CC BY
10Математика и ее приложения в космической отрасли
S. S. Karchevsky Siberian Federal University, Krasnoyarsk, Russia
A. A. Kuznetsov
Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk
CONSTRUCTION OF BURNSIDE GROUPS USING SUPERCOMPUTER
Software for a cluster computation system is designed, that is being used at hardware of ISIT SFU to build B(2,5) group. The results of the program execution are adduced.
© Карчевский С. С., Кузнецов А. А., 2010
УДК 519.168
А. А. Кузнецов, А. С. Кузнецова
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск
ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВОЙ ПОДХОД В ЗАДАЧАХ КОМБИНАТОРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
Рассматривается задача комбинаторной оптимизации, сводимая к построению симметрической группы в формате минимальных слов. Приводятся решения для некоторых частных случаев указанной задачи.
Формулировка задачи (В. В. Беляев, 2010): пусть имеется п стульев, каждый из которых имеет уникальный порядковый номер i = 1, 2, ..., п. Данные стулья расставлены по окружности:
На стулья произвольным образом садятся п человек так, что после посадки на каждом стуле оказывается по одному человеку. Каждый человек имеет уникальный порядковый номер/ = 1, 2, ..., п. Посадка называется правильной, если у всех стульев порядковые номера совпадают с номерами сидящих на них людей. В противном случае посадка называется неправильной. Будем называть перестановкой перемену мест двух сидящих рядом людей. Вычислить наименьшее число перестановок г, позволяющих получить правильную посадку из произвольной начальной посадки.
Решение. Очевидно, перестановки (р д), указанные в условии задачи, порождают симметрическую
группу Бп степени п. Запишем данную группу через порождающие элементы и определяющие соотношения. Пусть х1 = (1 2), х2 = (2 3), ..., хп- = (п - 1 п), хп = (1 п) - порождающие элементы группы Бп. Теперь запишем определяющие соотношения Я для Бп: Я = {х2 = е, i = 1, 2, ..., п; (хх) = е, если |/ - /'| > 1; (ххх) = е, если |/ — /'| = 1; Х1Х2...Хп-2Хп-1Хп-2.Х2Х1 = Хп}. Таким образом,
Бп = < Х1, Х2, ..., Хп | Я >.
Построим группу Бп в формате минимальных слов [1]. В итоге максимальная длина минимальных слов группы Бп будет являться решением задачи. Ниже приведены решения для п = 2, 3, ..., 10, полученные при помощи компьютерных вычислений:
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10
r 1 2 4 6 9 12 16 20 25
К рассмотренной выше задаче сводятся многие проблемы, встречающиеся на практике, например, проектирование компьютерных вычислительных сетей.
Библиографическая ссылка
1. Кузнецов, А. А., Антамошкин А. Н., Шлепкин А. К. Моделирование периодических групп // Системы управления и информ. технологии. 2008. № 2 (32). С. 4-8.
A. A. Kuznetsov, A. S. Kuznetsova Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk
THE GROUP-THEORETICAL APPROACH IN COMBINATORIAL OPTIMIZATION TASKS
The task of combinatorial optimization reduced to the building of a symmetric group in a format of minimal words is considered. There are solutions for some cases of the task.
© Кузнецов А. А., Кузнецова А. С., 2010
