Теоретико-игровые модели при принятии решений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решетневскце чтения

Блок-схема программы

А. А. Gorodov, L. V. Gorodova Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

INFORMATION SOFTWARE TO FORECAST INDICATORS OF QUALITY OF THE SELECTION MATERIAL

The technique of creation of dynamic model of forecasting is considered. The factors affecting the baking quality of wheat breeding are stated. An algorithm of the program to automate calculations is proposed.

© Городов А. А., Городова Л. В., 2012

УДК 519.83

А. А. Городов, Н. М. Трубинская

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

ТЕОРЕТИКО-ИГРОВЫЕ МОДЕЛИ ПРИ ПРИНЯТИИ РЕШЕНИЙ

Рассматривается игровая модель принятия решений при посеве злаковых культур. Предлагается методика построения матрицы выигрышей в зависимости от состояний погоды и вероятностей получения плохого по качеству урожая.

Современный организационный и технологический уровень предприятий.

В первую очередь, определяется возможностью оперативного управления и проведения мероприятий по формированию и реализации стратегического плана развития, направленного на получение прибыли.

Математические модели принятия решений можно разбить на два больших класса - оптимизационные и теоретико-игровые. Оптимизационные модели уходят своими корнями в классический математический анализ и имеют весьма «почтенный» возраст. Теоретико-игровые модели начали исследоваться лишь в последние десятилетия.

Прикладная математика

Таблица 1

Средние урожайности культур в зависимости от погодных условий

Культура Погодные условия

Засушливые Оптимальные Средневлажные Влажные

Пшеница ц/га 15,2 32 26,3 21

Рожь ц/га 13,1 17,3 15,5 14

Овес ц/га 17,3 23,2 20,1 18,5

Ячмень ц/га 20,4 25,6 24,3 22,3

Таблица 2

Ценовые характеристики зерновых культур, собранных с 1 га земли

Культура Погодные условия

Засушливые Оптимальные Средне влажные Влажные

Сумма с 1 га., руб.

Пшеница 6414,4 12736 10651,5 8232

Рожь 5109 6349,1 5874,5 4830

Овес 8027,2 9233,6 8442 7289

Ячмень 8537,4 9830,4 9671,4 8161,8

В наши дни глубина проникновения теории игр в экономику была оценена в полной мере. Механизмы функционирования рынка, конкуренции, возникновения или краха монополий, а также способы принятия ими решений в условиях конкурентной борьбы, т. е. механизмы игры монополий, действующие в экономической реальности, не могут быть исследованы и поняты без теории игр [1; 2].

Рассмотрим теоретико-игровые модели принятия решений и их применение в управленческой деятельности, в частности, в сельском хозяйстве.

Теорию игр можно рассматривать как инструмент, помогающий повысить эффективность плановых и управленческих решений. Классической стала задача выбора участков земли под сельскохозяйственные культуры. Подобная задача рассматривается в данной работе.

Сельскохозяйственное предприятие имеет возможность выращивать четыре культуры: А1 - пшеница, А2 - рожь, А3 - ячмень, А4 - овес.

Необходимо определить, как сеять эти культуры, если при прочих равных условиях их урожаи зависят от погоды, а план посева должен обеспечить наибольший доход.

В зоне рискованного земледелия планирование посева должно осуществляться с учетом наименее благоприятного состояния погоды. Погодные условия могут быть: В1 - засушливые, В2 - оптимальные, В3 -средневлажные, В4 - влажные.

Матрица прибыли от реализации продукции в зависимости от состояний погоды представлена в табл. 1.

Учитывая вероятности получения зерна товарного и фуражного качества при различных погодных условиях, а также средние цены на зерно в зависимости от его качества, произведем расчет среднего математического ожидания прибыли от реализации валовой продукции. Полученные данные приведены в табл. 2.

Получаем матрицу игры:

(6414,4 12736 10651,5 8232 ^

А =

5109 8027,2 8537,4

6349,1 9233,6 9830,4

5874,5 8442 9671,4

4830 7289 8161,8

Предполагая, что природа действует «враждебно», как осознанный игрок, разрешим игровую ситуацию, используя основную теорему теории игр. Получим следующую задачу:

Е (х) = х1 + х2 + х3 + х4

6414,4 х + 5109х1 + 8027,2х1 + 8537,4х1 +

12736х2 + 6349,1х2 +

10651,5х3 + 5874,5х3 +

9233,6х2 + 8442х3 + 9830,4х + 9671,4х +

8232х4 < 1, 4830х4 < 1, 7289х4 < 1, 8161,8х4 < 1,

Результатом является процент высева каждой из культур на занимаемой площади. Так, пшеница должна занять 17,1 % от всей площади пашни, рожь не нужно сеять, овес - на 0,8 % всей площади, а в наибольшей степени ячмень - 82,1 %. При этом предприятие получит относительную максимальную прибыль в среднем на один гектар пашни в размере 8 173,167 рублей.

Таким образом, предприятию, решившему высаживать четыре данные культуры, при учете урожайности каждой культуры, погодных условий, качества получаемого зерна и цен на реализацию товарного и фуражного зерна, экономически выгоднее большую площадь земли засеивать ячменем.

Библиографические ссылки

1. Шебеко Ю. А. Имитационное моделирование и ситуационный анализ бизнес-процессов принятия управленческих решений. М. : Изд-во МАИ, 2007.

2. Мишенин А. И. Теория экономических информационных систем : учебник. М. : Финансы и статистика, 1998.

Решетневские чтения

А. А. Gorodov, N. M. Trubinskaia Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

GAME-THEORETIC MODELS TO MAKE DECISIONS

The game model of decision-making for sowing cereal crops is studied. A method of constructing a matrix of wins, depending on weather conditions and the likelihood of receiving bad quality crop is proposed.

© Городов А. А., Трубинская Н. М., 2012

УДК 517.55 + 004.94

Т. В. Зыкова

Сибирский федеральный университет, Россия, Красноярск

О АЛГОРИТМЕ ПОСТРОЕНИЯ МНОГОУГОЛЬНИКА, ОПРЕДЕЛЯЮЩЕГО ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛА МЕЛЛИНА-БАРНСА, ПРЕДСТАВЛЯЮЩЕГО РЕШЕНИЕ ТЕТРАНОМИАЛЬНОГО АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Описывается алгоритм построения многоугольника, определяющего область сходимости интеграла Мел-лина-Барнса, представляющего решение тетраномиального алгебраического уравнения.

Рассмотрим тетраномиальное алгебраическое уравнение

уп + х2у"2 + X!у"1 -1 = 0, п > п2 > п1 > 1. (1) Из результата Меллина [1] известно, что т -я степень (т> 0) ветви решения у(х) (у(0) = 1) представляется интегралом Меллина-Барнса вида

1

( 2га )2

i Щ

ri _ a - - i.-2 W )r(.-2)

V n n n J

gg+iR

Г1 +

n

n

-1ч-_ -2 /

--2 +1

(2)

X Х1 Х2 1 2 ,

где интегрирование ведется по мнимому (вертикальному) подпространству у + Я2, вектор у = (у1, у2) е Я2 фиксирован и выбирается

из сим-

плекса

U = {u e R2 : uj > 0,u2 > 0,njuj +n2u2 < m}.

Известно, что интеграл (2) сходится в секториаль-ной области S©, построенной над выпуклой областью

©с R2 следующего вида

1,62)eR2 :|6j| <РР, n

N < —,|Р62 -q6j\ . n 1 J

Иначе говоря,

S© = {x e R+2 x R2 : arg x e ©} = Arg- (©), где отображение

(3)

Arg : (C \ {0}) ® R2 : (xj, X2)® (arg Xj,arg хД

Заметим, что неравенства (3) задают внутренность шестиугольника в случае, когда n < 2n2. Если n > 2n2, то неравенства (3) определяют внутренность четырехугольника. Рассмотрим подмножество K с ©, состоящее из четырех точек:

I pn1 1 n pn2 I ' n J fr "I _ V n -1JJ:

pn1 n pn2 J n ) f Pn1 '1 n ' ,"[ 1 n

В работе [2] была доказана следующая теорема. Для любого ge U интеграл (2) сходится на множестве:

а) Arg(© \ K) при n < 2n2;

^ч * -1 Ii pn, pn2 б) Arg 11 ©\Jl 1 2 n n

n > 2n2.

pn

пщ

при

В настоящей работе на основе результата указанной теоремы создан алгоритм компьютерной алгебры в среде Maple. В ходе выполнения программы строится шестиугольник (четырехугольник), определяющий область сходимости интеграла (2), представляющего решение тетраномиального алгебраического уравнения (1). Программа состоит из нескольких процедур, основная процедура

domain_for_tetranomial_algebraic_equation реализует построения многоугольника. Входными данными процедуры являются показатели мономов тетраноми-ального алгебраического уравнения. На рисунке представлен результат работы программы.