CC BY
11Решетневскце чтения
А. А. Gorodov, N. M. Trubinskaia Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk
GAME-THEORETIC MODELS TO MAKE DECISIONS
The game model of decision-making for sowing cereal crops is studied. A method of constructing a matrix of wins, depending on weather conditions and the likelihood of receiving bad quality crop is proposed.
© Городов А. А., Трубинская Н. М., 2012
УДК 517.55 + 004.94
Т. В. Зыкова
Сибирский федеральный университет, Россия, Красноярск
О АЛГОРИТМЕ ПОСТРОЕНИЯ МНОГОУГОЛЬНИКА, ОПРЕДЕЛЯЮЩЕГО ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛА МЕЛЛИНА-БАРНСА, ПРЕДСТАВЛЯЮЩЕГО РЕШЕНИЕ ТЕТРАНОМИАЛЬНОГО АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Описывается алгоритм построения многоугольника, определяющего область сходимости интеграла Мел-лина-Барнса, представляющего решение тетраномиального алгебраического уравнения.
Рассмотрим тетраномиальное алгебраическое уравнение
уп + х2у"2 + X!у"1 -1 = 0, п > п2 > п1 > 1. (1) Из результата Меллина [1] известно, что т -я степень (т> 0) ветви решения у(х) (у(0) = 1) представляется интегралом Меллина-Барнса вида
1
( 2га )2
i Щ
ri _ a - - i.-2 W )r(.-2)
V n n n J
gg+iR
Г1 +
n
n
-1ч-_ -2 /
--2 +1
(2)
X Х1 Х2 1 2 ,
где интегрирование ведется по мнимому (вертикальному) подпространству у + Я2, вектор у = (у1, у2) е Я2 фиксирован и выбирается
из сим-
плекса
U = {u e R2 : uj > 0,u2 > 0,njuj +n2u2 < m}.
Известно, что интеграл (2) сходится в секториаль-ной области S©, построенной над выпуклой областью
©с R2 следующего вида
1,62)eR2 :|6j| <РР, n
N < —,|Р62 -q6j\ . n 1 J
Иначе говоря,
S© = {x e R+2 x R2 : arg x e ©} = Arg- (©), где отображение
(3)
Arg : (C \ {0}) ® R2 : (xj, X2)® (arg Xj,arg хД
Заметим, что неравенства (3) задают внутренность шестиугольника в случае, когда n < 2n2. Если n > 2n2, то неравенства (3) определяют внутренность четырехугольника. Рассмотрим подмножество K с ©, состоящее из четырех точек:
I pn1 1 n pn2 I ' n J fr "I _ V n -1JJ:
pn1 n pn2 J n ) f Pn1 '1 n ' ,"[ 1 n
В работе [2] была доказана следующая теорема. Для любого ge U интеграл (2) сходится на множестве:
а) Arg(© \ K) при n < 2n2;
^ч * -1 Ii pn, pn2 б) Arg 11 ©\Jl 1 2 n n
n > 2n2.
pn
пщ
при
В настоящей работе на основе результата указанной теоремы создан алгоритм компьютерной алгебры в среде Maple. В ходе выполнения программы строится шестиугольник (четырехугольник), определяющий область сходимости интеграла (2), представляющего решение тетраномиального алгебраического уравнения (1). Программа состоит из нескольких процедур, основная процедура
domain_for_tetranomial_algebraic_equation реализует построения многоугольника. Входными данными процедуры являются показатели мономов тетраноми-ального алгебраического уравнения. На рисунке представлен результат работы программы.
Прикладная математика
Рис. 1. Многогранник (n = 3, n2 = 2, n1 = 1).
Библиографические ссылки
1. Mellin H. R'esolution de l'e'quation alg'ebrique g'en'erale 'a l'aide de la fonction gamma // C. R. Acad. Sci. Paris S'er. I Math. 1921. Vol. 172. Р. 658-661.
2. Антипова И. А., Зыкова Т. В. О множестве сходимости интеграла Меллина-Барнса, представляющего решения тетраномиального алгебраического уравнения // Журнал СФУ. Сер. Матем. и физ. 2010. № 3, 4. С. 475-486.
T. V. Zykova Siberian Federal University, Russia, Krasnoyarsk
ON THE ALGORITHM OF CREATION OF THE POLYGON DEFINING AREA OF CONVERGENCE FOR MELLIN-BARNES INTEGRAL REPRESENTING SOLUTION TO THE TETRONOMIAL ALGEBRAIC EQUATIONS
The description of the algorithm of creation of the polygon defining area of convergence for Mellin-Barnes integral representing solution to the tetranomial algebraic equations is given.
© 3tiKOBa T. B., 2012
УДК 681.3.06
О. В. Капцов
Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук, Россия, Красноярск
О ПРОБЛЕМЕ КЛАССИФИКАЦИИ ГУРСА
Освещается классическая проблема Гурса, которая состоит в перечислении всех нелинейных гиперболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными, интегрируемых методом Дарбу.
В конце девятнадцатого века Дарбу предложил подход к интегрированию нелинейных уравнений с частными производными, обобщающий метод промежуточного интеграла Монжа-Ампера. Подробное описание с большим числом примеров, дано в замечательной монографии Гурса [1]. В данном методе используются дифференциальные 1-формы. Близкий подход, основанный на применении дифференциальных операторов, описан в [2], там же дано обобщение метода Дарбу на системы уравнений с частными производными.
В работе рассматривается проблема Гурса - классификация гиперболических нелинейных уравнений, обладающих двумя нетривиальными инвариантами характеристик, описывается алгоритм нахождения инвариантов характеристик, приводится пара уравнений Лэне, одно из которых обладает инвариантами второго и третьего порядков. Наличие такого уравнения показывает, что проблема Гурса остается откры-
той. Ранее о решении проблемы классификации Гурса было заявлено в работе [3]. Компьютерные расчеты демонстрируют, что инварианты характеристик второго уравнения Лэне, приведенные в его работе, указаны тоже неверно. Подробности можно найти в [4].
Библиографические ссылки
1. Goursat M. E. Leçons sur l'intégration des equations aux derivees partielles du second order a deux variables independantes. Paris : Librairie scientifique A. Hermann. T. II. 1898. P. 344.
2. Капцов О. В. Методы интегрирования уравнений с частными производными. М. : Физматлит, 2009.
3. Жибер А. В., Соколов В. В. Точно интегрируемые уравнения лиувиллевского типа. УМН. 2001. Т. 56. Вып. 1 (337). С. 63-106.
3. Капцов О. В. О проблеме классификации Гурса // Программирование. 2012. Т. 38. № 2. С. 68-71.
