CC BY
31Решетневскуе чтения. 2014
УДК 519.17
АЛГОРИТМЫ НА ГРАФАХ КЭЛИ
Д. С. Поддубный, А. А. Кузнецов
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
Е-mail: kuznetsov@sibsau.ru
Рассматриваются графы Кэли на алгебраических группах и их применение в качестве основы для создания топологий для многопроцессорных вычислительных систем. Рассматриваются существующие алгоритмы на графах Кэли и проблема маршрутизации, в частности, проблема нахождения минимального пути. Авторы представляют новый эффективный алгоритм маршрутизации на графе Кэли, известном как modified bubble sort graph.
Ключевые слова: графы Кэли, алгоритм Шрайера-Симса, маршрутизация в графе, многопроцессорные вычислительные системы.
ALGORITHMS ON CALEY GRAPHS
D. S. Poddubny, A. A. Kuznetsov
Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation E-mail: kuznetsov@sibsau.ru
Cayley graphs of algebraic groups are presently being considered by the computer science community as models of architectures for large scale parallel processor computers. The existing algorithms on Cayley graphs and the routing problems, such as the minimum word length problem, are considered. A new effective algorithm for routing in the Caley graph, also known as "the modified bubble sort graph", is presented.
Keywords: Caley graphs, Shreier-Sims algorithm, routing problem, interconnection networks.
Определение графа Кэли было дано английским математиком Артуром Кэли в 1878 г. для представления алгебраической группы, заданной множеством порождающих элементов [1]. К настоящему времени теория графов Кэли выросла в отдельную большую ветвь теории графов и имеет приложения как в математике, так и в прикладных задачах информатики.
Благодаря наличию привлекательных свойств, таких как вершинная симметрия (граф выглядит одинаково для наблюдателя, «обозревающего» его из любой его вершины) и относительно низкий диаметр, графы Кэли нашли свое применение в качестве основы для топологий многопроцессорных вычислительных систем (МВС) [2; 3]. При таком подходе отдельные процессоры соответствуют вершинам графа, а ребра соответствуют физическим соединениям между процессорами. Отметим статью С. Шайбелла и Р. Стаффорда 1992 года [3], в которой рассматриваются вопросы построения МВС на основе графов Кэли и приводится анализ пропускной способности таких МВС.
Поскольку каждому графу Кэли соответствует определенная алгебраическая группа, естественной областью поиска эффективных алгоритмов маршрутизации на графах Кэли стала вычислительная теория групп (ВТГ). Важнейшим достижением стала работа Ч. Симса (1970), в которой он предложил использовать цепь вложенных друг в друга подгрупп конечной группы подстановок для разложения (факторизации)
произвольного элемента группы в виде произведения порождающих элементов [4]. Представленные концепты базы и «сильного» порождающего множества (base and strong generating set - BSGS) и алгоритм, который стал называться алгоритмом Шрайера-Симса, стали основными инструментами целой ветви ВТГ [5; 6]. Большинство существующих сегодня алгоритмов ВТГ основаны на алгоритме Шрайера-Симса, в частности рандомизированная версия алгоритма реализована в системе компьютерной алгебры GAP [7].
Тем не менее алгоритм Шрайера-Симса не является оптимальным с точки зрения количества генераторов, на которые раскладывается произвольный элемент [6]. Создание алгоритмов, представляющее произвольный элемент как слово из генераторов минимальной длины, является актуальной задачей.
Авторами разработан новый эффективный метод маршрутизации на графе Кэли, известном как «modified bubble sort graph». Порождающей группой данного графа является симметрическая группа Sn c генераторами вида: (1 2), (2 3), ..., (n-1 n), (1 n).
Библиографические ссылки
1. Константинова Е. В. Комбинаторные задачи на графах Кэли. Новосибирск : Изд-во НГУ, 2010. 110 с.
2. Akers S., Krishnamurthy B. A group theoretic model for symmetric interconnection networks //
Прикладная математика и механика
Proceedings of the Intern. Conf. on Parallel Processing. 1986. P. 216-223.
3. Schibell S., Stafford R. Processor interconnection networks and Cayley graphs // Discrete Applied Mathematics. 1992. Vol. 40. P. 337-357.
4. Sims С. Computation with finitely presented groups. Vol. 48. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge: Cambridge University Press, 1994.
5. Holt D., Eick B., O'Brien E. Handbook of computational group theory. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, 2005. 514 p.
6. Murray S. The Schreier-Sims algorithm. Diploma thesis. Australian National University, 2003. 77 p.
7. GAP - Groups, Algorithms, Programming - a System for Computational Discrete Algebra. URL: http://www.gap-system.org/ (дата обращения: 10.09.2014).
References
1. Konstantinova E. Lecture notes on some problems on Cayley graphs. TeMeNa, 2012. Available at: http://temena.famnit.upr.si/files/iiles/Lecture_Notes_2012.pdf (accessed: 10.09.2014).
2. Akers S., Krishnamurthy B. A group theoretic model for symmetric interconnection networks.
Proceedings of the International Conference on Parallel Processing, 1986. P. 216-223.
3. Schibell S., Stafford R. Processor interconnection networks and Cayley graphs. Discrete Applied Mathematics. 1992. Vol. 40. P. 337-357.
4. Sims С. Computation with finitely presented groups. Vol. 48. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge: Cambridge University Press. 1994.
5. Holt D., Eick B., O'Brien E. Handbook of computational group theory. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, 2005. 514 p.
6. Murray S. The Schreier-Sims algorithm. Diploma thesis. Australian National University. 2003. 77 p.
7. GAP - Groups, Algorithms, Programming - a System for Computational Discrete Algebra. Available at: http://www.gap-system.org/ (accessed: 10.09.2014)
© Поддубный Д. С., Кузнецов А. А., 2014
УДК 539.374
НАХОЖДЕНИЕ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ ГРАНИЦЫ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ
С. И. Сенашов, О. В. Гомонова
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31 Е-mail: sen@sibsau.ru, gomonova@ sibsau.ru
Предложен метод, основанный на использовании законов сохранения, для нахождения упругопластической границы областей конечных размеров. Предполагается, что область имеет достаточно большие размеры.
Ключевые слова: пластичность, упругость, упругопластическая граница, задача Коши, законы сохранения.
DETERMINATION OF THE ELASTOPLASTIC BOUNDARY FOR THE FINITE SIZE REGIONS
S. I. Senashov, O. V. Gomonova
Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation E-mail: sen@sibsau.ru, gomonova@sibsau.ru
A method of determination of the elastoplastic boundary for the finite size regions is proposed. The method is based on using the conservation laws. The area of the regions is supposed to be rather wide.
Keywords: plasticity, elastisity, elastoplastic boundary, Cauchy problem, conservation laws.
Рассмотрим упругопластическую задачу в области, ограниченной гладкой выпуклой кривой Г. В упругой части этой области справедливы линейные уравнения упругости, в пластической - уравнения двумерной идеальной пластичности [2; 3]. Предположим, что вся граница Г располагается в пластической области, достаточно большой, так, чтобы характеристики одного семейства уравнений пластичности не пересeкались.
Пусть на Г заданы граничные условия вида
(х1 + Тхут = X> V + ^ = У' (1)
где (х, ст , т^ - компоненты тензора напряжений;
I, m - компоненты вектора нормали к Г; X, У - компоненты вектора внешней нагрузки на границе области.
