Исследование графов модифицированной пузырьковой сортировки на основе высокопроизводительных вычислений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решетневские чтения. 2017

УДК 519.6

ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФОВ МОДИФИЦИРОВАННОЙ ПУЗЫРЬКОВОЙ СОРТИРОВКИ НА ОСНОВЕ ВЫСОКОПРОИЗВОДИТЕЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

А. А. Кузнецов*, В. В. Кишкан

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: kuznetsov@sibsau.ru

При помощи суперкомпьютерных вычислений получены ранее неизвестные характеристики графов Кэли модифицированной пузырьковой сортировки размерности 14 и 15.

Ключевые слова: граф Кэли, многопроцессорная вычислительная система, граф модифицированной пузырьковой сортировки.

USING HIGH-PERFORMANCE COMPUTATIONS TO STUDY MODIFIED BUBBLE-SORT GRAPHS

A. A. Kuznetsov*, V. V. Kishkan

Reshetnev Siberian State University of Science and Technology 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: kuznetsov@sibsau.ru

Using supercomputer computations we obtained the previously unknown characteristics of modified bubble-sort Cayley graphs of dimensions 14 and 15.

Keywords: the Cayley graph, a multiprocessor computing system, a modified bubble-sort graph.

Введение. Пусть X - порождающее множество группы G, т. е. G = (х). Графом Кэли

Г = Cay (G, X )= = (V, E) называют ориентированный граф, обладающий следующими свойствами:

- множество вершин V(T) соответствуют элементам группы G;

- множество ребер Е(Г) состоит из всех упорядоченных пар (g, xg), где g е G и x е X .

В дальнейшем будем считать порождающее множество X симметричным и свободным от единичного элемента группы, т. е. x е X ^ x_1 е X и e g X . Поскольку X является свободным от единичного элемента, то граф Г не содержит петель. Симметричность порождающего множества означает, что граф будет неориентированным и без кратных ребер, т. е. если в графе имеется ребро из g в xg, то оно совпадает с ребром из xg в x_1 (xg) = g .

Таким образом,

Á = Cay(G, X) = (V, Е), где V = G

и Е = {{g,xg}g е G,x е X}. (1)

Количество вершин | V | равно порядку группы G. Граф Кэли является регулярным, и его степень s, т. е. количество ребер, выходящее из каждой вершины, равно числу порождающих элементов группы

S =| X |.

Шаром Ks радиуса s группы G будем называть множество всех ее элементов, которые могут быть

представлены в виде групповых слов в алфавите X длиною, не превышающей 5. Для каждого целого неотрицательного 5 можно определить функцию роста группы ^(5), которая будет равна числу элементов группы О относительно X, представимых в виде несократимых групповых слов длиною 5. Таким образом

^(0) =| К0 |= 1, ^(5) =| К | -1 К5- | при 5 е N. (2)

Как правило, функцию роста конечной группы представляют в виде таблицы, в которую записывают ненулевые значения ^(5).

Отметим также, что при вычислении функции роста группы, мы параллельно выясняем характеристики соответствующего графа Кэли, например, такие как диаметр и средний диаметр [1]. Пусть ^(50) > 0,

но ^ (50 +1) = 0, тогда 50 будет являться диаметром графа Кэли группы О в алфавите порождающих X, который мы будем обозначать Бх (О). Соответственно, средний диаметр Бх (О) равен средней длине

минимальных (несократимых) групповых слов.

Вычисление диаметра графа Кэли большой конечной группы является хотя и разрешимой, но весьма сложной проблемой. Это связано с тем, что в общем случае задача по определению минимального слова в группе, как показали С. Ивен и О. Голдрейх в 1981 году [2], является КР-трудной. Поэтому для эффективного решения задач на графах Кэли, имеющих большое количество вершин, необходимо применять МВС.

Прикладная математика

Пусть Sn ={Xn), где X„ = {(i,i + 1)|i = 1,2, ...,n}

- симметрическая группа, порожденная множеством транспозиций Xn. Граф Кэли BSn = Cay(Sn, Xn) называют графом пузырьковой сортировки (bubble-sort graph) [3]. Свойства данного графа хорошо известны [3], в частности,

Dx„ (Sn )=

n(n -1) „ FT

и (Sn)=■

Dx„ (Sn)

(3)

2 n 2 Пусть теперь Sn = (Xn) , где Xn = Xn ^{(1, n)} .

Граф Кэли MBSn = Cay(Sn, Xn) называют графом модифицированной пузырьковой сортировки (modified bubble-sort graph) [3]. На сегодняшний день известны характеристики данного графа только для n < 13 . В работе [4] получено, что

Dx (Sn )=

n 4

ч n2 -n +1 и DX (Sn)=--- при n < 13. (4)

Xn 6

В настоящей работе при помощи суперкомпьютерных вычислений получены ранее неизвестные характеристики MBSn графов для n = 14 и 15.

Исследование MBSn графов. Алгоритм A-I из [5] был модифицирован, реализован на языке С++ и апробирован на 96-ти ядерном сервере суперкомпьютера СФУ, при этом было задействовано 512 Гб оперативной памяти и 8 Тб дискового пространства. В результате были вычислены функции роста групп

S14 =( X14) и

S15 =

(Х^ • Затраченное на расчеты

время примерно равно 2,5 часа для п = 14 и 46 часов для п = 15. В итоге получено, что

142

Dy,. (S14) = 49 = —

D -

(SM) = 30-2 =

142 -14 +1;

6 '

(5)

DxiS^) =56=

152

(6)

DX^„(S15) = 35i =

152 -15 +1 6 .

Таким образом, мы можем расширить результат из [4].

Теорема. Пусть = ^Xи п < 15 . Тогда верно,

что

Dx (Sn)=

n

т

и Dx (Sn)=

n2 - n + 1

(7)

Благодарности. Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Красноярского края в рамках научного проекта № 17-47240318.

Acknowledgments. The reported study was funded by RFBR and the government of Krasnoyarskiy kray according to the research project № 17-47-240318.

Библиографические ссылки

1. Кузнецов А. А., Кузнецова А. С. Параллельный алгоритм для исследования графов Кэли групп подстановок // Вестник СибГАУ. 2014, № 1(53). С. 34-39.

2. Even S., Goldreich O. The Minimum Length Generator Sequence is NP-Hard // Journal of Algorithms. 1981. Т. 2. С. 311-313.

3. Heydemann M. Cayley graphs and interconnection networks, in Graph symmetry: algebraic methods and applications (Editors: Hahnand Sabidussi) // Dordrecht : Kluwer Academic Publishers. 1997. P. 167-226.

4. Кузнецов А. А., Кузнецова А. С. О взаимосвязи функций роста в симметрических группах с задачами комбинаторной оптимизации // Вестник СибГАУ. 2012. № 6(46). С. 93-97.

5. Кузнецов А. А. Об одном алгоритме вычисления функций роста в конечных двупорожденных группах периода пять // Прикладная дискретная математика. 2016, № 3(33). С. 116-125.

References

1. Kuznetsov A. A., Kuznetsova A. S. [A parallel algorithm for study of the Cayley graphs of permutation groups]. Vestnik SibGAU. 2014, No. 1(53), P. 34-39. (In Russ.)

2. Even S., Goldreich O. The Minimum Length Generator Sequence is NP-Hard. Journal of Algorithms. 1981. Vol. 2. Pp. 311-313.

3. Heydemann M. Cayley graphs and interconnection networks, in Graph symmetry: algebraic methods and applications. Dordrecht : Kluwer Academic Publ. 1997. P. 167-226.

4. Kuznetsov A. A., Kuznetsova A. S. [Relation between growth functions insymmetric groups and tasks of combinatorial optimization]. Vestnik SibSAU. 2012, No. 6(46). Pp. 93-97. (In Russ.)

5. Kuznetsov A. A. [An algorithm of computation of the growth functions in finite two-generated groups of exponent five]. Prikladnaya Diskretnaya Matematika, 2016, No. 3(33). Pp. 116-125. (In Russ.)

© Кузнецов А. А., Кишкан В. В., 2017

6