Построение бернсайдовых групп при помощи суперкомпьютера Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.54

А. А. Дуж, К. А. Филиппов Красноярский государственный аграрный университет, Россия, Красноярск

О ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ГРУППЕ ШУНКОВА, НАСЫЩЕННОЙ ЦЕНТРАЛЬНЫМИ РАСШИРЕНИЯМИ КОНЕЧНЫХ 2-ГРУПП ПОСРЕДСТВОМ ГРУППЫ /,3(2")*

Пусть Я - множество групп. Будем говорить, что группа О насыщена группами из Я, если любая конечная подгруппа из О содержится в подгруппе группы О, изоморфной некоторой группе из Я. В работе доказывается, что периодическая группа Шункова, насыщенная группами из множества Я = {Ь3(д) х 1п | п = 1, 2, ...}, где 1п - прямое произведение п экземпляров групп порядка 2, д = 2 - фиксированное число, является локально конечной.

Ранее авторами изучались периодические группы Шункова, насыщенные центральными расширениями групп 1п посредством группы Ь2(2к). В данной работе продолжены исследования в этом направлении.

Напомним, что группа О называется группой Шункова, если для любой конечной подгруппы И с О в фактор-группе ЫО(Н)/Н любые два сопря-

женных элемента простого порядка порождают конечную группу.

Пусть 22 - группа порядка 2 и 1п - прямое произведение п экземпляров группы 22.

Доказана следующая теорема: бесконечная периодическая группа Шункова О, насыщенная группами из множества Я, локально конечна и изоморфна Ь3(д) х1, где I - бесконечная группа периода 2.

A. А. Duzh, K. А. Filippov Krasnoyarsk State Agrarian University, Russia, Krasnoyarsk

ABOUT SHUNKOV'S PERIODIC GROUP SATED WITH THE CENTRAL EXPANSIONS OF FINAL 2-GROUPS BY MEANS OF GROUP L3(2n)

Let R - a set of groups Let's say, that group G is saturatedwith the groups from R, if any final subgroup from G is in a subgroup's group G, isomorphic to some group from R. In the work it is proved, that Shunkov's periodic group, saturated with groups of set R = {L3(q) xIn | n = 1, 2, ...}, , where In - direct product n copies of groups of an order 2, q = 2 - the fixed number, is locally final.

© Дуж А. А., Филиппов К. А., 2010

УДК 51-37

С. С. Карчевский Сибирский федеральный университет, Россия, Красноярск

А. А. Кузнецов

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

ПОСТРОЕНИЕ БЕРНСАЙДОВЫХ ГРУПП ПРИ ПОМОЩИ СУПЕРКОМПЬЮТЕРА

Описывается программа для кластерной вычислительной установки, при помощи которой на оборудовании ИКИТ СФУ ведется построение группы В (2,5). Приводятся основные результаты работы программы.

Проблема Бернсайда является обширной задачей современной математики, поэтому опишем задачу построения одного частного случая, а именно дву-порожденной группы периода пять, исключительно с точки зрения программиста. Имеется алфавит А = {0, 1} и две верхнетреугольные матрицы а и Ь порядка 66.

Слову 0 из алфавита А поставлена в соответствие матрица а, а слову 1 - матрица Ь. Любому составному слову ставится в соответствие матрица, равная произведению матриц, соответствующих элементам слова. Говорят, что два слова являются соотношением, если матрицы этих слов равны. Множество В слов длины п называется объектом.

*Работа выполнена при поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект 2.1.1/3023) и гранта РФФИ (проект 09-01-00717-а).

Решетневские чтения

Для каждого объекта требуется исключить слова, имеющие периодические подслова периода 5; отфильтровать объект уже имеющимися соотношениями, т. е. исключить из него все слова, которые имеют в качестве подслов правые части соотношений; отыскать в этом объекте соотношения, исключить из множества их правые части и добавить соотношения к множеству уже имеющихся. Таким образом получится объект под номером n + 1. Начинать имеет смысл с объекта длины 5, так как он очевидно будет содержать 30 слов и не будет иметь соотношений.

Можно доказать, что в рамках одного объекта для каждого слова можно получить последовательность из семи целых чисел, каждое из которых может иметь значение от 0 до 4 и соотношение может состоять только из слов с одинаковым идентификатором. Множества таких слов называются классами. Отсюда следует, что такие классы можно обрабатывать независимо друг от друга, а значит, параллельно. В связи с этим была разработана параллельная программа для запуска на кластерной вычислительной установке, состоящей из многопроцессорных узлов. Для межузлового взаимодействия используется интерфейс MPI, а для распараллеливания внутри узла с общей памятью используются стандартные потоки POSIX.

Программа представляет собой один исполняемый файл, один конфигурационный и файл контрольной точки. Также в двух файлах хранятся матрицы a и b. Хранение входных и выходных данных организовано по одному классу в файле. Для хранения матриц и слов используется упаковка данных в биты, в связи с чем сразу после запуска программа на всех узлах кластера проверяет размеры основных типов данных и завершается в случае несоответствия. На каждом узле кластера запускается один процесс программы независимо от количества процессоров на нем. В дальнейшем в процессах будет порождено нужное количество потоков. В общей для всех потоков памяти будет храниться множество соотношений и таблица умножения матриц. Она вычисляется один раз перед запуском потоков и позволяет отыскивать матрицу слова длины m не за m перемножений матриц, а за mlp или mlp + 1, если p не кратно m, где p - максимальная длина слова в таблице. Таблица организована древовидно, что позволяет искать матрицы слов за время бинарного поиска. Процесс с MPI-рангом, равным 0, является серверным (головным). До запуска основного цикла он создает список заданий (или берет уже созданные ранее) и восстанавливает состояние программы из контрольной точки, если ранее она завершилась некорректно.

В головной части, пока есть необработанные задания, выполняется следующий цикл.

Ожидается (MPI_Recv, 1 байт) запрос от любого процесса с любым тегом. Если пришедший байт -запрос о задании, то запросившему процессу высылаются три числа: номер результирующего класса и два номера входящих классов. Тег высылаемого сообщения равен тегу принятого. Если все задания выполнены, то все три числа равны -1, что сигнализирует рабочему потоку о завершении. Если же головному потоку пришел отчет о завершении, то далее он принимает несколько чисел со служебной информацией и номер обработанного класса, который пополняет список обработанных и записывается в файл контрольной точки.

В остальных процессах в это время читается конфигурационный файл, в котором для каждого узла определено количество потоков и максимальная длина слов таблицы умножения матриц. После чтения файла процесс вычисляет таблицу умножения и запускает потоки. Каждый поток в цикле запрашивает задание у головного потока и выполняет обработку в соответствии с шагами, описанными выше. Для определения 5-периодичности используется специальный алгоритм [1], а для поиска подслов используется суф-фиксный автомат (URL: http://e-maxx.ru/algo/ suf-fix_automata). Его применение целесообразно, так как для каждого слова он строится за время, пропорциональное длине этого слова, и используется столько раз, сколько известно соотношений, а их на данный момент найдено 160 508. Построив выходной класс и найдя в нем соотношения, поток записывает эти результаты в файлы и сообщает головному, что он закончил работу и запись результатов.

Передовые результаты, полученные с помощью программ данного типа, следующие.

Все экземпляры программ запускались на кластере ИКИТ СФУ (URL: http://cluster.sfu-kras.ru/). Были получены все объекты с 5-го по 36-й и в настоящее время идет подготовка к получению 37-го объекта. Объект 36 был построен в сентябре 2010 г., он содержит 14 149 769 658 слов и 55 127 соотношений. Кроме того, объекты с номерами до 35-го включительно были независимо получены А. А. Кузнецовым [2] с помощью системы Matlab на 125 узлах того же кластера.

Библиографические ссылки

1. Компьютерные алгоритмы теоретико-множественного анализа сложных алгебраических систем / А. А. Кузнецов, Д. А. Кузьмин, Д. В. Лыткина и др. ; Краснояр. гос. аграр. ун-т. Красноярск, 2009.

2. Кузнецов А. А., Шлепкин А. К. Сравнительный анализ бернсайдовых групп B (2,5) и B (2,5) // Тр. Инта математики и механики УрО РАН. 2009. Т. 15. № 2. С. 125-132.

S. S. Karchevsky Siberian Federal University, Krasnoyarsk, Russia

A. A. Kuznetsov

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

CONSTRUCTION OF BURNSIDE GROUPS USING SUPERCOMPUTER

Software for a cluster computation system is designed, that is being used at hardware of ISIT SFU to build B(2,5) group. The results of the program execution are adduced.

© Карчевский С. С., Кузнецов А. А., 2010

УДК 519.168

А. А. Кузнецов, А. С. Кузнецова

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВОЙ ПОДХОД В ЗАДАЧАХ КОМБИНАТОРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Рассматривается задача комбинаторной оптимизации, сводимая к построению симметрической группы в формате минимальных слов. Приводятся решения для некоторых частных случаев указанной задачи.

Формулировка задачи (В. В. Беляев, 2010): пусть имеется п стульев, каждый из которых имеет уникальный порядковый номер , = 1, 2, ..., п. Данные стулья расставлены по окружности:

На стулья произвольным образом садятся п человек так, что после посадки на каждом стуле оказывается по одному человеку. Каждый человек имеет уникальный порядковый номер/ = 1, 2, ..., п. Посадка называется правильной, если у всех стульев порядковые номера совпадают с номерами сидящих на них людей. В противном случае посадка называется неправильной. Будем называть перестановкой перемену мест двух сидящих рядом людей. Вычислить наименьшее число перестановок г, позволяющих получить правильную посадку из произвольной начальной посадки.

Решение. Очевидно, перестановки (р д), указанные в условии задачи, порождают симметрическую

группу 8п степени п. Запишем данную группу через порождающие элементы и определяющие соотношения. Пусть XI = (1 2), Х2 = (2 3), ..., Хп- = (п - 1 п), хп = (1 п) - порождающие элементы группы £п. Теперь запишем определяющие соотношения Я для £п: Я = {х,2 = е, , = 1, 2, ..., п; (хх,)2 = е, если |/ - > 1; (хх) = е, если |/ — ,| = 1; Х1Х2...Хп_2Хп-1Хп-2.--Х2Х1 = Хп}. Таким образом,

8п = < Х1, Х2, ..., Хп | Я >.

Построим группу 8п в формате минимальных слов [1]. В итоге максимальная длина минимальных слов группы 8п будет являться решением задачи. Ниже приведены решения для п = 2, 3, ..., 10, полученные при помощи компьютерных вычислений:

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10

r 1 2 4 6 9 12 16 20 25

К рассмотренной выше задаче сводятся многие проблемы, встречающиеся на практике, например, проектирование компьютерных вычислительных сетей.

Библиографическая ссылка

1. Кузнецов, А. А., Антамошкин А. Н., Шлепкин А. К. Моделирование периодических групп // Системы управления и информ. технологии. 2008. № 2 (32). С. 4-8.

A. A. Kuznetsov, A. S. Kuznetsova Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

THE GROUP-THEORETICAL APPROACH IN COMBINATORIAL OPTIMIZATION TASKS

The task of combinatorial optimization reduced to the building of a symmetric group in a format of minimal words is considered. There are solutions for some cases of the task.

© Кузнецов А. А., Кузнецова А. С., 2010