CC BY
18
УДК 519.6
Сибирский журнал науки и технологий. 2017. Т. 18, № 3. С. 525-529
ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФОВ МОДИФИЦИРОВАННОЙ ПУЗЫРЬКОВОЙ СОРТИРОВКИ НА ОСНОВЕ ВЫСОКОПРОИЗВОДИТЕЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
А. А. Кузнецов*, В. В. Кишкан
Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
Е-mail: [email protected]
Определение графа Кэли было дано известным английским математиком Артуром Кэли в XIX веке для представления алгебраической группы, заданной фиксированным множеством порождающих элементов. В настоящее время графы Кэли нашли широкое применение как в математике, так и в прикладных задачах. В частности, указанные графы используются для представления компьютерных сетей, в том числе для моделирования топологий многопроцессорных вычислительных систем - суперкомпьютеров. Это связано с тем, что графы Кэли имеют много привлекательных свойств, из которых выделим их регулярность, вершинную транзитивность, малые диаметр и степень при достаточно большом количестве вершин в графе. Например, такие базовые топологии сети, как «кольцо», «гиперкуб» и «тор», являются графами Кэли. При помощи суперкомпьютерных вычислений получены ранее неизвестные характеристики графов Кэли модифицированной пузырьковой сортировки размерности 14 и 15.
Ключевые слова: граф Кэли, многопроцессорная вычислительная система, граф модифицированной пузырьковой сортировки.
Siberian Journal of Science and Technology. 2017, Vol. 18, No. 3, P. 525-529
USING HIGH-PERFORMANCE COMPUTATIONS FOR STUDYING MODIFIED BUBBLE-SORT GRAPHS
А. A. Kuznetsov*, V. V. Kishkan
Reshetnev Siberian State University of Science and Technology 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation Е-mail: [email protected]
The definition of the Cayley graph was given by the famous English mathematician Arthur Cayley in the XIX century to represent algebraic group defined by a fixed set of generating elements. At present, Cayley graphs are widely used both in mathematics and in applications. In particular, these graphs are used to represent computer networks, including the modeling of topologies of multiprocessor computer systems - supercomputers. This is due to the fact that Cayley graphs have many attractive properties such as regularity, vertex transitive, small diameter and degree at a sufficiently large number of vertices in the graph. For example, such a basic network topology as the "ring", "hypercube" and "torus" are the Cayley graphs. Using supercomputer computations we obtained the previously unknown characteristics of modified bubble-sort Cayley graphs of dimensions 14 and 15.
Keywords: the Cayley graph, a multiprocessor computing system, a modified bubble-sort graph
Введение. Определение графа Кэли было дано известным английским математиком Артуром Кэли в XIX веке для представления алгебраической группы, заданной фиксированным множеством порождающих элементов.
В последние десятилетия теория графов Кэли развивается как отдельная большая ветвь теории графов. Графы Кэли находят применение как в математике, так и за ее пределами. Эффективное применение графы Кэли нашли в информационных технологиях после пионерской работы 1986 года С. Эйкерса и Б. Кришнамурти [1], которые впервые предложили
применять указанные графы для представления компьютерных сетей, в том числе для моделирования топологий многопроцессорных вычислительных систем (МВС) - суперкомпьютеров. С тех пор данное направление активно развивается [2-11]. Это связано с тем, что графы Кэли имеют много привлекательных свойств, из которых стоит отметить их регулярность, вершинную транзитивность, малые диаметр и степень при достаточно большом количестве вершин в графе. Например, такие базовые топологии сети, как «кольцо», «гиперкуб» и «тор», являются графами Кэли.
Напомним определения основных терминов, используемых в работе.
Пусть X - порождающее множество группы G, т. е. G = (X). Графом Кэли Г = Cay (G, X) = (V, Е) называют ориентированный граф, обладающий следующими свойствами:
а) множество вершин V(T) соответствуют элементам группы G;
б) множество ребер Е(Г) состоит из всех упорядоченных пар (g, xg), где g е G и x е X .
В дальнейшем будем считать порождающее множество X симметричным и свободным от единичного элемента группы, т. е. x е X ^ x-1 е X и e g X . Поскольку X является свободным от единичного элемента, то граф Г не содержит петель. Симметричность порождающего множества означает, что граф будет неориентированным и без кратных ребер, т. е. если в графе имеется ребро из g в xg, то оно совпадает с ребром из xg в x-1 (xg) = g .
Таким образом, Г = Cay(G, X) = (V, Е), где V = G и Е = {{g,xg}|g е G,x е X}.
Количество вершин | V | равно порядку группы G. Граф Кэли является регулярным, и его степень s, т. е. количество ребер, выходящее из каждой вершины, равно числу порождающих элементов группы: s = | X |.
Шаром Ks радиуса s группы G будем называть множество всех ее элементов, которые могут быть представлены в виде групповых слов в алфавите X длиною, не превышающей s. Для каждого целого неотрицательного s можно определить функцию роста группы F(s), которая будет равна числу элементов группы G относительно X, представимых в виде несократимых групповых слов длиною s. Таким образом,
F(0) = | Ко | = 1, F(s) = | Ks | - | Ks_i | при s е N .
Как правило, функцию роста конечной группы представляют в виде таблицы, в которую записывают ненулевые значения F(s).
Отметим также, что при вычислении функции роста группы мы параллельно выясняем характеристики соответствующего графа Кэли, например, такие как диаметр и средний диаметр [12]. Пусть F(s0) > 0, но F (s0 +1) = 0, тогда s0 будет являться диаметром графа Кэли группы G в алфавите порождающих X, который мы будем обозначать DX (G). Соответственно, средний диаметр DX (G) равен средней длине минимальных (несократимых) групповых слов.
Вычисление диаметра графа Кэли большой конечной группы является хотя и разрешимой, но весьма сложной проблемой. Это связано с тем, что в общем случае задача по определению минимального слова в группе, как показали С. Ивен и О. Голдрейх в 1981 году [13], является NP-трудной (nondeterministic polynomial). Таким образом, в наихудшем случае количество элементарных операций, которые необходимо выполнить для решения указанной задачи, представляет собой экспоненциальную функцию от |X|. Поэтому для эффективного решения задач на графах Кэли, имеющих
большое количество вершин, необходимо применять МВС.
Пусть Sn =(Xn), где Xn = {(i,i + 1)|i = 1, 2, ..., n} -
симметрическая группа, порожденная множеством транспозиций Xn. Граф Кэли BSn = Cay(Sn, Xn) называют графом пузырьковой сортировки (bubble-sort graph) [5]. Свойства данного графа хорошо известны [5] , в частности,
Dx (Sn )
DXn (Sn ) =
n(n -1)
и DXn (Sn) =
2 n 4 ' 2 Пусть теперь Sn = (X, где Xn = Xn u{(1, n)}.
Граф Кэли MBSn = Cay (Sn, Xn) называют графом
модифицированной пузырьковой сортировки (modified bubble-sort graph) [5]. На сегодняшний день известны характеристики данного графа только для n < 13. В работе [14] получено, что
DXn (Sn ) =
n 4
и Dxn (Sn ) =
n - n + 1 6
при n < 13 .
В настоящей работе представлена модифицированная версия алгоритма A-I из [15], на основе которого при помощи суперкомпьютерных вычислений получены ранее неизвестные характеристики MBS„-графов для n = 14 и 15.
Алгоритм A-I
Вход: конечная группа G = (X, ^, где Х = = {xj, x2,..., xm } - порождающее множество G.
Выход: диаметр DX (G), средний диаметр DX (G) графа Кэли Г = Cay(G, X), а также функция роста F(s) группы G, где 0 < s < DX (G).
1. s = 0, K0 = {e}, F(0) = 1, P = K0.
2. s = s +1.
3. Ks = Ks_1 .
4. Vx e X и Vp e P :
4.1. g = x o p ;
4.2. если g e Ks, то Ks = Ks u {g} .
S-1 •
5. P = Ks - K
6. F(s) = |P|.
7. Если F(s) > 0 , то переход п. 2; иначе s0 = s -1, переход п. 8.
_ 1 s0
8. Dx (G) = s0, Dx (G £ F (s )• s .
\Ks„I s=0
9. Выход.
В [15] доказана корректность алгоритма A-I, а также получено, что T (| G |) e©(| G |2) при | X G |,
где T (| G |) - в^гчислительная сложность алгоритма A-I и © - одновременно верхняя и нижняя асимптотическая оценка сложности.
Для снижения вычислительной сложности требуется способ для нумерации элементов [15]. Пусть g = (а1, а2, ..., ап) - произвольная перестановка из Sn.
Используя факториальную систему счисления можно однозначно определить номер перестановки (при этом нумерация будет начинаться с нуля). Определим биективное отображение ф следующего вида:
g ^
n
ng =Z bkk!
k=1
Здесь ng представляет собой целое неотрицательное число, записанное в факториальной системе счисления, при этом коэффициент bk при множителе k! будет обозначать число инверсий для элемента ak+1 в том множестве, в котором производятся перестановки (количество элементов, меньших ak+1, но стоящих правее его в рассматриваемой перестановке). Легко увидеть, что ng пробегает все значения от 0 до n!-1.
Модифицируем алгоритм A-I следующим образом. В п. 1 добавим булев вектор V, размерностью n!, все элементы которого первоначально равны 0. Для удобства индексация элементов V начинается с 0. Ввиду того, что K0 = {e} и ф(е) = 0, запишем V0 = 1.
Заменим п. 4.2 алгоритма A-I на следующий: 4.2. если Vng = 0, то V„g = 1 и Ks = Ks u{g}.
Поскольку сложность процедуры перевода перестановки в число и обратно равна ©(1), то согласно [15] сложность модифицированного алгоритма A-I будет равна ©(| G |).
Также отметим, что в п. 4.1 все элементы g вычисляются независимо друг от друга, поэтому этот уча-
сток алгоритма можно легко распараллелить. В этом случае сначала параллельно вычисляются все произведения g, а затем для каждого элемента получившегося массива последовательно выполняется п. 4.2.
Исследование MBS-графов. Модифицированный алгоритм A-I был реализован на языке С++ и апробирован на 96-ядерном сервере суперкомпьютера СФУ, при этом было задействовано 512 Гб оперативной памяти и 8 Тб дискового пространства. В результате
были вычислены функции роста групп S14 Х^
и S15 . Затраченное на расчеты время равно
примерно 2,5 часа для n = 14 и 46 часов для n = 15. В табл. 1, 2 приведены функции роста групп S14 и S15, а на рис. 1, 2 - их графики. Из табл. 1, 2 следует, что
142 -
DX (S14) = 49 = —, D
,(S14) = 30f =
142 -14 +1
DX\5 (S15 ) = 56 =
152
х15 15 6 6
Таким образом мы можем расширить результат из [14]:
Теорема. Пусть 8п X^ и п < 15. Тогда верно,
что
DX„ (Sn ) =
n
т
и Dt (Sn )=
n - П + 1 6
Таблица 1
Функция роста группы S14 в алфавите X1z
s F(s) s F(s) s F(s) s F(s) s F(s)
0 1 10 1144066 20 523576508 30 7875671024 40 439630193
1 14 11 2496144 21 807898884 31 8184285564 41 177894717
2 105 12 5200300 22 1206399194 32 8059876006 42 59073300
3 560 13 10399573 23 1741769068 33 7486458696 43 15497794
4 2380 14 20044817 24 2428791549 34 6521589932 44 3095274
5 8568 15 37346764 25 3266926299 35 5291298298 45 457459
6 27132 16 67385500 26 4232447674 36 3964966720 46 46501
7 77520 17 117857285 27 5272211438 37 2715665810 47 2912
8 203490 18 199872075 28 6301765938 38 1678335828 48 93
9 497420 19 328616470 29 7210522410 39 920955932 49 1
S14|=14!=87178291200
Функция роста группы S15 в алфавите Xj,
Таблица 2
s F(s) s F(s) s F(s) s F(s) s F(s)
0 1 12 9657700 24 8330511890 36 111514773216 48 723446997
1 15 13 20058300 25 12267072742 37 108665304904 49 217500207
2 120 14 40115312 26 17570631028 38 100844738930 50 52359036
Окончание табл. 2
s F(s) s F(s) s F(s) s F(s) s F(s)
3 680 15 77540544 27 24463138336 39 88757487936 51 9748102
4 3060 16 145284325 28 33079985068 40 73721997284 52 1343342
5 11628 17 264439921 29 43405123242 41 57447140400 53 126700
6 38760 18 468283120 30 55204143800 42 41700857614 54 7282
7 116280 19 807550010 31 67970322498 43 27958028594 55 210
8 319770 20 1356808058 32 80902850743 44 17132134736 56 2
9 817190 21 2221351570 33 92936928305 45 9472716396
10 1961256 22 3543440716 34 102839910030 46 4651580804
11 4457400 23 5505931806 35 109374995290 47 1989274794
|S15|=15!=1307674368000
Рис. 1. График функции роста группы S14 Fig. 1. Graph of group growth function
Рис. 2. График функции роста группы S15 Fig. 2. Graph of group growth function
Заключение. Применение высокопроизводительных вычислений позволило продвинуться в изучении свойств МБ8п-графов. Несмотря на это, представить аналитическое решение для произвольного п на сегодняшний день не представляется возможным.
Благодарности. Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Красноярского края в рамках научного проекта № 17-47-240318.
Acknowledgments. The reported study was funded by RFBR and the government of Krasnoyarsk region according to the research project № 17-47-240318.
Библиографические ссылки
1. Akers S., Krishnamurthy B. A group theoretic model for symmetric interconnection networks // Proceedings of the International Conference on Parallel Processing. 1986. Рp. 216-223.
2. Schibell S., Stafford R. Processor interconnection networks and Cayley graphs // Discrete Applied Mathematics. 1992. Vol. 40. P. 337-357.
3. Cooperman G., Finkelstein L. New methods for using Cayley graphs in interconnection networks // Discrete Applied Mathematics. 1992. Vol. 37. P. 95-118.
4. Lakshmivarahan S., Jho J., Dhall S. Symmetry in interconnection networks based on Cayley graphs of permutation groups: A survey // Parallel Computing. 1993. Vol. 19. P. 361-407.
5. Heydemann M. Cayley graphs and interconnection networks, in Graph symmetry: algebraic methods and applications / Ed. Hahnand Sabidussi. Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 1997. P. 167-226.
6. Xu J. Topological Structure and Analysis of Interconnection Networks. Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 2001. 352 p.
7. Parhami B. Swapped interconnection networks: Topological, performance, and robustness attributes // Journal of Parallel and Distributed Computing. 2005. Vol. 65. P. 1443-1452.
8. Computing the diameter of 17-pancake graphs using a PC cluster / S. Asai [et al.] // LNSC. 2006. Vol. 4128. P. 1114-1124.
9. Chen B., Xiao W., Parhami B. Internode distance and optimal routing in a class of alternating group networks // IEEE Transactionson Computers. 2006. Vol. 55. P. 1645-1648.
10. Wang L., Tang K. The Cayley Graph implementation in TinyOS for dense wireless sensor networks // Proc. of the 6th Wireless Telecommunications Symposium. 2007.
11. Efficient Routing in Data Center with Underlying Cayley Graph / M. Camelo [et al.] // Proceedings of the 5th Workshop on Complex Networks CompleNet. 2014. P. 189-197.
12. Кузнецов А. А., Кузнецова А. С. Параллельный алгоритм для исследования графов Кэли групп подстановок // Вестник СибГАУ. 2014. № 1(53). С. 34-39.
13. Even S., Goldreich O. The Minimum Length Generator Sequence is NP-Hard // Journal of Algorithms. 1981. Vol. 2. P. 311-313.
14. Кузнецов А. А., Кузнецова А. С. О взаимосвязи функций роста в симметрических группах с задачами комбинаторной оптимизации // Вестник СибГАУ. 2012. № 6(46). С. 93-97.
15. Кузнецов А. А. Об одном алгоритме вычисления функций роста в конечных двупорожденных группах периода пять // Прикладная дискретная математика. 2016. № 3(33). С. 116-125.
References
1. Akers S., Krishnamurthy B. A group theoretic model for symmetric interconnection networks. Proceedings of the International Conference on Parallel Processing, 1986, P. 216-223.
2. Schibell S., Stafford R. Processor interconnection networks and Cayley graphs. Discrete Applied Mathematics. 1992, Vol. 40, P. 337-357.
3. Cooperman G., Finkelstein L. New methods for using Cayley graphs in interconnection networks. Discrete Applied Mathematics. 1992, Vol. 37, P. 95-118.
4. Lakshmivarahan S., Jho J., Dhall S. Symmetry in interconnection networks based on Cayley graphs of permutation groups: A survey. Parallel Computing. 1993, Vol. 19, P. 361-407.
5. Heydemann M. Cayley graphs and interconnection networks, in Graph symmetry: algebraic methods and applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. 1997, P. 167-226.
6. Xu J. Topological Structure and Analysis of Interconnection Networks. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2001, 352 p.
7. Parhami B. Swapped interconnection networks: Topological, performance, and robustness attributes. Journal of Parallel and Distributed Computing. 2005, Vol. 65, P. 1443-1452.
8. Asai S., Kounoike, Shinano Y., Kaneko K. Computing the diameter of 17-pancake graphs using a PC cluster. LNSC. 2006, Vol. 4128, P. 1114-1124.
9. Chen B., Xiao W., Parhami B. Internode distance and optimal routing in a class of alternating group networks. IEEE Transactionson Computers. 2006, Vol. 55, P. 1645-1648.
10. Wang L., Tang K. The Cayley Graph implementation in TinyOS for dense wireless sensor networks. Proc. of the 6th Wireless Telecommunications Symposium, 2007.
11. Camelo M., Papadimitriou D., Fabrega L., Vila P. Efficient Routing in Data Center with Underlying Cayley Graph. Proceedings of the 5th Workshop on Complex Networks CompleNet. 2014, P. 189-197.
12. Kuznetsov A. A., Kuznetsova A. S. [A parallel algorithm for study of the Cayley graphs of permutation groups]. Vestnik SibGAU. 2014, No. 1(53), P. 34-39 (In Russ.).
13. Even S., Goldreich O. The Minimum Length Generator Sequence is NP-Hard. Journal of Algorithms. 1981, Vol. 2, P. 311-313.
14. Kuznetsov A. A., Kuznetsova A. S. [Relation between growth functions insymmetric groups and tasks of combinatorial optimization]. Vestnik SibGAU. 2012, No. 6(46), P. 93-97 (In Russ.).
15. Kuznetsov A. A. [An algorithm of computation of the growth functions in finite two-generated groups of exponent five]. Prikladnaya Diskretnaya Matematika, 2016, No. 3(33), P. 116-125 (In Russ.).
© Кузнецов А. А., Кишкан В. В., 2017
