Теоретико-игровая модель налоговых проверок с использованием статистической информации о налогоплательщиках Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2010. Вып. 4

УДК 519.86

В. М. Буре, С. Ш. Кумачева

ТЕОРЕТИКО-ИГРОВАЯ МОДЕЛЬ НАЛОГОВЫХ ПРОВЕРОК С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ О НАЛОГОПЛАТЕЛЬЩИКАХ

Описание модели. Рассмотрим простейшую модель налогообложения, опирающуюся на иерархическую игру (см. [1, с. 194-196]), в которой в качестве игроков выступают налоговые органы и конечное число налогоплательщиков. Следуя [2-6], взаимодействие налоговых органов с каждым налогоплательщиком предполагается соответствующим схеме «принципал - агент». Поведение игроков считается риск-нейтральным.

Имеется п налогоплательщиков, каждый из которых имеет доход где к = 1, п. По окончании налогового периода k-й налогоплательщик декларирует доход rk, причем Тк ^ *fc для любого к = 1, п. Пусть t - ставка налога, тг - штрафная ставка, измеряемые в долях денежной суммы. Как ив [2], считается, что проверка k-го налогоплательщика осуществляется налоговыми органами с вероятностью pk. Модель построена, исходя из предположения, что налогоплательщикам известны эти вероятности. Предполагается, что проверки, проводимые налоговыми органами, эффективны во всех случаях уклонения.

Если в результате проведенной налоговой проверки выявлено уклонение от налогообложения, налогоплательщик должен выплатить штраф, величина которого зависит от уровня уклонения. Полагая налоговую ставку t и штрафную ставку п постоянными, в рамках данной модели рассматриваются следующие варианты штрафования, указанные в работах [4, 5]:

1) штраф пропорционален обнаруженному недоплаченному налогу:

F(I,Ir) = (1 + Sa)(T(I) - T(Ir));

2) чистый штраф пропорционален сокрытому доходу:

F(I, Ir) = T(I) - T(Ir) + Sb(I - Ir);

3) штраф ограничен из-за заданной минимальной величины дохода агента I при его неоптимальном поведении:

0 ^F(I,Ir)^I-T(Ir)-I;

Буре Владимир Мансурович — доктор технических наук, доцент кафедры математической теории игр и статистических решений факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 106. Научные направления: анализ данных, вероятностно-статистическое моделирование. E-mail: vlmbure@mail.ru.

Кумачева Сурия Шакировна — аспирант кафедры математической теории игр и статистических решений факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: доктор технических наук, доц. В. М. Буре. Количество опубликованных работ: 7. Научные направления: теория игр, вероятностно-статистическое моделирование. E-mail: s_kumach@mail.ru.

© В. М. Буре, С. Ш. Кумачева, 2010

4) выплата после налогообложения пропорциональна обнаруженному сокрытому доходу:

F(I,Ir) = Sd(I - Ir),

где (в обозначениях [4, с. 13]) I и Ir - истинный и декларируемый доходы налогоплательщика соответственно; T(Ir) - налоговая функция; Sa, Sb, Sd - коэффициенты штрафования в соответствующих случаях; F(I,Ir) - штрафная функция. Стоит отметить, что в [4, 5] под штрафом понимается, скорее всего, постаудитная выплата.

Сначала рассмотрим простейший случай штрафования. Ранее теоретико-игровая структура модели с таким штрафом была описана в [2].

1. Чистый штраф пропорционален сокрытому доходу. В обозначениях, введенных в данной модели, такой вариант штрафования означает, что в случае выявления налогового уклонения налогоплательщик должен оплатить: (t + 7r)(*fc — rk), где к = 1, п. Ожидаемые налоговые выплаты k-го налогоплательщика составят

Uk = trk + Pk (t + n)(ik - rk), (1)

где первое слагаемое выплачивается налогоплательщиком всегда (предаудитная выплата), а второе - в результате проверки, производимой с вероятностью Pk (постаудитная выплата). Ожидаемый выигрыш k-го налогоплательщика

bk = ik - Uk = ik - trk - Pk(t + n)(ik - rk). (2)

Фактически bk зависит от значений вероятности проверки и декларируемого дохода, т. е. bk = bk(pk,rk). Задача каждого налогоплательщика заключается в максимизации

своей функции выигрыша max bk (pk, rk) или, что в данном случае является эквивалент-

rk

ной задачей, минимизации своих ожидаемых налоговых выплат minUk(pk,rk).

rk

Пусть ck - стоимость налоговой проверки k-го налогоплательщика. Она различна для всех налогоплательщиков, так как проверка каждого из них требует затрат разных ресурсов. Чистый доход налоговых органов состоит из суммы дохода от налогообложения (выплаты налогоплательщиков в соответствии с декларируемым уровнем дохода) и собранных штрафов (по результатам проверок) за вычетом общей стоимости аудита. Являясь суммой доходов, полученных от каждого налогоплательщика, ожидаемый чистый доход налоговых органов (функция выигрыша) может быть вычислен как разность ожидаемых налоговых выплат n налогоплательщиков и ожидаемой стоимости всех проверок:

n n n

R = ^2 Rk =Y,(Uk - Pk Ck) = ^2(trk + Pk (t + n)(ik - rk ) - Pk Ck ). (3)

k=1 k=1 k=1

Задача налоговых органов - максимизация их ожидаемого дохода max R(p, ri, r,rn),

p

где P = (P1,P2, ■■■,Pn).

Поиск оптимальных стратегий игроков. В более ранних математических моделях налогового контроля в качестве стратегии налоговых органов рассматривался выбор оптимального контракта [4, 5] или оптимальной схемы [6] (t,n,Pk). В данной модели значения штрафной и налоговой ставок t и п являются постоянными, определенными до налогового периода. Отнеся t и п к параметрам долгосрочного налогового регулирования, в качестве стратегии налоговых органов, выбираемой в конкретный налоговый период, рассматривается выбор вектора p = (p1,p2, ...,Pn).

Фактически стратегия налогоплательщиков - это принятие решения, уклоняться или нет от уплаты налогов (т. е. декларировать гн < гн или гн = гн).

Первый шаг в игре производят налоговые органы (верхний игрок иерархии) - осуществляется выбор вектора р = (р1,р2, ...,рп). Второй шаг реализуют налогоплательщики (нижние игроки иерархии) - они выбирают значения декларируемого дохода гн.

Построение дальнейших рассуждений зависит от соотношения параметров Ь, п и сн, а именно от выполнения условия (£ + тг)*^ ^ для любого к = 1,п. С экономической точки зрения, это условие означает, что стоимость налоговой проверки данного налогоплательщика не превышает штраф и налоги, выплаченные в соответствии с истинным уровнем дохода. Предположение об указанном соотношении параметров Ь, п и сн кажется вполне логичным и обоснованным. Однако в реальной экономической практике существует ряд ситуаций, в которых указанное условие нарушается. К этому приводят высокая стоимость налоговых проверок, обусловленная технической сложностью их осуществления, и невыявленные уклонения (в силу недобросовестного осуществления проверок, коррупции и ошибок инспекторов, которые в модели не рассматриваются). Потому дальнейшие рассуждения будут проводиться для различных возможных случаев.

Случай 1. Пусть для всех к = 1,п выполняется неравенство

(Ь + п)гн > сн. (4)

Утверждение 1. Оптимальной стратегией в смысле максимизации дохода налоговых органов является стратегия р = оптимальной стратегией к-го налого-

плательщика -

О, если р]~ < р, если Рк>Р-

Ситуация [г*к,р] является единственным равновесием по Нэшу в данной игре.

Доказательство. Задача к-го налогоплательщика - минимизация функции ин. В данной модели ин - линейная по переменной гн. Следовательно, минимума она может достичь на концах отрезка [0; гн].

Когда значение декларируемого дохода гн = гн, функция ин = Ин, что соответствует честной уплате налогов. Когда гн = 0, функция ин = рн (Ь + п)гн, что соответствует ожидаемым постаудитным выплатам. Критическим для принятия налогоплательщи-

_ £

ком решения, уклоняться или нет, является значение вероятности проверки р =-----.

Ь + п

Таким образом, оптимальной стратегией к-го налогоплательщика становится г*к(рн).

Вероятность проверки Рк = Р есть точка безразличия, т. е. при таком значении вероятности проверки к-й налогоплательщик может декларировать любое значение из промежутка [0; %н] - его ожидаемые налоговые выплаты будут ин = Ын. Поэтому данный случай можно объединить со случаем Рк > Р в нестрогое неравенство ри ^ р.

Пусть все налогоплательщики действуют оптимально, т. е. гн = г*к(рн) для любого к = 1, п. Тогда чистый доход налоговых органов зависит только от вектора р, т. е. Д = И(р1,р2, ...,Рп)- ___

1. Если рк ^ р, налогоплательщик не уклоняется и декларирует гк = гк, к = 1,п. Тогда Кк = Ик — РкСк, функция Нк убывает на отрезке [р, 1] и достигает максимума в точке рк = р.

тах Ик ск.

Рк Ь + п

2. Если рк < Р, тогда Ни = Рк{I + тг)*й ~ РкСк ~ возрастающая на промежутке [0,р) функция. Соответственно своего максимума Кк достигает при рк —> р—:

Очевидно, что

ІІШ. Rk Rkip) t^k , Ск •

рк^р- t + 7Г

max R max Rk ■

P f—' Pk

k=1

Когда любой компонентой вектора p = (pi,p2, ■■■,Pn) является оптимальная стратегия, т. е. рк = р для любого к = 1, п, достигается равенство левой и правой частей указанного неравенства. То есть максимум общего ожидаемого дохода от налогообложения n налогоплательщиков определяется как сумма максимального дохода от налогообложения каждого налогоплательщика:

n

max R=\ max Rk ■

p p

Таким образом, найдены оптимальные стратегии налогоплательщиков и налоговых органов. Очевидно, что ни одному игроку не выгодно отклоняться от указанных стратегий в одностороннем порядке. Ситуация (г*к,р) удовлетворяет определению [1, с. 118] и является равновесием по Нэшу. Его единственность следует из единственности оптимальных стратегий игроков, т. е. линейности функций выигрыша. Утверждение доказано.

Случай 2. Пусть для всех к = 1,п выполняется неравенство

(t + n)ik <ck. (5)

Любая налоговая проверка неприбыльна для налоговых органов (приносит только чистые потери), так как при таком соотношении параметров t, п и ск чистый доход налоговых органов при осуществлении налоговой проверки k-го налогоплательщика Rk ^ 0, к = 1, п.

Утверждение 2. Оптимальной стратегией в смысле максимизации дохода налоговых органов является стратегия р = 0, а оптимальной стратегией к-го налогоплательщика — г*к(р]~) = 0. Ситуация (г*к,р) является единственным равновесием по Нэшу в данной игре.

Доказательство. В силу соотношения (6), проведение любой налоговой проверки - неприбыльно для налоговых органов, ибо расходы на ее осуществление превышают выплаченные налог и штраф даже в случае выявления максимального уклонения. Следовательно, для налоговых органов оптимально вообще не проводить проверки, т. е. их оптимальная стратегия р = 0.

В свою очередь, налогоплательщики, зная, что их не будут проверять, могут безнаказанно уклониться на максимально возможный уровень, т. е. их оптимальная стратегия г*к(рк) = 0 для любого к = 1, п.

Доказательство существования и единственности равновесия по Нэшу аналогично приведенному доказательству в утверждении 1. Утверждение доказано.

Замечание!.. С точки зрения экономического смысла параметров Ь, п и Ск, выполнение неравенства (4) кажется более логичным, чем (5). Второй случай соответствует ситуации, когда все налогоплательщики, в соответствии с оптимальным поведением, уклоняются на максимальный уровень (т. е. налоги не платятся вообще), а налоговые органы не предпринимают ничего, чтобы это изменить. Таким образом, соотношение (5) кажется пессимистичным и мало приближенным к реальности.

Случай 3. Пусть для части налогоплательщиков выполняется неравенство (4), а для другой части - неравенство (5). Тогда перенумеруем множество налогоплательщиков {1, п} таким образом, что для налогоплательщиков с номерами к = 1, по выполняется неравенство (4), а для налогоплательщиков с номерами к = по + 1, п - неравенство (5).

Для первой группы налогоплательщиков (подмножество {1,по}) выполняется утверждение !, а для второй группы (подмножество {по + 1, п}) - утверждение 2.

Далее рассмотрим модель в случаях других вариантов штрафования.

2. Штраф пропорционален обнаруженному недоплаченному налогу. При заданных постоянных налоговой и штрафной ставках в рассматриваемой модели данный способ штрафования будет определяться как (1+ п)Ь(гк — тк). Тогда ожидаемые налоговые выплаты (!) к-го налогоплательщика примут вид

ии = Ьти + Рк(1 + п)Ь(гк — тк),

а ожидаемый выигрыш (2) к-го налогоплательщика -

Ьк = ги — ии = ги — Ьтк — Рк (1 + п)Ь(1к — тк).

Ожидаемый доход налоговых органов (3) в таком случае принимает форму

П П

я = ^2 Як = ^2(гк + Рк (1 + п)г(гк — тк) — РкСк). к=1 к=1

При поиске оптимальных стратегий игроков и соответствующих им функций выигрыша необходимо, как и ранее, учитывать соотношение параметров Ь, п и Ск. Условие (4) для данного варианта штрафования примет вид

(1 + п)Ь%к > Ск. (6)

В случае выполнения условия (6), рассуждения и результаты абсолютно аналогичны

первому случаю предыдущего варианта штрафования. Для р = ----------- остается спра-

1 + п

ведливым утверждение ! об оптимальных стратегиях игроков и равновесии по Нэшу.

Если условие (6) нарушается, налоговые проверки становятся убыточными для налоговых органов. Для данного соотношения параметров Ь, п и Ск действуют утверждения, описанные во втором случае предыдущего варианта штрафования. В такой ситуации все налогоплательщики уклоняются, и их никто не проверяет.

3. Штраф ограничен из-за заданной минимальной величины дохода агента при его неоптимальном поведении. При данном варианте штрафования пост-аудитные выплаты налогоплательщика заключены в отрезке [О, I — Т{1Г) — /]. В обозначениях описанной модели это значит, что

ик € к, '1к - г].

Возможность дальнейшей работы с таким случаем связана с механизмом определения указанного значения минимального дохода г. Когда он определен, возникает возможность поиска оптимальных стратегий. Результаты, полученные в [4, 5] для данного случая штрафования, говорят о том, что оптимальный штраф всегда будет максимальным в случае, когда он принимает значение верхней границы отрезка, т. е. это значит, что налоговые выплаты составят = %к — г.

4. Выплата после налогообложения пропорциональна обнаруженному сокрытому доходу. В данном случае ожидаемые налоговые выплаты (!) могут быть определены как

где второе слагаемое - постаудитные выплаты. Если положить Ь + п в качестве 6d, этот случай становится абсолютно аналогичным случаю первого способа штрафования, описанному выше.

Использование дополнительной информации о налогоплательщиках при выборе стратегии налогового контроля. С целью приближения теоретикоигровой модели к экономической практике нужно внести несколько существенных уточнений в принцип выбора стратегий обеими сторонами.

Являясь риск-нейтральными, налогоплательщики моделируют наилучший ответ, сравнивая величины Ьгк (вычет из прибыли в результате честной уплаты налогов) и ик (ожидаемый ущерб в результате налоговых проверок). Более сложно обстоит дело с оценкой ожидаемого дохода налоговыми органами. Им неизвестно точное значение истинного уровня дохода каждого налогоплательщика, что существенно усложняет принятие решения о проведении налоговой проверки в конкретном случае.

Математическое моделирование налогообложения [2-6] неоднократно оценивало возможные доходы налогоплательщиков как дополнительный фактор при выборе стратегии налоговых органов. В качестве критерия принятия решения о проведении проверки может рассматриваться имеющаяся у налоговых органов информация о распределении дохода среди налогоплательщиков или собранная в результате мониторинга статистическая информация о доходе каждого налогоплательщика. Рассмотрим один из способов такого оценивания.

З а м е ч а н и е 2. Стоит отметить, что ниже идет речь, скорее, не об оценке дохода налогоплательщиков, а об оценке их склонности к уклонению от налогов.

Пусть Шк - вероятность, с которой налогоплательщик уклоняется от уплаты налогов. Предположим, что она распределена по закону бета-распределения. По аналогии с имеющимся в финансовой практике понятием «кредитная история» введем понятие «налоговая история», являющееся характеристикой поведения налогоплательщика в предыдущие налоговые периоды, которое базируется на имеющейся у налоговых органов многолетней информации о наличии уклонений у данного налогоплательщика. С математической точки зрения, в качестве налоговой истории будем рассматривать повторную выборку Х1,Х2,..., ХПк из распределения Бернулли

в ]-й налоговый период.

Для дальнейшего построения оценки доходов налогоплательщика воспользуемся теоремой о свойствах сопряженных распределений [7, с. 165].

ик — Ьтк + 6d(ik тk),

0, если уклонения не было, 1 , если уклонение было,

Теорема. Пусть Х1,Х2,..., Хп — выборка из распределения Бернулли с неизвестным значением параметра Ш. Допустим, что априорное распределение Ш есть бета-распределение с параметрами а и в (а > 0, в > 0). Тогда апостериорное распределение \¥ при Хг = ж* (г = 1, п) есть бета-распределение с параметрами а + у и [3 + п —у, где

п

У = Е X.

1=1

Из теоремы становится очевидным, что семейство бета-распределений сопряжено к семейству распределений Бернулли.

Вероятность Шк подчиняется бета-распределению с параметрами ак и вк (ак > 0, вк > 0). Тогда, используя свойство сопряженных семейств распределений [7], получаем, что в рассматриваемый ]-й налоговый период Шк (апостериорное распределение) подчиняется бета-распределению с параметрами

пк пк

аПк ак 1 ^ ^ Хкз : впк вк + пк ^ ^ Хк^ •

3=1 3=1

ЗамечаниеЗ. При отсутствии априорной информации целесообразно рассматривать равномерное распределение, которое получается из бета-распределения

при ак = 1, вк = 1.

Вполне логично будет предположить, что вероятность рк проведения налоговой проверки к-го налогоплательщика распределена так же, как апостериорное распределение Шк его налогового уклонения. В качестве критерия проверки могут быть использованы такие числовые характеристики распределения как математическое ожидание, мода, медиана или любой другой выбранный квантиль.

Пользуясь полученным апостериорным распределением, налоговые органы принимают решение о необходимости проверки к-го налогоплательщика и выбирают значения соответствующей вероятности.

Другая задача налоговых органов. При построении предложенной модели налоговых проверок предполагалось, что задачей всех игроков является максимизация собственных функций выигрыша. Это предположение соответствует фискальной функции налоговой системы. Однако наряду с такой функцией существуют также регулирующая, распределительная, социальная, стимулирующая и контрольная функции (см. [8, с. 641-643]). Если в качестве основной цели налоговых органов рассматривать не максимизацию чистого дохода, а минимизацию числа уклоняющихся налогоплательщиков (т. е. идеальной является ситуация гк = гк для всех к = 1 , п), данная модель будет решать задачи распределительной функции налоговой системы.

Рассмотрим модель в случае первого варианта штрафования (очевидно, что результаты для остальных будут аналогичными).

1. Пусть неравенство (4) выполняется для к = 1,п. В этом случае проведение налоговых проверок с вероятностью рк > р, где р = делает уклонение от налогообло-

£ + п

жения невыгодным для всех налогоплательщиков. Применив результат утверждения 1, будем иметь, что оптимальным для всех налогоплательщиков оказывается декларировать т^, (рк) = гк. Тогда чистый доход налоговых органов, полученный с налогообложения к-го налогоплательщика, приобретает вид

Дк Ик 7 ' Ск • (7)

I + П

Соотношение (4) гарантирует неотрицательность выражения (7) для дохода налоговых органов.

2. Теперь рассмотрим случай выполнения неравенства (6) для к = 1, п. Критическим для поведения налогоплательщиков значением вероятности налоговой проверки по-прежнему остается р = (при Рк < Р уклонение выгодно, при рк ^ р - невыгодно). Налоговые органы остаются в убытке (тратя на проверки больше, чем получая в их результате), но при этом обеспечивают реализацию распределительной функции.

3. В смешанной ситуации, когда неравенство (4) выполняется для к = 1,по, а нера-

венство (5) - для к = по + 1, п, остается справедливым все сказанное выше относительно значения вероятности проверок р = . Вся совокупность проводимых налоговых

проверок может оказаться прибыльной или неприбыльной для налоговых органов в зависимости от соотношения численности обеих групп (по и п — по).

Применение «порогового правила». В [4, 5] в качестве оптимальной стратегии проверок было установлено «пороговое правило» (см., например, [4, с. 35] или [5, с. 192]), согласно которому налоговым органам следует осуществлять проверки налогоплательщиков, декларировавших доход, меньший некоторого порогового значения, с минимальной вероятностью, которая делает уклонение от налогов невыгодным, а проверки остальных налогоплательщиков не производить. Оптимальное пороговое значение дохода в указанных работах рекомендовано определять, начиная с самого низкого уровня и повышая его, пока предельные затраты на налоговые проверки не превысят предельный доход налоговых органов. Для варианта штрафа, ограниченного из-за минимального уровня дохода агента, данная процедура должна быть остановлена до того, как ожидаемый доход налогоплательщиков после уплаты налога перестанет достигать желательного уровня. Рассмотрим подробнее применение «порогового правила» к изученной модели для других вариантов штрафования.

В случае, когда выполняется условие (5), предельные затраты на налоговые проверки всегда превышают предельный доход, полученный с них. Применяя «пороговое правило», приходим к выводу, полностью согласующемуся с приведенными ранее результатами: в таких условиях налоговым органам не стоит вообще проводить налоговые проверки, т. е. р = 0.

Теперь рассмотрим применение «порогового правила» в случае выполнения условия (4). Следуя полученным рекомендациям, будем предполагать, что проверка налогоплательщиков с самым низким уровнем декларируемого дохода (тк = 0) осуществляется

с минимальной вероятностью, делающей уклонение от налогов невыгодным (р =-------).

Ь + п

Теперь будем считать, что декларируемый доход тк > 0. Тогда для налоговых органов становится существенным вопрос о соотношении предельных затрат и предельного дохода, т. е. сравниваются две величины: ркСк и ик. Поскольку проверки осуществляются

с вероятностью р =-----, сравнивать нужно величины —-— и Обратившись к заме-

£ + п Ь + п

чанию 2, определяем, что предельные затраты превышают предельный доход. Таким

образом, поиск оптимального порогового значения по предложенному алгоритму завершен. В данном случае он тк = 0.

Применение «порогового правила» к рассматриваемой модели дало следующий результат: для налоговых органов оптимально осуществлять проверку налогоплательщи-

_ £

ков, декларировавших гк = 0, с вероятностью р =-----, а остальных не проверять.

Ь + п

Результат, полученный с применением «порогового правила», хорошо согласуется с найденным результатом при попытке реализовать распределительную функцию налогообложения: при проведении проверок с вероятностью, не меньшей р =-----------------, укло-

t + п

нение становится невыгодным для всех налогоплательщиков (в том числе декларировавших rk = 0)- Эти же результаты согласуются с утверждением 1 об оптимальности найденных стратегий р и (4). Аналогичным образом строятся рассуждения и формулируются результаты, полученные для других вариантов штрафования - за исключением случая штрафа, ограниченного из-за заданной минимальной величины дохода агента при его неоптимальном поведении. Что касается последнего случая, то здесь следует ориентироваться на выполнение условия — г, зависящего от значения г.

Литература

1. Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Семина Е. А. Теория игр: учеб. пособие. М.: Высшая школа, 1998. 300 с.

2. Кумачева С. Ш., Петросян Л. А. Теоретико-игровая модель взаимодействия налогоплательщиков и налоговых органов // Процессы управления и устойчивость: Труды 40-й междунар. науч. конференции аспирантов и студентов / под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб.: Изд. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2009. С. 634-637.

3. Буре В. М., Кумачева С. Ш. Модель аудита с использованием статистической информации о доходах налогоплательщиков // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2005. Вып. 1-2. С. 140-145.

4. Васин А. А., Васина П. А. Оптимизация налоговой системы в условиях уклонения от налогов: роль ограничений на штраф // EERC. Сер. Науч. доклады. 2002. 48 с.

5. Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2005. 272 с.

6. Chander P., Wilde L. L. A General Characterization of Optimal Income Tax Enfocement // Rev. of Econ. Studies. 1998. Vol. 65. P. 165-183.

7. Де Гроот М. Оптимальные статистические решения / пер. с англ. А. П. Рухина; под ред. Ю. В. Линника и А. М. Кагана. М.: Мир, 1974. 491 с.

8. Курс экономической теории: Общие основы экономической теории. Микроэкономика. Макроэкономика. Основы национальной экономики: учеб. пособие / науч. ред. А. В. Сидорович. М.: ДИС, 2001. 832 с. (Учебники МГУ им. М. В. Ломоносова)

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном.

Статья принята к печати 10 июня 2010 г.