИВИЗНА / ФУНКЦИЯ КРИВИЗНЫ / ЭЛАСТИКА / СТЕРЖЕНЬ / СОСРЕДОТОЧЕННАЯ НАГРУЗКА / РАЗНОВИДНОСТИ ИЗГИБОВ

Аннотация научной статьи по механике, автор научной работы — Анфилофьев А. В.

Упругий стержень в продольном изгибе сосредоточенной нагрузкой при больших искривлениях представлен как совокупность стержней, находящихся в различных видах изгиба. Сформирована общая расчётная схема для исследования влияния ориентации нагрузки на геометрию упругих кривых. Установлено, что в некоторых пределах форма кривых практически не зависят от направления нагрузки. Это позволяет определить границы, в которых имеет место понятие «малости» в положениях традиционной теории изгиба. Установлены свойства линии с линейно изменяемой кривизной и дано её соответствующее геометрическое представление. Сформирована диаграмма состояний стерня в диапазоне искривлений от центрального сжатия до центрального растяжения.

GEOMETRIC PROPERTIES OF ROD ELASTICITY IN MODIFICATIONS OF PLANE BENDING (CONCENTRATED LOAD)

The elastic rode in the longitudinal bend by concentrated load at greater curvatures is presented as a set of rods of various bend modifications. The general calculation model for research of the effect of load orientation on geometry of elastic curves is formed. It is established, that in some limits the forms of curves are practically independent of the load direction. It allows defining borders with the concept of "smallness" in positions of the traditional bend theory. Properties of the line with linearly changeable curvature are established and its corresponding geometrical representation is given. The diagram of stubble conditions in the range of curvatures from the central compression up to the central stretching is formed.

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Геометрические свойства эластики стержня в разновидностях плоского изгиба (сосредоточенная нагрузка»

УДК 539.37

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЭЛАСТИКИ СТЕРЖНЯ В РАЗНОВИДНОСТЯХ ПЛОСКОГО ИЗГИБА (СОСРЕДОТОЧЕННАЯ НАГРУЗКА)

А.В. Анфилофьев

Томский политехнический университет E-mail: zvm@tpu.ru

Упругий стержень в продольном изгибе сосредоточенной нагрузкой при больших искривлениях представлен как совокупность стержней, находящихся в различных видах изгиба. Сформирована общая расчётная схема для исследования влияния ориентации нагрузки на геометрию упругих кривых. Установлено, что в некоторых пределах форма кривых практически не зависят от направления нагрузки. Это позволяет определить границыI, в которых имеет место понятие «малости» в положениях традиционной теории изгиба. Установленыi свойства линии с линейно изменяемой кривизной и дано её соответствующее геометрическое представление. Сформирована диаграмма состояний стерня в диапазоне искривлений от центрального сжатия до центрального растяжения.

Ключевые слова:

Кривизна, функция кривизны, эластика, стержень, сосредоточенная нагрузка, разновидности изгибов.

1. Введение

В теории изгиба задача определения геометрии оси деформируемого стержня (задача эластики) формулируется как «восстановление линии по заданной функции изменения кривизны». Кривизна, по определению, характеризуется скоростью изменения угла наклона касательной в при движении по длине Ь искомой линии у(х) и выражается аналитически в естественной и координатной форме:

Г -V2

йв й2 у '

К = — = ■ 2 dL dx

dx

(1)

dO ^ — = K * или

dL

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

d2 y dx2

i+(dy

I dx

-3/2

= K*. (3)

координатной форме (1), с которым ур. (3) прини мает вид

d2 y

dx2

>K *.

(4)

Функцию изменения кривизны даёт теория изгиба уравнением Я. Бернулли:

К * = М/Ы. (2)

Здесь М - функция изгибающих моментов, обусловленная нагрузкой, - изгибная жесткость стержня.

Согласно (1) и (2) задача восстановления линии формируется уравнением:

Искривление прямого стержня может явиться результатом нагрузки разного направления по отношению к нему и, очевидным образом, сформировано представление о разных видах его изгиба, рис. 1.

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Стержни, для которых требование жёсткости ставит ограничения на величину искривления, являются объектом исследования теории изгиба «малых» перемещений. Используется упрощенное Л. Эйлером аналитическое выражение кривизны в

В этой теории систему координатных осей всегда связывают с осью стержня в начальном неде-формированном состоянии. Функция кривизны К* устанавливается без учёта искривления оси или с его учётом при наличии продольных сил. Соответственно, различают теории продольного, поперечного, продольно-поперечного изгиба.

Искривление длинных и гибких стержней устанавливается по (3) и они являются объектом исследований теории «больших» перемещений [1, 2]. Основная её сложность состоит в согласовании функции К* с выражениями кривизны [3].

Для искривлённых стержней в системе осей, связанной с направлением нагрузки, представление о разных изгибах исчезает, и становится очевидной общность между ними. Она имеет визуализацию в эластике стержня в продольном изгибе возрастающей сосредоточенной нагрузкой при разных углах поворота концевого сечения, рис. 2.

Одна из кривых, рис. 2, приведена на рис. 3. На этой линии указаны отрезки, которые представляют стержни в разных изгибах. Из совокупности кривых, рис. 2, можно выделить короткие (жёсткие) и длинные (гибкие) стержни при любом направлении нагрузки к их первоначальной оси.

Если в системе осей, связанных с начальной осью стержня, функции кривизны (2) для выделенных отрезков определяются разными уравнениями, то в системе осей х, у, связанных с направлени-

ем нагрузки, она одинакова для любого из них и упругие кривые их есть отрезки эластики стержня в продольном изгибе. Концы стержней определяют граничные условия его в соответствующем изгибе и, следовательно, все разновидности изгибов можно определить одной расчётной схемой.

Рис. 2. Эластика стержня в продольном изгибе

2. Расчётная схема разновидностей изгиба стержня

На рис. 4 состояние стержня определяется нагрузкой неизменного направления к его оси указанного углом а. Изменением этого угла в диапазоне 0...180° реализуются все возможные изгибы от центрального сжатия до центрального растяжения.

Рис. 4. Изгиб стержня нагрузкой произвольного направления. Система осей связана: а) с начальной осью стержня, Ь) с направлением нагрузки

В системе осей Х1, У1 (рис. 4, а) стержень от нагрузки с направлением а^=0 искривляется. При этом «малые» перемещения точек упругой кривой можно устанавливать по ур. (4). Если перемещения являются «большими» они должны определяться по ур. (3). В системе осей X, У (рис. 4, Ь), связанной с направлением нагрузки, даже «малые» перемещения становятся «большими».

Для решения поставленной задачи используем точные выражения кривизны в параметрической форме [4]:

d (sin в) _d (cos в)

K = ±-;-= +-

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

dx

dy

(5)

Задача восстановления линии Ь с функцией изменения кривизны К*=ру, где коэффициент р=Р/Е1 (Е/=сош1) формулируется уравнениями:

d(cose)

= РУ,

d(sin в) „ dx

v - = py, dL = -

(6)

dy dx cos

Граничные условия: в начале координат x=0, y=0, в=в0=а+вь на конце линии x=xL, y=yL, в=а. Здесь в; - поворот концевого сечения относительно своего исходного положения.

Из первого дифференциального уравнения (6) получаем уравнение ординат точек кривой:

y = 4| p (cose- cose0).

(7)

Рис. 3. Разновидности изгибов стержня в кривой продольного изгиба: 1) с растяжением, 2) поперечный, 3) со сжатием

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Цель работы - установление особенностей геометрии искривления оси стержня в отмеченном едином представлении разновидностей его изгиба.

Из второго дифференциального уравнения (6) при подстановке (7) находим уравнение абсцисс:

cos в de

_L_ f_

•ДР { (cos в — cos{0}/2

(8)

По третьему уравнению (6) определяется длина кривой от её начала до точки с координатами х, у, в:

x = —

L =

1 вг d

лДр eJ (cose-

(9)

cose0)/

1 в

= "Т Í" I-:

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

^sin2^) - sin2 (в2) i 0

=-2 ítt

(10)

de

(11)

где

(рв = arc sin

(pa = arc sin

sinee 2) sin(e^2)

sin(e 2)

%0 =■

Fo Fa

x L

F - Fa

[(Fe- Feo) - 2( Ee- E„)].

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

LfP = [Feo - Fa ].

(12)

(13)

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Полная длина кривой L и её проекции на оси устанавливается по координатам её конца.

С преобразованием cose=1-2sin2(e/2) ур. (8), (9) принимают вид:

0_ [i - sin2(e/ 2)] de

2

0,2

0,4

0,6

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Д = 0...160°

120° \\«=0° \эо°\ ,Я=О..Л20° 01=30°

"е1= 50°

,фш\в0/2) - БШ2 (в/2)

При замене Бт(в0/2)=к, $,ту=$,т(в/2)/к ур. (10) и (11) выражаются нормальными эллиптическими интегралами первого и второго рода:

= [Р ф,к) - Р (Фв0,к)] - 2[ Е (ф,к) - Ефо,к)]' = [ Р (Фв0) - Р Ф к)],

_ 5Ш(во/2)_

Полные интегралы Дф^к) и Е(ф0,к) определяются углом поворота сечения стержня в начале координат в0, неполные Дфв,к) и Е(фв,к) зависят от в0 и переменного угла в в диапазоне в0...а. Для краткости приняты обозначения:

Рф к) = Рв0. РФ.к) = Рв.

Ефк) = Ев0. Е(Фв.к) = Ев-Ур. (7), (8) в относительных величинах имеют вид: у д/2(СОБв -соб в0) Ь ~

Рис. 5. Искривления стержня при изменении направления сосредоточенной нагрузки в системе осей, связанной с начальной осью стержня

Геометрически упругие линии в широком диапазоне изменения направления нагрузки одинаковы и приобретают отличие в количественных оценках только при значительных искривлениях. Искривление линий практически не зависит от направления нагрузки в диапазоне изменения угла а=0...160° при взаимном повороте её концов до в0-а=в1«10°. Все линии близки в смысле близости нулевого порядка и, по этому признаку, такие искривления можно определить как «малые» в очевидных допущениях.

Так, если Бт(в/2)«в/2, то интегралы (10) и (11) выражаются элементарными функциями:

х4Р =

(„

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

--arcsin—

2 e0

v e2\ i

4

(14)

Lx4~p =п -

arcsin-

0„

(15)

3. Геометрия упругих кривых изгибаемого стержня

Координаты точек кривых (12) устанавливаются по углу наклона касательных e. В системе координат, связанной с начальной осью стержня (рис. 4, а), они находятся поворотом осей на угол a:

x1 = x cosa+ y sin a, y1 = y cosa- x sin a.

На рис. 5 представлены линии разной искривлённости при разных углах направления нагрузки a к первоначальной оси стержня для разных углов поворота его концевого сечения 1.

При а=0 угол в0=в и функции (7), (14), (15) определяют кривую продольного изгиба стержня и, согласно рис. 5, этой кривой можно определить линии «малой» искривлённости стержня в разных изгибах.

В системе координат, связанных с осью стержня, его свободный конец имеет самые большие перемещения: поперечное/, продольное Д и угловое Эти перемещения в совокупности определяют геометрию деформирования. На рис. 6 показаны их связи.

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Можно отметить, что линейные перемещения до значительных искривлений практически не зависят от направления нагрузки. Для «малых» искривлений из (7), (14), (15) следуют соответствующие элементарные выражения этих связей:

e2.

(16)

£«-Ч Д«I

Ь п Ь 4

Формулы (16) позволяют по углу поворота концевого сечения определить его линейные перемещения для стержня в разных изгибах в системе координат, связанных с осью стержня.

Так, при в1=10° из (16) следуют значения: //£=0,1111, Д/£=0,0076 с погрешностью относительно точных значений, определяемых по уравне-

ниям (12) и (13), для продольного изгиба стержня -0,065 %, -0,124 %, для поперечного изгиба -4,02%, -0,128 %.

Обратим внимание на сформированное теорией «малых» перемещений представление о незначительности продольных смещений конца стержня Д при разных изгибах. Допущением ёх&ёЬ они исключаются из анализа, как величины второго порядка малости. Реальное представление об этих величинах даёт соотношение между линейными перемещениями, рис. 7. Отношение их практически линейно связано с углом поворота сечения и, согласно (16), для «малых» искривлений определяется формулой

Г 8 1

0,75

А /

0,50

0,25

0

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

90°// /уа= 0°

<2 = 120°/

<2=150°^

ЗО"

60е

в

90е

щейся кривизной. Согласно представлениям рис. 3, эта линия имеет определяющее значение в геометрии деформирования стержня в разновидностях изгиба, однако свойства её практически не изучены. Она изображается по вычисленным точкам; в эксперименте наблюдается её форма, но она не имеет образа, которые создают линии, выраженные в элементарных функциях.

Существует единственная интерпретация этой кривой - «аналогия Кирхгофа», основанная на схожести упрощенного дифференциального уравнения кривой для продольного изгиба (4) и уравнения колебаний маятника. Угол наклона касательной к линии, когда точка касания движется по ней с постоянной скоростью, меняется точно так же, как и угол отклонения маятника при движении от одной крайней точки к другой.

Формулы кривизны (5) позволяют установить её некоторые геометрические свойства, рис. 8.

Так, из второго ур. (6) при начальных условиях х=0, у=0, в=в0 непосредственно следует:

8тв0 -= р|удх = рс

Рис. 7. Соотношение между линейными перемещениями концевого сечения стержня в зависимости от его углового перемещения

4. Геометрические свойства кривой с линейно изменяемой кривизной

Как следует из уравнений (6) кривая продольного изгиба является линией с линейно изменяю-

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Здесь уйх=й® есть элемент площади фигуры, образуемой кривой и её проекцией на ось координат, юх - площадь фигуры от начала координат до её произвольной точки.

81п0 = 81п0о -рах. (17)

Ур. (18) позволяет отметить одно геометрическое свойство кривой: синус угла наклона касательной к линии изменяется пропорционально изменению площади, заключённой между линией и её проекцией на ось абсцисс.

Из ур. (7) следует:

2

со$,6 -со$,60 = р—.

(18)

Осуществим координатное представление ур. (17) и (18), для чего возведём их в квадрат и сложим

Согласно (21) и (22) такая линия обладает следующим геометрическим свойством:

В координатах //2 и тх ур. (19) определяет дугу окружности радиусом 1/р с центральным углом (00-0). Длина её при этом равна статическому моменту длины кривой Ьх относительно оси Х. Действительно, по определению, её статический момент есть:

Ь, 0 л

У^У

Slx =J y di = J 4

sin в

где из ур. (6) следует

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

ydy = d (C0Sg) =

Р

и, следовательно,

sin в de ydy p ' sine

de Р

Si, = -

1J de = ± (

,-e).

(20)

В геометрическом представлении, рис. 8, стержни в разных изгибах сосредоточенной нагрузкой изображены на рис. 9.

Рис. 9. Разновидности изгибов стержня

Для линии конечной длины, определяемой углами 0О и а, площадь фигуры ограниченной искривлённой линией и её проекцией на ось абсцисс по (17) выражается как:

sine0 - sin а

(21)

Статический момент линии относительно этой оси по (20)

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

в0-а

Si =- 0

(22)

®i Si

sineo -sina

eo-a

При «малых» искривлениях, когда sin в« в, ®L~SL.

По (21) можно установить нагрузку для упругой кривой, определённой экспериментально:

Р = -

sineo - sina

В эксперименте необходимо

ю1

определять в системе осей, связанных с направлением нагрузки, углы поворота концевых сечений и площадь, ограниченную линией и её проекциями.

5. Диаграмма состояний стержня

в разновидностях изгиба

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

За основную зависимость, определяющей состояние деформируемых тел, обычно принимается связь нагрузки с перемещением, которое считается «характерным». Для деформируемых стержней им является самое большое линейное перемещение.

Поперечный изгиб стержня и его теория «малых» перемещений, как основная теория плоского изгиба, сформировали представление, что и при любом изгибе таким перемещением является самое большое поперечное смещение (стрела прогиба).

Пропорциональность роста стрелы прогиба с увеличением нагрузки стала признаком геометрической линейности. В других видах изгиба поведение стержня, оцениваемое по такой зависимости, нарушает это представление. Продольный изгиб традиционно ассоциируется с потерей устойчивости.

Аналитическим решением устанавливается искривленная линия конечной длины по функционально заданной кривизне стержня, и только уравнение Я. Бернулли (2) придаёт физический смысл задаче. Очевидно, необходимо различать решение математической задачи и его физические интерпретации.

Структура ур. задачи (6) определяет основную переменную - угол наклона касательной к линии (угловая координата). Искривление определяется взаимным поворотом концов 0О-а=01. Коэффици-

0

в

®i =

ент «р» функции изменения кривизны К*=ру получает значение при заданной длине линии по угловым координатам концов в системе осей, связанной с нагрузкой. Эта связь определена (13) и представлена на рис. 10 диаграммой, которую можно трактовать как диаграмму состояний стержня, рис. 4.

« - 0° / 1 >

IÍ? /15° / ¡/i

II/ Тзо" / 0!=1O° /60° /90° /120°. ,'7150°|í / 170 °¡

В 30° 60° 90° 120° 150° 180°

во=а+01

Рис. 10. Диаграмма состояний стержня в плоском изгибе: - - - - граница 6Ц10°, разделяющая «малые» и «большие» искривления

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Диаграмма включает все виды изгиба стержня от центрального сжатия до центрального растяжения. Сверху все состояния ограничены зависимостью (13) для продольного изгиба. Штриховая линия разделяет в соответствии с рис. 5 «малые» перемещения от «больших». Она же указывает значения нагрузок разных направлений к оси стержня практически одинаковой искривлённости при взаимном повороте концов на угол 0о-а=01. Графически представленная связь «нагрузка - угол поворота» позволяет судить о геометрической линейности или нелинейности поведения стержня и устойчи-

вости или неустойчивости при соответствующих

нагрузках.

Выводы

1. В системе координатных осей, связанных с направлением нагрузки, «малые» и «большие» искривления стержня с линейной функцией кривизны во всех разновидностях изгиба имеют единое аналитическое и графическое представление.

2. Искривление стержня при повороте одного концевого сечения относительно другого на угол <10° практически не зависят от направления нагрузки. Линии этой искривлённости являются близкими в смысле близости нулевого порядка, и по этому признаку такое искривление определяет понятие «малости» традиционной теории изгиба.

3. Параметрическое выражение кривизны плоских линий позволяет установить их геометрические свойства и признаки, а также дать геометрическую иллюстрацию эластики стержня в разновидностях изгиба дугой окружности в соответствующих координатах.

4. Основной переменной в анализе геометрии деформирования изгибаемых стержней является поворот поперечных сечений. Соответственно, основной функциональной зависимостью, характеризующей искривление стержня конечной длины, является связь коэффициента функции кривизны (параметр нагрузки) с углами поворота его концевых сечений. Диаграммное представление этой связи даёт полную информацию для заключения о состоянии стержня и его поведении под нагрузкой.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Попов Е.П. Теория и расчёт гибких упругих стержней. - М.: Наука, 1986. - 294 с.

2. Светлицкий В.А. Механика стержней. Ч. 1. Статика. - М.: Высшая школа, 1987. - 320 с.

3. Анфилофьев А.В. Определение формы упругой линии гибкого стержня при заданном законе изменения её кривизны // Известия вузов. Машиностроение. - 2000. - № 4. - С. 17-22.

4. Анфилофьев А.В. Теории «малых» и «больших» искривлений стержней в общем аналитическом представлении // Известия Томского политехнического университета. - 2007. - Т. 310. -№ 2. - С. 55-59.

Поступила 15.05.2008 г.